Pod równaniem różniczkowym zwyczajnym rozumiemy równanie postaci

gdzie t∈I⊂R jest czasem rzeczywistym (I to otwarty odcinek), x należy do przestrzeni fazowej (rozmaitości) M a v jest zależnym od czasu polem wektorowym na M, v:I×M⟼T⁢M spełnia v⁢t,x∈Tx⁢M. Często M=U jest podzbiorem otwartym przestrzeni euklidesowej Rn; wtedy v:I×U⟼Rn i mówimy o układzie równań różniczkowych zwyczajnych. Jeśli v nie zależy od czasu, v=v⁢x, to równanie (6.1) jest równaniem autonomicznym (a v jest autonomicznym polem wektorowym), w przeciwnym przypadku mamy do czynienia z nieautonomicznym równaniem. Przestrzeń I×M nazywa się rozszerzoną przestrzenią fazową.

Rozwiązaniem równania (6.1) nazywamy dowolną różniczkowalną krzywą φ:J⟼M, J⊂I, która spełnia równanie

Zagadnieniem początkowym nazywamy następujące dwa warunki

z których drugi nazywa się warunkiem początkowym. Rozwiązaniem zagadnienia początkowego (6.2) nazywamy rozwiązanie

równania (6.1), które ma własność φ⁢t0=x0.

Jeśli φ⁢t jest rozwiązaniem układu (6.1), to krzywą t,φ⁢t:t∈J⊂I×M (tj. wykres rozwiązania) nazywamy krzywą całkową; jeśli, dodatkowo, układ (6.1) jest autonomiczny, to krzywą φ⁢t:t∈J (tj. obraz rozwiązania) nazywamy krzywą fazową.

Uwaga 6.1. Wprowadzając nowy czas τ możemy przepisać nieautonomiczne równanie (6.1) w postaci następującego układu autonomicznego

w rozszerzonej przestrzeni fazowej. Wtedy krzywe całkowe dla równania (6.1) okażą się krzywymi fazowymi dla układu (6.3).

Równanie różniczkowe rzędun, czyli

zastępuje się układem równań pierwszego rzędu

przy pomocy podstawienia x=y1, x1=y2,…, xn-1=yn. Naturalnym warunkiem początkowym dla równania (6.4) jest

Zauważmy, że stosując trick z Uwagi 6.1 możemy zastąpić (na ogól) nieautonomiczny układ (6.5) odpowiednim układem autonomicznym w Rn+1.

Uwaga 6.2. W książkach o równaniach różniczkowych rozważane są także równania uwikłane względem pochodnej, typu

Okazuje się, że, jeśli równanie F⁢t,x,p=0 da się rozwikłać w otoczeniu pewnego punktu t0,x0,p0 w postaci x=g⁢t,p, to równanie (6.7) można przepisać w postaci układu autonomicznego

gdzie τ jest nowym `czasem'. Rzeczywiście, mamy d⁢xd⁢τ=d⁢xd⁢t⁢d⁢td⁢τ=p⁢d⁢td⁢τ. Zatem, różniczkując tożsamość x⁢τ=g⁢t⁢τ,p⁢τ, dostajemy warunek p⁢d⁢td⁢τ≡gt′⁢d⁢td⁢τ+gp′⁢d⁢pd⁢τ. Jest on spełniony dla powyższego pola wektorowego.

Podobny układ można napisać, gdy równanie F=0 rozwikłuje się względem t, a także gdy x∈Rn i F∈Rn. W tym skrypcie równania typu (6.7) nie są badane, ale przytoczyliśmy je, aby zademonstrować pewną uniwersalną własność autonomicznych równań różniczkowych.

Z autonomicznym równaniem

wiąże się pojęcie potoku fazowego. Zauważmy, że rozwiązania φ⁢t;x0,0 równania (6.8) z warunkiem początkowym x⁢0=x0 zadają rodzinę odwzorowań

gdzie Dt jest dziedziną odwzorowania gt. Ta rodzina powinna spełniać dwie naturalne własności

Własność (6.9) to definicja warunku początkowego. Własność (6.10), która powinna być spełniona dla x0∈Ds∩gs-1⁢Dt, oznacza, że jeśli wystartujemy w momencie czasu 0 z punktu x0 i dojedziemy (wzdłuż rozwiązania) do punktu y0=gs⁢x0 a następnie wyzerowujemy stoper i jedziemy z y0 po czasie t, to dojedziemy do tego samego punktu, jak byśmy jechali po czasie s t+s z x0 bez zerownia stopera. Oczywiście, tutaj istotne jest, że v⁢s,y0=v⁢0,y0=v⁢y0 (autonomiczność).

Rodzina gtt∈I, gt:Dt⟼M, spełniająca warunki (6.9)–(6.10) nazywa się lokalnym potokiem fazowym. Rodzina

(globalnych) dyfeomorfizmów przestrzeni fazowej M, spełniająca własności (6.9)–(6.10) nazywa się potokiem fazowym na M. Inaczej mówiąc, odwzorowanie t⟼gt jest homomorfizmen z grupy R do grupy D⁢i⁢f⁢f⁢M dyfeomorfizmów rozmaitości M.

Przykład 6.3. Równanie

definiuje globalne pole wektorowe na przestrzeni rzutowej R⁢P1=R∪∞ (gdzie współrzędna y=1/x w otoczniu x=∞ spełnia równanie y˙=-1-y2). Tutal lokalny potok fazowy okazuje sie być potokiem fazowym na R⁢P1 złożonym z przekształceń Möbiusa

Uwaga 6.4. W przypadku nieautonomicznego pola wektorowego mamy do czynienia z 2-parametrową rodziną przekształceń

(ściślej, z jej lokalną wersją) definiowaną tak, że gst⁢x0=φ⁢t;x0;s, czyli wartość w chwili t rozwiązania startującego z x0 w chwili s. Zachodzą oczywiste tożsamości

Poniżej czytelnik znajdzie szereg twierdzeń, które są podstawowe w teorii równań różniczkowych zwyczajnych i które są podane bez dowodów. Po więcej szczegółów odsyłam do [3], [15].

Twierdzenie 6.5 (O istnieniu i jednoznaczności lokalnych rozwiązań). Załóżmy, że pole v⁢t,x jest klasy C1 na zbiorze otwartym I×U⊂R×Rn. Niech t0,x∗∈I×U.

Wtedy istnieje odcinek I0⊂I, zawierający moment początkowy t0, oraz otoczenie U0⊂U punktu x∗ takie, że dla dowolnego x0∈U0 zagadnienie początkowe x˙=v⁢t;x, x⁢t0=x0 posiada dokładnie jedno rozwiązanie φ⁢t;x0. 

Ponadto odwzorowanie

jest ciągłe, a w przypadku, gdy pole v⁢t,x jest analityczne, to to odwzorowanie też jest analityczne.

Przypomnimy, że podstawowa idea dowodu tego twierdzenia polega na zastąpieniu zagadnienia początkowego (6.2) równaniem całkowym

To równanie jest traktowane jako równanie punktu stałego φ=T⁢φ dla operatora T definiowanego po prawej stronie równania (6.12) działającego w odpowiedniej przestrzeni Banacha odwzorowań φ⁢t,x0. Na ogół jest to przestrzeń Banacha funkcji ciągłych na I0×U0 z normą supremum, przy tym warunek zwężania dla operatora T wynika z warunku Lipschitza względem x dla pola v⁢t,x. W przypadku analitycznym jako przestrzeń Banacha wybiera się przestrzeń funkcji holomorficznych w pewnym obszarze w C×Cn z normą supremum (Zadanie 6.25)

Przykład 6.6. Równanie

posiada dwa rozwiązania z tym samym warunkiem początkowym x⁢0=0: φ1⁢t=0 dla t<0 i φ1⁢t=t3/2 dla t≥0 oraz φ2⁢t≡0. Ten standardowy przykład pokazuje, jak ważny jest warunk Lipschitza; tutaj on nie zachodzi w x=0.

Twierdzenie 6.7 (O zależności od warunku początkowego). Jeśli w Twierdzeniu 6.5 założymy, że v jest klasy C2, to odwzorowanie (6.11) będzie klasy C1. Ogólniej, jeśli v jest klasy Cr, 1≤r≤∞, to φ jest klasy Cr-1.

Twierdzenie 6.8 (O zależności od parametrów). ¹⁹W niektórych źródłach (np. [13], [12]) dowodzi się klasy Cr zależności rozwiązań od parametrów. Dla naszych celów klasa Cr-1 jest wystarczająca, zwłaszcza, jeśli uwzględni się prostotę poniższego szkicu dowodu tego twierdzenia. Jeśli pole v zależy dodatkowo od parametru λ∈V⊂Rk i v⁢t,x;λ jest klasy Cr, r≥2, to rozwiązanie φ⁢t;x0;λ jest klasy Cr-1.

W dowodach ostatnich dwóch twierdzeń wykorzystuje się ważnie pojęcie równania w wariacjach. Równaniem w wariacjach względem warunku początkowego nazywamy równanie

Tutaj φ0⁢t, φ0⁢t0=x0, jest zadanym rozwiązaniem, a równanie (6.13) otrzymuje się przez podstawienie zaburzenia x=φ0⁢t+ε⁢y⁢t+O⁢ε2 (z małym ε) do zagadnienia początkowego (6.2) z warunkiem początkowym x⁢t0=x0+ε⁢y0 i przyrównania wyrazów rzędu ε. Pochodną czastkową ∂φ/∂(x0)j rozwiązania względem warunku początkowego otrzymuje się jako rozwiązanie układu (6.13) z warunkiem początkowym y0=ej (gdzie ej to standardowa baza w Rn).

Równaniem w wariacjach względem parametru nazywamy równanie

Tutaj φ0⁢t jest wyróżnionym rozwiązaniem zagadnienia początkowego x˙=v⁢t,x,λ0, x⁢t0=x0, tzn. dla ustalonego parametru λ=λ0, i macierz A⁢t jest taka sama jak w (6.13). To równanie otrzymuje się przez podstawienie x=φ0⁢t+ε⁢y⁢t+O⁢ε2 do zagadnienia początkowego x˙=v⁢t,x;λ0+ϵ⁢ν0, x⁢t0=x0, i porównanie wyrazów liniowych względem małego ε.

W dowodach Twierdzeń 6.7 i 6.8 problem sprowadza się do układu x˙=v⁢t,x,  y˙=∂⁡v∂⁡x⁢t,x⁢y lub do układu x˙=v⁢t,x;λ,  y˙=∂⁡v∂⁡x⁢t,x;λ⁢y+∂⁡v∂⁡λ⁢t,x;λ i stosuje Twierdzenie 6.5 (Zadania 6.26 i 6.27).

Z powyższych twierdzeń wynikają ważne wnioski o jakościowym zachowaniu się rozwiązań równania (6.1).

Twierdzenie 6.9 (O prostowaniu dla układu nieautonomicznego) . Jeśli v⁢t,x jest klasy Cr, r≥2, i t0,x∗∈I×U⊂R×Rn, to istnieje lokalny dyfeomeorfizm

z otoczenia punktu t0,x∗, który przeprowadza układ (6.1) w układ

W dowodzie dyfeomeorfizm f jest definiowany tak, że jeśli punkt x=φ⁢t;x0,t0, tj. jest wartością rozwiązania po czasie t i z warunkiem początkowym x⁢t0=x0, to kładziemy y=x0 (Zadanie 6.28).

Twierdzenie 6.10 (O prostowaniu dla układu autonomicznego) . Jeśli autonomiczne pole wektorowe v⁢x jest klasy Cr, r≥2, na U i punkt x∗∈U jest taki, że

to istnieje lokalny dyfeomorfizm f:x⟼y z otoczenia punktu x∗, który przeprowadza układ x˙=v⁢x w układ

Jak można się domyślić, zmienna y1 to czas t wdłuż rozwiązań φ⁢t;x0, które startują przy t=0 z pewnej hiperpłaszczyzny H prostopadłej do wektora v⁢x∗. Pozostałe zmienne yj pochodzą od jakiegoś układu współrzędnych na hiperpłaszczyźnie H i są stałe wzdłuż rozwiązań (Zadanie 6.29).

Uwaga 6.11. Powyższe twierdzenie można nazwać pierwszym twierdzeniem jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych.²⁰W angojęzycznej literaturze występuje ono pod nazwą `Flow Box Theorem'. Mówi ono, że lokalnie każde pole wektorowe spełniające warunek (6.15) jest takie samo z matematycznego punktu widzenia. Istotne różnice pojawiają się przy badaniu zachowania globalnych rozwiązań. Warunek (6.15) implikuje pewną prostotę pola wektorowego. W pierwszym rozdziale niniejszego skryptu badamy sytuację gdy ten warunek jest naruszony.

Twierdzenie 6.12 (O lokalnym potoku fazowym). Dla autonomicznego pola wektorowego v⁢x klasy Cr, r≥2, istnieje lokalny potok fazowy gt, x0⟼gt⁢x0 (spełniający warunki (6.9)–(6.10)) zadany przez rozwiązania φ⁢t;x0 zagadnień początkowych x˙=v⁢x, x⁢0=x0.

Oczywiście to twierdzenie jest natychmiastową konsekwencją twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności lokalnych rozwiązań dla układu (6.1) z autonomicznym polem v⁢x.

Twierdzenie 6.13 (O przedłużniu rozwiązań). Niech pole v⁢t,x będzie klasy Cr, r≥1, w zbiorze otwarym I×U i niech F⊂U będzie zwarym podzbiorem. Wtedy dowolne lokalne rozwiązanie φ⁢t;x0;t0 starujące z x0∈F albo przedłuża się dla wszystkich czasów t0≤t<∞ pozostając w F, albo wychodzi z F po skończonym czasie T⁢x0≥t0. 

Taka sama alternatywa ma miejsce dla rozwiązań φ⁢t;x0;t0 przyt<t0.

W pewnym sensie to twierdzenie jest oczywiste. Następujący przykład pokazuje, że założenie o zwartości F jest istotne.

Przykład 6.14. Równanie

ma rozwiązania φ=x0/1-t⁢x0, które uciekają do nieskończoności po skończonym czasie T=1/x0.

Poniżej przedstawiamy listę klas równań różniczkowych zwyczajnych, które dają się scałkowac i podajemy metody ich całkowania. Wszystkie rozważane tutaj równania mają postać

albo równoważną postać równania Pfaffa

Przykład 6.15.Równania z rozdzielonymi zmiennymi. Są to równania postaci

Oczywiście rozwiązania są zadane w postaci uwikłanej

Przykład 6.16.Równania jednorodne są postaci

Tutaj podstawienie u=yx prowadzi do równania z rozdzielonymi zmiennymi

Do tej klasy można zaliczyć równania postaci

Poprzez przesunięcie początku układu współrzędnych do punktu przecięcia się prostych a⁢x+b⁢y+α=0 i c⁢x+d⁢y+β=0 staje się ono ewidentnie jednorodne. Gdy a⁢d-b⁢c=0 równanie łatwo sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych.

Przykład 6.17.Równania quasi-jednorodne charakteryzują się niezmienniczością względem symetrii typu

która uogólnia analogiczną symetrię z γ=1 dla równania jednorodnego. Tutaj podstawienie u=y/xγ prowadzi do równania z rozdzielonymi zmiennymi.

Przykład 6.18.Równania liniowe

dzielą się na jednorodne, gdy b⁢x≡0, i niejednorodne. Ogólne rozwiązanie równania jednorodnego d⁢yd⁢x=a⁢x⁢y stowarzyszonego z równaniem (6.17) ma postać

gdzie A⁢x jest funkcją pierwotną dla funkcji a⁢x. Ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego jest sumą ogólnego rozwiązania równania jednorodnego φj⁢e⁢d⁢n i pewnego szczególnego rozwiązania φs⁢z⁢c⁢z równania niejednorodnego. To ostatnie rozwiązanie poszukujemy metodą uzmienniania sta łej, tzn. w postaci

Po podstawieniu do równania (6.17) dostajemy równanie C′⁢x=e-A⁢x⁢b⁢x.

Ogólne rozwiązanie ma postać

Przykład 6.19.Równanie Bernoulliego

sprowadza się do równania liniowego przez podstawienie

Przykład 6.20.Równanie z czynnikiem całkującym ma postać

lub

Tutaj M=M⁢x,y jest czynnikiem całkującym a H=H⁢x,y jest całką pierwszą równania, tzn. funkcja H jest stała na krzywych całkowych równania, H⁢x,φ⁢x≡const. Oczywiście, tutaj rozwiązania y=φ⁢x są uwikłane w postaci równań

Naturalne jest pytanie, jak z postaci funkcji P  i Q odgadnąć, czy istnieje czynnik całkujący i całka pierwsza. Wygodnie jest operować autonomicznym polem wektorowym

związanym z równaniem (6.16).

Zauważmy, że przypadek z M⁢x,y≡1 z całką pierwszą H⁢x,y odpowiada sytuacji, gdy układ (6.19) jest hamiltonowski z H jako funkcją Hamiltona (hamiltonianem),

Oczywiście wtedy mamy

tzn. dywergencja pola wektorowego V=Q⁢∂x+P⁢∂y zeruje się, lub, równoważnie,

Jest to warunek konieczny dla hamiltonowskości układu (6.19). Gdy div⁢V≡0 to można zdefiniować funkcję H następująco

gdzie Γ⁢x,y jest drogą z ustalonego punktu x0,y0 do x,y. Jeśli obszar U⊂R2, w którym jest zdfiniowany układ (6.19) jest jednospójny (każda pętla jest ściągalna do punktu), to definicja H⁢x,y nie zależy od wyboru drogi Γ=Γ(x,y): różnica pomiędzy tą wartością i wartością zdefiniowaną dla innej drogi Γ′ jest całką po zamkniętej pętli Γ-Γ′ (która ogranicza obszar Ω) z 1-formy ω=Q⁢d⁢x-P⁢d⁢y, która jest zamknięta, zatem wzór Stokes'a daje ∮Γ-Γ′ω=∬Ωd⁢ω=0.

Przykład równania

w R2∖0, które spełnia warunek (6.20), i posiada lokalną (ale nie globalną) całkę pierwszą H=arg⁡x+i⁢y pokazuje, że założenie jednospójności jest istotne.

Przypadek, gdy istnieje nietrywialny czynnik całkujący M jest dużo trudniejszy. Pozwolę sobie tutaj zacytować wynik M. Singera, który dotyczy przypadku, gdy P i Q są wielomianami.

Twierdzenie 6.21 (Singer). Jeśli równanie (6.16) z wielomanami P i Q posiada czynnik całkujący M i całkę pierwszą, które można przedstawić w kwadraturach, to czynnik całkujący M można wybrać w tzw. postaci Darboux

gdzie g⁢x,y jest funkcją wymierną, fj⁢x,y są wielomianami aaj∈C.

Odsyłam czytelnika do książki [20], w której można znaleźć definicję funkcji przedstawialnych w kwadraturach oraz dowód twierdzenia Singera.

Układy liniowe równań różniczkowych zwyczajnych są uogólnieniami równań (6.17) i mają postać

Równolegle rozpatruje się liniowe równania różniczkowe rzędu n postaci

Wiadomo, że rozwiązania x=φ⁢t;x0;t takich układów i równań przedłużają się do całego odcinka I (Zadanie 6.40). W przypadku jednorodnym, tzn. gdy b⁢t≡0, zbiór rozwiązań tworzy n-wymiarową przestrzeń wektorową. Każda baza tej przestrzeni tworzy tzw. układ fundamentalny φjj=1n. Taki układ fundamentalny zadaje macierz fundamentalną F(t)=(φ1,…,φn) w przypadku układu (6.21) i

w przypadku równania (6.22). Wyznacznik macierzy fundamentalnej nazy- wa się Wrońskianem

(od nazwiska polskiego matematyka J. Hoene-Wrońskiego).

Ogólne rozwiązanie układu jednorodnego (6.21) (z b≡0) ma postać

gdzie C jest stałym wektorem (wyznaczanym z warunków początkowych); w szczególności, gdy układ fundamentalny jest tak dobrany aby F⁢t0=I, to rozwiązanie φ⁢t=F⁢t⁢x0 spełnia warunek początkowy φ⁢t0=x0. W przypadku jednorodnego równania (6.22) (z b≡0) ogólne rozwiązanie ma postać

tzn. pierwsza składowa wektora stojącego po prawej stronie równania (6.24).

Nietrudno domyślić się, że ogólne rozwiązanie układu lub równania niejednorodnego (tj. z b(t)≢0) jest sumą ogólnego rozwiązania równania jednorodnego φj⁢e⁢d⁢n i szczególnego rozwiązania układu lub równania niejednorodnego φs⁢z⁢c⁢z. Aby rozwiązać układ lub równanie niejednorodne, znając macierz fundamentalną, stosujemy metodę uzmienniania stałych, tzn. robimy podstawienie x=F⁢t⋅C⁢t. Rozwiązując odpowiednie równanie na C⁢t znajdziemy ogólne rozwiązanie układu (6.21) w postaci

Oczywiście, podstawowym problemem jest znalezienie macierzy fundamentalnej F⁢t.

W przypadku, gdy macierz A⁢t=A w układzie (6.21) lub współczynniki aj⁢t=aj w równaniu (6.22) nie zależą od czasu, mówimy o układzie o stałych współczynnikach lub o równaniu o stałych współczynnikach. W tym przypadku macierz fundamentalna ma postać

gdzie

w przypadku równania.

Dla równania (6.21) o stałych współczynnikach ogólne rozwiązanie równania jednorodnego można otrzymać bezpośrednio z równania charakterystycznego

Ma ono postać

gdzie λj są pierwiastkami równania charakterystycznego krotności kj; w przypadku występowania par zespolonych pierwiastków λj=λ¯j+1=αj+i⁢βj, i=-1, odpowiednie wspólczynniki w sumie w (6.26) są sprzężone, Cj+1,l=C¯j,l, i te dwa składniki dają wyrażenie

(ze stałymi Dj,l i Ej,l).

Również istnieje recepta na szczególne rozwiązanie niejednorodnego równania (6.22) o stałych współczynnikach, w przypadku gdy funkcja b⁢t (po prawej stronie równania) jest tzw. quasi-wielomianem postaci

Tutaj μ nazywa się wykładnikiem quasi-wielomianu a p⁢t jest zwykłym wielomianem stopnia m, nazywanym stopniem quasi-wielomianu. Również funkcje postaci eν⁢t⁢cos⁡ξ⁢t⁢p⁢t i eν⁢t⁢sin⁡ξ⁢t⁢p⁢t są odpowiednio częściamu rzeczywistą i urojoną quasi-wielomianu z zespolonym wykładnikiem μ=ν+i⁢ξ.

Twierdzenie 6.22. Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać (6.26).

Jeśli prawa strona równania niejednorodnego (6.22) ma postać (6.27) i wykładnik μ quasiwielomianu jest pierwiastkiem równania charakterystycznego (6.25) krotności k, to szczególne rozwiązanie równania można wybrać w postaci quasi-wielomianu

gdzie q⁢t jest wielomianem stopniam=deg⁡p⁢t.

Następujące twierdzenie, pochodzące od J. Liouville'a, jest uogólnieniem elementarnej algebraicznej tożsamości

i ma olbrzymie zastosowanie w Jakościowej Teorii.

Twierdzenie 6.23 (Liouville). Wrońskian W⁢t związany z macierzą fundamentalną F⁢t układu (6.21) (wzór (6.23)) spełnia równanie

Dowód sprowadza się do policzenia granicy

bo F⁢t+s=I+s⁢A⁢t⁢F⁢t+O⁢s2. Latwo sprawdzić, korzystając ze standardowej definicji wyznacznika det⁡I+s⁢A=∑-1π⁢∏I+s⁢Aj,π⁢j, że człony pochodzące od nietrywialnych permutacji π dają wkład rzędu s2. Człon ∏I+s⁢Aj,j=∏1+s⁢aj⁢j równa się 1+s⁢∑aj⁢j+O⁢s2.

W przypadku gdy macierz fundamentalna F⁢t spełnia własność F⁢t0=I, wyznacznik Wrońskiego ma naturalną interpretację (n-wymiarowej) objętości równoległościanu rozpiętego przez wektory fi⁢t=gt0t⁢ei, i=1,…⁢n, gdzie gt0t jest to 2-parametrowa rodzina przekształceń ewolucji układu (które są zdefiniowane w Uwadze 6.4 i które są liniowe) a ei to standardowa baza w Rn. Inaczej mówiąc, zachodzą tożsamości

dla obszaru V⊂Rn, gdzie V oznacza objętość.

Zastosujmy tę obserwację do równania w wariacjach względem warunków początkowych (6.13) w przypadku autonomicznego pola wektorowego x˙=v⁢x. To równanie w wariacjach ma postać y˙=A⁢t⁢y, gdzie A⁢t=∂⁡v∂⁡x⁢φ0⁢t jest macierzą pochodnych cząstkowych ∂⁡vi/∂⁡xj składowych vi pola wzdłuż wyróżnionego rozwiązania φ0⁢t. Łatwo sprawdzić tożsamość

gdzie div oznacza dywergencję.

Niech V⊂Rn będzie obszarem takim, że rozwiązania starujące z V są określone dla czasów pomiędzy 0 i t. Podzielmy obszar V na prostokątne kostki Δj o małej krawędzi ε i z wyróżnionymi punktami zj∈Δj. Pod działaniem potoku gt te kostki przejdą na nielinowe obszarki gt⁢Δj, które są bliskie równoległościankom rozpiętym przez wektory postaci ε⋅fi⁢t,gdzie każdy wektor fi⁢t jest jak powyżej dla przekształcenia g0t związanego z równaniem w wariacjach wzdłuż rozwiązania φj⁢t startującego z zj. Następnie sumujemy objętości obszarków gt⁢Δj i przechodzimy do granicy z ε→0, korzystając z własności (6.28) i (6.29). W rezultacie otrzymujemy następujący wynik.

Twierdzenie 6.24. Dla obszaruV⊂Rni potoku gt generowanego przez autonomiczne pole vektorowe v⁢x zachodzi tożsamość

W szczególności, jeśli div⁢⁢v⁢x<0, to potok gt ma własność zmniejsznia objętości, a jeśli div⁢⁢v⁢x>0, to potok ma własność rozszerzania obszarów.

ZADANIA

Zadanie 6.25. W zależności od stałych M=supI×U⁡v⁢t,x i L=sup⁡|v(t,x1)-v(t,x2|x1-x2 (stała Lipschitza) dobrać ε w I0=t0-ε,t0+ε i promienie w kulach U0= B(x∗,r)={|x-x∗|<r}⊂U i B⁢x0,R=φ:I0×U0⟼Rn:sup⁡φ⁢t,x0-x0<R, aby: (i) T:B⁢x0,R ⟼B⁢x0,R oraz (ii) T było kontrakcją na B⁢x0,R. To da uzupełnienie dowodu Twierszenia 6.5.

Zadanie 6.26. Uzupełnić dowody Twierdzeń 6.7 i 6.8.

Wskazówka: W dowodzie Twierdzenia 6.7 rozważyć ciąg przybliżeń x=φn⁢t;x0, z=ψn⁢t;x0 dla zagadnienia początkowego x˙=v⁢t;x,z˙=∂⁡v∂⁡x⁢t,x⁢z, x⁢t0=x0, z⁢t0⁢I, gdzie z⁢t;x0 przyjmuje wartości w przestrzenie macierzy n×n. W dowodzie Twierdzenia 6.8 skorzystać z Twierdzenia 6.7.

Zadanie 6.27. Udowodnić, że jeśli v⁢t,x;λ zależy w sposób analityczny od zwoich argumentów, to rozwiązanie φ⁢t;x0;λ też jest analityczne.

Zadanie 6.28. Uzupełnić dowód Twierdzenia 6.9.

Zadanie 6.29. Uzupełnić dowód twierdzenia 6.10.

Zadanie 6.30. Znaleźć rozwiązanie równania x2⁢d⁢yd⁢x-cos⁡2⁢y=1 spełniające warunek y⁢+∞=9⁢π4.

Zadanie 6.31. Rozwiązać równanie d⁢yd⁢x=4⁢x+2⁢y-1.

Zadanie 6.32. Rozwiązać równanie x⁢d⁢yd⁢x=y-x⁢ey/x.

Zadanie 6.33. Rozwiązać równanie d⁢yd⁢x=y2-2/x2.

Zadanie 6.34. Rozwiązać równanie 2⁢y⁢d⁢x+x2⁢y+1⁢x⁢d⁢y=0.

Zadanie 6.35. Rozwiązać równanie x⁢y′-2⁢y=2⁢x4.

Zadanie 6.36. Rozwiązać równanie x⁢y⁢d⁢y=y2+x⁢d⁢x.

Zadanie 6.37. Rozwiązać następujące równanie Riccatiego y′=2⁢x⁢y-y2+5-x2.

Wskazówka: Zgadnąć jedno rozwiązanie.

Zadanie 6.38. Rozwiązać równanie d⁢yd⁢x=a⁢x2+b⁢y2+12⁢x⁢y.

Wskazówka: Poszukać czynnika całkującego w postaci xα.

Zadanie 6.39. Rozwiązać równanie yx⁢d⁢x+y3+ln⁡x⁢d⁢y=0.

Zadanie 6.40. Rozważmy układ liniowy x˙=A⁢t⁢x+b⁢t, z ciągłymi A⁢t i b⁢t oraz z oszacowaniami A⁢t≤C1⁢t i b⁢t≤C1⁢t. Pokazać oszacowania dd⁢t⁢x2≤2⁢C1⁢t⁢x2+2⁢C2⁢t⁢x≤C3⁢t⁢x2, gdzie ostatnia nierówność zachodzi dla dostatecznie dużych x i pewnej ciągłej funkcji C3⁢t. Wywnioskować stąd, że rozwiązania nie mogą uciec do nieskończoności po skończonym czasie.

Zadanie 6.41. Podać ogólne rozwiązanie układu x˙=x-y-z, y˙=x+y, z˙=3⁢x+z.

Zadanie 6.42. Podać ogólne rozwiązanie układu x˙=x-y+1/cos⁡t, y˙=2⁢x-y.