5. Martyngały z czasem dyskretnym
Do tej pory, dysponując ciągiem zmiennych losowych, nie
wiązaliśmy z ich indeksami żadnej interpretacji. W wielu naturalnych
sytuacjach można je interpretować jako współrzędną czasową. W
konkretnych przypadkach często Xn opisuje zachowanie układu w chwili
n. Tak więc indeks odpowiada za czas.
Załóżmy, że T jest ,,zbiorem czasów”: to znaczy, jest równy
0, 1, 2,…, {1, 2,…,},
…,-2,-1, 0 lub
m,m+1,…,n.
Definicja 5.1
Załóżmy, że Ω,F,P jest przestrzenią
probabilistyczną, T - jak wyżej. Filtracją nazywamy
rodzinę Ftt∈T, gdzie dla każdego t, Ft jest
σ-ciałem zawartym w F oraz Ft⊆Fs jeśli s≤t.
Intuicja: σ-ciało Ft opisuje wszystko co się może zdarzyć do
chwili t.
Definicja 5.2
Załóżmy, że Ω,F,P jest przestrzenią
probabilistyczną wyposażoną w filtrację Ftt∈T. Funkcję
τ:Ω→T∪+∞ nazywamy momentem zatrzymania,
jeśli dla każdego t∈T mamy {τ=t}∈Fn.
Intuicyjnie, moment zatrzymania jest ,,sensowną” reguła stopowania:
taką, iż decyzję, czy się zatrzymywać, podejmujemy
na podstawie zdarzeń z przeszłości i teraźniejszości. Spójrzmy na
następujący
Przykład: Rzucamy 10 razy monetą. Niech
Xn=1, jeśli w n-tym rzucie wypadł orzeł, i Xn=0 w przeciwnym
przypadku. Wprowadźmy σ-ciała Fn=σX1,X2,…,Xn,
n=1, 2,…, 10 (jest to tzw. naturalna filtracja
względem ciągu Xn) Rozważmy dwie strategie: τ - wycofujemy się, gdy
wypadnie orzeł po raz pierwszy, σ - wycofujemy się, gdy orzeł
wypada po raz ostatni (jeśli wypadają same reszki, przyjmujemy
τ=σ=10). Intuicja podpowiada, iż τ jest sensowną
regułą zatrzymania - decyzję o tym, czy się wycofać, czy nie,
podejmujemy na podstawie informacji, które dopłynęły do nas do
danej chwili. Strategia σ nie jest sensowna: skąd mamy
wiedzieć - nie znając przyszłości - czy orzeł, który właśnie
wypadł, jest ostatni? Formalny dowód tego, że σ nie jest
momentem zatrzymania, pozostawiamy jako ćwiczenie.
Warunek definiujący moment stopu można zapisać równoważnie w
następujący sposób. Funkcja τ:Ω→T∪+∞ jest momentem
zatrzymania wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego t∈T, {τ≤t}∈Ft.
Dowód
⇒ Mamy
gdyż dla każdego k≤t, {τ=k}∈Fk⊆Ft.
⇐ Mamy {τ=t}={τ≤t}∖{τ≤t-1}
i oba zdarzenia należą do Ft.
∎
1) τ≡n jest momentem zatrzymania względem każdej
filtracji:
|
{τ=k}=∅jeśli n≠k,Ωjeśli n=k. |
|
2) Załóżmy, że Ω,F,P jest przestrzenią
probabilistyczną wyposażoną w filtrację Fnn∈T.
Załóżmy, że Xnn∈T jest rodziną zmiennych losowych
(procesem stochastycznym) o tej własności, że dla każdego n,
zmienna Xn jest mierzalna względem Fn (mówimy, że proces
stochastyczny Xn jest adaptowany do filtracji Fn). Dalej,
niech B∈BR oraz
przy czym przyjmijmy konwencję inf∅=+∞. Funkcja
τB to moment pierwszego dojścia procesu Xn do zbioru
B. Wówczas τB jest momentem zatrzymania: dla każdego n,
|
{τB=n}={Xn∈B oraz Xk∉B dla k<n}={Xn∈B}∩⋂k<n{Xk∈Bc}∈Fn. |
|
Analogiczny fakt zachodzi, gdy zmienne Xn przyjmują wartości w
Rd, albo ogólniej, w przestrzeni metrycznej E.
Definicja 5.3
Załóżmy, że Ω,F,P jest przestrzenią
probabilistyczną wyposażoną w filtrację Ftt∈T i niech
τ będzie momentem zatrzymania. Definiujemy
|
Fτ=A∈F:A∩τ=n∈Fn dla wszystkich n=A∈F:A∩τ≤n∈Fn dla wszystkich n. |
|
Intuicyjnie, Fτ opisuje wszystkie zdarzenia, które mogą
zajść do momentu τ.
1) Jeśli τ1, τ2 są momentami zatrzymania, to
τ1∧τ2=minτ1,τ2 oraz τ1∨τ2=maxτ1,τ2 też są momentami zatrzymania. Istotnie,
|
{τ1∧τ2≤n}={τ1≤n}∪{τ2≤n}∈Fn, |
|
|
{τ∨τ2≤n}={τ1≤n}∩{τ2≤n}∈Fn. |
|
2) Jeśli τ1, τ2 są takimi momentami zatrzymania, że
τ1≤τ2, to Fτ1⊆Fτ2. Istotnie,
jeśli A∈Fτ1, to dla każdego n,
i dwa ostatnie przecinane zbiory należą do Fn.
3) Moment zatrzymania τ jest mierzalny względem Fτ.
Istotnie,
|
{τ≤a}∩{τ=n}=∅jeśli a<n,τ=njeśli a≥n∈Fn. |
|
4) Załóżmy, że Xtt∈T jest adaptowany do danej filtracji,
a τ jest momentem zatrzymania względem tej filtracji
spełniającym warunek τ<∞ (jest to tzw. skończony
moment stopu. Wówczas zmienna Xτ jest mierzalna względem
Fτ. Istotnie,
|
{Xτ≤a}∩{τ=n}={Xn≤a}∩{τ=n}∈Fn, |
|
jako że oba przecinane zdarzenia należą do Fn.
Przechodzimy do definicji głównych pojęć niniejszego rozdziału.
Definicja 5.4
Załóżmy, że Ω,F,P jest przestrzenią
probabilistyczną wyposażoną w filtrację Ftt∈T.
Załóżmy, że Xtt∈T jest adaptowanym ciągiem
całkowalnych zmiennych losowych. Mówimy, że Xt,Ftt∈T
jest
a) martyngałem, jeśli dla wszystkich s,t∈T, s≤t
zachodzi E(Xt|Fs)=Xs.
b) nadmartyngałem, jeśli dla wszystkich s,t∈T, s≤t
zachodzi E(Xt|Fs)≤Xs.
c) podmartyngałem, jeśli dla wszystkich s,t∈T, s≤t
zachodzi E(Xt|Fs)≥Xs.
Jeśli filtracja jest ustalona, to mówimy po prostu, że Xtt∈T jest martyngałem (nad-, pod-), jeśli zachodzą powyższe warunki.
a) Xt jest martyngałem, wtedy i tylko
wtedy, gdy dla dowolnych s,t∈T, s<t, oraz A∈Fs zachodzi
Analogicznie dla nad- i podmartyngałów.
b) U nas T=0, 1, 2,…, 1, 2,…,
m,m+1,…,n, …,-2,-1, 0.
c) Xt jest martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy jest nad- i
podmartyngałem.
d) Xt jest podmartyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy -Xt jest
nadmartyngałem.
e) Jeśli Xt, Yt są martyngałami względem tej samej
filtracji i a,b∈R, to aXt+bYt też jest martyngałem.
Analogiczny fakt zachodzi dla nad- i podmartyngałów, o ile a,b>0.
f) Jeśli zbiór T jest taki jak w b), to Xtt∈T jest
martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich n∈T takich,
że n+1∈T, zachodzi E(Xn+1|Fn)=Xn (analogiczny fakt
zachodzi dla nad- i podmartyngałów).
Dowód:
⇒ oczywiste (szczególny przypadek).
⇐ Załóżmy, że m,n∈T, m>n. Wówczas
Fn⊆Fm-1, a więc na mocy własności warunkowej wartości
oczekiwanej,
|
E(Xm|Fn)=E(E(Xm|Fm-1)|Fn)=E(Xm-1|Fn), |
|
i dalej przez indukcję.
∎
1) Załóżmy, że ξ1,ξ2,… są niezależnymi,
całkowalnymi zmiennymi losowymi o średniej 0. Niech
Xn=ξ1+ξ2+…+ξn i
Fn=σX1,X2,…,Xn, n=1, 2,…. Wówczas
Xn,Fnn=1∞ jest martyngałem:
|
E(Xn+1|Fn)=E(Xn+ξn+1|Fn)=E(Xn|Fn)+E(ξn+1|Fn)=Xn+Eξn+1=Xn. |
|
2) Załóżmy, że X jest całkowalną zmienną losową, Ftt∈T jest filtracją i niech Xt=E(X|Ft) dla t∈T. Wówczas
Xt,Ftt∈T jest martyngałem.
Dowód:
Weźmy s,t∈T, s<t. Mamy, na mocy własności warunkowej
wartości oczekiwanej,
|
E(Xt|Fs)=E(E(X|Ft)|Fs)=E(X|Fs)=Xs. |
|
∎
Martyngał taki jak w przykładzie 2) nazywamy prawostronnie
domkniętym. Czasami nazywa się tak martyngał wraz z domknięciem:
Xt,FtT∪∞, gdzie X∞,F∞=X,F.
Stwierdzenie 5.1
Załóżmy, że Xt,Ftt∈T jest martyngałem, a f:R→R
jest funkcją wypukłą taką, że fXt jest zmienną całkowalną
dla każdego t∈T. Wówczas fXt,Ftt∈T jest
podmartyngałem.
Dowód:
Załóżmy, że s,t∈T, s<t. Wówczas, na mocy nierówności
Jensena,
|
E(f(Xt)|Fs)≥f(E(Xt|Fs))=f(Xs). |
|
∎
Wniosek 5.1
Załóżmy, że Xt,Ftt∈T jest martyngałem. Wówczas
a) Jeśli dla pewnego p≥1 mamy, iż Xt∈Lp dla wszystkich
t, to Xtp,Ft jest podmartyngałem.
b) Dla dowolnej liczby rzeczywistej a, proces Xt∨a,Ftt∈T jest podmartyngałem. W szczególności, Xt+, Xt- są
podmartyngałami.
Twierdzenie 5.1 (Dooba, ,,optional sampling”)
Załóżmy, że Xn,Fnn≥0 jest nadmartyngałem
(odp., martyngałem). Załóżmy, że τ1,τ2 są momentami
zatrzymania takimi, że τ1≤τ2 i τ2 jest ograniczony.
Wówczas mamy E(Xτ2|Fτ1)≤Xτ1 p.n. (odpowiednio,
E(Xτ2|Fτ1)=Xτ1 p.n.).
Dowód:
Załóżmy, że τ2≤n. Zauważmy
najpierw, iż
Xτ1,Xτ2 są całkowalne, gdyż
Xτi≤maxX1,X2,…,Xn. Zmienna
Xτ1 jest mierzalna względem Fτ1, a zatem wystarczy
wykazać, że dla każdego A∈Fτ1,
(odpowiednio, z równością w miejscu nierówności w przypadku
martyngałowym).
Załóżmy
najpierw, że τ2-τ1≤1. Mamy
|
∫AXτ1-Xτ2dP=∫A∩τ2>τ1Xτ1-Xτ2dP=∑k=0n∫{τ1=k}∩A∩{τ2>k}Xk-Xk+1≥0 |
|
(odpowiednio, =0). Ostatnia nierówność bierze się stąd, iż
{τ1=k}∩A∩{τ2>k}∈Fk.
Weźmy teraz dowolne τ1≤τ2≤n. Definiujemy
τk=maxτ1,minτ2,k. Zmienne τk są
momentami zatrzymania, a ponadto
oraz τk+1-τk≤1. Zatem dla każdego
A∈Fτ1⊆Fτk,
|
∫AXτ1=∫AXτ0≥∫AXτ1≥∫AXτ2≥…≥∫AXτn=∫AXτ2 |
|
(z równościami w przypadku martyngałowym).
∎
Twierdzenie 5.2 (Dooba o zbieżności p.n. nadmartyngałów)
Załóżmy, że proces Xn,Fnn=0,1,2,… jest nadmartyngałem
takim, że supnEXn-<∞. Wówczas ciąg Xn jest
zbieżny p.n. do pewnej zmiennej losowej całkowalnej.
Wniosek 5.2
a) Każdy nieujemny nadmartyngał Xn,Fn (tzn. spełniający Xn≥0 p.n. dla wszystkich n) jest zbieżny p.n.
b) Jeśli Xn,Fnn=0,1,2,… jest podmartyngałem
spełniającym supnEXn+<∞, to Xn jest zbieżny p.n.
c) Jeśli Xn,Fnn=0,1,2,… jest nadmartyngałem, to
warunek supnEXn-<∞ jest równoważny warunkowi supnEXn<∞ (tzn. ograniczoności ciągu Xn w L1).
Dowód wniosku:
a) jest oczywiste, b) wynika wprost z
twierdzenia Dooba poprzez przejście do procesu -Xn,Fn, który
jest nadmartyngałem. Zajmijmy się dowodem c). Implikacja ⇐
jest oczywista. ⇒ Mamy Xn=Xn++Xn-=Xn+2Xn-,
skąd
|
EXn=EXn+2EXn-≤EX0+2supnEXn-<∞. |
|
∎
W dowodzie twierdzenia o zbieżności będziemy używać
następujących obiektów.
Załóżmy, że xnn=1,2,… jest ciągiem liczbowym i niech
a<b to ustalone liczby rzeczywiste. Określmy
|
τ0=infn:xn<a,τ1=infn>τ0:xn>b,…τ2k=infn>τ2k-1:xn<a,τ2k+1=infn>τ2k:xn>b,… |
|
Liczba τ2k-1 to moment k-tego
przejścia w górę ciągu xn
przez przedział a,b. Niech teraz
|
Uab=supk:τ2k-1<∞jeśli τ1<∞,0jeśli τ1=∞ |
|
będzie liczbą przejść w górę ciągu xn przez przedział a,b.
Lemat 5.1
Ciąg liczbowy xn jest zbieżny (być może do ±∞) wtedy
i tylko wtedy, gdy dla wszystkich a,b∈Q, a<b, mamy
Uab<∞.
Dowód:
⇒ Przypuśćmy wbrew tezie, że xn jest zbieżny oraz
że istnieją a,b∈Q takie, że a<b oraz Uab=∞.
Wówczas znajdziemy nieskończony podciąg zawierający tylko wyrazy
mniejsze od a oraz nieskończony podciąg zawierającego wyrazy tylko
większe od b. Sprzeczność.
⇐ Załóżmy, że lim infxn<lim supxn. Wówczas
istnieją a,b∈Q takie, że lim infxn<a<b<lim supxn; mamy wówczas Uab=∞.
∎
Lemat 5.2 (nierówność Dooba dla przejść w górę)
Załóżmy, że Xn,Fnn=0m jest nadmartyngałem.
Wówczas dla dowolnych a<b,
Dowód:
Załóżmy, że τj jest ciągiem momentów przejść ciągu
Xn przez
przedział a,b, i niech Uab będzie łączną liczbą
przejść. Widzimy, że τj jest ciągiem momentów zatrzymania
(względem filtracji Fn) oraz że Uab jest zmienną losową.
Połóżmy τ~j=τj∧m i wprowadźmy zmienne
Yk=Xτ~2k+1-Xτ~2k,
k=1, 2,…. Z definicji widzimy, iż jeśli 0≤k≤Uabω-1, to Ykω>b-a. Ponadto, jeśli
k=Uabω, to
|
Ykω=Xm-Xτ~2k=0jeśli τ2k=∞,≥Xm-ajeśli τ2k<∞≥-Xm-a-. |
|
Wreszcie, jeśli k>Uabω, to Ykω=0. Sumując
stronami powyższe związki dostajemy
|
∑k=0mXτ~2k+1-Xτ~2k≥b-aUab-Xm-a-, |
|
a zatem, biorąc wartość oczekiwaną,
|
∑k=0mEXτ~2k+1-Xτ~2k≥b-aEUab-EXm-a-. |
|
Lewa strona jest niedodatnia, na mocy twierdzenia Dooba (optional sampling);
dostajemy zatem żądaną nierówność.
∎
Dowód twierdzenia o zbieżności nadmartyngałów
Ustalmy a,b∈Q, a<b.
Niech Uabm będzie łączną liczbą przejść nadmartyngału
Xnn=1m w górę przez przedział a,b. Mamy
Uabm↑Uab. Na mocy drugiego z powyższych lematów,
|
EUabm≤1b-aEXm-a-≤1b-aEXm+a≤1b-asupEXm+a<∞. |
|
Zatem, na mocy twierdzenia Lebesgue'a, EUab<∞, skąd
Uab<∞ p.n. Zatem
i na mocy pierwszego z powyższych lematów, ciąg Xn jest
zbieżny p.n. Pozostaje tylko wykazać, że granica jest całkowalna;
wynika to natychmiast z lematu Fatou:
|
ElimnXn=ElimnXn≤lim infEXn≤supnEXn<∞. |
|
∎
Twierdzenie 5.3 (Nierówność maksymalna dla nadmartyngałów)
Załóżmy, że Xn,Fnn=0,1,2,… jest nadmartyngałem.
Wówczas dla każdego λ>0,
przy czym można wziąć K=1, jeśli nadmartyngał jest nieujemny (tzn. zmienne
losowe X0,X1,… są nieujemne p.n.), niedodatni, bądź jest
martyngałem. W przypadku ogólnym nierówność zachodzi z K=3.
Dowód:
Zauważmy, iż wystarczy szacować PsupnXn>λ,
przez proste przejście graniczne. Mamy
|
P(supn|Xn|>λ)≤P(supnXn>λ)+P(infnXn<-λ). |
|
Zajmiemy się oddzielnie prawdopodobieństwami występującymi po
prawej stronie.
a) Niech τ=infn:Xn>λ. Na mocy twierdzenia Dooba
(optional sampling),
|
EX0≥EXτ∧n=∫{τ≤n}Xτ+∫{τ>n}Xn≥λP(maxk≤nXk>λ)-∫{τ>n}Xn-. |
|
Stąd
|
λPmaxk≤nXk>λ≤EX0+∫{τ>n}Xn-≤EX0+supnEXn. |
|
Stąd teza (gdy weźmiemy n→∞) gdy Xn jest nieujemny.
b) Rozważmy moment zatrzymania τ~=infn:Xn<-λ.
Z twierdzenia Dooba,
|
EXn≤EXτ~∧n=∫{τ~≤n}Xτ~+∫{τ~>n}Xn≤-λP(mink≤nXk<-λ)+∫{mink≤nXk≥-λ}Xn, |
|
skąd
|
λPmink≤nXk<-λ≤-∫{mink≤nXk<-λ}Xn≤supnEXn-. |
| (**) |
Stąd teza, gdy nadmartyngał jest niedodatni. Ponadto, jeśli Xn
jest martyngałem, to stosujemy powyższą nierówność do
niedodatniego nadmartyngału -Xn,Fn.
W ogólnym przypadku, wystarczy zsumować dwie końcowe nierówności
pochodzące z a) i b), dostać nierówność ze stałą 3.
∎
Jeśli Xn jest podmartyngałem, to stosując (**) dla -Xn
dostajemy
Wniosek 5.3
Załóżmy, że Xn,Fnn=0m jest podmartyngałem.
Wówczas dla λ>0,
|
Pmaxn≤mXn>λ≤1λ∫{maxn≤mXn>λ}Xn. |
|
Twierdzenie 5.4 (Nierówność maksymalna Dooba)
Załóżmy, że Xn,Fnn≥0 jest martyngałem
spełniającym warunek Xn∈Lp, n=0, 1, 2,… dla pewnego
p>1. Wówczas
Dowód:
Niech Yn=maxk≤nXk, k=0, 1, 2,…. Mamy, stosując
poprzedni wniosek do podmartyngału Xk,Fkk=0,1,2,…,n,
dostajemy
|
EYnp=p∫0∞λp-1P(Yn>λ)dλ≤p∫0∞λp-11λ∫{Yn>λ}|Xn|dPdλ=p∫0∞∫Ωλp-21{Yn>λ}|Xn|dPdλ=p∫Ω∫0Ynλp-2|Xn|dλdP=pp-1∫Ω|Xn|Ynp-1dP≤pp-1||Xn||p||Yn||pp-1/p. |
|
Dzieląc obustronnie przez Ynpp-1/p (jeśli ta liczba
jest zerem, to otrzymana poniżej nierówność także jest prawdziwa) dostajemy
|
Ynp≤pp-1Xnp≤pp-1supkXkp |
|
i wystarczy zbiec z n→∞.
∎
Twierdzenie 5.5 (Zbieżność martyngałów w L1)
Załóżmy, że Xn,Fnn≥0 jest martyngałem.
następujące warunki
są równoważne.
a) rodzina Xn:n=0, 1, 2,… jest jednostajnie całkowalna.
b) Xn jest zbieżny w L1.
c) Istnieje zmienna losowa X∈L1 taka, że Xn=E(X|Fn),
n=0, 1, 2,… (czyli
martyngał jest prawostronnie domknięty).
Co więcej, jeśli te warunki są spełnione, to Xn jest zbieżny
p.n. do
i X∞ jest
jedyną zmienną losową mierzalną względem σ-ciała
σ⋃nFn taką, że Xn=E(X∞|Fn),
n=0, 1, 2,….
Wniosek 5.4 (Twierdzenie Levy'ego)
Jeśli X∈L1 oraz Fn jest filtracją, to
|
E(X|Fn)p.n. i w L1→E[X|σ(⋃nFn)]. |
|
Dowód twierdzenia o zbieżności
a)⇒b) Na mocy jednostajnej całkowalności dostajemy, iż
supnEXn<∞. Zatem na mocy twierdzenia Dooba martyngał Xn
jest zbieżny p.n., a zatem także według prawdopodobieństwa.
łącząc to z jednostajną całkowalnością dostajemy zbieżność w
L1.
b)⇒c) Załóżmy, że Xm→X∞ w L1. Dla
ustalonego n i m>n mamy E(Xm|Fn)=Xn. Z drugiej strony,
E(Xm|Fn)→E(X∞|Fn) w L1, gdyż operator warunkowej wartości
oczekiwanej jest kontrakcją w L1: istotnie,
|
||E(Xm|Fn)-E(X∞|Fn)||1≤||Xm-X∞||1→0. |
|
Stąd E(X∞|Fn)=Xn.
c)⇒ a) Pozostawiamy jako ćwiczenie.
Pozostaje wykazać drugą część twierdzenia. Wiemy już, że warunki
a), b), c) pociągają za sobą, iż Xn=E(X∞|Fn),
n=0, 1, 2,… (gdzie X∞
jest granicą, w sensie zbieżności w L1 i p.n., martyngału Xn).
Oczywiście X∞ jest mierzalna względem
σ⋃nFn. Przypuśćmy teraz, że Y jest całkowalną
zmienną losową, mierzalną względem tego σ-ciała, dla
której Xn=E(Y|Fn), n=0, 1, 2,…. Zatem
E(X∞|Fn)=E(Y|Fn), skąd dla dowolnego n i
dowolnego A∈Fn,
Klasa ⋃nFn jest π-układem. Klasa tych zbiorów A, dla
których zachodzi powyższa równość, jest λ-układem. Z
lematu o π-λ układach mamy, iż powy'rsza równo'sć
całek zachodzi dla dowolnego A∈σ⋃nFn. Na mocy
mierzalności X∞ oraz Y względem tego σ-ciała, mamy,
iż X∞=Y p.n.
Wreszcie, pozostaje udowodnić równość (*). Jeśli Xn=E(X|Fn),
to
|
Xn=E[Xn|σ(⋃nFn)]=E[E(X|Fn)|σ(⋃nFn)]=E[E(X|σ(⋃nFn))|Fn]. |
|
Na mocy powyższych rozważań o jednoznaczności, dostajemy (*).
Dowód jest zakończony.
∎
Wniosek 5.5 (Prawo 0-1 Kołmogorowa)
Załóżmy, że X1, X2, … są niezależnymi zmiennymi
losowymi i Fn=σX1,X2,…,Xn dla n≥1. Wówczas
jeśli A∈⋂n=0∞σXn+1,Xn+2,…, to
PA∈0,1.
Dowód
Oczywiście 1A jest mierzalne względem
σ-ciała σ⋃n=1∞Fn. Zatem na
mocy twierdzenia Levy'ego,
|
E(1A|Fn)p.n. i w L1→E[1A|σ(⋃n=1∞Fn)]=1A. |
|
Ale z drugiej strony 1A jest niezależne od Fn, bo A∈σXn+1,Xn+2,…, a to σ-ciało jest niezależne
od Fn. Stąd
a zatem PA=0 lub 1.
∎
Zajmiemy się teraz zbieżnością w Lp dla p>1.
Twierdzenie 5.6
Załóżmy, że Xn,Fnn=0,1,2,… jest martyngałem i
p>1. Następujące warunki są równoważne.
a) supEXnp<∞.
b) Rodzina Xnpn jest jednostajnie całkowalna.
c) Martyngał Xn jest zbieżny w Lp.
d) Istnieje X∈Lp taka, że Xn=E(X|Fn).
Jeśli te warunki są spełnione, to Xn jest zbieżny p.n. do zmiennej losowej
X∞=E(X|σ(⋃nFn)).
a)⇒b) Wiemy, że EsupXnp≤pp-1psupnEXnp<∞, czyli
supXnp∈L1, skąd dostajemy b) (istnienie majoranty
całkowalnej).
b)⇒c) Mamy, iż
|
supnEXn≤supnEXnp1/p<∞, |
|
a zatem na mocy twierdzenia Dooba o zbieżności nadmartyngałów,
Xn jest zbieżny p.n.. Dokładając jednostajną całkowalność
dostajemy c).
c)⇒d) Mamy Xn→X∞ w Lp. Przy ustalonym
n oraz m>n, E(Xm|Fn)=Xn. Ponieważ E(⋅|Fn) jest
kontrakcją w Lp, więc E(X∞|Fn)=Xn.
d)⇒a) Mamy
|
E|Xn|p=E|E(X|Fn)|p≤E(E(|X|p|Fn))=E|X|p<∞. |
|
∎
5.1. Zadania
1. Załóżmy, że Fn jest filtracją, a Xn jest
ciągiem zmiennych losowych adaptowanych do tej filtracji. Niech B
będzie podzbiorem borelowskim R.
a) Udowodnić, że τ1=infn:Xn+n∈B jest momentem
zatrzymania.
b) Udowodnić, że dla dowolnego momentu zatrzymania τ, zmienna
τ2=infn>τ:Xn∈B też jest momentem zatrzymania.
2. Dany jest ciąg Xnn=110 niezależnych zmiennych losowych
o rozkładzie PXn=-1=PXn=1=1/2. Niech
|
τ=infn>1:Xn>Xn-1,σ=supn≥1:Xn>Xn-1 |
|
(przyjmujemy inf∅=sup∅=∞).
Czy τ, σ są momentami zatrzymania?
3. Zmienne τ, σ są momentami zatrzymania
względem filtracji Fnn=0,1,2,…. Czy
zmienne τ2, τ+1, τ+σ, τ-1, τ∧2σ są momentami zatrzymania?
4. Dany jest ciąg ξn niezależnych zmiennych losowych
o tym samym rozkładzie Pξn=-1=Pξn=1=1/2.
Niech X0=0 i Xn=ξ1+ξ2+…+ξn dla n≥1. Niech
Fn będzie naturalną filtracją generowaną przez ciąg Xn.
a) Udowodnić,że Xn oraz Xn2-n są martyngałami.
b) Wyznaczyć taką wartość parametru a, by ciąg ancosXn
był martyngałem.
c) Udowodnić, że dla λ>0, ciąg expλXn-λ2n/2 jest nadmartyngałem.
5. Załóżmy, że Xnn=0∞ jest ciągiem niezależnych
zmiennych loswych o tym samym rozkładzie o średniej 0. Niech
Z0=0, Zn=X0X1+X1X2+…+Xn-1Xn dla n≥1.
Udowodnić, że ciąg Zn jest martyngałem.
6. Dany jest ciąg Xn adaptowany do filtracji Fn.
Udowodnić, że ciąg Xn jest martyngałem wtedy i tylko wtedy gdy
dla każdego ograniczonego momentu zatrzymania τ zachodzi
równość EXτ=EX0.
7. Dany jest martyngał Xn,Fnn=0,1,2,… oraz
moment zatrzymania τ. Udowodnić, że Xτ∧n,Fn
też jest martyngałem.
8. Egzaminator przygotował m zestawów pytań. Studenci
kolejno losują kartki z pytaniami, przy czym zestaw raz wyciągnięty
nie wraca do ponownego losowania. tudent nauczył się odpowiedzi na
k zestawów k≤m. Obserwując przebieg egzaminu chce
przystąpić do niego w takim momencie, żeby zmaksymalizować szanse
zdania. Czy istnieje strategia optymalna?
9. Gramy w orła i reszkę symetryczną monetą. Przed n-tą
grą, opierając się ewentualnie na wynikach poprzednich gier, sami
ustalamy stawkę w n-tej grze: wybieramy Vn, 1≤Vn≤a, i
jeśli wypadnie orzeł dostajemy Vn zł, jeśli reszka - płacimy
Vn zł. Niech Sn oznacza łączną wygraną po n grach.
Udowodnić, że Snn jest martyngałem (względem naturalnej
filtracji).
10. Mamy 10 zł w monetach 1 zł, a potrzebujemy pilnie
20 zł. Jedynym sposobem zdobycia tych pieniędzy jest gra w 3
karty z szulerem (który wygrywa z prawdopodobieństwem 2/3). Szuler
gotów jest grać z nami wiele razy o dowolne stawki, jakie jesteśmy w
stanie założyć (przyjmijmy dla uproszczenia, że stawka nie
przekracza 10 zł). Udowodnić, że niezależnie od wyboru strategii
nasze szanse na uzyskanie brakujących 10 zł nie przekraczają
1/3.
11. (Tożsamość Walda). Dany jest ciąg Xn całkowalnych zmiennych losowych o tym samym
rozkładzie, adaptowany do filtracji Fnn=1,2,…, taki,
że zmienna Xn+1 jest niezależna od Fn. Udowodnić, że dla
dowolnego momentu zatrzymania τ takiego, że Eτ<∞,
zachodzi wzór
12. Załóżmy, że X1,X2,… są niezależnymi
zmiennymi losowymi o średniej 0, spełniającymi warunek
∑n=1∞VarXn<∞. Udowodnić, że szereg
∑n=1∞Xn jest zbieżny p.n.
W zadaniach 13 - 17 poniżej rozpatrujemy ciąg X1, X2,
… niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie
PXn=1=p=1-PXn=-1, i oznaczamy S0=0,
Sn=X1+X2+…+Xn dla n≥1. Dla a,b∈Z,
a,b>0, niech τa=infn:Sn=a oraz
τa,b=infn:Sn∈-a,b.
13. Załóżmy, że p=1/2 i niech τ=τa,b. Korzystając z teorii
martyngałów obliczyć PSτ=-a, PSτ=b
oraz Eτ.
14. Rozwiązać zadanie 13 przy założeniu 1/2<p<1.
15. Udowodnić, że Eτa=∞.
16. Załóżmy, że p=1/2 oraz τ jest całkowalnym momentem
zatrzymania. Udowodnić, że ESτ=0 oraz ESτ2=Eτ.
17. Zbadać zbieżność p.n. oraz w Lp nadmartyngału
expSn-n/2n=0∞ (por. zadanie 4 c)).
18. Zmienne X1, X2, …, są niezależne i mają
ten sam rozkład skoncentrowany na liczbach nieujemnych, różny od
δ1, o średniej 1.
Udowodnić, że ciąg X1X2…Xn jest
zbieżny p.n., ale nie jest zbieżny w L1.
19. W pojemniku znajduje się pewna liczba cząstek, z
których każda w chwili n z równym prawdopodobieństwem albo
dzieli się na dwie, albo ginie. W chwili 0 liczba cząstek wynosi
1. Udowodnić, że z prawdopodobieństwem 1 po pewnym czasie
wszystkie cząstki zginą, tzn. w pojemniku nie będzie ani jednej
cząstki.
Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.
