6. Zagadnienie optymalnego sterowania

Badanie sterowalności jest jednym z podstawowych aspektów teorii sterowania. Kolejnym jest badanie optymalności pomyślnych sterowań. Wprowadzamy funkcjonał kosztu (cost functional) (lub funkcjonał wypłaty (payoff functional))

C⁢u=∫0t1f0⁢t,x⁢t,u⁢t⁢d⁢⁢t+g⁢t1,x⁢t1⁢,

(6.1)

gdzie x(t)=x(t;x0,u(.)) jest odpowiedzią na sterowanie u∈Um, f0 i g są zadanymi funkcjami rzeczywistymi. Pierwszy (całkowy) wyraz lewej strony (6.1) jest bieżącym kosztem (running cost) (lub bieżącą wypłatą (running payoff)), a drugi wyraz (tzn. g) jest końcowym kosztem (terminal cost) (lub końcową wypłatą (terminal payoff)). W przypadku interpretacji C⁢u jako kosztu naturalne jest poszukiwanie sterowań u minimalizujących C⁢u, a w przypadku interpretacji jako wypłaty — maksymalizujących. Dalej będziemy mówili o koszcie i minimalizacji.

Rozpatrujemy więc zagadnienie:

x˙=f⁢t,x,u⁢,⁢x⁢t∈Rn⁢,⁢u⁢t∈Ω⁢,

z danymi początkowymi x⁢0=x0 oraz funkcjonałem kosztu zadanym jednym z poniższych wzorów

(L) ⁢C⁢u=∫0t1f0⁢t,x⁢t,u⁢t⁢⁢d⁢t⁢,⁢ — zagadnienie Lagrange'a;
(M) ⁢C⁢u=g⁢t1,x⁢t1⁢,⁢⁢⁢⁢ — zagadnienie Mayera;
(B) ⁢C⁢u=∫0t1f0⁢t,x⁢t,u⁢t⁢⁢d⁢t+g⁢t1,x⁢t1⁢, — zagadnienie Bolzy.

Problem 6.1

Zagadnienie sterowania optymalnego (optimal control problem) polega na tym, by doprowadzić do celu sterowaniem z odpowiedniej klasy, w taki sposób, by C⁢u było możliwie najmniejsze.

Definicja 6.1

Niech klasa pomyślnych sterowań (successful controls) będzie oznaczona przez

Δ={u∈Um:∃t1x(t1;x0,u(.))∈T(t1)}

Sterowanie u∗∈Um jest optymalne (optimal), jeżeli

u∗∈Δ⁢⁢⁢oraz⁢⁢C⁢u∗≤C⁢u⁢⁢∀⁢u∈Δ⁢.

(6.2)

Dla zagadnienia Bolzy (B) (lub zagadnienia Lagrange'a (L)), zadanego sterowania u i odpowiedzi x określamy

x0⁢t=∫0tf0⁢s,x⁢s,u⁢s⁢⁢d⁢s

Jeżeli u jest pomyślne, to x⁢t1∈T⁢t1 (dla pewnego t1≥0) i odpowiedni koszt to x0⁢t1+g⁢t1,x⁢t1. Gdy u jest optymalne, to x0⁢t1+g⁢t1,x⁢t1 jest najmniejsze.

Określamy n+1–wymiarowy wektor x⁢t=x0⁢t,xT⁢tT oraz

f⁢t,x=f0,fTT⁢t,x⁢.

W ten sposób zagadnienie Bolzy (B) (lub zagadnienie Lagrange'a (L)) można sprowadzić do zagadnienia Mayera (M) dla

x˙=f⁢x,u⁢,

(6.3)

C⁢u=x0⁢t1+g⁢t1,x⁢t1⁢.

(6.4)

Cel może być ustalony, lub nie:

(I) Gdy, tak jak w poprzednich rozdziałach, cel jest ustalony mamy do czynienia z zagadnieniem ustalonego punktu końcowego, T⁢t≡x1, x1 jest ustalonym punktem w Rn, t1 jest wówczas czasem dotarcia do celu x1 i nie jest ustalone (fixed–end–point (a target point is given) – free–time problem);
(II) Można rozpatrywać zagadnienie, gdy cel T⁢t=S, gdzie S jest l–wym. (l<n) gładką rozmaitością (manifold; por. [12], str. 64) w Rn — podobnie jak powyżej t1 nie jest ustalone;
(III) Cel może nie być określony i wtedy mamy do czynienia z zagadnieniem swobodnego punktu końcowego (free–end–point problem; a target point is not given): wtedy t1>0 jest ustalone, T⁢t1=Rn.

Definicja 6.2

Sterowanie u∗ jest czaso–optymalne (time–optimal) (lub optymalno-czasowe), jeżeli jest optymalne dla funkcjonału kosztu

C⁢u=t1⁢,

(6.5)

gdzie t1 jest chwilą przybycia do celu 0∈Rn.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Teoria sterowania

6. Zagadnienie optymalnego sterowania

Problem 6.1

Definicja 6.1

Definicja 6.2