Zamknięte krzywe fazowe są też nazywane trajektoriami okresowymi lub orbitami okresowymi. W Przykładzie 2.2 występują one w całych rodzinach, ale istnieją też trajektorie okresowe izolowane.

Definicja 2.3.Cyklem granicznym autonomicznego pola wektorowego nazywamy izolowaną zamkniętą krzywą fazową tego pola.

Punkt równowagi takiego pola, który jest otoczony nieizolowanymi zamkniętymi krzywymi fazowymi, nazywa się centrum.

Przykład 2.4. Rozważmy układ

Wygodnie jest badać ten układ w biegunowym układzie współrzędnych r,φ

(Zadanie 2.46). Widać, że rozwiązania startujące z r=r0∈0,1 rosną z czasem do r=1 a rozwiązania startujące z r0>1 maleją do r=1. Rozwiązanie startujące z r0=1 jest stałe i odpowiada izolowanemu okresowemu rozwiązaniu na płaszczyźnie X⁢Y (patrz Rysunek 2.2).

Definicja 2.5. Niech γ będzie zamkniętą krzywą fazową pewnego pola wektorowego w M. Weźmy kiełek S (od `section' czyli cięcie) hiperpłaszczyzny transwersalnej (tj. pod niezerowym kątem) do γ w pewnym punkcie p0∈γ. Z punktów x0∈S startuje rozwiązanie φ⁢t;x0, które po pewnym czasie T⁢x0 znowu trafia w S, φ⁢T⁢x0;x0∈S. Powstające w ten sposób odwzorowanie f:S⟼S (dyfeomorfizm z odpowiednią dziedziną):

nazywa się przekształceniem powrotu Poincarégo (patrz Rysunek 2.3).

W tej definicji występuje znaczna dowolność związana z wyborem cięcia S. Okazuje się, że to nie stanowi wielkiego problemu bo, jeśli f′:S′⟼S′ jest przekształceniem powrotu związanym z innym cięciem S′, to zachodzi następujący

Lemat 2.6.Dyfeomorfizmy f i f′ są sprzężone przy pomocy pewnego dyfeomorfizmu tej samej klasy gładkości co f if′.

Dowód. Niech f1:S⟼S′ i f2:S′⟼S będą naturalnymi przekształceniami `wzdłuż rozwiązań. Mamy f=f2∘f1 i f′=f1∘f2. ∎

Cięcie S,p0 możemy utożsamić z Rn-1,0, gdzie n=dim⁡M, i przekształcenie powrotu definiuje nam kiełek dyfeomorfizmu f:Rn-1,0⟼Rn-1,0 (bo f⁢p0=p0) postaci

(Zadanie 2.47).

Definicja 2.7. Zamknięta krzywa fazowa γ jest hiperboliczna jeśli punkt stały z=0 powyższgo dyfeomorfizmu jest hiperboliczny, tzn. λj≠1 dla wartości własnych macierzy A.

Następujące dwa stwierdzenia są prostymi analogami Twierdzenia Lapunowa i Twierdzenia Hadamarda–Perrona.

Stwierdzenie 2.8.Jeśli λj<1 dla wszystkich wartości własnych to krzywa γ jest asymptotycznie stabilna, tzn. dowolne rozwiązanie φ⁢t startujące dostatecznie blisko γ ma własność, że distφ⁢t,γ→0 przy t→∞.

Stwierdzenie 2.9.Jeśli krzywa γ jest hiperboliczna, to istnieją podrozmaitości Ws (stabilna) i Wu (niestabilna) takie, że distgt⁢x,γ→0 dla x∈Ws i t→∞ oraz distgt⁢y,γ→0 dla y∈Wu it→-∞.

Bardziej interesujące chyba jest następujące

Stwierdzenie 2.10.Gdy n=dim⁡M=2 i zarówno sama rozmaitość jak i pole wektorowe v⁢x są analityczne i γ jest zamkniętą krzywą fazową pola v, to albo γ jest cyklem granicznym albo istnieje (jednoznaczna) całka pierwsza w otoczeniu krzywejγ.

Dowód. W istocie tutaj trzeba udowodnić, że rozwiązania okresowe pola v nie mogą się akumulować na krzywej γ. To jest równoważne własności, że przekształcenie powrotu Poincarégo f:R,0⟼R,0 ma albo izolowany punkt stały w z=0 albo f⁢z≡z. Ale to wynika analityczności funkcji f⁢z-z (przy założeniu, że cięcie S jest analityczne) i standardowych własności funkcji analitycznych.

W przypadku f=i⁢d wszystkie krzywe fazowe w otoczeniu γ są zamknięte i są one poziomicami pewnej całki pierwszej F dla pola wektorowego (Rysunek 2.4). ∎

To stwierdzenie ma analog dla punktu osobliwego x=y=0 analitycznego pola wektorowego w przypadku, gdy część liniowa pola ma nierzeczywiste wartości własne, tj.

Stwierdzenie 2.11.W przypadku analitycznego pola typu (2.3) na płaszczyźnie zachodzi jedna z dwóch możliwości: albo punkt 0,0 jest ogniskiem (stabilnym lub niestabilnym) albo istnieje (jednoznaczna) całka pierwsza w otoczeniu tego punktu (czyli punkt 0,0 jest centrum).

Dowód. Trzeba przejść do biegunowego układu współrzędnych r,φ. Dostaniemy wtedy

gdzie A⁢r,φ i B⁢r,φ rozwijają się w zbieżny szeregi potęgowe od r ze współczynnikami będącymi wielomianami trygonometrycznymi od φ (Zadanie 2.48). Krzywe fazowe tego układu spełniają równanie różniczkowe

Jego rozwiązania r=ψ⁢φ;r0 takie, że ψ⁢0;r0=r0, zadają przekształcenie

które jest analogiem przekształcenia powrotu Poincarégo. W istocie jest to przekształcenie powrotu dla pola (2.3) z półosi S+=x,0:x≥0≃R+ w siebie (patrz Rysunek 2.5). Ze zbieżności szeregów reprezentujących A i B wynika, że przekształcenie f jest analityczne.

Punkty stałe dyfeomorfizmu f odpowiadają zamkniętym krzywym fazowym pola (2.3). Tak jak i w dowodzie poprzedniego stwierdzenia, albo r=0 jest izolowanym punktem stałym dla f albo f=i⁢d i wtedy wszystkie krzywe fazowe w otoczeniu x=y=0 są zamknięte. ∎

Przekształcenie powrotu Poincarégo f rozwija się w szereg

Łatwo sprawdzić, że a1=exp⁡2⁢π⁢α/ω (Zadanie 2.49).

Lemat 2.12.Jeśli a1=1 to a2=0 i, ogólniej, jeśli a1-1=a2=…=a2⁢k-1=0 toa2⁢k=0.

Ten lemat jest konsekwencją Twierdzenia Poincarégo–Dulaca (dowodzonego w Rozdziale 3.3.1) i dlatego go tutaj nie dowodzimy. Słuchacze mogą dowodzić go wykorzystując pewne własności symetrii (względem zamiany φ⟼φ+π) funkcji A i B w (2.4).

Stąd wynika, że jeśli a1-1=a3=a5=…=a2⁢k-1=0 i a2⁢k+1>0 (odpowiednio <0) to punkt x=y=0 jest ogniskiem stabilnym (odpowiednio niestabilnym).

Definicja 2.13. Wspólczynniki

nazywają się liczbami ogniskowymi Lapunowa–Poincarégo.

Uwaga 2.14. Liczby ogniskowe są ważnie przy badaniu tzw. małych cykli granicznych, tzn. które rodzą się z ogniska w przypadku, gdy pole wektorowe zależy od pewnych parametrów. Jednak są one trudne do policzenia. Poniżej podaję pewien sposób ich wyliczenia; ten sposób w istocie był wykorzystywany przez Lapunowa.

Zamiast współrzędnych rzeczywistych będziemy używać współrzędnych zespolonych z=x+i⁢y i z¯=x-i⁢y, i=-1, tak, że pole wektorowe zapisuje się w postaci jednego równania zespolonego

gdzie A,B,C,D,E,F,G,… są zespolonymi stałymi. Zauważmy, że część liniowa jest tu znacznie uproszczona; w szczególnoości, c1=0.

Będziemy poszukiwać całki pierwszej dla równania (2.7) w postaci

gdzie warunek rzeczywistości H prowadzi do warunków aj⁢i=a¯i⁢j. Oczywiście, na ogół nie będzie całki pierwszej i przeszkody do tego są związane z liczbami ogniskowymi Lapunowa–Poincarégo.

Oczekiwana własność H˙≡0 prowadzi do następującego układu równań algebraicznych

dla współczynników wielomianu H przy wyrazach sześciennych. Znajdujemy a30=-i⁢C¯/3, a21=-i⁢A+B¯ i H=z⁢z¯+i⁢C⁢z¯3-C¯⁢z3/3+i⁢A¯+B⁢z⁢z¯2-A+B¯⁢z2⁢z¯+… (tu nie ma przeszkód). Ale dla wyrazu przy z2⁢z¯2, po zróżniczkowaniu funkcji (2.8), dostajemy

Widzimy, że aby H˙=0 (modulo wyrazy rzędu piątego), musi zachodzić

spodziewamy się, że liczba ogniskowa c3 jest proporcjonalna do Im⁢A⁢B+Re⁢E.

Aby znaleźć stałą proporcjonalności, zauważmy, że H=r2+O⁢r3, H˙=2⁢Im⁢A⁢B+Re⁢E⁢r4+O⁢r5 oraz φ˙=1+O⁢r. Zatem

To daje

(Zadanie 2.50).

Problem badania cykli granicznych okazuje się bardzo trudny. Swiadczy o tym następujący problem nierozwiązany do dziś.

Hipoteza 2.15 (Szesnasty Problem Hilberta). ⁷W istocie jest to druga część 16-go Problemu Hilberta. Pierwsza część dotyczy liczby i położenia składowych spójnych (tzw. owali) dla rzeczywistych krzywych algebraicznych postaci F⁢x,y=0. Tutaj problem jest w znacznym stopniu rozwiązany (z odpowiednimi uogólnieniami). Podać oszacowanie w terminach stopni wielomianów P i Q dla liczby cykli granicznych wielomianowego pola wektorowego postaci

Uwaga 2.16. Wiadomo, że liczba cykli granicznych dla pojedynczego pola postaci (2.10) jest skończona (Yu. Ilyashenko i J. Ecalle), ale nie wiadomo czy istnieje jej ograniczenie w terminach n=max⁡deg⁡P,deg⁡Q. Są przykłady pól kwadratowych z 4 cyklami granicznymi (Zadanie 2.51).

Dlatego ważne są konkretne metody pokazujące istnienie cykli granicznych lub ich brak. Prezentowane poniżej kryterium Poincarégo–Bendixsona gwarantuje nam istnienie przynajmniej jednego cyklu granicznego pod warunkiem, że pole wektorowe jest analityczne (patrz Stwierdzenie 2.10).

Załóżmy, że mamy pole wektorowe v⁢x na płaszczyźnie oraz obszar R⊂R2 typu pierścienia (jak na Rysunku 2.6) o następujących własnościach:

(i) pole v⁢x nie ma punktów równowagi w R,

(ii) pole v⁢x na brzegu ∂⁡R pierścienia R jest skierowane do wnętrza pierścienia.

Twierdzenie 2.17 (Poincaré–Bendixson). Przy tych założeniach wewnątrz obszaru R istnieje co najmniej jedna zamknięta krzywa fazowa pola v.

W dowodzie tego twierdzenia wykorzystuje się następujące ważne pojęcie w Układach Dynamicznych.

Definicja 2.18.Zbiorem ω-granicznym punktux, oznaczanym przez ω⁢x, względem potoku fazowego gt (lub kaskady {fn}) nazywamy zbiór punktów skupienia dodatniej orbity tego punktu, czyli

(lub ω⁢x=y:∃nk→∞⁢ taki że ⁢fnk⁢x→y. (Zadanie 2.52).

W przypadku punktów skupienia ujemnej orbity punktu x (tzn. gdy tk→-∞ lub nk→-∞) mówi się o zbiorze α-granicznym punktu x.

Oczywiście przyciągający cykl graniczny jest zbiorem ω-granicznym dla dowolnego punktu leżącego blisko tego cyklu. Istnieje wersja Twierdzenia Poincarégo–Bendixsona używająca pojęcia zbioru ω-granicznego dla potoku fazowego generowanego przez pole wektorowego v.

Twierdzenie 2.19.Jeśli dla pola wektorowego v wR2i punktu x zbiór ω⁢x jest:

(a) ograniczony i

(b) nie zawiera punktów równowagi pola, to ω⁢x jest zamkniętą krzywą fazową tego pola.

Dowód. Niech y∈ω⁢x. Pokażemy, że trajektoria pola przechodząca przez y jest zamknięta.

W tym celu wybierzmy lokalne cięcie (odcinek) S prostopadłe do v⁢y w y. Rozważmy punkty przecięcia xk=gvtk⁢x, tk+1>tk, orbity gvt⁢xt>0 z cięciem S. Z założenia takich punktów jest nieskończnie wiele i możemy założyć, że ciąg xk jest monotoniczny na S (tu korzystamy z faktu, że jesteśmy na płaszczyźnie) (Zadanie 2.53). Zatem mamy sytuację jak na Rysunku 2.7. Zauważmy jeszcze, że cała orbita w przód Γ⁢y=gt⁢y:t≥0 punktu y też leży w zbiorze ω⁢x; zatem mamy

Oczywiście ω⁢y jest zbiorem domkniętym, ograniczonym i bez punktów równowagi pola v.

Przypuśćmy, że krzywa Γ⁢y nie jest zamkniętą krzywą fazową. Wtedy ω⁢y≠Γ⁢y i istnieje punkt skupienia z∈ω⁢y∖Γ⁢y trajektorii Γ⁢y. Znowu możemy wziąć cięcie S1 prostopadłe do v⁢z w z i (ewentualnie zamieniając y którymś z punktów yk przecięcia Γ⁢y z S1) uzyskamy sytuację jak na Rysunku 2.8.

Teraz deformując nieznacznie kawałek trajektorii Γ⁢y (od y do y1) tak, aby nowa krzywa była ustawiona do pola v pod kątem, dostaje się obszar Ω⊂R2 do którego pole `wchodzi'. Ale to daje sprzeczność, bo musi zachodzić Γ⁢y⊂Ω, a stąd, że

zauważmy, że ω⁢x musi zawierać też punkty orbity gt⁢y:t<0 punktu y spoza Ω. ∎

Dowód Twierdzenia 2.17. Bierzemy dowolny punkt x∈∂⁡R. Wtedy jego zbiór ω-graniczny spełnia założenia Twierdzenia 2.19. ∎

Przykład 2.20.⁸Ten przykład pochodzi z monografii “Modern Geometry” Dubrovina, Novikova i Fomenko. Niestety tam nie ma pewnych istotnych detali, które uzupełniłem. Ponadto układ Liénarda zwykle przyjmuje formy x˙=y, y˙=-f⁢x⁢y-g⁢x lub x˙=y+F⁢x,y˙=-g⁢x. Układ (2.11) po zamianie x z y sprowadza się do drugiej z nich.    Rozważmy następujący przypadek tzw. układu Liénarda

gdzie F⁢y=2⁢y/1-4⁢y2; w istocie chodzi o to, aby F była nieparzysta, F′⁢0>1 i F⁢±∞=±1.

Zauważmy, że jedyny punkt równowagi x=y=0 jest ogniskiemniestabilnym (z wartościami własnymi 12⁢1±i⁢3. Wobec tego wybieramy wewnętrzny brzeg pierścienia R (aby zastosować Twierdzenie 2.17) w postaci

dla małego r>0 (Zadanie 2.54).

Chciałoby się wybrać zewnętrzny brzeg w postaci dużego okręgu x2+y2=R2. Niestety tożsamość

pokazuje, że w obszarze {(x,y):F(y)/y>1}={-y0<y<y0} funkcja `kwadratu promienia' R2=x2+y2 zwiększa swoją wartość wzłuż trajektorii pola. Szczęśliwie ten zły obszar jest mały.

Aby wszystko uściślić, rozważmy cztery obszary płaszczyzny (I, II, III, IV), w których badamy dd⁢t⁢R2. Są one przedstawione na Rysunku 2.9, gdzie na granicy pomiędzy I i II mamy y=y0 i na granicach pomiędzy II i III oraz pomiędzy III i IV mamy y=-y0.

Startujemy z punktu x0,y0 takiego, że R=R0 jest duże i y=y0. Wchodzimy do obszaru I, gdzie R˙<0. Tutaj układ jest bliski układowi liniowemu x˙=y, y˙=-x-y+1 i nietrudno jest oszacować, że zmiana ΔI⁢R promienia R w obszarze I jest postaci

gdzie C1>0 i nie zależy od R0.

Wkraczamy do obszaru II z promieniem R1≈1-C1⁢R0. Jest to duży promień a zatem i x jest duże (bo y jest ograniczone). Tutaj krzywe fazowe spełniają równanie

i mamay oszacowanie

dla pewnej stałej C2 niezależnej od R0.

Analogicznie jak w obszarze I dostajemy ΔI⁢I⁢I⁢R=-C1⁢R2+O⁢1 (gdzie R2=R1+O(1)) i, analogicznie jak w obszarze II, dostajemy ΔI⁢V⁢R<C2. Sumując te przyrosty dostajemy

dla stałej C3 niezależnej od R0.

Zatem promień R średnio maleje i już teraz łatwo skonstruować zewnętrzny brzeg pierścienia R; wystarczy lekko przekrzywić trajektorię punktu x0,y0 i polączyć końce odcinkiem.

Słuchacze mogą zapytać, dlaczego w twierdzeniu Poincarégo–Bendixsona obszar R jest pierścieniem; może wystarczyłoby, aby był ograniczony i jednospójny (tj. bez dziury w środku). Otóż nie, i powód leży w następującym twierdzeniu.

Twierdzenie 2.21.Wewnątrz obszaru ograniczonego przez zamkniętą krzywą fazową pola wektorowego na płaszczyźnie istnieje co najmniej jeden punkt osobliwy tego pola.

Dowód tego wyniku używa metod topologicznych, a dokładniej, pojęcia indeksu.

Definicja 2.22. Niech v⁢x będzie polem wektorowym w R2 i niech C⊂R2 będzie zorientowaną krzywą taką, że

Indeksem iC⁢v pola v wzdłuż krzywejC mazywamy liczbę obrotów wektora vC.

Jeśli x0 jest izolowanym punktem osobliwym pola v, to indeksem ix0⁢v pola v w punkcie x0 nazywamy indeks iC⁢x0,ε⁢v pola v wzdłuż okręgu C⁢x0,ε wokół x0 o dostatecznie małym promieniu ε (i zorientowanego przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, tj. dodatnio).⁹Pojęcie indeksu izolowanego punktu osobliwego x0 pola wektorowego v⁢x uogólnia się do przypadku pola w Rn. Jest to stopień odwzorowania x⟼v⁢x/v⁢x z małej sfery wokół x0 do Sn-1.

Przykłady 2.23. Dla pola v=x⁢∂x+y⁢∂y mamy i0,0⁢v=1, dla pola v=x⁢∂x-y⁢∂y mamay i0,0⁢v=-1 a dla pola v=x2⁢∂x+y⁢∂y mamay i0,0⁢v=0, patrz Rysunek 2.10 (Zadania 2.55 i 2.56).

Stwierdzenie 2.24.Dla dodatnio zorientowanej krzywej C mamy

gdzie sumowanie biegnie po punktach osobliwych pola wewnątrz obszaru ograniczonego przez krzywąC.

Dowód. Zauważmy, że odwzorowanie

jest funkcją ciągłą na przestrzeni par pole wektorowe, krzywa spełniających warunek (2.12). Ponieważ zbiorem wartości tej funkcji są liczby całkowite, to indeks jest lokalnie stały. W szczególności nie zależy od deformacji pola i deformacji krzywej (w klasie (2.12); to uzasadnia definicję indeksu w punkcie.

Możemy zdeformować krzywą do krzywej C′ złożonej z układu pętli wokół punktów równowagi xj i układu odcinków łączących te pętle z punktem bazowym. Ponieważ obroty pola wzdłuż odcinków znoszą sie parami to iC1⁢v jest równe sumie obrotów pola wokół punktów osobliwych (patrz Rysunek 2.11). ∎

Lemat 2.25.Jeśli C jest zamkniętą przywą fazową pola v, toiC⁢v=1.

Dowód. Korzystając z własności niezmienniczości indeksu względem deformacji (w klasie (2.12)) możemy zdeformować krzywą i pole tak, aby otrzymać C={x2+y2=1} (z dodatnią lub ujemną orientacją) i pole v będzie styczne do tej krzywej. Łatwo widać, że kąt wektora v⁢x,y na C jest `opóźniony' lub `przyspieszony' względem kątu punktu x,y o π/2. ∎

Następujący wniosek uściśla Twierdzenie 2.21.

Wniosek 2.26. Jeśliγ⊂R2 jest zamkniętą krzywą fazową pola v⁢x to

gdzie sumujemy po punktach równowagi pola wewnątrz obszaru zakreślonego przez krzywąγ.

Rozważmy pole wektorowe v⁢x, x∈R2, z zamkniętą krzywą fazową γ, czyli trajektorią okresową x=φ0⁢t o okresie T. Rozważmy cięcie S (prostopadłe do γ w x0) i odpowiednie przekształcenie powrotu Poincarégo f:S⟼S. Utożsamiając S z R,0 mamy

Definicja 2.27. Liczba μ=ln⁡λ nazywa się wykładnikiem charakterystycznym orbity okresowej γ. (Zadanie 2.58).

Twierdzenie 2.28 (Dulac). Mamy

gdzie div ⁢v⁢x oznacza dywergencją pola wektorowego v⁢x (patrz wzór(6.29) poniżej).

Dowód. Rozważmy równanie w wariacjach względem warunków początkowych wzdłuż rozwiązania φ0⁢t

(patrz wzór (6.13)). Wybierzmy dwa warunki początkowe dla tego równania: y⁢0=y1, jako jednostkowy wektor styczny do γ w x0, i y⁢0=y2, jako jednostkowy wektor prostopadły do γ w x0. One odpowiadają dwóm typom zaburzenia warunku początkowego x⁢0=x0 dla równania x˙=v(x): x⁢0=x0+ε⁢y1 i x⁢0=x0+ε⁢y2.

Zgodnie ze wzorem (6.28) rozwiązania y=ψ1⁢t i y=ψ2⁢t spełniające powyższe warunki początkowe rozpinają równoległoboki, których pole jest równe Wrońskianowi W⁢t=det⁡ψ1⁢t,ψ2⁢t tych rozwiązań. Dla t=T mamy ψ1⁢T=ψ1⁢0=y1, bo x=φ0⁢t+ε⁢ψ1⁢t+O⁢ε2 w istocie reprezentuje rozwiązanie okresowe φ0⁢t z nieco przesuniętym punktem początkowym (na γ). Natomiast ψ2⁢T jest pewnym wektorem zawiązanym z wartością rozwiązania x=φ0⁢t+ε⁢ψ2⁢t+O⁢ε3 dla t=T, które nie musi nawet trafić w cięcie S (patrz Rysunek 2.12). Ale rzut ε⁢ψ2⁢T,y2⁢y2 wektora ε⁢ψ2⁢T na S ma naturalną interpretację f⁢ε⁢y1+O⁢ε2, gdzie f jest przekształceniem powrotu.

Zauważmy teraz, że równoległobok rozpięty przez wektory ψ1⁢T=y1 i ψ2⁢T ma takie samo pole W⁢T jak długość rzutu wektora ψ2⁢T na S. To oznacza, że

Ale Twierdzenie 6.23, czyli W˙=tr⁢A⁢t⋅W z tr⁢A⁢t=div⁢⁢v⁢φ0⁢t, pozwala wyliczyć W. Ponieważ ⁢W⁢0=1, to mamy W⁢T=exp⁢∫0Ttr⁢A⁢t⁢d⁢t. ∎

Twierdzenie Dulaca okazuje się być użyteczne przy pokazywaniu braku cykli granicznych dla pewnych pól wektorowych. Zilustrujemy to na następującum przykładzie.

Przykład 2.29 (Układ Jouanolou). Ma on następującą postać

Zgodnie z Twierdzeniem 2.21 każdy cykl graniczny tego pola powinien okrążać przynajmniej jeden punkt osobliwy. Równania punktów osobliwych, czyli y=x-s i x-ss=xs+1, prowadzą do xs2+s+1=1. Zatem jest tylko jeden (rzeczywisty) punkt równowagi x=y=1.

Część liniowa układu w tym punkcie zadaje się macierzą

z równaniem charakterystycznym λ2+s+2⁢λ+s2+s+1=0. Zatem punkt 1,1 jest stabilnym ogniskiem.

Przypuśćmy, że γ jest cyklem granicznym wokół 1,1 i najbliższym dla tego punktu (wszystkie cykle graniczne tworzą `gniazdo' wokół 1,1). Łatwo widać, że γ musi być niestabilny (przynajmniej od wewnątrz).

Z drugiej strony, dywergencja pola Jouanolou wynosi

Widać, że jeśli s jest parzyste, to div<0 (dla prawie wszystkich punktów krzywej fazowej) i Twierdzenie Dulaca implikuje, że wykładnik charakterystyczny cyklu γ jest ujemny (sprzeczność z niestabilnością γ).

Jeśli s jest nieparzyste to ten argument również pracuje, tylko trzeba najpierw pokazać, że γ musi leżeć w pierwszej ćwiartce, patrz Rysunek 2.13 (Zadanie 2.59).

Twierdzenie Dulaca ma jeszcze inne zastosowania.

Definicja 2.30. Funkcja Φ:Ω⟼R+, Ω⊂R2, nazywa się funkcją Dulaca dla pola wektorowego v, jeśli div⁢⁢Φ⁢v ma stały znak w obszarze Ω.

Twierdzenie 2.31.Jeśli dla pola wektorowego v istnieje funkcja Dulaca Φ w obszarze Ω, to każdy cykl graniczny pola leżący w Ω jest stabiln,y gdy div⁢⁢Φ⁢v<0 (odpowiednio niestabilny, gdydiv(Φv)>0).

Dowód. Pomnożenie pola wektorowego przez funkcję dodatnią nie zmienia portretu fazowego tego pola. Zmienia się tylko prędkość punktu (tj. rozwiązania) wzdłuż krzywej fazowej. ∎

Uwaga 2.32. Można w Twierdzeniu 2.31 dopuścić nieostre nierówności div⁢⁢Φ⁢v≥0 lub div⁢⁢Φ⁢v≥0. Ale wtedy trzeba wykluczyć możliwość, że ewentualny cykl jest całkowicie zawarty w krzywej div⁢⁢Φ⁢v=0.

Przykład 2.33. (Uogólniony układ Lotki–Volterry). Jest to układ opisujący zmianę populacji drapieżników i ofiar (np. wilków i zajęcy)

(z A⁢B⁢C⁢D≠0) w obszarze x,y>0. Równania A⁢y=B⁢1-x-y i C⁢1-x-y=D⁢x definiują punkt osobliwy x0,y0, o którym założymy, że leży w pierwszej ćwiartce i że wyznacznik macierzy części liniowej w x0,y0 jest dodatni (tylko wtedy indeks pola w x0,y0 wynosi 1 i jest szansa na cykl graniczny). Twierdzę, że:

jeśli A=D to mamy centrum w x0,y0 a jeśli A≠D to nie ma rozwiązań okresowych.

Aby to potwierdzić, rozważmy następującą kandydatkę na funkcję Dulaca

Sprawdzamy (z z=1-x-y)):

Jeśli A=D, to pole Φ⁢v jest hamiltonowskie i ma całkę pierwszą (parz Rysunek 2.14).

Jeśli A-D≠0, to Φ jest funkcją Dulaca w obszarze z>0 lub w obszarze z<0. Ale tożsamość

(przy A-D≠0) implikuje, że ewentualny cykl graniczny nie może przechodzić przez odcinek x+y=1, x,y>0. Dalsze rozumowanie przebiega tak samo jak w przykładzie z układem Jouanolou.

Przykład 2.34 (Równanie van der Pola). Jest to następujący układ

szczególny przypadek układu Liénarda. Pojawia się on w elektrotechnice, dla układu składającego się z kondensatora o pojemności C, cewki o indukcyjności L i pewnego nieliniowego elementu (typu diody) zastępującego opornik. W przypadku układu L⁢C⁢R (cewka, kondensator, opornik) bilans różnic potencjałów daje równanie L⁢I¨+R⁢I˙+I/C=0 na natężenie prądu I w obwodzie; w naszym przypadku człon dd⁢t⁢R⁢I jest zastępowany członem dd⁢t⁢R⁢I3/3-I, czyli

to jest właśnie oryginalne równanie van der Pola. Po zamianie t⟼α⁢t=C⁢L⁢t i podstawieniu  x=I i y=I˙ dostajemy powyższy układ van der Pola z a=R/α. Po więcej szczegółów odsyłam do książki D. Arrowsmitha and K. Place'a [6].

Udowodnimy, że:

układ van der Pola posiada dokładnie jeden cykl graniczny.

Po pierwsze zauważmy, że 0,0 jest jedynym punktem osobliwym z macierzą części liniowej 01-1a, czyli, że Re⁢λ1,2>0 i ten punkt jest niestabilny (ognisko lub węzeł).

Rozważmy funkcję

gdzie

a stała c>0 i jest dostatecznie mała. Interesuje nasz krzywa f⁢x,y=0, która we współrzędnych x,y1 ma postać y1=±g⁢x2+c. Z własności: g⁢0=0; g′⁢0<0 dla 0<a<2; g′⁢0>0 dla a>2; g′⁢0=0 i g′′⁢0<0 gdy a=2, możemy odtworzyć wykres funkcji g⁢z; jest on przedstawiony na Rysunku 2.15. Stąd wynika też kształt krzywej f=0 na płaszczyźnie zmiennych x,y1 (przedstawiony na Rysunku 2.16). (Na płaszczyźnie zmiennych x,y ta krzywa jest w pewnym sensie `kopnięta'). Zauważmy, że krzywa f=0 ma trzy składowe, z których jedna okrąża punkt 0,0.

Okazuje się, że funkcja

jest funkcją Dulaca dla układu van der Pola w obszarze f>0.

Rzeczywiście, mamy

gdzie

i M⁢x<0 dla 0<c<8/3 (Zadanie 2.60).

Stąd otrzymujemy dwa wnioski:

(a) f˙f=0>0, tzn. pole `wchodzi' do obszaru f>0;

(b) W obszarze f>0 może być co najwyżej jeden cykl graniczny, przy tym stabilny.

Pozostaje jeszcze udowodnić, że w obszarze f>0 istnieje jakiś cykl graniczny. W tym celu skonstruujemy pierścień R spełniający założenia Twierdzenia Poincarégo–Bendixsona. Wewnętrzny brzeg tego pierścienia to mała zamknięta składowa krzywej f=0 wokół 0,0. Brzeg zewnętrzny będzie składać się z kawałków nieograniczonych składowych krzywej f=0 i z `poprawionych' łuków okręgu x2+y2=R2 dla dużego promienia R.

Z własności (a) wynika, że na kawałkach brzegu w f=0 pole wchodzi do R. Dalej, z

wynika, że R˙<0 poza pasem x≤1. Ale w tym pasie mamy

czyli przyrost y (a tym samym i przyrost R) jest ograniczony przez stałą niezależną od R. Teraz już łatwo poprawić odpowiednie kawałki zewnętrznego brzegu pierścienia R, aby tam też pole wchodziło do R (patrz Przykład 2.20).

Powyższy dowód jednoznaczności cyklu granicznego pochodzi od L. Czerkasa z Mińska Białoruskiego. W Zadaniu 4.17 poniżej proponujemy inny dowód jednoznaczności cyklu granicznego w przypadku, gdy parametr a>0 jest mały.

Jak już było powiedziane w Definicji 2.1 portret fazowy pola wektorowego v⁢x na płaszczyźnie to rozbicie płaszczyzny R2 na krzywe fazowe tego pola. Elementami portretu fazowego są: punkty osobliwe, zamknięte krzywe fazowe, separatrysy punktów osobliwych i zachowanie na nieskończoności. Pokrótce je kolejno omówimy.