Najprostszą i pożądaną z punktu widzenia zastosowań własnością puktu równowagi jest jego stabilność. Poniżej podajemy dwie matematycznie ścisłe definicje stabilności.

Definicja 1.1. Punkt równowagi x∗ równania (1.1) jest stabily w sensie Lapunowa, jeśli dla każdego ε>0 istnieje δ>0 takie, że każde rozwiązanie x=φ⁢t;x0;t0 startujące z δ-otoczenia puktu x∗, x0-x∗<δ, pozostaje w ε-otoczeniu tego punktu, φ⁢t;x0;t0-x∗<ε, dla wszystkich czasów t>t0.

Punkt równowagi x∗ jest asymptotycznie stabilny, jeśli jest on stabilny w sensie Lapunowa i, dodatkowo, istnieje ε0>0 takie, że każde rozwiązanie φ⁢t;x0;t0 startujące z punktu x0=φ⁢t0;x0;t0 ε0-bliskiego punktowi równowagi, x0-x∗<ε0, dąży do x∗ przy t→∞.

Przykład 1.2. Dla oscylatora harmonicznego x¨=-ω2⁢x, albo

rozwiązania leżą w elipsach ω⁢x2+y2=ε2 (patrz Rysunek 1.1). Stąd dla 0<ω≤1 wynika, że wybór δ=ω⁢ε spełnia warunki definicji stabilności w sensie Lapunowa. Ponieważ rozwiązania nie dążą do punktu równowagi x=y=0, nie jest on asymptotycznie stabilny.

Przykład 1.3. Na Rysunku 1.2 przedstawiono portret fazowy pewnego pola wektorowego, które ma tę własność, że każde rozwiązanie dąży do punktu równowagi (czyli jest spełniony drugi z warunków na stabilność asymptotyczną). Jednakowoż ten punkt równowagi nie jest stabily w sensie Lapunowa, ponieważ trajektorie starujące z dołu oraz dowolnie blisko punktu równowagi wychodzą z czasem z ustalonego otoczenia tego punktu.

Okazuje się, że odpowiednie autonomiczne pole wektorowe można zadać konkretnym wzorem. Mianowicie, ma ono postać

(patrz Zadanie 2.64).

Podstawowy wynik o stabilności punktów równowagi pochodzi od A. Lapunowa. Dotyczy ono punktu równowagi x=0 dla kiełka¹Przez kiełek pola wektorowego v⁢x (lub funkcji f⁢x czy formy różniczkowej ω⁢x czy odwzorowania) w punkcie x0∈Rn rozumiemy pole wektorowe (lub funkcję lub formę różniczkową lub odwzorowanie) określoną na pewnym otoczeniu U punktu x0. Dwa kiełki, jeden określony na otoczeniu U a drugi na U′, są równoważne, jeśli są zgodne na pewnym otoczeniu V⊂U∩U′. Przyjmuje się oznaczenie f:Rn,x0→R dla oznaczenia kiełka funkcji w x0; analogoczne oznaczenia są dla pól wektorowych, form różniczkowych, odwzorowań, itd. autonomicznego pola wetorowego w Rn,0 postaci

gdzie A=∂⁡v∂⁡x⁢0 jest macierzą linearyzacji pola w punkcie x=0.

Twierdzenie 1.4 (Lapunow). Jeśli macierz A ma własność, że części rzeczywiste wszystkich jej wartości własnych są ujemne,

to punkt równowagi x=0 jest asymptotycznie stabilny.

Zanim zaczniemy ścisły dowód tego twierdzenia wprowadzimy pojęcie funkcji Lapunowa, które okazuje się być użyteczne dla pokazywania asymptotycznej stabilności nawet bez założenia (1.4).

Definicja 1.5.Funkcją Lapunowa dla punktu równowagi x=0 kiełka autonomicznego pola wektorowego v⁢x nazywamy funkcję

z otoczenia U punktu x=0, która spełnia następujące dwie własności:

(i) L⁢x≥0 i L⁢x=0 tylko dla x=0;

(ii) L˙⁢x=d⁢L⁢x,v⁢x<0 dla x≠0.

Stwierdzenie 1.6. Jeśli istnieje funkcja Lapunowa (dla punktu równowa- gi x=0 pola v(x)) to ten punkt jest asymptotycznie stabilny.

Dowód. Własność (i) z definicji funkcji Lapunowa mówi, że zbioryL⁢x≤c, c>0, są ograniczone i dążą do punktu x=0 przy c→0.

Własność (ii) oznacza, że jeśli x=φ⁢t jest rowiązaniem równania x˙=x⁢x, to

Widać, że funkcja Lapunowa maleje wzdłuż rozwiązań równania różniczkowego (patrz Rysunek 1.3).

Zatem rozwiązania startujące z brzegu L⁢x=c zbioru L⁢x≤c `wchodzą' do wnętrza tego zbioru. Ponieważ te trajektorie pozostają w zbiorach L≤c, jest spełniony warunek stabilności w sensie Lapunowa. Z drugiej strony, rozwiązania muszą dążyć do punktu x=0 przy t→∞; a to oznacza asymptotyczną stabilność. ∎

Teraz dla dowodu twierdzenia Lapunowa wypada skonstruować funkcję Lapunowa. W tym celu poprawimy nieco macierz A. Po pierwsze, założymy, że jest ona w postaci Jordana. Zatem mamy klatki

odpowiadające nierzeczywistym (λ1,…,λr) i zespolonym (λj=λ¯j+1=αj+i⁢βj, j=r+1,r+3,…,n-1) wartościom własnym.

Okazuje się, że jedynki nad diagonalą można zastąpić małymi ε-ami. Rzeczywiście, jeśli mamy klatkę Jordana wymiaru k z rzeczywistą wartością własną λ, to w standardowej bazie ej mamy

Zatem dla bazy fj takiej, że

będziemy mieli A⁢f1=f1 i A⁢fj=λ⁢fj+ε⁢fj-1 j>1. Analogiczną zamianę stosujemy w przypadku, gdy mamy klatkę Jordana z zepolonymi wartościami własnymi (Zadanie 1.27). Mamy zatem następujący

Lemat 1.7.W odpowiednim liniowym układzie współrzędnych macierz A przyjmuje postać

gdzie A0 jest blokowo-diagonalna zλj∈R i z αj-βjβjαj na diagonali a maciarz A1 jest ograniczona, A1<C1.

Następny lemat kończy dowód Stwierdzenia 1.6.

Lemat 1.8.Niech xi będzie układem współrzędnych z tezy Lematu 1.7. Wtedy funkcja

na odpowiednio małym otoczeniu pnktu x=0 jest funkcją Lapunowa dla tego punktu równowagi.

Dowód. Oczywiście wystarczy sprawdzić własność (ii) z Definicji 1.5 funkcji Lapunowa. Mamy

gdzie ▽⁢L=2⁢x. Pierwszy wyraz po prawej stronie tej równości wynosi (jak łatwo sprawdzić)

gdzie w drugiej sumie sumujemy po j=r+1,r+3,…,n-1. Następnie, z ograniczoności A1 dostajemy

Poniewaz nieliniowe wyrazy pola v⁢x-A⁢x są rzędu O⁢x2, mamy

dla pewnej stałej C2 i dostatecznie małego x.

Warunek (1.4) z założenia twierdzenia Lapunowa oznacza, że w (1.5) mamy

dla pewnego Λ. Zatem mamy ▽⁢L,A0⁢x<-2⁢Λ⁢x2 a pozostałe dwa człony w L˙ szacują się przez 2⁢C1+C2⁢ε⁢x2. To pokazuje, że L˙<0 dla x≠0 i małego ε, co kończy dowód lematu i twierdzenia Lapunowa. ∎

Istnieje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lapunowa. Jest ono dosyć naturalne i przypuszczalnie Lapunow miał jego świadomość, ale w rosyjskiej literaturze (np. w [10]) przypisuje się je V. Czetajewowi.

Twierdzenie 1.9 (Czetajew). Jeśli macierz A linearyzacji pola wektorowego (1.3) posiada wartość własną o ściśle dodatniej części rzeczywistej, to punkt równowagi x=0 nie jest stabilny (ani w sensie Lapunowa ani asymptotycznie).

Dowód. Niech Re⁢λ1,…,Re⁢λk będą ściśle dodatnie a Re⁢λk+1,…,Re⁢λk+l≤0, k+l=n. Możemy założyć, że

w rozkładzie Rn=Rk⊕Rl, przy czym macierz A1 ma wartości własne λ1,…,λk a macierz A2 ma wartości własne λk+1,…,λn. Ponadto, możemy założyć, że macierze A1 i A2 są jak w tezie Lematu 1.7. Przyjmijmy jeszcze, że x=x1,x2 w powyższym rozkładzie Rn oraz x=x1+x2.

Zdefiniujmy stożek V za pomocą nierówności

gdzie stałe α i β będą zdefiniowanie w trakcie dalszych etapów dowodu. Zauważmy, że brzeg ∂⁡V stożka V składa się z dwóch części: ∂1V={|x2|=α|x1|} i ∂2V={|x1|=β}. Zdefiniujmy też `funkcję Czetajewa', jako

Okazuje się, że przy odpowiednio dobranych α i β zachodzą następujące własności:

(a) pole wektorowe wchodzi do V na częsci ∂1⁡V brzegu,

(b) C˙⁢x>0 dla x∈V∖0. Oczywiście, z nich wynika teza twierdzenia; trajektorie startujące dowolnie blisko x=0 w V wychodzą z V przez część ∂2⁡V brzegu (patrz Rysunek 1.4).

Aby udowodnić te własności, skorzystamy z nierówności (które są konsekwencją poczynionych założeń):

(dla M=min{Reλj:1≤j≤l}) i małego ε, przy warunku, że x<β (β dostatecznie małe). Jak zwykle d/d⁢t oznacza pochodną wzdłuż trajektorii x⁢t pola wektorowego.

Warunek (a) oznacza, że dd⁢t⁢x1-α⁢x2∂1⁡V>0. Ale dla x1=α⁢x2 mamy

o ile ε jest małe. Z drugiej strony dla x2≤α⁢x1 mamy

∎

W związku z powyższymi twierdzeniami nasuwa się naturalne praktyczne pytanie:

jak sprawdzić, czy wszystkie wartości własne danej macierzy mają ujemne częsci rzeczywiste?

Oczywiście to pytanie sprowadza się do pytania o części rzeczywiste pierwiastków wielomianu charakterystycznego tej macierzy.

Zatem załóżmy, że mamy wielomian²Wielomian charakterystyczny macierzy det⁡A-λ ma współczynnik a0=-1n. Tutaj przyjmujemy a0>0 dla uproszcenia formułowanych niżej wyników.

Definicja 1.10. Mówimy, że wielomian P⁢λ jest stabilny jeśli wszystkie jego zera λj mają ujemną część rzeczywistą.

Pytamy o warunki konieczne i dostateczne aby wielomian postaci (1.6) był stabilny. Okazuje się, że ten problem był badany już w XIX wieku i ma pełne rozwiązanie.

Aby przyjrzeć się temu zagadnieniu, odnotujmy następujący prosty warunek konieczny.

Lemat 1.11.Jeśli wielomian postaci (1.6) jest stabilny, to aj>0 dla wszystkichj.

Dowód. Przyjrzyjmy się czynnikom w przedstawieniu

gdzie pierwszy iloczyn jest związany z rzeczywistymi pierwiastkami λj<0, a drugi iloczyn jest związany z nierzeczywistymi pierwiastkami λj=αj±i⁢βj, αj<0, βj≠0. Ponieważ każdy z czynników ma dodatnie współczynniki, to i cały wielomian też musi mieć dodatnie współczynniki. ∎

Uwaga 1.12. Jeśli stopień n≤2,to warunek aj>0, j=0,1,2, jest również warunkiem dostateczym.

Zdefiniujmy następującą macierz wymiaru n×n:

taką, że na diagonali stoją kolejno liczby a1,a2,…,an.

Twierdzenie 1.13 (Warunki Raussa–Hurwitza). Warunkiem koniecznym i dostatecznym na stabilność wielomianu (1.6) jest:

(i) aj>0 dla wszystkich j;

(ii) minory główne Δj (wymiarów j)  macierzy (1.7) są dodatnie.

Przykłady 1.14. Dla n=1 macierz (1.7) ma postać a1, zatem Δ1=a1.

Dla n=2, czyli macierzy a1a00a2, mamy Δ1=a1 i Δ2=a2; zatem odtwarzamy Uwagę 1.12.

Dla n=3 mamy macierz

Warunki Raussa–Hurwitza przyjmują postać: Δ1=a1>0 (nic nowego),

i Δ3=a3⁢Δ2 (też nic nowego).

Uwaga 1.15. Można pokazać, że warunek Δj>0 dla wszystkich j można zastąpić następującym warunkiem Liénarda–Shapira:

(patrz także poniższy dowód).

Dowód Twierdzenia 1.13.³Na wykładzie dowód jest ograniczony do przypadku n=3 i tego wymaga się od studentów na egzaminie. Idea dowodu jest dosyć prosta. WarunkiRe⁢λj<0 (oraz a0>0) definiują pewien podzbiór U w przestrzeni Rn+1=a współczynników aj. Zbiór U jest semi-algebraiczny i jego brzeg składa się z gładkich `stratów'. Chodzi o równania definiujące te straty. Jeśli a∈∂⁡U, to mamy dwie możliwości: albo

(a) pewien pierwiastek równania P⁢λ=0 zeruje się, albo

(b) para sprzężonych pierwiastków zespolonych leży na osi urojonej.

Przypadek (a) oznacza, że P⁢0=0, czyli an=0; to jest dosyć proste.

Rozważmy sytuację z parą λj,j+1=±i⁢β urojonych pierwiastków. Mamy wtedy

dla pewnego wielomianu

o którym możemy założyć, że jest stabilny. Ponadto, z założenia indukcyjnego (względem n) możemy przyjąć, że bj>0 i odpowiednie minory Δj=Δj⁢Q>0.

Mamy następujące relacje

To oznacza, że macierz M w (1.7) ma pos tać M=M1+β2⁢M2, gdzie

Zauważmy, że r-ty wiersz macierzy M2 równa się r-1-temu wierszowi macierzy M1 dla r>1. To oznacza, że wszystkie minory Δj⁢Pβ, j=1,…,n-2, macierzy M są równe odpowiednim minorom Δj⁢Q dla macierzy M1 (związanej z wielomianem Q); zatem są one dodatnie. Stąd też wynika, że Δn-1⁢Pβ=0 i Δn⁢Pβ=β2⁢bn-2⁢Δn-1⁢Pβ=0.

Widać, że równanie Δn-1⁢P=0 opisuje lokalnie hiperpłaszczyznę w przestrzeni współczynników aj oddzielającą wielomiany stabilne od nie- stabilnych. Wypada tylko sprawdzić, czy nierówność Δn-1⁢Pβ>0 lokalnie definiuje zbiór wielomianów stabilnych.

W tym celu rozważymy następującą deformację sytuacji (1.9):

gdzie parametr α jest mały i β jest rzeczywiste. Wtedy do macierzy M dochodzi jeszcze jeden człon α2⁢M3, gdzie w ostatnich dwóch wierszach macierzy M3 niezerowy jest tylko końcowy fragment wymiaru 2×2:

Gdy α i β są niezerowe wielomian Pα,β jest stabilny; zatem Δj⁢Pα,β≠0 dla j=1,…,n-1. Policzmy granicę Δn-1⁢Pα,β przy β→0 i stałym α≠0. (Wtedy Δn⁢Pα,β→0, bo an=β2⁢bn-2→0, ale to nam nie przeszkadza.) Łatwo zobaczyć, że dla β=0 i małego niezerowego α macierz M przyjmuje postać blokową, z blokami: M11 (wymiaru (n-2)×(n-2)), M12 (wymiaru (n-2)×2), M21=0 (wymiaru 2×(n-2)) i M22=α2⁢N. Ponieważ det⁡M11=Δn-2⁢Pα,0 jest bliskie Δn-2⁢P0,0=Δn-2⁢Q>0 (z założenia indukcyjnego), więc i det⁡M11>0. Zatem

∎

Przykład 1.16 (Regulator Watta). Na Rysunku 1.5 mamy przedsta- wiony schemat regulatora Watta, stosowanego w XIX wieku w maszynach parowych. Ten regulator składa się z:

— sworznia S, który może się obracać wokół swojej osi;

— dwu kul o masie m każda, umieszczonych na ruchomych przegubach wokół sworznia S, tak, że górna obręcz jest nieruchoma (scalona z S) a dolna obręcz może przesuwać się w górę i w dół (przy czym kule odpowiednio oddalają się od sworznia i przybliżają do sworznia), ponadto pręty P1 i P2 łaczące kule z górną obręczą mają długość l;

— koła zamachowego K umieszczonego na walcu W;

— przekładni zębatej pomiędzy sworzniem S i walcem W o stosunku prędkości obrotowych n;

— dźwigni D regulującej dopływ pary do maszyny i przymocowanej do dolnej obręczy.

Na każdą kulę działają trzy siły (patrz Rusunek 1.6): siła odśrodkowa Fo⁢d⁢s´⁢r=m⁢l⁢θ2⁢sin⁡φ (skierowana prostopadle od sworznia na zewnątrz), siła ciężkości Fc⁢i⁢e⁢z˙=m⁢g (skierowana w dół) oraz tarcie Ft⁢a⁢r⁢c=-b⁢φ˙ (prostopadłe do prętów P1,2). Tutaj θ jest prędkością kątową obrotu sworznia S (i kul), φ jest kątem pomiędzy prętami P1,2 a sworzniem S, g jest przyspieszeniem ziemskim a b jest pewnym współczynnikiem. Sumując składowe tych sił prostopadłe do prętów P1,2, dostajemy następujące równanie ruchu

Przy tym zwykle zakłada się (np. w [16]), że

tj. w pewnych jednoskach długości.

W równaniu (1.10) oprócz dynamicznej zmiennej φ występuje jeszcze wielkość θ, która także zmienia się z czasem. Aby dostać jakąś zależność θ (lub jej pochodnych) od φ, uwzględnijmy najpierw jej związek

z prędkością obrotową ω walca W. Z drugiej strony, ruch koła zamachowego K opisuje się równaniem

gdzie J jest momentem bezwładności koła, natomiast po prawej stronie mamy moment siły działającej na koło. Przy tym składnik k⁢cos⁡φ jest proporcjonalny do ilości dopływu pary (k jest pewną stałą) a F jest stałą spowalniającą siłą związaną z pracą wykonywaną przez maszynę. Z powyższych rozważań wynika następujący zamknięty i autonomiczny układ równań różniczkowych dla x=φ, y=φ˙ i z=ω:

Okazuje się, że ten układ ma dokładnie jedno (fizycznie realizowalne) położenie równowagi x0,y0,z0 zadane równaniami

Ponadto macierz linearyzacji układu (1.11) w tym punkcie równowagi jest następująca

a jej wielomian charakterystyczny to

Widać, że współczynniki wielomianu P⁢λ są dodatnie, czyli jest spełniony warunek (i) Twierdzenia Raussa–Hurwiza. Dzięki Przykładowi 1.14 (dla n=3) warunkiem dostatecznym stabilności wielomian P⁢λ jest nierówność (1.8), która w tym przypadku oznacza

(Zadanie 1.28). Tutaj ν:=z0/2⁢F=ω0/2⁢F ma mechaniczną interpretację nierównomierności pracy maszyny. Zatem ostatnia nierówność przyjmuje prostą postać

Można stąd wysnuć następujące wnioski:

— zwiększanie masy m kul pogarsza stabilność;

— zmniejszanie współczynnika tarcia b pogarsza stabilność;⁴Gdy prezentowałem ten przykład kilka lat temu na wykładzie z JTRRZ, Z. Nowak poinformował nas o przypadkach, gdy w niektórych fabrykach niemieckich (gdzie dbano o wszystko) uporczywe zmniejsznie współczynnika tarcia prowadziło do awarii maszyn parowych.

— zmniejszenie momentu bezwładności J koła zamachowego pogarsza stabilność;

— podobny wpływ ma zmniejszenie współczynnika ν nierównomierności pracy maszyny.

Wyniki poprzedniego rozdziału nauczyły nas, że warunek Re⁢λj=0, dla pewnej wartości własnej macierzy linearyzacji A w punkcie równowagi autonomicznego pola wektorowego

jest warunkiem granicznym dla roztrzygnięcia problemy stabilności asymptotycznej tego punktu równowagi. Stąd pojawia się następująca

Definicja 1.17. Punkt równowagi z=0 autonomicznego pola wektorowego (1.16) nazywa się punktem hiperbolicznym, jeśli części rzeczywiste wszystkich wartości własnych macierzy A linearyzacji pola w tym punkcie są niezerowe.

Załóżmy, że punkt z=0 jest hiperboliczny i rozważmy odpowiedni układ liniowy

Wtedy istnieje naturalny rozkład przestrzeni Rn na sumę prostą podprzestrzeni stabilnej Es≃Rk i podprzestrzeni niestabilnej Eu≃Rl (od angielskich słów `stable' i `unstable'), odpowiadających wartościom własnym z Re⁢λj<0 i z Re⁢λj>0 odpowiednio:

Zauważmy, że podprzestrzenie Es i Eu można zdefiniować topologicznie w terminach liniowego potoku fazowego gA⁢zt=eA⁢t liniowego pola (1.17) (patrz Dodatek). Mianowicie

(patrz Rysunek 1.7).

Okazuje się, że analogiczna sytuacja ma miejsce w przypadku nieliniowego pola (1.16).

Twierdzenie 1.18 (Hadamard–Perron). Dla hiperbolicznego punktu równowagi z=0 pola z˙=v⁢z klasy Cr, r≥2, istnieją lokalne podrozmaitości, stabilna Ws i niestabilna Wu klasy Cr, takie, że

oraz⁵Tutaj gvt oznacza lokalny potok fazowy generowany przez pole v⁢x a Ty⁢M oznacza przestrzeń styczną do podrozmaitości M w punkcie y.

Zanim zabierzemy się za dowód tego twierdzenia, zauważmy, że analogiczne pojęcia i twierdzenia można wprowadzić dla lokalnych dyfeomeorfizmów. Po pierwsze, jeśli z=0 jest punktem równowagi pola wektorowego z˙=v⁢z=A⁢z+…, to z=0 jest punktem stałym przekształcenia potoku po czasie t=1, f⁢z=gv1⁢z, tzn.

Ponadto część liniowa ∂⁡f∂⁡z⁢z przekształcenia f w z=0 ma postać macierzy

(Zadanie 1.36). W istocie istnieje dyskretna wersja pojęcia potoku fazowego.

Definicja 1.19. Dyfeomorfizm f:M⟼M definiuje homomorfizm Z→D⁢i⁢f⁢f⁢M z grupy addytywnej liczb całkowitych do grupy dyfeomeorfizmów rozmaitości tak, że

gdzie fn=f∘…∘f (n razy dla n≥0) i f-n=f-1∘…∘f-1 (n razy dla n<0). W literaturze fn nazywa się kaskadą.

Punkt z0∈M jest punktem okresowym o okresie p≥1 dla f, jeśli fp⁢z0=z0; przy tym pod okresem będziemy rozumieli minimalny okres (tzn. fq⁢z0≠z0 dla 1≤q<p). Oczywiście punkt okresowy o okresie p=1 jest punktem stałym.

Definicja 1.20. Punkt okresowy z0 o okresie p dyfeomorfizmu f nazywa się hiperbolicznym, jeśli macierz

ma wszystkie wartości własne poza okręgiem jednostkowym,

Lemat 1.21.Jeśli z=0 jest hiperbolicznym punktem równowagi pola wektorowego v⁢z to z=0 jest też hiperbolicznym punktem stałym dyfeomorfizmu f=gvt, i odwrotnie (Zadanie 1.36).

Mamy następującą wersję twierdzenia Hadamarda–Perrona dla dyfeomorfizmów.

Twierdzenie 1.22.Jeśli punkt stały z=0lokalnego dyfeomorfizmuf:Rn,0⟼Rn,0 klasy Cr, r≥1, jest hiperboliczny, to istnieją lokalne podrozmaitości, stabilna Ws i niestabilna Wu klasy Cr, takie, że

oraz

gdzie Es i Eu są podprzestrzniamiRn rozpiętymi przez podprzestrzenie własne odpowiadające wartościom własnym macierzy B=∂⁡f∂⁡z⁢0 o module <1 i  >1 odpowiednio.

Droga do dowodu Twierdzenia Hadamarda–Perrona 1.18 wiedzie poprzez dowód Twierdzenia 1.22. Przy tym, jak się wkrótce przekonamy, metoda dowodu istnienia podrozmaitościi Ws i Wu o własnościach (1.21) klasy C0 jest dosyć naturalna: dostaje się równanie na punkt stały pewnego przekształcenia w odpowiedniej nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha. Niestety `wyciśnięcie' warunku kontrakcji tego przekształcenia jest mocno wyczerpujące. Dlatego w poniższym dowodzie ograniczymy się do wyprowadzenie odpowiednich równań i naszkicujemy ogólny schemat oszacowań. Po ścisły dowód odsyłamy czytelnika do monografii W. Szlenka [18].

Dowód Twierdzenia 1.22. Dla uproszczenia sytuacji załóżmy rozkład(1.18), czyli Rn=Es⊕Eu=x,y i przekształcenie w postaci f=f1,f2 takie, że

gdzie

oraz funkcje φ i ψ są rzędu o⁢x+y (Zadanie 1.37).

Oczywiście wektorowe funkcje φ i ψ są określone w małym otoczeniu zera. W dowodzie, który predstawiamy poniżej, stanowi to pewną techniczną przeszkodę. Dlatego dokonamy następującej zamiany

gdzie funkcja χ⁢x,y jest gładka (klasy C∞) i taka, że:

(i) χ⁢x,y≡1 w małym otoczeniu zera, x+y<ε;

(ii) χ⁢x,y≡0 poza małym otoczeniem zera, x+y>2⁢ε (Zadanie 1.38). Zatem funkcje φ⁢χ i ψ⁢χ po przedłużeniu zerem dla x+y>ε będą określone na całym Rn. Dalej oznaczamy je przez φ i ψ. Przypomnijmy, że te nowe funkcje spełniają d⁢φ⁢0,0=0, d⁢ψ⁢0,0=0 oraz φ i ψ są małe wraz z pochodnymi. Dzięki własności (i) dynamika przekształcenia f z nowymi φ i ψ w otoczeniu zera jest taka sama jak dla starego przekształcenia (1.23).

Poszukujemy podrozmaitości Ws w postaci wykresu pewnego odwzorowania (lub funkcji wektorowej) F:Es⟼Eu,

(Dowód istnienia podrozmaitości Wu przebiega zupełnie analogicznie, dlatego ograniczamy się do przypadku Ws.)

Z własności (1.21) wynika, że podrozmaitość Ws powinna być niezmiennicza względem dyfeomorfizmu f, f⁢Ws=Ws. To oznacza, że f⁢x,F⁢x=x1,F⁢x1 dla pewnych x1∈Es zależnych od x∈Es. Z (1.23) znajdujemy, że x1=A⁢x+φ⁢x,F⁢x. Zatem dostajemy warunek

który przepiszemy w następującej postaci

Traktujemy ostatnie równanie jako równanie punktu stałego F=T⁢F dla nieliniowego operatora T definiowanego przez prawą stronę tej równości.

Zakładając, że funkcje φ i ψ są klasy C1, naturalne jest wprowadzić przestrzeń Banacha X=C0⁢Es,Eu odwzorowań ciągłych z normą supremum. Nietrudno też pokazać, że przekształcenie T przeprowadza X w siebie. Aby zastosować zasadę Banacha dla odwzorowań zwężających, należałoby jeszcze udowodnić warunek kontrakcji, czyli oszacować normę różnicy T⁢F1-T⁢F2. Tutaj pojawia się problem, bo z (1.25) dostajemy następującą nierówność:

(Zadanie 1.39). Ponieważ B-1<1 (patrz (1.24)) oraz ψy′=∂⁡ψ/∂⁡y i ∂⁡φ/∂⁡y są małe (patrz powyżej), to wypada tylko umieć oszacować normę pochodnej F1′ odwzorowania F1. Ale, jeśli wybieramy F1 i F2 dowolnie z przestrzni X, to F1 będzie tylko ciągłe, a jego pochodna może być nieograniczona.

Jest wyjście z tego impasu. Przypomnijmy, że w dowodzie twierdzenia Banacha wybiera się F0∈X, a następnie punkty Fn=Tn⁢F0 powinny zbiegać do punktu stałego. Chodzi o to aby wybrać wektorową funkcję F0 gładką i pokazać, że funkcje Fn też są gładkie z odpowiednio ograniczonymi normami. Nietrudno zgadnąć, że

jest dibrym wyborem. Łatwo też widać ze wzoru (1.24), że Fn⁢x są gładkie, np. F1⁢x=-B-1⁢ψ⁢x,0.

Trzeba tylko pokazać, że funkcje Fn⁢x są jednakowo ciągłe. To sprowadza się do oszacowania normy pochodnej T⁢F′⁢x przy założeniu, ograniczoności normy F′⁢x. Mamy

gdzie pominęliśmy argumenty funkcji występujących po prawej stronnie tej równości. Zatem norma supremum szacuje się następująco:

gdzie a jest małe, b<1 i c>0. Stąd wynika, że, jeśli F′ jest dostatecznie mała, F′<d (dla odpowiedniego d), to i T⁢F′<d (Zadanie 1.40). To daje równomierne oszacowanie dla norm Fn′ ciągu funkcji Fn.