2. Sterowalność

Współrzędne wektora x∈Rn oznaczamy x1, x2, …, xn, n=1,2,…:

x=x1...xn⁢.

Dla odróżnienia naturalne potęgi ϕ oznaczamy jako ϕp, p=1,2,…⁢.

Dla uproszczenia notacji element zerowy w każdej Rn, dla n=1,2,…, oznaczamy przez 0.

Definicja 2.1

Niech Ω⊂Rm, m=1,2,… będzie zadanym zbiorem. Zbiór ten będziemy nazywali zbiorem parametrów sterujących.

Przez większą część wykładu, będziemy przyjmować, że Ω=-1,1m, choć omówimy kilkakrotnie sytuacje Ω=Rm. Jeżeli nie będzie podane inaczej, będziemy zakładali, że Ω=-1,1m. Niech

Um⁢0,t1=⁢u⁢:⁢u⁢t∈Ω⁢⁢oraz⁢⁢u⁢⁢mierzalna⁢⁢na⁢⁢0,t1⁢

Um=⋃t1>0⁢Um⁢0,t1

Każdy element u∈Um będziemy nazywali sterowaniem (control) (lub strategią). Dla każdego sterowania u istnieje odpowiedni odcinek 0,t1⁢u, na którym jest określone.

Definicja 2.2

Dla każdego t≥0 określamy rodzinę zbiorów celu (target sets) T⁢t⊂Rn, gdzie T⁢t jest zbiorem domkniętym w Rn.

Jeżeli nie będzie podane inaczej, to T⁢t=0∈Rn, tak jak w przykładach 1.2 i 1.3.

Rozpatrujemy zagadnienie początkowe dla równania różniczkowego zwyczajnego

x˙⁢t=f⁢t,x⁢t,u⁢t⁢,⁢x⁢0=x0⁢,

(2.1)

gdzie x0∈Rn, x:⁢0,t1⁢→Rn oraz u=u⁢t, u∈Um⁢0,t1, jest poszukiwanym sterowaniem.

Powyższe zagadnienie dotyczy sterowania w pętli otwartej (control in open–loop form), u=u⁢t. Można też rozpatrywać sterowanie w zamkniętej pętli (control in closed–loop form), gdy poszukuje się odwzorowania (zwanego sprzężeniem zwrotnym (feedback) α⁢:⁢Rn⁢→⁢Um dla RRZ

x˙⁢t=f⁢t,x⁢t,α⁢x⁢t⁢,⁢x⁢0=x0⁢.

(2.2)

Sprowadzenie u=u⁢t do u=α⁢x⁢t nazywa się zagadnieniem syntezy (synthesis) sterowania.

Możliwe jest podejście alternatywne w języku inkluzji różniczkowej (differential inclusion)

x˙∈F⁢t,x

(2.3)

gdzie

F⁢t,x=y⁢:⁢y=f⁢t,x,u⁢,⁢dla⁢⁢pewnego⁢⁢u∈Ω⁢.

Założenie 2.1

Funkcja

f:[0,∞[×Rn×Ω→Rn

jest ciągła wraz z pochodnymi cząstkowymi ∂⁡fi∂⁡xj, ∂⁡fi∂⁡uk dla i,j=1,…,n, k=1,2,…,m na zbiorze [0,∞[×Rn×Ω.

Założenie 2.1 gwarantuje lokalne istnienie i jednoznaczność rozwiązania dla u∈Um — tw. Picarda–Lindelöfa — por. [14, 17, 23]. Ponieważ jednak funkcja u jest jedynie funkcją mierzalną i ograniczoną, więc prawa strona RRZ (2.1) jest tylko mierzalna i ograniczona jako funkcja t dla każdego x. Zatem rozwiązanie rozumiane jest jako absolutnie ciągła funkcja spełniająca RRZ (2.1) prawie wszędzie — por. [14, 17, 23].

Założenie 2.1 jest mocniejsze, niż jest to jest potrzebne w niektórych wynikach. Do istnienia i jednoznaczności wystarczy Lipschitz–owskość, ciągłość też można osłabić.

Definicja 2.3

Dla zadanego sterowania u∈Um rozwiązanie RRZ (2.1) nazywa się odpowiedzią na (response to) u — oznaczamy x(t)=x(t,x0,u(.)).

Problem 2.1

Zagadnienie sterowania (control problem): dla zadanego x0 znaleźć t1>0 oraz u∈Um⁢⁢ 0,t1⁢⁢, t.ż. odpowiednia odpowiedź x⁢t1∈T⁢t1.

Jeżeli takie u da się znaleźć, to mówimy, że sterowanie u prowadzi x0 do celu T⁢t1 (control u steers x0 to the target T⁢t1), lub że u jest sterowaniem pomyślnym (successful control).

Problem 2.2

Zagadnienie sterowalności (controllability problem): określić dane początkowe, które można doprowadzić do celu (tzn. dane początkowe, które są sterowalne (controllable)), czyli określić te dane początkowe, dla których istnieje pomyślne sterowanie u∈Um.

Definicja 2.4

Zbiór sterowalny (controllable set) C=⋃t1>0C⁢t1, gdzie

C(t1)={x0∈Rn:istniejeu∈Um,t.z˙.x(t1,x0,u(.))∈T(t1)},

(2.4)

C⁢t1 jest zbiorem tych stanów, które mogą być doprowadzone do celu w chwili t1.

Będziemy badali zbiór C, oraz określimy jak zmienia się C wraz z zawężeniem klasy sterowań.

Definicja 2.5

Jeżeli C=Rn, to sterowalność jest całkowita (completely controllable). Natomiast przypadek 0∈⁢Int⁢⁢C nazywamy sterowalnością lokalną (locally controllable).

Można rozważać węższe klasy sterowań (por. [31]):

Klasa sterowań kawałkami stałych (piecewise constant controls) UP⁢C:

u∈UP⁢C⁢0,t1, jeżeli u jest kawałkami stała na 0,t1, czyli istnieją 0=s0<s1<…<sl=t1, t. ż, u jest stała na każdym przedziale [sk-1,sk[;

UP⁢C=⋃t1>0⁢UP⁢C⁢0,t1⁢.
Klasa sterowań gładkich i niezmieniających się nagle (smooth controls that do not change rapidly) Uε:

u∈Uε⁢0,t1, jeżeli u jest absolutnie ciągła na 0,t1, u⁢0=u⁢1 oraz u˙⁢t≤ε p.w. na 0,t1⁢;

Uε=⋃t1>0⁢Uε⁢0,t1⁢.
Klasa sterowań ,,bang–bang” (bang–bang controls) UB⁢B:

u∈UB⁢B⁢0,t1, jeżeli uj⁢t=1 dla p.k. t∈0,t1⁢ oraz każdego j=1,⁢…⁢,m;

UB⁢B=⋃t1>0⁢UB⁢B⁢0,t1⁢.
Klasa sterowań bang–bang kawałkami stałychUB⁢B⁢P⁢C:

UB⁢B⁢P⁢C⁢0,t1=UB⁢B⁢0,t1⁢⋂UP⁢C⁢0,t1⁢;

UB⁢B⁢P⁢C=⋃t1>0⁢UB⁢B⁢P⁢C⁢0,t1⁢.

Analogicznie do C określamy zbiory sterowalne CP⁢C, Cε, CB⁢B, CB⁢B⁢P⁢C w odniesieniu do odpowiednich klas sterowań.

Problem 2.3

Rozpatrywać będziemy ogólne autonomiczne (autonomous) zagadnienie nieliniowe (NLA)

x˙=f⁢x,u⁢,⁢x⁢t∈Rn⁢,⁢u∈Um⁢,

(2.5)

z warunkiem początkowym

xt=0=x0∈Rn⁢,

i celem T⁢t≡0.

Założenie 2.2

Zakładamy, że funkcja f⁢:×Rn×Ω→Rn jest klasy C1 na Rn×Ω oraz f⁢0,0=0.

Stąd dla zadanego warunku początkowego x0 odpowiedź x(t)=x(t;x0,u(.)) istnieje (przynajmniej) lokalnie w czasie i jest jednoznaczna.

Będziemy również rozpatrywać zagadnienie liniowe (LA)

Problem 2.4

x˙=A⁢x+B⁢u⁢,⁢x⁢t∈Rn⁢,⁢u∈Um⁢,

(2.6)

gdzie A i B są stałymi macierzami, n×n i n×m, odpowiednio,

z warunkiem początkowym

xt=0=x0∈Rn⁢,

i celem T⁢t≡0.

Macierz B ma więc postać:

B=b11…b1⁢m.........bn⁢1…bn⁢m⁢.

Lemat 2.1

Dla (NLA):

Jeżeliu=u⁢t prowadzi x0 do 0 na 0,t1 z odpowiedzią x=x⁢t (tzn. x⁢t1=0), to u¯⁢t=u⁢t-t0 prowadzi x0 do 0 na t0,t0+t1 z odpowiedzią x¯⁢t=x⁢t-t0.
Jeżelix=x⁢t jest odpowiedzią na u∈Um⁢0,t1 prowadzącą x⁢0=x0 do x⁢t1=x1, to z⁢t=x⁢t1-t jest odpowiedzią na u¯⁢t=u⁢t1-t dla równania (z odwróconym czasem)

z˙=-f⁢z⁢t,u¯⁢t⁢, (2.7)

prowadzącą z⁢0=x1 do z⁢t1=x0.

Dowód

1. Mamy

x¯˙=x˙⁢t-t0=f⁢x⁢t-t0,u⁢t-t0=f⁢x¯⁢t,u¯⁢t

dla p.w. t∈t0,t0+t1. Ponadto

x¯⁢t0=x⁢0=x0⁢,⁢x¯⁢t0+t1=x⁢t1=0 .

2. Mamy

z˙⁢t=dd⁢t⁢x⁢t1-t=-f⁢x⁢t1-t,u⁢t1-t=-f⁢z⁢t,u¯⁢t

dla p.w. t∈0,t1. Ponadto

z⁢0=x⁢t1=x1⁢,⁢z⁢t1=x⁢0=x0⁢.

∎

Zagadnienie (NLA) jest autonomiczne w tym sensie, że punkt 1 lematu 2.1 jest spełniony.

Definicja 2.6

Zbiór jest łukowo spójny (arcwise connected), jeżeli każde dwa punkty zbioru mogą być połączone łukiem (homeomorficznym obrazem odcinka) całkowicie zawartym w zbiorze.

Twierdzenie 2.1

Dla (NLA):

jeżeli x0∈C oraz y jest punktem trajektorii łączącej x0 z celem 0, to y∈C;
zbiór C jest łukowo spójny;
jeżeli 0≤τ1<τ2, to C⁢τ1⊂C⁢τ2;
C jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy 0∈⁢Int⁢⁢C.

Dowód: [31] — str. 26–27, [24] — str. 31–32.

1. Niech x0∈C. Istnieje wówczas pomyślne sterowanie u1∈Um oraz odpowiedź x(t)=x(t;x0,u1(.)), t.ż. x⁢t1=0 dla pewnego t1>0. Dla t¯∈0,t1 chcemy pokazać, że y:=x⁢t¯∈C. Sterowanie u2⁢t:=u⁢t+t¯, określone na t∈0,t1-t¯ jest pomyślne z odpowiedzią x2⁢t:=x⁢t+t¯:

x˙2⁢t=f⁢x2⁢t,u2⁢t⁢,⁢x2⁢0=x⁢t¯=y⁢,⁢x1⁢t1-t¯=0⁢,

a zatem y∈C⁢t1-t¯.

2. Jeżeli x¯0, x⌃0 są w C, to istnieją sterowania u¯ i u⌃ oraz odpowiedzi x¯(t)=x(t;x¯0,u¯(.)), x⌃(t)=x(t;x⌃0,u⌃(.)), t.ż.

x¯⁢t¯=0=x⌃⁢t⌃⁢⁢dla⁢⁢pewnych⁢⁢t¯>0⁢,⁢t⌃>0 .

Z 1. każdy punkt obu trajektorii jest w C. Zatem istnieje łuk całkowicie zawarty w C łączący punkty x¯0, x~0.

3. Niech x0∈C⁢τ1. Zatem istnieje sterowanie u∈Um, t.ż. x⁢τ1=0 dla odpowiedzi x(t)=x(t;x0,u(.)). Dla τ2>τ1 określmy sterowanie

u2∈Um⁢:⁢u2⁢t=⁡u⁢tdlat∈ 0,τ1⁢0dlat∈]τ1,τ2]⁢⁢.

Z warunku f⁢0,0=0 wynika, że odpowiedż x2(t)=x(t;x0,u2(.)) spełnia

x2⁢t=0⁢,⁢t∈τ1,τ2⁢,

a zatem u2 prowadzi x0 do celu 0 w czasie τ2, czyli x0∈C⁢τ2.

4. Implikacja ,,⇒” jest oczywista, gdyż 0∈C.

Pokażemy implikację ,,⇐”. Jeżeli 0∈⁢Int⁢⁢C, to istnieje otwarta kula B0=B⁢0,δ0 o środku w 0 i promieniu δ0>0, t.ż. B0⊂C. Niech x1∈C. Chcemy pokazać, że istnieje otwarta kula o środku w x1 całkowicie zawarta w C. Ponieważ x1∈C, więc istnieje sterowanie u1∈Um oraz odpowiedź x(t)=x(t;x1,u1(.)), t.ż. x⁢t1=0 dla pewnego t1>0. Funkcja f jest klasy C1, więc z ciągłej zależności od danych początkowych wynika istnienie otwartej kuli B1=B⁢x1,δ1, δ1>0, t.ż. dla każdego y∈B1:

x2:=x(t1;y,u1(.))∈B0(⊂C).

Istnieje więc sterowanie u2∈Um, które prowadzi x2 do 0 w czasie t2>0.

Zatem dla każdego y∈B1 istnieje sterowanie u∈Um,

u⁢t=⁡u1⁢tdlat∈ 0,t1⁢u2⁢t-t1dlat∈]t1,t1+t2]⁢⁢,

(2.8)

które prowadzi y do 0. Zatem B1⊂C.

∎

Uwaga 2.1

Można pokazać, że są prawdziwe twierdzenia analogiczne do twierdzenia 2.1 dla klas CP⁢C oraz Cε. Dla CB⁢B oraz CB⁢B⁢P⁢C punkty 1, 2 i 4 wynikają bezpośrednio. Natomiast punkt 3 dla CB⁢B wynika z zasady bang–bang — por. twierdzenie 5.1.

Uwaga 2.2

Argumentu w dowodzie ,,⇐” punktu 4 twierdzenia 2.1 nie można przenieść na C⁢t1 dla t1>0, gdyż sterowanie (2.8) określone jest na t1+t2. Najczęściej brzeg zbioru C⁢t1 należy do tego zbioru, więc C⁢t1 nie jest otwarty.

Rozważymy teraz zagadnienie liniowe (LA). Rozwiązanie (LA) ma postać

x(t)=x(t;x0,u(.))=eA⁢tx0+∫0teA⁢t-sBu(s)ds.

(2.9)

Mamy:

x0∈C(t1)⇔∃u∈Um[0,t1]:x0=-∫0t1e-A⁢sBu(s)ds,

(2.10)

Definicja 2.7

Zbiór S jest symetryczny (symmetric), gdy x∈S ⇔ -x∈S.

Twierdzenie 2.2

Dla (LA): C⊂Rn jest symetryczny oraz wypukły.

Dowód: [19] — str. 17, [31] — str. 29, [24] — str. 33.

Mamy (2.10). Jeżeli x0∈C⁢t1 dla u∈Um⁢0,t1, to -x0∈C⁢t1 dla -u∈Um⁢0,t1. Zatem C=⋃t1>0C⁢t1 jest symetryczny.

Jeżeli x0∈C⁢t1 ze sterowaniem u0 i x*∈C⁢t1 ze sterowaniem u1, to α⁢x0+1-α⁢x*∈C⁢t1 ze sterowaniem α⁢u0+1-α⁢u*. Zatem C⁢t1 jest wypukły. Nie wynika z tego od razu, że C=⋃t1>0C⁢t1 jest wypukły (suma zbiorów wypukłych nie musi być wypukła). Jednakże stosując argument z dowodu punktu 3 twierdzenia 2.1 pokazujemy, że C jest wypukły.

∎

Twierdzenie 2.2 można uogólnić na sytuację, gdy A=A⁢t, B=B⁢t są ciągłymi funkcjami. W dowodzie korzysta się z następujących własności klasy sterowań: symetryczności, wypukłości i możliwości przyjmowania wartości 0. Twierdzenie 2.2 zachodzi więc dla klas UP⁢C i Uε, ale nie zachodzi dla UB⁢B i UB⁢B⁢P⁢C, które nie są wypukłe i nie zawierają 0. W rozdziale 5 (twierdzenie 5.1) pokażemy jednak zasadę ,,bang–bang” dla (LA): CB⁢B⁢t1=C⁢t1. Z zasady ,,bang–bang” wynika, że

CB⁢B=⋃t1>0CB⁢B⁢t1=⋃t1>0C⁢t1=C⁢,

a zatem z wypukłości C wynika wypukłość CB⁢B.

Następujące przykłady pokazują, że C może nie zawierać pewnego otoczenia celu, czyli, że nie jest spełniona nawet lokalna sterowalność.

Przykład 2.1 ([19], str. 18)

Niech n=2, m=1,

x˙1=0⁢,x˙2=u⁢.

(2.11)

Zatem

A=0000⁢,⁢B=01⁢.

Rozwiązanie spełniające x⁢0=x0 ma postać

x1⁢t=x01x2⁢t=x02+∫0tu⁢s⁢⁢d⁢s⁢.

(2.12)

Stąd

C=x1x2⁢:⁢x1=0⁢,⁢x2∈R1⁢,

czyli C jest osią x2.

Przykład 2.2 ([31], str. 30; [24], str. 34)

Niech n=2, m=1,

x˙1=x1+u⁢,x˙2=x2+u⁢.

(2.13)

Zatem

A=1001⁢,⁢B=11⁢.

Rozwiązanie spełniające x⁢0=x0 ma postać

x1⁢tx2⁢t=et⁢x01x02+et⁢∫0te-s⁢u⁢s⁢⁢d⁢s⁢11⁢.

(2.14)

Jeżeli x1⁢t1=x2⁢t1=0, to

x01=x02=-∫0t1e-s⁢u⁢s⁢⁢d⁢s

oraz

-1-e-t1≤-x01=-x02≤1-e-t1⁢,

bo u⁢s∈⁢-1,1⁢⁢.

Stąd

C=x1x2⁢:⁢x1=x2⁢,⁢x1<1⁢,⁢x2<1⁢.

Przykłady 2.1 i 2.2 pokazują, że potrzebne są pewne warunki na macierze A i B. Warunki te zostaną wyrażone przez macierz sterowalności.

Definicja 2.8

Dla (LA) wprowadzamy macierz sterowalności (controllability matrix):

M=⁢B,A⁢B,A2⁢B,…,An-1⁢B⁢︸macierz⁢⁢n⁢n⁢m

W dowodzie odpowiedniego twierdzenia (tw. 2.4) korzysta się z pojęcia hiperpłaszczyzny:

Definicja 2.9

n-1–wymiarową hiperpłaszczyzną (hyperplane) w Rn nazywamy zbiór

H=x∈Rn⁢:⁢aT⁢x=α⁢⁢,

gdzie a∈Rn, aT oraz α∈R1 są zadane, aT⁢x oznacza iloczyn skalarny wektorów a i x.

Istotną rolę odgrywa tu wniosek z twierdzenia Mazura (geometrycznej wersji twierdzenia Hahna-Banacha) - twierdzenie o hiperpłaszczyźnie podpierającej — por. [30], str. 190.

Twierdzenie 2.3 (Twierdzenie o hiperpłaszczyźnie podpierającej)

Jeżeli y∉⁢Int⁢⁢K, gdzie K jest wypukłym zbiorem, t.ż. Int⁢⁢K⁢≠∅, to istnieje hiperpłaszczyzna podpierająca H w y (supporting hyperplane H through y), tzn. K leży po jednej stronie H:

aT⁢y=α⁢,⁢⁢aT⁢x≤α⁢⁢∀⁢x∈K⁢,

(2.15)

dla pewnego α∈R1.

♣

Twierdzenie 2.4

Dla (LA): Następujące trzy warunki są równoważne

(a) ⁢rank⁢⁢M=n
(b) 0∈Int⁢⁢C⁢ (lokalna sterowalność)
(c) ⁢C — otwarty w Rn

Dowód: [19], str. 18, [31], str. 31, [24], str. 35, [27], str. 108

Zauważmy, że równoważność b ⇔ c wynika z twierdzenia 2.1.

1. Dowód b ⇒ a, czyli ∼a ⇒ ∼b. Załóżmy więc ∼a, czyli rank⁢⁢M<n.

Wówczas istnieje wektor y∈Rn, y≠0, prostopadły do każdej kolumny macierzy M, czyli

yTM=0(∈Rn⁢m).

Stąd

yTB=yTAB=…=yTAn-1B=0(∈Rm).

Niech P będzie wielomianem charakterystycznym macierzy A

P⁢λ=det⁡λ⁢I-A⁢,

gdzie I jest macierzą jednostkową n×n.

Mamy (twierdzenie Cayleya–Hamiltona)

P⁢A=0 .

Stąd

An=βn-1⁢An-1+…+β0⁢I⁢,

a zatem

yT⁢An⁢B=βn-1⁢yT⁢An-1⁢B+…+β0⁢yT⁢B=0 .

Podobnie

An+1=βn-1⁢An+…+β0⁢A

yT⁢An+1⁢B=0 .

Powtarzając to postępowanie

yT⁢Ak⁢B=0⁢,⁢∀⁢k=0,1,…⁢.

Stąd

yT⁢e-A⁢s⁢B=yT⁢∑k=0∞-1k⁢Ak⁢⁢skk!⁢B=0⁢,

dla każdego s∈0,t1.

Mamy (2.10). Stąd

yT⁢x0=-∫0t1yT⁢e-A⁢s⁢B⁢u⁢s⁢⁢d⁢s=0⁢,

czyli istnieje niezerowy wektor y∈Rn, który jest prostopadły do każdego x0∈C⁢t1. Stąd wynika, że C⁢t1 leży w hiperpłaszczyźnie prostopadłej do y dla każdego t1>0. Zatem C=⋃t1>0⁢C⁢t1 leży w hiperpłaszczyźnie prostopadłej do y i

Int⁢⁢C=∅⁢.

Otrzymujemy więc, że 0∉Int⁢⁢C, czyli ∼b.

2. Dowód a ⇒ b, czyli ∼b ⇒ ∼a. Załóżmy więc ∼b, czyli 0∉Int⁢⁢C. Stąd dla każdego t1>0: 0∉Int⁢⁢C⁢t1, gdyż C⁢t1⊂C⁢ (nie istnieje kula B⁢0,δ⊂C ⇒ nie istnieje kula B⁢0,δ⊂C⁢t1 dla każdego t1).

Ale 0∈C⁢t1 oraz C⁢t1 jest zbiorem wypukłym dla każdego t1>0 (por. dowód twierdzenia 2.2). Zatem istnieje hiperpłaszczyzna przechodząca przez 0, taka że C⁢t1 leży po jednej stronie tej hiperpłaszczyzny (twierdzenie 2.3), tzn. istnieje wektor b=b⁢t1∈Rn, b≠0, taki że

bT⁢x0≤0⁢⁢∀⁢x0∈C⁢t1⁢.

Stąd

-bT⁢x0=∫0t1bT⁢e-A⁢s⁢B⁢u⁢s⁢⁢d⁢s≥0⁢⁢∀⁢u∈Um⁢0,t1⁢.

Z lematu 2.2 poniżej wynika, że

bT⁢e-A⁢s⁢B=0⁢⁢∀⁢s∈0,t1⁢.

Wstawiając s=0 otrzymujemy bT⁢B=0. Następnie różniczkując względem s i wstawiając s=0 otrzymujemy

bT⁢Ak⁢B=0⁢⁢∀⁢k=0,1,…⁢.

Zatem niezerowy wektor b jest prostopadły do każdej kolumny M i rank⁢⁢M<n, czyli ∼a.

∎

Lemat 2.2 (Nierówność całkowa)

Jeżeli

∫0t1bT⁢e-A⁢s⁢B⁢u⁢s⁢⁢d⁢s≥0⁢⁢∀⁢u∈Um⁢0,t1⁢,

(2.16)

bT⁢e-A⁢s⁢B=0⁢⁢∀⁢s∈0,t1⁢.

Dowód: [31], str. 32; [19], str. 21

Jeżeli u∈Um⁢0,t1, to -u∈Um⁢0,t1. Zatem z (2.16) wynika, że

∫0t1bT⁢e-A⁢s⁢B⁢u⁢s⁢⁢d⁢s=0⁢⁢∀⁢u∈Um⁢0,t1⁢.

Niech v⁢s:=bT⁢e-A⁢s⁢BT. Jeżeli v≢0, to istnieje s0∈0,t1, t.ż. v⁢s0≠0. Istnieje wtedy przedział I⊂0,t1, t.ż. s0∈I oraz v≠0 na I. Określmy sterowanie

u⁢t=⁡v⁢tv⁢tdlat∈I0dlat∈0,t1∖I⁢⁢.

Wówczas mamy

0=∫0t1vT⁢s⁢u⁢s⁢⁢d⁢s=∫IvT⁢s⁢v⁢sv⁢s⁢⁢d⁢s=∫Iv⁢s⁢⁢d⁢s⁢.

Otrzymujemy więc sprzeczność z założeniem v≢0.

∎

Wniosek 2.1

Twierdzenie 2.4 można powtórzyć dla klas UP⁢C, Uε, gdyż dla tych klas ,,przechodzi” lemat 2.2.

W dowodzie twierdzenia 2.4 pokazaliśmy, że

Wniosek 2.2

rank⁢⁢M<n⇒ istnieje hiperpłaszczyzna w Rn, t.ż. C=⋃t1>0C⁢t1 leży w tej hiperpłaszczyźnie ⇒ 0∉Int⁢⁢C⁢.

Ponadto

Wniosek 2.3

rank⁢⁢M=n wtedy i tylko wtedy, gdy

∀⁢b∈Rn⁢,⁢b≠0⁢:⁢bT⁢e-A⁢⁢t⁢B≢0

(2.17)

jako funkcja zmiennej t.

Dowód

Pokazaliśmy, że rank⁢⁢M<n ⇒ ∃⁢y∈Rn, y≠0, t.ż.

yT⁢e-A⁢⁢t⁢B≡0

⇒0∉Int⁢⁢C⇒rank⁢⁢M<n. Zatem otrzymujemy (2.17).

∎

Definicja 2.10

Układ (LA) spełniający (2.17) nazywa się właściwy (proper).

(LA) jest właściwy wtedy i tylko wtedy, gdy

rank⁢⁢M=n⁢.

W rozpatrywanym tutaj przypadku Ω=⁢-1,1m⁢ warunek rank⁢⁢M=n nie gwarantuje całkowitej sterowalności C=Rn, jak pokazuje prosty przykład

Przykład 2.3 ([31], str. 33)

Niech n=m=1. Rozważmy

x˙=x+u⁢.

Jeżeli x0>1 (lub x0<-1), to odpowiedź na dowolne sterowanie rośnie (maleje) wraz z t, a więc żadne sterowanie nie jest pomyślne. Mamy C=]-1,1[≠R1, choć 0∈Int⁢⁢C.

Jednakże przy dodatkowym warunku otrzymujemy:

Twierdzenie 2.5

Dla (LA) następujące dwa warunki są równoważne:

(a) ⁢rank⁢⁢M=n⁢ oraz ⁢ℜ⁡λ≤0⁢ dla każdej wartości własnej λ macierzy A
(b) ⁢C=Rn.

Dowód: [31], str. 34; [24], str. 37–38; oraz ⇒: [27], str. 112, [19], str. 22

1. Dowód a ⇒ b. Załóżmy, że rank⁢⁢M=n oraz ℜ⁡λ≤0 dla każdej wartości własnej λ macierzy A. Gdyby istniał y∈Rn, t.ż. y∉C, to z wypukłości C (twierdzenie 2.2) oraz twierdzenia 2.3 wynikałoby, że y mógłby być odseparowany od C hiperpłaszczyzną, tzn. istniałby b∈Rn, b≠0, t.ż.

bT⁢x0≤α⁢⁢∀⁢x0∈C⁢,

(2.18)

dla pewnego α∈R1.

Pokażemy, że dla każdego α∈R1 oraz każdego b∈Rn, b≠0 istnieje t1>0 oraz u∈Um⁢0,t1, t.ż.

-∫0t1bT⁢e-A⁢s⁢B⁢u⁢s⁢⁢d⁢⁢s>α⁢,

(2.19)

co oznacza sprzeczność z (2.18), a zatem sprzeczność z założeniem istnienia y∈Rn, t.ż. y∉C, a więc dowodzi prawdziwości a ⇒ b.

Niech

v⁢s:=bT⁢e-A⁢s⁢BT∈Rm⁢.

Z założenia, że rank⁢⁢M=n oraz uwagi 2.3 wynika, że (LA) jest właściwy, czyli

v≢0⁢⁢na⁢⁢0,t1⁢.

(2.20)

Określmy sterowanie

u⁢t=⁡-v⁢tv⁢tdlav⁢t≠00dlav⁢t=0 .⁢

Wówczas mamy

-∫0t1bT⁢e-A⁢s⁢B⁢u⁢s⁢⁢d⁢⁢s=-∫0t1vT⁢s⁢u⁢s⁢⁢d⁢⁢s=∫0t1v⁢s⁢⁢d⁢s⁢.

Pokażemy, że

∫0∞v⁢s⁢⁢d⁢s=∞⁢,

(2.21)

a zatem istnienie takiego t1, że (2.19) jest spełniona.

Załóżmy, że (2.21) nie jest spełniona, czyli

∫0∞v⁢s⁢⁢d⁢s<∞⁢.

Wówczas ϕ⁢t:=∫t∞v⁢s⁢⁢d⁢s spełnia

ϕ˙⁢t=-v⁢t⁢,⁢limt→∞⁡ϕ⁢t=0⁢,⁢ϕ≢0 .

(2.22)

Jeżeli P jest wielomianem charakterystycznym macierzy A, to P⁢A=0. Stąd

P⁢-dd⁢t⁢v⁢t=P⁢-dd⁢t⁢bT⁢e-A⁢t⁢BT=bT⁢P⁢-dd⁢t⁢e-A⁢t⁢BT=bT⁢P⁢A⁢e-A⁢t⁢BT≡0 .

Zatem funkcja ϕ=ϕ⁢t spełnia liniowy układ równań różniczkowych ze stałymi współczynnikami

dd⁢t⁢P⁢-dd⁢t⁢ϕ⁢t=0 .

Rozwiązaniem tego równania jest pewna liniowa kombinacja wyrazów postaci

P1⁢t⁢sin⁡ℑ⁡γ⁢⁢t+P2⁢t⁢cos⁡ℑ⁡γ⁢⁢t⁢eℜ⁡γ⁢⁢t⁢,

gdzie γ jest pierwiastkiem równania

γ⁢P⁢-γ=0.

Zatem γ=0, lub -γ=λ, gdzie λ jest wartością własną macierzy A. Z założenia wynika, że

ℜ⁡γ≥0

co jest sprzeczne z (2.22). To kończy dowód implikacji a ⇒ b.

2. Dowód b ⇒ a. Pokażemy, że

rank⁢⁢M<n⁢,

lub

ℜ⁡λ>0 dla pewnej wartości własnej λ macierzy A

implikuje C≠Rn.

Jeżeli rank⁢⁢M<n⁢, to z wniosku 2.2 wynika, że C≠Rn.

Niech ℜ⁡λ>0, dla pewnej wartości własnej λ macierzy A. Jeżeli y∈Cn jest (lewym) wektorem własnym (eigenvector), to

yT⁢A=λ⁢yT⁢.

Stąd

yT⁢Ak=λk⁢yT⁢⁢∀⁢k=1,2,…⁢,

a zatem

yT⁢e-A⁢t=e-λ⁢t⁢yT⁢⁢t>0 .

Mamy

yT=yℜT+i⁢yℑT⁢,⁢yℜ,yℑ∈Rn⁢,⁢yℜ≠0 .

Wówczas

yℜT⁢e-A⁢t=e-ℜ⁡λ⁢⁢t⁢cos⁡ℑ⁡λ⁢⁢t⁢yℜT-e-ℜ⁡λ⁢⁢t⁢sin⁡ℑ⁡λ⁢⁢t⁢yℑT⁢.

(2.23)

Mamy

yℜT⁢x0=-∫0t1yℜT⁢e-A⁢s⁢B⁢u⁢s⁢⁢d⁢⁢s⁢.

(2.24)

Z (2.23) wynika, że prawa strona (2.24) jest ograniczona jednostajnie względem t1>0. Zatem

yℜT⁢x0<α⁢⁢∀⁢x0∈C⁢,

dla pewnego α∈R1. Czyli C leży po jednej stronie pewnej hiperpłaszczyzny, a więc C≠Rn. To kończy dowód b ⇒ a.

∎

Ćwiczenie 2.1

Czy twierdzenie 2.5 jest prawdziwe dla klas CP⁢C, Cε, CB⁢B oraz CB⁢B⁢P⁢C? Dla CB⁢B można zastosować zasadę bang–bang — por. twierdzenie 5.1.

Z dowodu b ⇒ a twierdzenia 2.5 wynika prawdziwość (por. [24], str. 38):

Wniosek 2.4

Jeżeli rank⁢⁢M=n oraz ℜ⁡λ>0, dla pewnej wartości własnej λ macierzy A, to C≠Rn.

Przykład 2.4 (Wagon odrzutowy — patrz przykład 1.2)

x˙1x˙2⁢=⁢A⁢x1x2+B⁢u⁢t⁢,⁢⁢A=0100⁢,⁢B=01⁢.

Mamy

M=B,A⁢B=0110⁢,

rank⁢⁢M=2 i układ jest właściwy. Jedyną (podwójną) wartością własną macierzy A jest 0. Z twierdzenia 2.5 wynika, że C=R2, czyli każdy stan początkowy może być doprowadzony do celu 0∈R2.

W przeciwieństwie do przypadku klasy sterowań Um o wartościach w Ω=-1,1m, rozważanego w twierdzeniu 2.5, w przypadku sterowań o wartościach w Ω=Rm okazuje się, że warunek rank⁢⁢M=n jest równoważny całkowitej sterowalności. W przypadku Ω=Rm klasę sterowań definiujemy jako

Um∞=⋃t1>0L∞⁢0,t1;Rm⁢.

Dla uproszczenia notacji odpowiedni zbiór sterowalny bedziemy oznaczali jako C, czyli tak samo, jak w przypadku Ω=-1,1m (sens będzie wynikał z kontekstu).

Wówczas można sformułować następujące twierdzenie:

Twierdzenie 2.6

Dla (LA) i klasy sterowań Um∞ następujące dwa warunki są równoważne:

(a) ⁢rank⁢⁢M=n⁢,
(b) ⁢C=Rn.

Dowód: por. [14], str. 58; [27], str. 107.

1. Dowód b ⇒ a, czyli ∼a ⇒ ∼b jest identyczny jak punkt 1 dowodu twierdzenia 2.4.

2. Dowód a ⇒ b. Załóżmy, że ⁢rank⁢⁢M=n⁢. Z twierdzenia 2.4 wynika, że istnieje otwarta kula B=B⁢0,δ o środku w 0∈Rn i promieniu δ>0, t.ż. B⊂C. Dla dowolnego x0∈Rn istnieje stała η∈]0,1], t.ż.

η⁢x0∈B⁢,

czyli istnieje t1>0 oraz u∈Um⁢0,t1, t.ż.

η⁢x0=-∫0t1e-A⁢s⁢B⁢u⁢s⁢⁢d⁢⁢s⁢.

Stąd

x0=-∫0t1e-A⁢s⁢B⁢u¯⁢s⁢⁢d⁢⁢s⁢,

gdzie u¯=uη∈Um∞, co kończy dowód.

∎

Okazuje się (por. [31], str. 37), że dla klasy sterowań Um ,,prawie wszystkie” układy (LA) są lokalnie sterowalne (tzn. spełniają 0∈C), a dla klasy sterowań Um∞ ,,prawie wszystkie” układy (LA) są całkowicie sterowalne (tzn. spełniają C=Rn).

Odległość między dwoma układami (LA): (A1,B1) i (A2,B2), czyli x˙=A1⁢x+B1⁢u⁢ i ⁢x˙=A2⁢x+B2⁢u, odpowiednio, określamy jako

d⁢A1,B1,A2,B2=A1-A2+B1-B2⁢,

gdzie A=∑i,j=1nai⁢j i analogicznie B.

Zatem dwa układy są bliskie, jeżeli elementy odpowiednich macierzy są bliskie.

Twierdzenie 2.7

Zbiór wszystkich sterowalnych (LA) jest otwarty i gęsty w przestrzeni metrycznej wszystkich (LA), gdzie ,,sterowalność” rozumiemy w sensie

całkowitej sterowalności dla Ω=Rm,
lokalnej sterowalności dla Ω=-1,1m.

Dowód: [31], str. 37.

Z twierdzenia 2.4, lub twierdzenia 2.6, w obu rozważanych przypadkach, sterowalność jest równoważna warunkowi ⁢rank⁢⁢M=n⁢. Ten warunek oznacza, że istnieje (n×n)–macierz N, będąca podmacierzą M, t.ż. det⁢N≠0.

Jeżeli układ (A~,B~) jest bliski (A,B), to odpowiednia n×n podmacierz N~ macierzy M~ jest bliska odpowiedniej podmacierzy N macierzy M. Jeżeli det⁡N≠0, to det⁡N~≠0 dla N-N~ — małego. Zatem układy sterowalne są zbiorem otwartym.

Załóżmy, że x˙=A0⁢x+B0⁢u nie jest sterowalny, tzn. ⁢rank⁢⁢M0<n⁢, gdzie M0=B0,…,A0n-1⁢B0. Chcemy pokazać istnienie układu (A~,B~) — bliskiego układowi (A0,B0) — t.ż. det⁡N~≠0, dla pewnej n×n podmacierzy N~ macierzy M~=B~,…,A~n-1⁢B~.

det⁡N~ może być traktowany jako wielomian P⁢y1,…,yk⁢ elementów macierzy A~ i B~, gdzie ⁢k=n2+n⁢m. Mamy

P⁢y01,…,y0k=0

dla y01,…,y0k – elementów macierzy A0, B0.

Wystarczy pokazać, że: dla niezerowego wielomianu P=P⁢y1,…,yk, t.ż. P⁢y01,…,y0k=0, istnieje y1∈Rk — dowolnie bliskie y0, t.ż.

P⁢y11,…,y1k≠0 .

Powyższe zdanie wynika z faktu, że niezerowy wielomian k zmiennych nie może znikać w żadnej k–wymiarowej kuli: gdyby znikał, to biorąc pochodne cząstkowe pokazalibyśmy, że wszystkie współczynniki się zerują.

∎

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Teoria sterowania

2. Sterowalność

Definicja 2.1

Definicja 2.2

Założenie 2.1

Definicja 2.3

Problem 2.1

Problem 2.2

Definicja 2.4

Definicja 2.5

Problem 2.3

Założenie 2.2

Problem 2.4

Lemat 2.1

Dowód

Definicja 2.6

Twierdzenie 2.1

Dowód: [31] — str. 26–27, [24] — str. 31–32.

Uwaga 2.1

Uwaga 2.2

Definicja 2.7

Twierdzenie 2.2

Dowód: [19] — str. 17, [31] — str. 29, [24] — str. 33.

Przykład 2.1 ([19], str. 18)

Przykład 2.2 ([31], str. 30; [24], str. 34)

Definicja 2.8

Definicja 2.9

Twierdzenie 2.3 (Twierdzenie o hiperpłaszczyźnie podpierającej)

Twierdzenie 2.4

Dowód: [19], str. 18, [31], str. 31, [24], str. 35, [27], str. 108

Lemat 2.2 (Nierówność całkowa)

Dowód: [31], str. 32; [19], str. 21

Wniosek 2.1

Wniosek 2.2

Wniosek 2.3

Dowód

Definicja 2.10

Przykład 2.3 ([31], str. 33)

Twierdzenie 2.5

Dowód: [31], str. 34; [24], str. 37–38; oraz ⇒: [27], str. 112, [19], str. 22

Ćwiczenie 2.1

Wniosek 2.4

Przykład 2.4 (Wagon odrzutowy — patrz przykład 1.2)

Twierdzenie 2.6

Dowód: por. [14], str. 58; [27], str. 107.

Twierdzenie 2.7

Dowód: [31], str. 37.