Dowód: [19], str. 25, [27], str. 117.

1. Dowód b ⇒ a, czyli ∼a ⇒ ∼b. Załóżmy więc ∼a, czyli, że układ (3.1) nie jest obserwowalny. Istnieją wówczas punkty x1,0,x2,0∈Rn, t.ż. x1,0≠x2,0,

x˙1=A⁢x1⁢,⁢x1⁢0=x1,0x˙2=A⁢x2⁢,⁢x2⁢0=x2,0

(3.3)

oraz y⁢t=C⁢x1⁢t=C⁢x2⁢t dla każdego t≥0. Niech

x⁢t=x1⁢t-x2⁢t⁢,⁢x0=x1,0-x2,0⁢.

(3.4)

Stąd

x˙=A⁢x⁢,⁢x⁢0=x0≠0⁢,

(3.5)

czyli x⁢t=et⁢A⁢x0. Mamy C⁢x⁢t=0 dla t≥0. Zatem

C⁢et⁢A⁢x0=0⁢,⁢t≥0 .

(3.6)

Zatem dla t=0 otrzymujemy C⁢x0=0, następnie różniczkując względem t i wstawiając t=0 otrzymujemy, że

C⁢Ak⁢x0=0⁢,⁢∀k=0,1,2,…⁢.

(3.7)

Stąd x0T⁢AkT⁢CT=0, a więc x0T⁢ATk⁢CT=0, czyli

x0T⁢CT,AT⁢CT,…,ATn-1⁢CT=0 .

(3.8)

Ponieważ x0≠0, więc rank⁢CT,AT⁢CT,…,ATn-1⁢CT<n, co kończy dowód b ⇒ a.

2. Dowód a ⇒ b, czyli ∼b ⇒ ∼a. Załóżmy więc ∼b, czyli, że

rank⁢CT,AT⁢CT,…,ATn-1⁢CT<n⁢.

Zatem istnieje x0≠0, t.ż.

x0T⁢⁢CT,AT⁢CT,…,ATn-1⁢CT=0⁢,

czyli C⁢Ak⁢x0=0 dla każdego k=0,1,…,n-1.

Z twierdzenia Cayleya–Hamiltona wynika, że

An=-βn-1⁢An-1-…-β0⁢I

dla odpowiednich stałych β0,…,βn-1 (z wielomianu charakterystycznego).

Stąd C⁢An⁢x0=0. Następnie

An+1=-βn-1⁢An-…-β0⁢A⁢,

a więc C⁢An+1⁢x0=0. Kontynuując otrzymujemy C⁢Ak⁢x0=0 dla każdego k=0,1,…. Mamy

x⁢t=et⁢A⁢x0=∑k=0∞tk⁢Akk!⁢x0⁢,

skąd otrzymujemy C⁢x⁢t=0, a zatem układ (3.1) nie jest obserwowalny. To kończy dowód.

∎