Przykład 10.1

(czasooptymalny problem nawigacji, [42]). Przedyskutujmy teraz klasyczne zagadnienie teorii sterowania. Nawigujemy łódką o prędkości v, takiej że v=1 niezależnie od czasu. Woda płynie ze stałą prędkością s. Chcemy dostać się do ustalonego punktu w jak najkrótszym czasie. Zagadnienie rozpatrujemy w dwuwymiarowej płaszczyźnie x1,x2, gdzie osie są dobrane tak, by przepływ był prostopadły do jednej (x1), a równoległy do drugiej (x2). Niech kąt sterowania pomiędzy s i v będzie oznaczany przez ψ. Równania ruchu statku mają postać

x1˙=s+cos⁡ψ,⁢⁢x2˙=sin⁡ψ.

(10.2)

Równoważnie

x1˙=s+u1,⁢⁢x2˙=u2,

(10.3)

wraz z więzami sterowania

u12+u22=1.

(10.4)

Po pierwsze, wykorzystując postać zagadnienia (10.2) można sprawdzić, że założenia twierdzenia 8.1, włącznie z założeniami 8.1, 8.2 są spełnione, czyli spośród sterowań ekstremalnych można wybrać optymalne.

Dzięki postaci (10.3), (10.4) rozważanego zagadnienia posłużymy się teraz zasadą maksimum Pontriagina dla ustalenia sterowań optymalnych.

Hamiltonian dany jest przez H⁢λ,x,u:=λ0+λ1⁢s+u1+λ2⁢u2, gdzie λ1,λ2 to współrzędne sprzężone. Mamy następujące równania Hamiltona na kostany

λi˙⁢t=0,⁢,i=1,2.

Zatem

λi=λi0,⁢,i=1,2,

(10.5)

i pszukujemy sterowań, przy których wyrażenie

λ10⁢u1+λ20⁢u2+λ0+λ10⁢s

osiąga kres górny przy więzach (10.4). Widzimy, że kres górny osiągany jest, gdy wektory u1,u2 i λ10,λ20 mają ten sam kierunek i zwrot, czyli dla

uiu12+u22=λi0λ102+λ202,⁢⁢i=1,2.

W świetle (10.4) sterowanie ekstremalne jest dane wzorem

ui⁢t=λi0λ102+λ202=c⁢o⁢n⁢s⁢t,⁢⁢i=1,2.

Widzimy, że sterowanie ekstremalne to takie, dla którego kąt między wektorem prędkości przepływu oraz wektorem prędkości statku jest stały. Mamy zatem jakościowy wniosek, iż trajektorie sterowań ekstremalnych są liniami prostymi. Możemy automatycznie wyznaczyć ewentualny czas przejścia naszej łódki τ. Otóż

τ2⁢1-s2+2⁢x1e⁢n⁢d-x1⁢0⁢s⁢τ-x1e⁢n⁢d-x1⁢02-x2e⁢n⁢d-x2⁢02=0.

(10.6)

Ponadto dla danej wartości czasu τ sterowanie ekstremalne jest jednoznaczne, dane przez

u1⁢t=x1e⁢n⁢d-x1⁢0-τ⁢sτ,⁢⁢u2⁢t=x2e⁢n⁢d-x2⁢0τ.

Wyznaczmy teraz najlepsze spośród sterowań ekstremalnych, będące optymalnym sterowaniem w problemie nawigacji. W tym celu rozróżniamy trzy przypadki.

Przypadek pierwszy, s<1. Uwzględniając warunek τ≥0, wobec (10.6) mamy

τ=-x1e⁢n⁢d-x1⁢0⁢s+x1e⁢n⁢d-x1⁢02+x2e⁢n⁢d-x2⁢02⁢1-s21-s2.

Widać, że jest tylko jedno sterowanie ekstremalne, zatem istnieje tor optymalny niezależnie od punktów, w których zaczynamy i kończymy nawigację.

Przypadek drugi, s=1. Tutaj rozwiązanie (10.6) to

τ=x1e⁢n⁢d-x1⁢02+x2e⁢n⁢d-x2⁢022⁢x1e⁢n⁢d-x1⁢0.

Znów mamy tylko jedno sterowanie ekstremalne, zatem jednocześnie optymalne. Tym razem jednak wobec warunku τ≥0 od razu widać, że x1e⁢n⁢d-x1⁢0>0, co zawęża zbór punktów początkowych oraz końcowych, pomiędzy którymi możemy nawigować. Musi zachodzić x1e⁢n⁢d>x1⁢0.

Przypadek trzeci, s<1. Tutaj (10.6) ma dwa pierwiastki. Naturalnie ten o większej wielkości nie jest czasem przepływu odpowiadającym sterowaniu optymalnemu. Zatem sterowanie optymalne jest realizowalne w czasie

τ=x1e⁢n⁢d-x1⁢0⁢s-x1e⁢n⁢d-x1⁢02+x2e⁢n⁢d-x2⁢02⁢1-s2s2-1.

Uwzględnienie warunku τ≥0 prowadzi tym razem do wniosku, iż punkty x1⁢0,x2⁢0, z których optymalna nawigacja jest wykonalna zajdują się w prawej części płaszczyzny oraz w lewej na prawo od półprostych przechodzących przez punkt x1⁢0,x2⁢0, takich że ich współczynniki kierunkowe dane są przez liczby -s-112 i s-112.

Przykład 10.2

(Leitman, maksymalny zasięg rakiety o ograniczonym ciągu przy zaniedbaniu aerodynamiki) Naszym celem będzie znalezienie ekstremalnych sterowań maksymalizujących zasięg rakiety o ciągach nie przekraczających określonej wartości. Ustalając model matematyczny zjawiska przyjmiemy, że jesteśmy w stałym (ziemskim) polu grawitacyjnym. Ograniczymy się do badania lotu płaskiego. Dodatkowo zaniedbamy zjawiska aerodynamiczne. W ten sposób dostaniemy model, który z jednej strony dzięki swojej prostocie umożliwi nam analizę. Z drugiej jednak będziemy pamiętać, że chcąc dostać wyniki wartościowe z punktu widzenia praktyki uwzględnić trzeba chociażby siłę nośną jaka wpłynie na rakietę.

Rozpatrujemy proces we współrzędnych kartezjańskich x1,x2. Składowe prędkości x1˙,x2˙ będziemy często oznaczać przez x3,x4. Masę rakiety oznaczać będziemy przez x5⁢t, jest ona funkcją czasu. Zależy od ilości paliwa w zbiorniku. Przyspieszenie ziemskie to g, natomiast u1 i u2 oznaczają kosinusy kierunkowe wektora ciągu. Prędkość wypływu masy będziemy oznaczać przez przez u3:=x3˙. Skuteczną prędkość wylotu spalin będziemy oznaczać przez c, jest to dodatnia stała.

Z jednej strony na rakietę działa ściągająca ją w dół siła grawitacji, z drugiej prowadząca ją siła ciągu równa co do wartości c⁢u3, a działająca pod kątem Ψ do osi O⁢x1. Wtedy u1=cos⁡Ψ, a u2=sin⁡Ψ.

Wówczas stan układu opisany jest równaniami:

x1˙=x3,

x2˙=x4,

x3˙=cx5⁢u1⁢u3,

(10.7)

x4˙=cx5⁢u2⁢u3-g,

(10.8)

x5˙=-u3.

(10.9)

Jak zaznaczyliśmy, cią jest ograniczony, zatem 0≤c⁢u3≤c⁢u3m⁢a⁢x. Mamy wobec tego pierwsze więzy

0≤u3≤u3m⁢a⁢x.

(10.10)

Dodatkowo, wobec jedynki trygonometrycznej,

u12+u22=1.

(10.11)

Nasze zagadnienie dotyczy przeniesienia rakiety o danych masie i prędkości początkowej z punktu x1⁢0,x2⁢0 do położenia o danej wyskości h przy użyciu ograniczonej ilości paliwa. Przy czym zależy nam na maksymalnym zasięgu. Nasze sterowanie to zmienne ui dla i=1,2,3, czyli kąt ustawienia rakiety oraz prędkość wypływu masy. Przeprowadzamy układ z punktu x1⁢0,…,x5⁢0 do miejsca określonego przez

x2=x2e⁢n⁢d,⁢⁢x5=x5e⁢n⁢d>0.

Dodatkowo minimalizujemy funkcjonał kosztu

-∫0t1x3⁢s⁢d⁢s.

(10.12)

Użyjemy zasady maksimum Pontriagina. Naszym hamiltonianem będzie

H⁢λ,x,u=u3⁢cx5⁢λ1⁢u1+λ4⁢u2-λ5-λ0⁢x3+λ1⁢x3+λ2⁢x4-λ4⁢g.

Wobec sformułowania zagadnienia kostany spełniają równanie

λ1˙=λ2˙=0,

λ3˙=λ0-λ1,⁢⁢λ4˙=-λ2,

λ5˙=c⁢u3x52⁢λ1⁢u1+λ4⁢u2.

Wykonujemy oczywiste całkowania i mamy

λ1⁢t=λ1⁢t1,⁢⁢λ2⁢t=λ2⁢t1,⁢⁢λ3⁢t=λ1⁢t1-λ0⁢t1-t+λ3⁢t1,

λ4⁢t=λ2⁢t1⁢t1-t+λ4⁢t1.

Teraz warunek (iv) twierdzenia 9.3 mówi nam, że

∑j=15λj⁢t1⁢ηj=0

dla wszystkich rzeczywistych liczb ηj,j=1,…,5 takich że η2=η5=0. Mamy zatem

λ1⁢t1=λ3⁢t1=λ4⁢t1=0.

A wówczas

λ1⁢t=0,⁢⁢λ2⁢t=λ2⁢t1,

(10.13)

λ3⁢t=-λ0⁢t1-t,⁢⁢λ4⁢t=λ2⁢t1⁢t1-t.

(10.14)

Wobec (i) twierdzenia 9.3 wiemy, że sterowanie ekstremalne jest takie, że związana z nim odpowiedź maksymalizuje hamiltonian dla dowolnego kostanu λ. Zatem musimy dobrać sterowanie u takie, aby zależna od niego część hamiltonianu

u3⁢cx5⁢t⁢λ1⁢t⁢u1⁢t+λ4⁢t⁢u2⁢t-λ5⁢t

(10.15)

przyjmowała wartość najwięszą.

Wyznaczymy sterowania ekstremalne przy założeniu, że u3⁢t≠0 dla 0≤t≤t1. Wówczas (10.15) przyjmuje wartość maksymalną w sytuacji, gdy wektor λ1,λ2 jest równoległy do u1,u2 i mają one taki sam zwrot. Dodatkowo, z (10.11) wiemy, że w takim razie

u1⁢t=λ3⁢tλ3⁢t2+λ4⁢t2

i

u2⁢t=λ4⁢tλ3⁢t2+λ4⁢t2.

Następnie (10.14) implikuje λ3⁢t2+λ4⁢t2=t1-t2⁢λ02+λ2⁢t2, natomiast (10.13) daje λ2⁢t=λ2⁢t1 dla każdego 0≤t≤t1. Zatem

u1⁢t=-λ0λ02+λ22⁢t1=c⁢o⁢n⁢s⁢t,

(10.16)

u2⁢t=λ2⁢t1λ02+λ22⁢t1=c⁢o⁢n⁢s⁢t.

(10.17)

Czyli kąt między rakietą, a O⁢x1 jest stały.

Pozostaje jeszcze kwestia wielkości ciągu ekstremalnego c⁢u3⁢t. Nie będziemy tu jej rozważać.