Warunkowa wartość oczekiwana jest jednym z kluczowych pojęć w teorii prawdopodobieństwa. Zacznijmy od sytuacji gdy warunkujemy względem zdarzenia.

Przechodzimy do definicji warunkowej wartości oczekiwanej względem σ-ciała.

Uwaga: Warto tu przyjrzeć się warunkowej wartości oczekiwanej zmiennej X względem σ-ciała M generowanego przez co najwyżej przeliczalne rozbicie Bn zbiorów o dodatnim prawdopodobieństwie. Bardzo łatwo wyznaczyć tę zmienną w oparciu o powyższą definicję. Mianowicie, jak widać z warunku 1), E(X|M) musi być stała na każdym zbiorze Bn, n=1, 2,⁢…; własność 2) natychmiast implikuje, iż E(X|M)=E(X|Bn) na zbiorze Bn. To w jednoznaczny sposób opisuje warunkową wartość oczekiwaną.

Przechodzimy do pojęcia warunkowej wartości oczekiwanej względem zmiennej losowej. Będziemy potrzebować następującego pomocniczego faktu.

Uwaga: Na mocy lematu mamy E(X|Y)=f(Y) dla pewnej funkcji borelowskiej f. Liczbę f⁢y możemy interpretować jako E(X|Y=y).

Przykłady:

1. Załóżmy, że X, Y posiadają rozkłady skokowe. Oznaczmy

Jeśli h jest dowolną funkcją borelowską taką, że h⁢X∈L1, to

Aby to wykazać, należy sprawdzić, iż prawa strona (oznaczana dalej przez η) spełnia własności 1) i 2) z definicji E(h(X)|σ(Y)). Pierwszy warunek jest jasny - η, jako funkcja Y, jest σ⁢Y-mierzalna. Zajmijmy się zatem drugim warunkiem. niech B∈σ⁢Y. Ponieważ Y ma rozkład dyskretny, B jest co najwyżej przeliczalną sumą zdarzeń postaci Y=y oraz zdarzenia o prawdopodobieństwie 0. Wystarczy więc sprawdzić 2) dla zbiorów B postaci Y=y. Mamy

oraz

2. Konkretny przykład. Załóżmy, że X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z parametrami λ,⁢μ, odpowiednio. Wyznaczymy E(X|X+Y).

Wiadomo, że X+Y ma rozkład Poissona z parametrem λ+μ. Stąd

Ponadto, jeśli k≥ℓ≥0, to

i

Stąd

3. Załóżmy, że X,Y ma rozkład z gęstością g i niech gY⁢y=∫Rg⁢x,y⁢d⁢x będzie gęstością zmiennej Y. Zdefiniujmy gęstość warunkową wzorem

Wówczas dla dowolnej funkcji borelowskiej h:R→R mamy

Istotnie, sprawdzimy, że prawa strona spełnia warunki 1) i 2) z definicji E(h(X)|Y). Oczywiście warunek 1) jest spełniony - prawa strona jest funkcją od Y. Przejdźmy do 2). Dla dowolnego B∈σ⁢Y mamy, iż B={Y∈A} dla pewnego A∈R oraz

Własności warunkowej wartości oczekiwanej

Załóżmy, że Ω,F,P jest ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech M będzie pewnym pod-σ-ciałem F. Ponadto, o wszystkich zmiennych losowych zakładamy, że są całkowalne.

0. Mamy E(E(X|M))=EX. Wynika to natychmiast z 2), jeśli weźmiemy B=Ω.

1. Niech α,⁢β∈R. Wówczas

Istotnie: sprawdzimy, że prawa strona (oznaczana dalej przez R) spełnia warunki 1) i 2) z definicji E(αX1+βX2|M). Pierwszy warunek jest oczywisty. Aby sprawdzić drugi zauważmy, że dla dowolnego B∈M,

2. Jeśli X jest nieujemną zmienną losową, to E(X|M)≥0 p.n. Istotnie, niech B={E(X|M)<0}. Wówczas B∈M i

Widzimy, że gdyby zdarzenie B miało dodatnie prawdopodobieństwo, to lewa strona byłaby ujemna, a prawa - nieujemna.

3. Mamy

Istotnie, na mocy 1. oraz 2. mamy, iż nierówność X≤Y p.n. pociąga za sobą E(X|M)≤E(Y|M). Stąd, z prawdopodobieństwem 1,

i

Biorąc wartość oczekiwaną obu stron w (*) dostajemy, na mocy 0.,

Innymi słowy, operator liniowy E(⋅|M):L1(Ω,F,P)→L1(Ω,F,P) jest kontrakcją.

4. Warunkowa wersja twierdzenia Lebesgue'a o monotonicznym przejściu do granicy. Załóżmy, że Xn↑X. Wówczas E(Xn|M)↑E(X|M) p.n.

Aby to wykazać, zacznijmy od obserwacji iż na mocy 1. i 2., ciąg (E(Xn|M)) jest z prawdopodobieństwem 1 niemalejący, a więc w szczególności zbieżny. Oznaczmy jego granicę przez η, E(X1|M)≤η≤∞. Niech teraz B∈M. Mamy, na mocy 2) oraz bezwarunkowego twierdzenia Lebesgue'a,

Ponieważ η jest M-mierzalna, to z powyższej równości wynika, iż η=E(X|M).

5. Analogicznie dowodzimy warunkowe wersje twierdzenia Lebesgue'a o zmajoryzowanym przejściu do granicy pod znakiem całki oraz lematu Fatou.

6. Załóżmy, że X1 jest mierzalna względem M oraz X1⁢X2 jest całkowalna. Wówczas

W szczególności, biorąc X2≡1, dostajemy, iż E(X1|M)=X1.

Sprawdzamy, że prawa strona spełnia warunki 1) oraz 2) z definicji E(X1X2|M). Warunek 1) jest oczywisty, pozostaje więc sprawdzić drugi. Zastosujemy metodę komplikacji zmiennej X1.

a) Jeśli X1=1A, gdzie A∈M, to dla dowolnego B∈M,

b) Jeśli X1 jest zmienną prostą, to wzór + dostajemy na mocy a) oraz liniowości warunkowych wartości oczekiwanych.

c) Jeśli X1 jest nieujemną zmienną losową, to istnieje niemalejący ciąg Yn M-mierzalnych zmiennych prostych, zbieżny p.n. do X1. Rozbijmy X2=X2+-X2- i zastosujmy b) do zmiennych Yn oraz X2+:

Zbiegając z n→∞ i korzystając z warunkowej wersji twierdzenia Lebesgue'a (własność 4.), dostajemy

Zastępując X2+ przez X2- i powtarzając rozumowanie, dostajemy

i po odjęciu stronami dostajemy (+).

d) Jeśli X1 jest dowolną zmienną losową, to rozbijamy ją na różnicę X1+-X1-, stoujemy c) do zmiennych X1+, X2, oraz X1-, X2, i odejmujemy stronami uzyskane równości.

7. Jeśli M1⊂M2 są pod-σ-ciałami F, to

Zacznijmy od obserwacji, iż wyrażenia stojące po skrajnych stronach są równe. Wynika to natychmiast z poprzedniej własności: zmienna losowa E(X|M1) jest mierzalna względem M2. Wystarczy więc udowodnić, że pierwsze dwa wyrazy w (=) są równe. Weźmy B∈M1. Mamy B∈M2, a więc

skąd teza.

8. Załóżmy, że X jest niezależna od M. Wówczas E(X|M)=EX. Istotnie, sprawdzimy, że E⁢X spełnia warunki 1) i 2) w definicji E(X|M). Warunek 1) jest oczywisty: E⁢X jest zmienn:a losową stałą, a więc mierzalną względem każdego σ-ciała. Niech teraz B∈M. Mamy na mocy niezależności 1B oraz X,

9. Nierówność Jensena. Załóżmy, że f:R→R jest funkcją wypukłą taką, że f⁢X jest zmienną całkowalną. Wówczas

Będzie nam potrzebny następujący prosty fakt. Dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie.

Powróćmy do dowodu 9. Dla ciągów an, bn, gwarantowanych przez powyższy lemat, mamy f⁢X≥an⁢X+bn dla każdego n. Stąd, na mocy 1. oraz 2., z prawdopodobieństwem 1,

Poniweaż ciągi an, bn są przeliczalne, to możemy wziąć supremum po n po prawej stronie i dalej nierówno'sć będzie zachodziła z prawdopodobieństwem 1:

Jako wniosek, dostajemy, iż dla p≥1 i X∈Lp⁢Ω,F,P,

Stąd po wzięciu wartości oczekiwanej obu stron, E(|E(X|M)|p)≤E|X|p, czyli

Zatem warunkowa wartość oczekiwana E(⋅|M) jest kontrakcją w Lp.