4. Sterowalność dla układów nieliniowych

Rozważymy układ nieliniowy (NLA)

x˙=f⁢x,u⁢,⁢x⁢t∈Rn⁢,⁢u∈Um⁢,

(4.1)

z celem T⁢t≡0∈Rn. Zakładamy, że f⁢0,0=0∈Rn i f jest klasy C1 na Rn×Rm.

Istotną rolę będzie pełniła linearyzacja (NLA) wokół 0,0∈Rn×Rm:

f⁢x,u=Af⁢x+Bf⁢u+o⁢x+u⁢,

(4.2)

gdzie

Af=∂⁡fi∂⁡xj⁢0,0i,j=1,…,n⁢,⁢Bf=∂⁡fi∂⁡uk⁢0,0i=1,…,nk=1,…,m⁢.

Chcemy o sterowalności dla (NLA) w otoczeniu 0∈Rn wnioskować ze sterowalności linearyzacji wokół 0,0∈Rn×Rm.

Definicja 4.1

Dla (NLA) wprowadzamy macierz sterowalności układu zlinearyzowanego:

Mf=⁢Bf,Af⁢Bf,Af2⁢Bf,…,Afn-1⁢Bf⁢︸macierz⁢⁢n⁢n⁢m

Twierdzenie 4.1

Dla (NLA): ⁢rank⁢⁢Mf=n⁢ ⟹ 0∈Int⁢⁢C.

Dowód: [31], str. 38.⁢♣

Wniosek 4.1

Twierdzenie 4.1 zachodzi dla wszystkich sterowań, dla których można w danej klasie przedłużać sterowanie zerem.

Jednakże odpowiednik twierdzenia 4.1 dla CB⁢B jest fałszywy, jak pokazuje następujący przykład:

Przykład 4.1 (([31], str. 45))

Niech n=m=1 i

x˙⁢t=u⁢t+u⁢t2

dla -1≤u⁢t≤1. Mamy

Af=fx⁢0,0=0⁢,⁢Bf=fu⁢0,0=1⁢,⁢Mf=1 .

Zatem ⁢rank⁢⁢Mf=1=n⁢ i 0⁢ leży we wnętrzu ⁢C⁢ z twierdzenia 4.1 (a także dla ⁢CP⁢C⁢ oraz ⁢Cε⁢). Ale u∈UB⁢B implikuje, że u+u2 równa się 0, albo 2, a zatem x˙≥0. Stąd 0∉⁢Int⁢⁢CB⁢B, gdyż żaden punkt x0>0 nie może być doprowadzony do 0.

Ten sam przykład pokazuje, że zasada bang–bang (rozdział 5.1) nie zachodzi dla (NLA).

Twierdzenie 4.2

Dla (NLA): Jeżeli układ z zerowym sterowaniem (u=0) jest globalnie asymptotycznie stabilny i ⁢rank⁢⁢Mf=n⁢, to C=Rn.

Dowód: [31], str. 43.

Dla (NLA) twierdzenie 4.1 gwarantuje istnienie δ>0, t.ż. istnieje kula B⁢0;δ⊂C. Globalna asymptotyczna stabilność rozwiązania dla u≡0 implikuje, że

limt→∞⁡x⁢t;x0,0=0

dla każdego x0∈Rn. Zatem każde rozwiązanie z u≡0 wchodzi do B⁢0,δ w skończonym czasie. Następnie korzystamy z B⁢0;δ⊂C.

∎

Twierdzenie 4.2 wskazuje na ścisły związek pomiędzy teorią stabilności a sterowalnością.

Ważnym pojęciem w badaniu stabilności jest funkcja Lapunova (por. [35], rozdział 7.2, [21], rozdział 26).

Definicja 4.2

Niech G⊂Rn będzie otoczeniem punktu równowagi x∗∈Rn układu x˙=f⁢x. Funkcję V⁢:⁢G⟶R+ nazywamy funkcją Lapunova, jeżeli

jest ciągła w G i różniczkowalna w G∖x∗,
V⁢x≥0∀⁢x∈G, ⁢V⁢x=0⁢⇔⁢x=x∗
V˙⁢x≤0⁢∀⁢x∈G∖x∗, gdzie

V˙⁢x=grad⁢⁢V⁢xT⁢f⁢x⁢.

Definicja 4.3

Mocną funkcją Lapunova nazywamy V⁢:⁢G⟶R+, jeżeli

jest funkcją Lapunova w G,
V˙<0∀⁢x∈G∖x∗.

Twierdzenie 4.3

Jeżeli istnieje funkcja Lapunova, to punkt równowagi x∗ jest stabilny w sensie Lapunova.
Jeżeli istnieje mocna funkcja Lapunova, to punkt równowagi x∗ jest asymptotycznie stabilny.

♣

Przykład 4.2 (por. [31], str. 43)

Punkt materialny, o jednostkowej masie, poruszający się pod wpływem zewnętrznej siły F można opisać zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona:

y¨=F⁢.

Jeżeli punkt zawieszony jest na sprężynie i ruch odbywa się w ośrodku stawiającym opór, to można przyjąć, że

F=-l⁢y˙-h⁢y+u⁢,

gdzie F1=-l⁢y˙ jest siłą oporu środowiska, l=l⁢y,y˙, -h⁢y jest siłą sprężystości oraz u jest siłą wymuszającą (lub tłumiącą). Na przykład dla prawa Hooke'a h⁢y=h0⁢y — por. przykład 1.3.

Załóżmy, że l i h są funkcjami klasy C1, h⁢0=0.

Przyjmując x1=y, x2=y˙ otrzymujemy układ równań

x˙1x˙2⁢=⁢010-l⁢x1,x2⁢x1x2+0-h⁢x1+u⁢.

(4.3)

Układ zlinearyzowany ma postać

x˙1x˙2⁢=⁢01-h′⁢0-l⁢0,0⁢x1x2+0u⁢.

(4.4)

Mamy

Mf⁢=⁢011-l⁢0,0⁢,⁢oraz⁢⁢rank⁢⁢Mf=2=n⁢.

(4.5)

Zatem, dla każdego warunku gwarantującego globalną asymptotyczną stabilność rozwiązania x≡0 układu dla u=0, otrzymamy C=R2.

Jeżeli

l⁢x1,x2>0 dla każdego x1,x2≠0,
y⁢h⁢y>0 dla każdego y≠0,
limy→∞⁡⁢∫0yh⁢s⁢d⁢⁢s=+∞,

to rozwiązanie x≡0 jest globalnie asymptotycznie stabilne.

Rzeczywiście, niech:

V⁢x1,x2:=x222+H⁢x1⁢,⁢H⁢y=∫0yh⁢s⁢d⁢s⁢,

V⁢x1,x2>0⁢⁢∀⁢x1,x2≠0⁢,

limx→∞⁡V⁢x=∞

(4.6)

oraz wzdłuż rozwiązań układu z u≡0:

V˙⁢x1,x2=x2⁢x˙2+h⁢x1⁢x˙1=x2⁢-l⁢x1,x2⁢x2-h⁢x1+h⁢x1⁢x2=-x22⁢l⁢x1,x2≤0 .

(4.7)

Zatem V jest funkcją Lapunova i rozwiązanie x≡0 dla u≡0 jest stabilne (w sensie Lapunova). Argument ten nie wystarczy do pokazania asymptotycznej stabilności, gdyż V˙ zeruje się nie tylko dla x1,x2=0,0, ale również dla punktów x1,x2, takich że x1≠0, x2=0. Aby pokazać asymptotyczną stabilność wystarczy wykazać, że jeżeli trajektoria przechodzi przez taki punkt x1,0, x1≠0, to jest to punkt przegięcia (flex point) funkcji V i funkcja ta jest ściśle malejąca (por. [35], str. 211, przykład 7.4). Jeżeli t∗>0 jest t.ż. x1⁢t∗≠0 i x2⁢t∗=0, to x˙2⁢t∗=-h⁢x1⁢t∗≠0. Stąd x˙2⁢t ma ten sam znak i x2⁢t≠0 w sąsiedztwie t∗. Zatem V⁢x1⁢t,x2⁢t ma w t∗ punkt przegięcia i jest ściśle malejąca. To gwarantuje asymptotyczną stabilność.

Globalność wynika z warunku 4.6 — por. [23], twierdzenia 26.2, 26.3, str. 108–109.

Istnieje związek pomiędzy CP⁢C i C:

Twierdzenie 4.4

Dla (NLA): jeżeli 0∈Int⁢⁢CP⁢C, to CP⁢C=C.

Dowód: [31], str. 46–47.⁢♣

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Teoria sterowania