2. Podstawowe metody prezentacji danych

$\par$

Rys. 2.1. Przykładowe boxplot, histogram i estymator jądrowy gęstości dla zmiennej crabs[,5] ze zbioru danych crabs (MASS).

2.1. Boxplot

Dla próby losowej X=X1,…,Xn zajmiemy się reprezentacją graficzną danych. Zaczniemy od boxplotu.

Boxplot. Przykładowy boxplot znajduje się na rysunku 2.1. Do jego narysowania potrzebne są następujące elementy:
1. kwartyle próbkowe φ⌃14⁢X,φ⌃12⁢X,φ⌃34⁢X ;
2. rozstęp międzykwartylowy (wysokość pudełka) IQR⁢X=φ⌃34⁢X-φ⌃14⁢X;
3. wąs górny wasG⁢X=φ⌃34⁢X+1,5⁢IQR⁢X∧max⁡X, gdzie max⁡X oznacza element maksymalny z próby;
4. wąs dolny wasD⁢X=φ⌃14⁢X-1,5*IQR(X)∨min⁡X, gdzie min⁡X oznacza element minimalny z próby;
5. obserwacje odstające, które nie mieszczą się w przedziale wasD⁢X,wasG⁢X i nanosimy je oddzielnie w postaci punktów.

$\par$

Rys. 2.2. Przykładowy boxplot.

2.2. Estymacja gęstości

Załóżmy, że próba X=X1,…,Xn pochodzi z rozkładu o gęstości f i jest iid (niezależna o tym samym rozkładzie), będziemy szukać estymatora dla gęstości f.

Histogram. Przykładowy histogram znajduje się na rysunku 2.1. Wybieramy dowolne x0∈R. Dla ustalonego h>0, oznaczającego szerokość klasy, tworzymy odcinki:

Im=x0+m⁢h,x0+m+1⁢h,⁢m=…,-2,-1,0,1,2,…;

wtedy ⁢∀x∈R⁢⁢∃!⁡⁢m⁢ , że ⁢x∈Im, oznaczmy ⁢I⁢x=Im⁢ jeśli ⁢x∈Im.

Histogramem nazywamy funkcję x∈R:

f⌃n⁢x=#⁢i:xi∈I⁢xn⁢h=1n⁢∑i=1n1h⁢1(xi∈I(x)).

Uwaga 2.1

Podczas rysowania histogramu ważną kwestią jest dobór odpowiedniej szerokości przedziału, h. Istnieje wiele konwencji wyboru, niektóre z nich to:

ho⁢p⁢t≈c⁢n-13⁢, gdzie

Jeżeli f,f′∈L2⁢R, c=6∫f′⁢x2⁢d⁢x13.
Jeśli f jest normalna, c=2⋅313⁢π16⁢σ≈3,186⁢σ.
Inny wybór to c=2,64* IQR.

Estymator jądrowy gęstości. Przykładowy estymator jądrowy gęstości znajduje się na rysunku 2.1.

f˘n⁢x=1n⁢∑i=1n1h¯⁢K⁢x-Xih¯.

Dla budowy tego estymatora ważny jest dobór dwóch parametrów: szerokości pasma h¯ oraz funkcji jądra K. Jądro jest gęstością dowolnego rozkładu, czyli jest dowolną funkcją określoną na R o własnościach K≥0, ∫K⁢x⁢d⁢x=1. Jednym z wyborów może być jądro postaci:

Ke⁢t=⁡34⁢5⁢1-15⁢t2,t≤5;0,wpp.⁢

Uwaga 2.2

Jeśli f∈C2 oraz ∫f′′2<∞, to w klasie symetrycznych jąder K∈L2⁢R, asymptotycznie optymalne jest Ke. Ponadto:

h¯o⁢p⁢t≈c⋅n-15⁢ , gdzie

c=∫t2⁢K⁢t⁢d⁢t-25⁢∫K2⁢t⁢d⁢t15⁢∫f′′⁢x2⁢d⁢x-15.
Jeśli f jest gęstością rozkładu normalnego, to ∫f′′⁢x2⁢d⁢x=38⁢π-12⁢σ-5≈0,212⁢σ-5.
Jeśli jądro K jest gęstością standardowego rozkładu normalnego oraz f jest rozkładem normalnym, to h¯n⁢o⁢r⁢m=1,06⁢σ⁢n-15.
Jeśli jądro jest równe Ke oraz f jest rozkładem normalnym, to h¯e=1,05⁢σ⁢n-15
Domyślnie w programie R nastawiona jest metoda Silvermana wyboru parametru h¯: h¯=0,9⁢min⁡σ⌃2,IQR1,34⁢n-15.

2.3. Przykłady w programie R

Estymator jądrowy gęstości:

dla danych Pima jednowymiarowy: http://www.mimuw.edu.pl/~pokar/StatystykaII/EKSPLORACJA/density.R
dla danych Pima dwuwymiarowy: http://www.mimuw.edu.pl/~pokar/StatystykaII/EKSPLORACJA/density2d.R
nastawianie szerokosci pasma w estymatorze jadrowym gestosci http://www.mimuw.edu.pl/~pokar/StatystykaII/EKSPLORACJA/bandwidth.pp.R

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Statystyka II wykłady

Zagadnienia