Dla autonomicznego pola wektorowego w R2 portret fazowy i ruch jest w pełni zdeterminowany; to zostało opisane w Rozddziale 2.4. Ale gdy przestrzeń fazowa nie jest tak prosta, to mogą się zdarzać ciekawe zjawiska.

Na przykład, stałe pole wektorowe

na torusie T2=φ1,φ2 może mieć gęste krzywe fazowe, tj. gdy ω2/ω1 jest niewymierne. Wtedy krzywe fazowe są obmotkami (jak na Rysunku 4.1 powyżej) a ruch jest prawie okresowy, co oznacza, że rozwiązanie powraca z grubsza okresowo do każdego małego obszaru przestrzeni fazowej. Ponadto, z każdego małego obszaru można dojść do dowolnego innego małego obszaru. Taka własność nazywa się tranzytywnością w teorii Układów Dynamicznych. Ruch nie jest w pełni deterministyczny, dlatego że po długim czasie trudno powiedzieć, gdzie znajduje się ewoluująca cząstka. Jednak nie jest to ruch chaotyczny, ponieważ, jeśli na początku mieliśmy skupiony obszar przestrzeni fazowej, to ten obszar zachowuje swój skupiony kształt w trakcie ewolucji. Tymczasem w ruchu chaotycznym taka komórka zaczyna `rozpływać się' w przestrzeni fazowej.

Przykład 5.1 (Tranzytywność i chaos). Dobrym przykładem sytuacji obrazującej różnicę pomiędzy tranzytywnością a chaosem są dwie szklanki z wodą takie, że w jedną wpuszczono małą kropelkę oliwy a w drugą wlano taką samą ilość soku (Rysunek 5.1). Kropelka oliwy będzie dryfować, odwiedzająć każde miejsce w wodzie, a sok zacznie się rozpuszczać, zapełniając równomiernie cały obszar wody (ta własność jest też nazywana mieszaniem).

Chyba najprostszymi układami różniczkowymi, w których można zaobserwować chaos są okresowe nieautonomiczne układy postaci

gdzie M jest 2-wymiarową rozmaitością. Jak wiemy, taki układ można potraktować jako autonomiczny w rozszerzonej przestrzeni fazowej S1×M. Wtedy wygodnie jest pracować z przekształceniem monodromi (po okresie)

gdzie gst jest 2-parametrową rodziną dyfeomorfizmów definiujących ewolucję. W terminach rozszerzonej przestrzeni fazowej jest to przekształcenie powrotu na hiperpowierzchnię 0×M.

W monografii J. Guckenheimera i P. Holmes'a [11] jest zanalizowany przykład układu Duffinga z siłą zewnętrzną

My zajmiemy się nieco innym przykładem.

Przykład 5.2 (Huśtawka). Jest to równanie

gdzie ε⁢cos⁡ω⁢t jest małą okresową siłą zewnętrzną, z okresem T=2⁢π/ω. Można to interpretować jak równanie huśtawki z dziewczynką, która wykonuje okresowe przykucnięcia (patrz Rysunek 5.2). Można też potraktować ten układ jako podukład 4-wymiarowego układu autonomicznego

Skupmy się jednak na rozszerzonej przestrzeni fazowej S1×M, gdzie M=S1×R jest cylindrem i mamy

Dla sytuacji niezaburzonej (ε=0) portret fazowy jest znany (patrz Rysunek 2.1 powyżej); my go przedstawiamy na Rysunku 5.3, gdzie górna i dolna krawędzie walca są przedstawione jako koncentryczne przerywane okręgi. Nas interesuje, co będzie się działo z pętlą separatrys Γ punktu siodłowego x=π, y=0.

Gdyby zaburzenie było niezależne od czasu, to oczekiwany portret fazowy zaburzonego pola byłby jak na Rysunku 5.4, czyli separatrysy punktu siodłowego rozdzieliłyby się. Jednak w przypadku układu nieautonomicznym, ale okresowym ze względu na czas, portret fazowy układu niezaburzonego należy traktować jako dynamikę przekształcenia monodromii. Przy tym w układzie zaburzonym separatrysy nie mają obowiązku rozłączyć się. Spodziewamy się, że będą one przecinać się transwersalnie, jak na Rysunku 5.5. Niżej to wykażemy.

Rozwiązanie układu niezaburzonego, odpowiadające górnej pętli separatrys, jest następujące

(porównaj Zadanie 2.44). Ma ono tę własność, że x⁢t0=0, y⁢t0=2 i wartość całki pierwszej

wynosi 1 (patrz Rysunek 5.6).

Do badania ukladu zaburzonego (ε≠0) użyjemy całej rodziny przekształceń monodromii

gdzie M=S1×R jest utożsamiane z cięciem z×M w rozszerzonej przestrzeni fazowej R/T×Z×M. Każde przekształcenie Pz ma swój punkt stały q⁢z (utożsamiany z p⁢z=q⁢z+2⁢π,0; ten punkt zależy od z i od ε i leży blisko punktu x=-π, y=0. Ponieważ jest to punkt stały i hiperboliczny (siodło) to ma swoją podrozmaitość stabilną Ws⁢p⁢z i niestabilną Wu⁢q⁢z (patrz Rysunek 5.6); oczywiście te podrozmaitości też zależą od z i ε.

Wybierzmy cięcie S={x=0,1<y<3} transwersalne do Ws⁢p⁢z i do Wu⁢q⁢z. Niech ϕ⁢t (odpowiednio ψ(t)) będzie rozwiązaniem z warunkiem początkowym ϕ⁢z=S∩Ws⁢p⁢z (odpowiednio ψ(z)=S∩Wu(q(z)))). Oczywiście ϕ⁢t→p⁢z przy t→+∞ i ψ⁢t→q⁢z przy t→-∞. Ponadto Pz⁢ϕ⁢z=ϕ⁢z+T i Pz⁢ψ⁢z=ψ⁢z+T (niezmienniczość podrozmaitości).

Punkt przecięcia podrozmaitości stabilnej i niestabilnej odpowiada sytuacji, gdy ϕ⁢z=ψ⁢z dla odpowiedniego z. Jak w przypadu autonomicznych zaburzeń układów hamiltonowskich (patrz Przykład 4.5) odległość pomiędzy ϕ⁢z i ψ⁢z liczymy za pomocą różnicy wartości całki pierwszej w tych punktach,

Mamy

Zatem Δ⁢H=ε⁢∫-∞∞y⁢cos⁡ω⁢t⁢d⁢t, którą to całkę przybliżmy kładąc y=y0⁢t ze wzoru (5.3). Dostajemy tzw. całkę Mielnikowa (analog całki abelowej)

Nietrudno pokazać następujący

Lemat 5.3.Jeśli M⁢z0=0 i M′⁢z0≠0, to podrozmaitości Ws⁢p⁢z i Wu⁢q⁢z przecinają się transwersalnie w punkcie bliskimS (Zadanie 5.5).

Okazuje się, że całka Mielnikowa ze wzoru (5.5) jest policzalna. Podstawiając s=e-t (z d⁢s=-s⁢d⁢t) dostajemy

Wyliczymy całkę I=∫0∞si⁢α⁢1+s2-1⁢d⁢s metodą konturową. Całka wzdłuż konturu z Rysunku 5.7, w granicy z promieniami okręgów dążących do 0 i ∞ odpowiednio, wynosi

To daje I=π/2⁢cosh⁡π⁢α/2 i

Łatwo widać, że ta funkcja spełnia wymaganie M′M=0≠0.

Znaleźliśmy przynajmniej jeden punkt r0 przecięcia się rozmaitości stabilnej i niestabilnej punktu stałego q=q⁢0 dla dyfeomorfizmu

gdzie U jest pewnym otoczeniem pętli separatrys Γ siodła x=±π, y=0, a P0 jest wyróżnionym przekształceniem monodromii z rodzimy Pz (z hiperbolicznymi punktami stałymi q(z)). Ale takich punktów jest znacznie więcej; są one postaci rn=Pn⁢r0, n∈Z.Przy n→∞ i przy n→-∞ punkty rn dążą do punktu stałego q0.

Jednakże podrozmaitości Ws=Ws⁢q⁢0 i Wu=Wu⁢q⁢0 zachowują się co najmniej niestandardowo. Na przykład, rozmaitość Wu przechodząc przez coraz dalsze punkty rn⁢n→∞ zaczyna być coraz bardziej równoległa do samej siebie, ale w okolicy siodła q (czyli do lokalnej rozmaitości niestabilnej Wl⁢o⁢cu). Przy tym oczywiście, pomiędzy punktami rn i rn+1 wykonuje ostry zakręt. To samo mniej więcej dzieje się z rozmaitością Ws przyprzejściu przez punkty rn dla n→-∞ i pomiędzy tymi punktami. W szczególności wyróżnione powyżej kawałki Wu i Ws zaczynają się przecinać w innych puktach (niż rn). Aż strach pomyśleć, co się dzieje przy dalszych iteracjach; np. kawałki Wu równoległe do Wl⁢o⁢cu zaczynają być coraz dłuższe (patrz Rysunek 5.8).

ZADANIA

Zadanie 5.4. Pokazać, że jeśli gst jest 2-parametrową rodziną dyfeomorfizmów definiujących ewolucję nieautonomicznego pola wektorowego x˙=v⁢t,x, które jest okresowe z okresem T względem czasu, to gs+Tt+T=gst.

Zadanie 5.5. Udowodnić Lemat 5.3.

Wskazówka: Po pierwsze, pokazać, że (jako bliskie krzywej fazowej z równania (5.3)) w otoczeniu punktu x=0, y=1 podrozmaitości Ws⁢p⁢z i Wu⁢q⁢z leżą poziomo, czyli są wykresami pewnych funkcji od x. Dla z=z0 będziemy trakować je jako wykresy funkcji F i G odpowiednio z pewnego odcinka J (na osi x-ów) do cięcia S, przy czym S jest parametryzowane przez HS.

Po drugie. przekształcenia Pz0 i Pz są sprzężone, Pz=gz0z∘Pz0∘gz0z-1. Wywnioskować stąd, że Ws⁢p⁢z=gz0z⁢Ws⁢p⁢z i podobnie jest z Wu. Przekształcenia gz0z są bliskie przekształceniom g0z-z0ε=0 potoku fazowego niezaburzonego układu (5.2), które w otoczeniu punktu x=0, y=2 jest z grubsza `ruchem w prawo'. Stąd wynika, że przy zmianie z rozmaitości Ws⁢p⁢z powstają z rozmaitości Ws⁢p⁢z0 przez `przesuwanie' jej. Stąd wynika, że jeśli x0⁢t jest zadane jak w (5.3), to funkcję H=F⁢x, której wykresem jest Ws⁢p⁢z0, można zadać w pierwszym przybliżeniu jako

Podobnie wykres funkcji G⁢x≈H∘ψ⁢x0-1⁢x w pierwszym przybliżeniu zadaje Wu⁢q⁢z0. Różnica G⁢x-F⁢x≈Δ⁢H≈ε⁢M⁢z. Pokazać, że warunek transwersalności Ws i Wu wynika z własności: dd⁢x⁢G-F≠0 dla G-F=0.

Prawdopodobnie S. Smale był pierwszym, który dobrze zrozumiał zjawisko z końca poprzedniego rozdziału i opisał je w ścisłych matematycznych terminach. Na Rysunku 5.9 widzimy (nieco krzywoliniowy) `prostokąt ' R wzdłuż lokalnej rozmaitości stabilnej Wl⁢o⁢cs, który pod działaniem odpowiednio wysokiej iteracji przekształcenia P przechodzi na figurę, która przecina R w dwu miejscach. Można dobrać parametry definiujące prostokąt R, aby to rzeczywiście miało miejsce; (my tego nie robimy, ale możemy odesłać czytelnika do książek R. Devaney'a [9], C. Robinsona [17] i W. Szlenka [18]).

Modelowy przykład przekształcenia jak na Rysunku 5.9 to przekształcenie podkowy Smale'a przedstawione na Rysunku 5.10.

Definicja 5.6 (Podkowa Smale'a). Mamy (autentyczny) prostokąt A na płaszczyźnie, z którym dokonujemy następującej operacji. Najpierw wydłużmy go w kierunku pionowym i zwężamy w kierunku poziomym. Następnie zaginamy nasz wydłużony prostokąt i kładziemy na płaszczyznę tak ,aby przecinał wyjściowy prostokąt wzdłuż dwóch równoległych pionowych pasków

W ten sposób dostajemy nową figurę, oznaczaną f⁢A, gdzie f:A⟼f⁢A jest dyfeomorfizmem podkowy.¹⁸Można to przekształcenie przedłużyć. Doklejmy do dolnej i górnej podstaw A półkola i oznaczmy nową figurę przez M. Przedłużmy f na ba półkola, tak aby ich obrazy przylegały do dolnych końców f⁢A. Zakładając, że nowa figura leży całkowicie w M, dostajemy dobrze określony dyfeomorfizm f:M⟼M.

Podkowa Smale'a, chociaż prosto zdefiniowana, wcale taka prosta nie jest. Latwo stwierdzić, że f2⁢A∩A składa się z 4 pionowych pasków; ogólniej, fn⁢A∩A składa się z 2n pionowych pasków (Zadanie 5.14). Z drugiej strony, f-1⁢A∩A=f-1⁢A∩f⁢A składa się z dwu poziomych pasków; ogólniej, f-n⁢A∩A, n>0, składa się z 2n poziomych i cienkich pasków (Zadanie 5.15). Zatem fn⁢A∩f-m⁢A, m,n>0, składa się z 2n×2m małych prostokącików. Bardzo ważny jest następujący zbiór

Łatwo sprawdzić, że jest to zbiór niezmienniczy względem f: f⁢Λ=f-1⁢Λ=Λ (Zadanie 5.16). Można powiedzieć więcej o Λ i o fΛ, ale najpierw powinniśmy wprowadzić jedną definicję.

Definicja 5.7. Niech Σ=Σk=1,…,kZ będzie przeliczalnym iloczynem kartejańskim ustalonego zbioru k-elementowego; składa się ona z ciągów a=…,a-1,a0,a1,…, aj∈1,…,k. Zdefiniujemy przekształcenie σ:Σ⟼Σ następująco:

Układ dynamiczny Σ,σ zdefiniowany powyżej nazywa się układem symbolicznym, albo przesunięciem.

Na przetrzeni Σ wprowadza się topologię produktową, gdzie otoczeniami danego ciągu symboli a=…,a-1,a0,a1,… są zbiory cylindryczne postaci

(dla ustalonych M,N). Σ jest też przestrzenią metryczna, bo odległość dwóch ciągów to dist⁢a,b=∑n∈Z2-n⁢an-bn.

Ma miejsce następujące

Twierdzenie 5.8.Istnieje ciągły homeomorfizm Φ:Λ⟼Σ2, który sprzęga σ zf|Λ:

Dowód. Przekształcenie Φ jest łatwe do zdefiniowania. Jeśli x∈Λ, to kładziemy Φ⁢x=…,a-1,a0,a1,…, gdzie

Własność sprzęgania sprawdza się bezpośrednio (Zadanie 5.18). Pozostaje zatem tylko sprawdzić ciągłość i odwracalność przekształcenia Φ.

Te dwie własności wynikają z hiperboliczności przekształcenia podkowy: w kierunku poziomym jest ściskanie ze stałą λ1<1 a w kierunku pionowym mamy rozciąganie ze stałą λ1>1. Zatem prostokąciki, pojawiające się przy lokalizacji punktów x, tzn.

stają się eksponencjalnie małe przy M i N bardzo dużych. W granicy dostaniemy tylko jeden punkt (odwracalność). Małe rozmiary zbiorów (5.7) odpowiadają małości odpowiednich zbiorów cylindrycznych w Σ; jest to dokładnie ciągłość Φ i Φ-1. ∎

Ponieważ Λ jest jedynym zbiorem niezmienniczym w prostokącie A, to cała interesująca dynamika przekształcenia podkowy ogranicza się do dynamiki fΛ. Dzięki powyższemu twierdzeniu jest to taka sama dynamika, jak dla przekształcenia symbolicznego σ na Σ. Z drugiej strony, przekształcenie symboliczne jest przyjemne do badania. Ma ono następujące ciekawe włsności.

Stwierdzenie 5.9.Punkty okreowe dla σ są gęste w przestrzeni symbolicznejΣ.

Dowód. Niech a=…,a-1,a0,a1,…∈Σ. Dla dużego N>0 wszyskie ciągib=…,b-1,b0,b1,… takie, że b-N=a-N,…,bN=aN są bliskie a. Zatem bliski jest też ciąg utworzony z bloku a-N,…,aN (długości 2N+1) i powtarzanego periodycznie. Odpowiada on puktowi okresowemu dla σ o okresie 2⁢N+1. ∎

Stwierdzenie 5.10.Układ dynamiczny Σ,σ jest tranzytywny, tzn. dla dowolnych podzbiorów otwartych U,V⊂Σ istnieje i n>0 takie, żefn⁢U∩V≠∅.

Dowód. Wystarczy rozważyć przypadek, gdy U i V są zbiorami cylindrycznymi definiowanymi przy pomocy bloków a1,…,aM i b1,…,bN. Wtedy wystaczy wziąć dowolny ciąg z blokiem a1,…,aM,b1,…⁢bN (długości M+N). ∎

Uwaga 5.11. Można wprowadzić na Σ probabilistyczną miarę produktową μ, taką, że μ({a0=j})=1/k (miara Bernoulliego). Okazuje się ona być niezmiennicza względem przesunięcia σ. Ponadto zachodzi własność mieszania, o której wspomniałem na początku rozdziału a której nie chcę ściśle definiować. Zatem układ podkowy Smale'a a także układ huśtawki są układami chaotycznymi.

Podzbiór Λ⊂R2, niezmienniczy dla przekształcenia podkowy Smale's, ma jeszcze jedną ważną własność. Mianowicie jest hiperboliczny, co oznacza, że indukowane przekształcenia liniowe f∗⁢x:Tx⁢R2⟼Tf⁢x⁢R2 są hiperboliczne (mają jedną wartość własną λ1∈0,1 i drugą λ2>1).

Niestety, zbiór Λ jest bardzo cienki (jego wymiar Hausdorffa zależy od λ1 i λ2) i na pewno nie jest rozmaitością (nawet lokalnie). Ale istnieją chaotyczne układy dynamiczne ze strukturą hiperboliczną na całej rozmaitości. Są to tzw. dyfeomorfizmy Anosowa, których najbardziej znanym reprezentatnem jest następujący

Przykład 5.12 (Hiperboliczny automorfizm torusa). Utożsamijmy dwuwymiatowy torus z płaszczyzną podzieloną przez kratę, T2=R2/Z2. Macierz

zadaje przekształcenie płaszczyzny, które punkty o współrzędnych całkowitych przekształca na podobne punkty. Zatem definiuje ono przekształcenie f:T2⟼T2. Ponieważ wyznacznik naszej macierzy jest równy 1, to i przekształcenie odwrotne zachowuje kratę; zatem f jest dyfeomorfizmem.

Przekształcenie f ma dokładnie jeden punkt stały, odpowiadający punktowi 0,0. Za to równania na punkty okresowe o okresie 2 przyjmują postać 4⁢x1+3⁢x2=m1, 3⁢x1+x2=m2, m1,2∈Z. Nietrudno zobaczyć, że daje to 25 rozwiązań. Ogólnie, ze wzrostem n liczba punktów okresowych dla f o okresie ≤n rośnie do nieskończoności; w szczególności, punkty z wymiernymi obiema współrzędnymi są okresowe (Zadanie 5.19).

Macierz pochodnej f∗⁢x:Tx⁢T2⟼Tf⁢x⁢T2 w każdym punkcie x jest taka sama i równa A. Z kolei macierz A jest hiperboliczna, z wartościami własnymi λ1=12⁢3-5<1 i λ2=12⁢3+5>1. Zatem f ma (równomierną) strukturę hiperboliczną. (Ta własność wchodzi w definicję dyfeomorfizmu Anosowa, której nie przytaczam).

Co więcej, przez każdy punkt x∈T2 przechodzą dwie specjalne krzywe: jedna Ws⁢x odpowiada prostej w kierunku własnym odpowiadającym λ1, i druga Wu⁢x odpowieda prostej w drugim kierunku własnym. Ponieważ wartości własne są niewymierne, to współczynniki nachylenia obu kierunków własnych są niewymierne. Zatem każda z rozmaitości Ws⁢x i Wu⁢x jest gęsta w torusie (tworzy obmotkę); w topologii mówi się o podrozmaitościach immersyjnych.

Okazuje się, że hiperboliczny automorfizm torusa ma własność tranzytywności mieszania względem miary Lebesque'a (która jest zachowana przez f).

Na koniec, poinformuję czytelników, że dyfeomorfizm f jest strukturalnie stabilny. To znaczy, że dowolny bliski niemu dyfeomorfizm g jest z nim sprzężony przy pomocy pewnego homeomorfizmu torusa h (analog Twierdzenia Grobmana–Hartmana). Jest to ogólna własność dyfeomorfizmów Anosowa.

Innym naturalny układem typu Anosowa jest potok geodezyjny na powierzchni o stałej ujemnej krzywiźnie.

Bardzo ważnymi przykładami układów dynamicznych są tzw. atraktory hiperboliczne. Są to przekształcenia gładkie (nawet niekoniecznie odwracalne) f:M⟼M dla których istnieje domknięty podzbiór niezmienniczy Λ⊂M z otoczeniem U⊃Λ takim, że Λ=⋂n≥0fn⁢U. Lokalnie Λ ma postać N×C, gdzie N jest regularną rozmaitością (z 0<dimN<dimM) a C jest zbiorem typu Cantora.

Ponadto Λ ma strukturę hiperboliczną w tym sensie, że f∗⁢x jednostajnie rozciąga w kierunku N i jednostajnie ściska w kierunku transwersalnym do N.

Przykład 5.13 (Selenoid). Niech M=D2×S1=z,y będzie pełnym torusem, gdzie D2=z:z≤1⊂C to dysk a S1=y⁢ mod ⁢Z. Przekształcenie jest zadane następująco

Obrazem f⁢M⊂M będzie torus czterokrotnie cieńczy i dwukrotnie dłuższy oraz włożony w M tak, że owija się dwukrotnie wokół `równika' M przy tym lekko skręcając (patrz Rysunek 5.11).

Oczywiście Λ=⋂n≥0fn⁢M jest zbiorem niezmienniczym i spełnia wymagania, które nałożyłem powyżej na hiperboliczne atraktory.

Na koniec, chciałbym zauważyć, że w teorii układów dynamicznych trudny do rozwiązania problem stanowią tzw. dziwne atraktory, które spełniają własność Λ=⋂n≥0fn⁢U, ale nie chcą być równomiernie hiperboliczne. Najbardziej znane to atraktor Hènona zadany odwzorowaniem

(gdzie np. a=1.4 i b=0.3) i atraktor Lorenza zadany polem wektorowym

(gdzie np. σ=10, r-28 i b=8/3).

ZADANIA

Zadanie 5.14. Narysować f2⁢A.

Zadanie 5.15. Pokazać, że f-n⁢A∩A, n>0, składa się z 2n poziomych pasków.

Zadanie 5.16. Udowodnić, że Λ ze wzoru (5.6) jest zbiorem niezmienniczym.

Zadanie 5.17. Pokazać, że Λ (z (5.6)) jest homeomorficzne z C×C, gdzie C jest (odpowiednio zdefiniowanym) zbiorem Cantora.

Zadanie 5.18. Sprawdzić, że Φ sprzęga f z σ.

Zadanie 5.19. Udowodnić, że zbiór punktów okresowych przekształcenia z Przykładu 5.12 pokrywa się ze zbiorem punktów o wymierych obu współrzędnych.

Wskazówka: Zbiór pN,qN⁢ mod ⁢Z2: ⁢p,q∈N dla ustalonego N∈N jest skończony i niezmienniczy względem f. Ponadto równania na punkty okresowy o okresie n przyjmują postać An-I⁢x=m, gdzie m=m1,m2∈Z2.