7. Liniowe zagadnienie czaso–optymalne

Rozpatrujemy liniowe zagadnienie sterowania optymalnego (LA):

x˙=A⁢x+B⁢u⁢,

(7.1)

gdzie A i B są stałymi macierzami n×n i n×m, odpowiednio, a funkcjonał kosztu jest określony przez (6.5).

Definicja 7.1

Niech K⁢t;x0 będzie zbiorem osiągalnym (reachable set) z x0 w chwili t>0:

K(t;x0)={x(t,x0,u(.)):u∈Um[0,t]}⊂Rn,

(7.2)

K⁢t;x0 może być zanurzony w odpowiedniej hiperpłaszczyźnie (hyperplane) w Rn. Wówczas Int⁢⁢K⁢t;x0 i ∂⁡⁢K⁢t;x0 będą rozumiane w sensie odpowiednich hiperpłaszczyzn.

Z zasady bang–bang 5.1 dla układu liniowego (-LA) (czyli ⁢y˙=-A⁢y-B⁢u⁢) wynika, że

C-⁢t1;x0=CB⁢B-⁢t1;x0

a zatem

K⁢t1;x0=KB⁢B⁢t1;x0⁢.

(7.3)

Dla zwartych podzbiorów A, B przestrzeni Rn rozważamy metrykę Hausdorffa

dH⁢A,B=inf⁡ε>0⁢:⁢A⊂Nε⁢B⁢,⁢B⊂Nε⁢A⁢,

Nε⁢A jest ε–otoczką zbioru A (ε–sack about A)

Nε⁢A=x∈Rn⁢:⁢d⁢x,A<ε⁢,⁢d⁢x,A=inf⁡x-y⁢:⁢y∈A⁢.

Lemat 7.1

Dla (LA): Zbiór K⁢t;x0 jest wypukły i zwarty (convex and compact). Ponadto odwzorowanie t⁢⟶⁢K⁢t;x0, 0≤t<∞, jest ciągłe z topologią w obrazie zdefiniowaną przez metrykę Hausdorffa.

Dowód: [19], str. 32, [31], str. 60.

Mamy

y∈K(t;x0)⇔∃u∈Um[0,t]:y=eA⁢tx0+∫0teA⁢t-sBu(s)ds.

(7.4)

Wypukłość.

xi∈K(t;x0)⇔∃ui∈Um[0,t]:xi=eA⁢tx0+∫0teA⁢t-sBui(s)dsi=1,2 .

Wtedy dla λ∈0,1

λ⁢x1+1-λ⁢x2=eA⁢t⁢x0+∫0teA⁢t-s⁢B⁢λ⁢u1⁢s+1-λ⁢u2⁢s⁢⁢d⁢s⁢⁢⁢i=1,2

i

λ⁢u1+1-λ⁢u2∈Um⁢0,t⁢.

Zatem

λ⁢x1+1-λ⁢x2∈K⁢t;x0⁢.
Zwartość. Pokażemy domkniętość. Niech

xjj∈N⊂K⁢t;x0⁢⁢oraz⁢⁢xj→y⁢⁢w⁢⁢Rn⁢.

Chcemy pokazać, że y∈K⁢t;x0. Ponieważ xj∈K⁢t;x0, to istnieje uj∈Um⁢0,t, t.ż.

xj=eA⁢t⁢x0+∫0teA⁢t-s⁢B⁢uj⁢s⁢⁢d⁢s⁢.

Z twierdzenia Alaoglu istnieje podciąg jkk∈N, jk→∞, dla k→∞ oraz istnieje u∈Um⁢0,t, t. ż.

ujk⇀∗udlak→∞.

Stąd przechodząc do podciągu (por. rozdział 5)

y=eA⁢t⁢x0+∫0teA⁢t-s⁢B⁢u⁢s⁢⁢d⁢s⁢,

a zatem y∈K⁢t;x0 i K⁢t;x0 jest domknięty, ponadto jest ograniczony, a więc zwarty.

Ciągłość. Dla x0∈Rn, t0≥0 oraz ε>0 pokażemy, że istnieje δ∈] 0,1[, t.ż. spełniony jest następujący warunek:

jeżeli t~-t0<δ, to dH⁢K⁢t~;x0,K⁢t0,x0<ε.

Chcemy więc pokazać, że jeżeli t~-t0<δ, to

K⁢t~;x0⊂Nε⁢K⁢t0,x0⁢⁢oraz⁢⁢K⁢t0,x0⊂Nε⁢K⁢t~;x0⁢.

Niech T=t0+1, C=max0≤s≤T⁡e-A⁢s⁢B.

y~∈K⁢t~;x0⁢⇔⁢y~=eA⁢t~⁢x0+∫0t~eA⁢t~-s⁢B⁢u~⁢s⁢⁢d⁢s

dla pewnego u~∈Um⁢0,t~.

Przedłużamy u~ zerem na 0,T (czyli u~⁢s=0 dla t∈]t~,T]) oraz określamy

y0=eA⁢t0⁢x0+∫0t0eA⁢t0-s⁢B⁢u~⁢s⁢⁢d⁢s⁢,

zatem y0∈K⁢t0;x0.

Mamy

y~-y0=eA⁢t~⁢x0-eA⁢t0⁢x0+∫0t~eA⁢t~-s⁢B⁢u~⁢s⁢⁢d⁢s-∫0t0eA⁢t0-s⁢B⁢u~⁢s⁢⁢d⁢s≤eA⁢t~-eA⁢t0⁢x0+eA⁢t~-eA⁢t0⁢∫0t~e-A⁢s⁢B⁢u~⁢s⁢⁢d⁢s+eA⁢t0⁢∫t0t~e-A⁢s⁢B⁢u~⁢s⁢⁢d⁢s⁢.

Niech δ>0 będzie t.ż. dla t~-t0<δ mamy eA⁢t~-eA⁢t0<ε1, gdzie ε1>0 będzie wybrane później. Mamy

y~-y0≤ε1⁢x0+ε1⁢T⁢C⁢m+eA⁢t0⁢δ⁢C⁢m⁢.

δ i ε1 wybieramy takie, aby

ε1⁢x0+ε1⁢T⁢C⁢m+eA⁢t0⁢C⁢m⁢δ<ε⁢.

Stąd wynika, że y~∈Nε⁢K⁢t0;x0, a z dowolności y~, że

K⁢t~;x0⊂Nε⁢K⁢t0,x0⁢.

Identycznie pokazujemy, że

K⁢t0,x0⊂Nε⁢K⁢t~;x0⁢.

∎

Warto zauważyć, że podobny wynik nie jest prawdziwy dla (NLA) — por. [14], str. 52.

Można teraz sformułować twierdzenie o istnieniu sterowania czaso–optymalnego

Twierdzenie 7.1

Dla (LA): jeżeli istnieje pomyślne sterowanie prowadzące x0∈Rn do celu 0∈Rn, to istnieje sterowanie czaso–optymalne i jest ono bang-bang.

Dowód: [19], str. 31; [31], str. 60; [36], str. 147; por. [27], str. 173.

Istnieje pomyślne sterowanie, a zatem 0∈K⁢t~;x0 dla pewnego t~≥0. Niech

t1=inf⁡t≥0⁢:⁢0∈K⁢t;x0⁢.

(7.5)

Zbiór t≥0⁢: 0∈K⁢t;x0 jest więc niepusty i ograniczony z dołu. Istnieje więc inf. Chcemy pokazać, że

0∈⁢K⁢t1;x0⁢,

co oznacza, że istnieje sterowanie prowadzące do celu w najkrótszym czasie t1.

Załóżmy, że 0∉⁢K⁢t1;x0. Ponieważ K⁢t1;x0 jest domknięty, to istnieje otwarta kula B=B⁢0,ϱ, ϱ>0, t.ż.

B⁢0,ϱ⁢∩⁢K⁢t1,x0=∅⁢.

Korzystając z ciągłości przekształcenia ⁢t⁢→⁢K⁢t;x0⁢ otrzymujemy

B⁢0,ϱ2⁢∩⁢K⁢t,x0=∅⁢⁢dla⁢⁢t1≤t≤t1+δ⁢,

dla pewnego δ>0.

To oznacza, że 0∈Rn nie jest osiągalny dla pewnych t>t1, co jest sprzeczne z definicją t1.

Z zasady bang–bang: jeżeli istnieje pomyślne sterowanie z Um prowadzące x0∈Rn do 0∈Rn w czasie t1, to istnieje sterowanie bang–bang prowadzące x0∈Rn do 0∈Rn w czasie t1. To kończy dowód.

∎

Definicja 7.2

Sterowanie u określone na 0,τ jest ekstremalne (extremal), jeżeli

x(t;x0,u(.))∈∂K(t;x0)∀t∈[0,τ],

(7.6)

gdzie ∂ oznacza brzeg zbioru.

Należy zauważyć, że sterowanie ekstremalne nie musi być ani optymalne, ani nawet pomyślne!

W momencie dotarcia do celu, odpowiedż na sterowanie czaso–optymalne leży na brzegu zbioru K⁢t1;x0:

Lemat 7.2

Jeżeli sterowanie u∗ jest czaso–optymalne, to w t1 — momencie dotarcia do celu 0∈Rn — odpowiedź x(t)=x(t;x0,u∗(.)) leży w ∂⁡⁢K⁢t1;x0 (czyli 0∈∂⁡⁢K⁢t1;x0).

Dowód

Załóżmy, że u∗ jest czaso–optymalnym sterowaniem prowadzącym x0∈Rn do 0∈Rn w czasie t1, czyli

x(t1)=x(t1;x0,u∗(.))=0∈Rn

i x⁢t1=0 nie leży w ∂⁡⁢K⁢t1;x0.

Wówczas istnieje (otwarta) kula B⁢0,ϱ⁢⊂⁢K⁢t1;x0. Z ciągłości przekształcenia ⁢t↦K⁢t;x0⁢ istnieje δ>0, t.ż.

B⁢0,ϱ2⁢⊂⁢K⁢t;x0⁢⁢dla⁢⁢t1-δ≤t≤t1⁢.

zatem cel 0∈Rn byłby osiągalny w czasie t<t1, co jest sprzeczne z minimalnością t1.

∎

Odpowiedź na dowolne sterowanie nie może przechodzić z wnętrza zbioru osiągalnego na jego brzeg:

Lemat 7.3

Załóżmy, że dla sterowania u∈Um⁢0,t1

x~=x⁢t~∈⁢Int⁢⁢K⁢t~;x0⁢⁢dla⁢⁢pewnego⁢ 0<t~<t1⁢,

gdzie x=x⁢t jest odpowiedzią x(t)=x(t;x0,u(.)).

Wówczas

x(t)∈IntK(t;x0)∀t∈]t~,t1].

(7.7)

Dowód

Jeżeli x~=x⁢t~∈⁢Int⁢⁢K⁢t~;x0, to istnieje (otwarta) kula B~=B⁢x~,δ, t.ż. B~⊂⁢K⁢t~;x0.

Dla każdego x~0∈B~ istnieje sterowanie u~, które prowadzi x0 do x~0 w czasie t~ (punkt x~0 jest osiągalny z x0).

Rozważmy zagadnienie z ustalonym sterowaniem u:

y˙=A⁢y+B⁢u⁢,⁢y⁢t~=x~0⁢,⁢t>t~⁢.

Dla x~0=x~ mamy y⁢t=x⁢t dla t∈t~,t1. Rozwiązanie ma postać

y⁢t=eA⁢t-t~⁢x~0+∫t~teA⁢t-s⁢B⁢u⁢s⁢⁢d⁢s⁢,

czyli

y⁢t=F⁢t⁢x~0+G⁢t⁢.

Dla ustalonego t>t~ odwzorowanie F⁢t jest liniowe ciągłe i przekształca Rn na Rn, bo det⁢⁢F⁢t≠0. Z twierdzenia o odwzorowaniu otwartym (por. [34], tw. 15.4, str. 147) wynika, że F⁢t przekształca zbiory otwarte na zbiory otwarte. Stąd zbiór

Ft:=y∈Rn⁢:⁢y=F⁢t⁢x~0+G⁢t⁢,⁢x~0∈B~

jest otwarty w Rn oraz Ft⊂K⁢t;x0, a zatem

x⁢t∈Ft⁢⊂⁢Int⁢⁢K⁢t;x0⁢,

czyli (7.7) jest spełnione, co kończy dowód lematu.

∎

Z lematów 7.2 i 7.3 wynika

Twierdzenie 7.2

Dla (LA): jeżeli sterowanie u∗ jest czaso–optymalne, to u∗ jest ekstremalne.

Dowód: [31], str. 61.

Z lematu 7.2 wynika, że w t1 — momencie przybycia do celu 0 — odpowiedź x⁢t1 leży na brzegu zbioru osiągalnego ∂⁡⁢K⁢t1;x0. Z lematu 7.3 wynika, że jeżeli odpowiedź x⁢t¯ leży na brzegu zbioru osiągalnego ∂⁡⁢K⁢t¯;x0 dla pewnego t¯∈]0,t1], to

x⁢t∈⁢∂⁡⁢K⁢t;x0⁢⁢∀⁢t∈⁢0,t¯⁢.

To kończy dowód.

∎

Twierdzenie 7.3

Dla (LA) i ue∈Um⁢0,te następujące warunki są równoważne:

ue jest ekstremalne na 0,te,
istnieje h∈Rn, h≠0, t.ż.

hT⁢e-t⁢A⁢B⁢ue⁢t=maxv∈Ω⁡⁢hT⁢e-t⁢A⁢B⁢v⁢,⁢dla⁢⁢p.k.⁢t∈0,te⁢. (7.8)

Dowód: [31], str. 62; [19], str. 33.

Dowód ,,⇒”: załóżmy, że ue∈Um⁢0,te jest ekstremalne, czyli

xe(t):=x(t;x0,ue(.))∈∂K(t;x0)∀t∈[0,te].

Ponieważ K⁢te;x0 jest wypukły oraz xe⁢te∈∂⁡⁢K⁢te;x0, to istnieje hiperpłaszczyzna podpierająca K⁢te;x0 w punkcie xe⁢te, tzn. istnieje b∈Rn, b≠0, t.ż.

bT⁢x≤bT⁢xe⁢te⁢⁢∀⁢x∈K⁢te;x0⁢.

Mamy

x∈K⁢te;x0⁢⇔⁢x=eA⁢te⁢x0+∫0teeA⁢te-s⁢B⁢u⁢s⁢⁢d⁢s⁢,⁢u∈Um⁢0,te⁢.

Zatem

bT⁢eA⁢te⁢x0+bT⁢∫0teeA⁢te-s⁢B⁢u⁢s⁢⁢d⁢s≤bT⁢eA⁢te⁢x0+bT⁢∫0teeA⁢te-s⁢B⁢ue⁢s⁢⁢d⁢s⁢⁢∀⁢u∈Um⁢0,te⁢.

Wstawiając hT=bT⁢eA⁢te mamy h∈Rn, h≠0 (bo macierz eA⁢te jest nieosobliwa) oraz

∫0tehT⁢e-A⁢s⁢B⁢u⁢s⁢⁢d⁢s≤∫0tehT⁢e-A⁢s⁢B⁢ue⁢s⁢⁢d⁢s⁢⁢∀⁢u∈Um⁢0,te⁢.

(7.9)

Pokażemy, że stąd wynika

hT⁢e-A⁢s⁢B⁢ue⁢s=maxv∈Ω⁡hT⁢e-A⁢s⁢B⁢v⁢⁢dla⁢⁢p.k.⁢s∈0,te⁢.

(7.10)

Załóżmy, że nie! Istnieje wtedy podzbiór I⊂0,te, I>0, t.ż.

hT⁢e-A⁢s⁢B⁢ue⁢s<maxv∈Ω⁡hT⁢e-A⁢s⁢B⁢v⁢⁢dla⁢⁢s∈I⁢.

Określamy sterowanie

u~⁢t=⁡ue⁢tt∈I′:=0,te∖Iu∗⁢tt∈I⁢,⁢

gdzie u∗ jest t.ż.

hT⁢e-A⁢s⁢B⁢u∗⁢s=maxv∈Ω⁡hT⁢e-A⁢s⁢B⁢v⁢⁢dla⁢⁢s∈I⁢.

Mamy wtedy

∫0tehT⁢e-A⁢s⁢B⁢u~⁢s⁢⁢d⁢s=∫IhT⁢e-A⁢s⁢B⁢u∗⁢s⁢⁢d⁢s+∫I′hT⁢e-A⁢s⁢B⁢ue⁢s⁢⁢d⁢s>∫0tehT⁢e-A⁢s⁢B⁢ue⁢s⁢⁢d⁢s⁢.

Sprzeczność z (7.9)! Zatem (7.10) jest spełnione, co kończy dowód ⇒.

Dowód ⇐. Załóżmy, że istnieje h∈Rn, h≠0, t.ż.

hT⁢e-A⁢t⁢B⁢ue⁢t=maxv∈Ω⁡hT⁢e-A⁢t⁢B⁢v⁢⁢dla⁢⁢p.k.⁢t∈0,te⁢.

Stąd

∫0thT⁢e-A⁢s⁢B⁢u⁢s⁢⁢d⁢s≤∫0thT⁢e-A⁢s⁢B⁢ue⁢s⁢⁢d⁢s⁢⁢∀⁢u∈Um⁢0,te⁢,

dla dowolnego, ale ustalonego t∈0,te. Wstawiając bT=hT⁢e-A⁢t i postępując odwrotnie jak poprzednio otrzymujemy

bT⁢x⁢t≤bT⁢xe⁢t⁢⁢∀⁢x⁢t∈K⁢t;x0⁢,

co oznacza, że xe⁢t leży na brzegu K⁢t;x0:

xe⁢t⁢∈∂⁡⁢K⁢t;x0⁢.

Ponieważ t jest dowolne, więc otrzymujemy wynikanie ⇐.

∎

Z twierdzenia 7.2 i twierdzenie 7.3 wynika zasada maksimum Pontriagina dla liniowego zagadnienia czaso–optymalnego (Pontryagin maximum principle for linear time–optimal control) — szczególny przypadek zasady maksimum Pontriagina rozpatrywanej w rozdziale 9 — warunku koniecznego (necessary condition) dla sterowania optymalnego.

Twierdzenie 7.4

Dla (LA): jeżeli sterowanie u∗ jest czaso–optymalne, to istnieje h∈Rn, h≠0, t.ż.

hT⁢e-t⁢A⁢B⁢u∗⁢t=maxv∈Ω⁡⁢hT⁢e-t⁢A⁢B⁢v⁢,⁢dla⁢⁢p.k.⁢t∈0,t1⁢,

(7.11)

□

Uwaga 7.1

Każda współrzędna wektora hT⁢e-t⁢A⁢B∈Rm jest funkcją analityczną zmiennej t. Stąd (por. [12] , twierdzenie 6.9, str. 199) na zwartym przedziale w 0,t1 jest albo tożsamościowo równa 0, albo znika tylko w skończonej liczbie punktów 0<t≤t1. Jeżeli zachodzi ten drugi przypadek dla każdej współrzędnej, to sterowanie u jest jednoznacznie wyznaczone, poza skończonym (a więc miary 0) zbiorem punktów. Wtedy sterowanie jest bang–bang ze skończoną liczbą przełączeń (switches). Natomiast w pierwszym przypadku sterowanie nie jest określone przez maxv∈Ω⁡⁢hT⁢e-t⁢A⁢B⁢v. Pierwszy przypadek będziemy nazywali osobliwym (singular), a drugi normalnym (normal) — por. [24], str. 52.

Definicja 7.3

(LA) nazywamy normalnym (normal), jeżeli dla każdego h∈Rn, h≠0, żadna współrzędna wektora hT⁢e-t⁢A⁢B∈Rm nie znika na zbiorze dodatniej miary.

Każdy (LA) — normalny jest właściwy (tzn. rank⁢⁢M=n). Warunek w definicji 7.3 jest równoważny warunkowi, że żadna współrzędna nie znika tożsamościowo.

Przykład 7.1

Rozpatrujemy układ RRZ, n=m=2, w postaci macierzowej:

x˙1x˙2⁢=⁢A⁢x1x2+B⁢u⁢t⁢,⁢⁢A=0000⁢,⁢B=1001⁢.

h∈R2, h≠0,

hT⁢e-t⁢A⁢B=h1,h2⁢1001⁢1001=h1,h2⁢.

Układ jest właściwy, ale nie jest normalny.

Następujący wniosek pokazuje związek pomiędzy sterowaniami ekstremalnymi a sterowaniami bang–bang:

Wniosek 7.1

Jeżeli (LA) jest normalny, to warunek (7.8) jest równoważny warunkowi

uei⁢t=sign⁢⁢hT⁢e-t⁢A⁢Bi⁢,⁢i=1,…,m⁢,⁢dla⁢⁢p.k.⁢t∈0,te⁢.

(7.12)

Twierdzenie 7.4 można zapisać w ogólnym formalizmie, który będzie później stosowany w rozdziale 9 w ogólnej sytuacji.

Definicja 7.4

Wprowadzamy hamiltonian (Hamiltonian)

H⁢w,x,u=wT⁢A⁢x+B⁢u⁢,

(7.13)

gdzie w,x∈Rn, u∈Um.

Możemy wyrazić twierdzenie 7.4 w następującej postaci

Twierdzenie 7.5

Dla (LA): niech u∗∈Um⁢0,t1 będzie sterowaniem czaso-optymalnym z odpowiedzią x∗=x∗(t)=x(t;x0,u∗(.)). Wówczas istnieje absolutnie ciągła funkcja w⁢:⁢0,t1→⁢Rn, t.ż.

x˙∗j=⁢∂∂⁡wj⁢H⁢w,x∗,u∗⁢,⁢j=1,…,n⁢,⁢p.w.⁢na⁢⁢⁢0,t1⁢,

(7.14)

w˙j=-∂∂⁡xj⁢H⁢w,x∗,u∗⁢,⁢j=1,…,n⁢,⁢p.w.⁢na⁢⁢⁢0,t1⁢,

(7.15)

oraz

H⁢w⁢t,x∗⁢t,u∗⁢t=M⁢w⁢t,x∗⁢t⁢,⁢dla⁢⁢p.w.⁢⁢t∈0,t1⁢,

(7.16)

gdzie

M⁢w,x=maxv∈Ω⁡H⁢w,x,v⁢.

Dowód: [19], str. 35.

Niech h∈Rn będzie jak w twierdzeniu 7.4. Rozważmy zagadnienie

w˙=-AT⁢w⁢,⁢w⁢0=h⁢.

Jego rozwiązaniem jest

w⁢t=e-t⁢AT⁢h⁢,

a zatem

wT⁢t=hT⁢e-t⁢A⁢,⁢bo⁢⁢e-t⁢ATT=e-t⁢A⁢.

Z twierdzenia 7.4 wynika, że

hT⁢e-t⁢A⁢B⁢u∗⁢t=maxv∈Ω⁡hT⁢e-t⁢A⁢B⁢v⁢.

Zatem

H⁢w⁢t,x∗⁢t,u∗⁢t=wT⁢t⁢A⁢x∗⁢t+B⁢u∗⁢t=hT⁢e-t⁢A⁢A⁢x∗⁢t+hT⁢e-t⁢A⁢B⁢u∗⁢t=hT⁢e-t⁢A⁢A⁢x∗⁢t+maxv∈Ω⁡hT⁢e-t⁢A⁢B⁢v=maxv∈Ω⁡hT⁢e-t⁢A⁢A⁢x∗⁢t+hT⁢e-t⁢A⁢B⁢v=maxv∈Ω⁡wT⁢t⁢A⁢x∗⁢t+wT⁢t⁢B⁢v=M⁢w⁢t,x∗⁢t⁢.

(7.17)

Z definicji H warunek (7.16) oraz równania (7.14) i (7.15) są spełnione.

∎

Definicja 7.5

Równanie (7.15) nazywa się równaniem sprzężonym (adjoint equation), a funkcja w — ko–stanem (costate).

Przykład 7.2 (wagon odrzutowy, [36], str. 29–34; [19], str. 36; [31], str. 64, 109, 111)

Rozpatrujemy układ RRZ z n=2, m=1 — por. przykłady 1.2, 2.4:

x˙1=x2⁢,⁢x˙2=u⁢,⁢u=u⁢t∈-1,1⁢,

(7.18)

lub w postaci macierzowej:

x˙1x˙2⁢=⁢A⁢x1x2+B⁢u⁢t⁢,⁢⁢A=0100⁢,⁢B=01⁢.

,,W języku” twierdzenia 7.4:

Mamy

e-t⁢A=I-t⁢A=1-t01⁢,⁢⁢h=h1h2⁢,⁢⁢h12+h22≠0⁢,

hT⁢e-t⁢A⁢B=h1,h2⁢1-t01⁢01=h1,-h1⁢t+h2⁢01⁢=h2-h1⁢t⁢.

Układ (7.18) jest normalny!

Z twierdzenia 7.4 i wniosku 7.1 wynika, że każde optymalne sterowanie u∗ musi spełniać

u∗⁢t=sign⁢h2-h1⁢t⁢,

dla pewnego h∈R2∖0.
,,W języku” twierdzenia 7.5:

Mamy

w=w1w2⁢,

H⁢w,x,v=wT⁢A⁢x+B⁢v=w1,w2⁢0100⁢x1x2+01⁢v⁢,

Stąd

H⁢w,x,v=w1⁢x2+w2⁢v

i

w˙1=0⁢,⁢w˙2=-w1⁢.

Zatem

H⁢w,x,v=w01⁢x2+w02-w01⁢t⁢v⁢,

gdzie w01=w1⁢0⁢∈R1, w02=w2⁢0⁢∈R1. Dla uproszczenia zapisu nie zaznaczono w sposób jawny zależności zmiennych od t.

Twierdzenie 7.5 implikuje, że jeżeli u∗ jest czaso–optymalne, to istnieją liczby w0i, i=1,2, t.ż.

H⁢w,x∗,u∗=M⁢w,x∗=max-1≤v≤1⁡H⁢w,x∗,v=w01⁢x∗2+w02-w01⁢t

a to jest osiągane dla v=u∗⁢t, gdzie

u∗⁢t=sign⁢w02-w01⁢t⁢.

Funkcja liniowa w02-w01⁢t nie może być tożsamościowo 0, gdyż w⁢t=e-t⁢AT⁢h nie może znikać tożsamościowo.

Z twierdzenia 7.1 i przykładu 2.4 wynika istnienie sterowania czaso–optymalnego (dla każdego punktu x0∈R2). Z powyższych rozważań wynika, że sterowanie czaso–optymalne jest bang–bang, kawałkami stałe, z co najwyżej jednym punktem przełączenia.

Ćwiczenie 7.1

Opisać czaso–optymalne trajektorie.

Przykład 7.3 (Zlinearyzowane równanie kątowego odchylenia od pionu z wymuszeniem, [36], str. 34–42; [31], str. 64)

Rozpatrujemy układ RRZ z n=2, m=1:

x˙1=x2⁢,⁢x˙2=-x1+u⁢,⁢u=u⁢t∈-1,1⁢,

(7.19)

lub w postaci macierzowej:

x˙1x˙2⁢=⁢A⁢x1x2+B⁢u⁢t⁢,⁢⁢A=01-10⁢,⁢B=01⁢.

,,W języku” twierdzenia 7.4:

Mamy

e-t⁢A=cos⁡t-sin⁡tsin⁡tcos⁡t⁢,⁢h=h1h2⁢,⁢h12+h22≠0⁢,

hT⁢e-t⁢A⁢B=h1,h2⁢cos⁡t-sin⁡tsin⁡tcos⁡t⁢01=

h1⁢cos⁡t+h2⁢sin⁡t⁢,-h1⁢sin⁡t+h2⁢cos⁡t⁢01⁢,

stąd

hT⁢e-t⁢A⁢B=h2⁢cos⁡t-h1⁢sin⁡t=r⁢sin⁡t+α⁢,

gdzie r=h1+h212, α=arc⁢cos⁡-h1r, r≠0.

Układ (7.19) jest normalny!

Z twierdzenia 7.4 wynika, że każde sterowanie optymalne u∗ musi spełniać

u∗⁢t=sign⁢sin⁡t+α⁢.
,,W języku” twierdzenia 7.5:

Mamy

w=w1w2⁢,

H⁢w,x,v=wT⁢A⁢x+B⁢v=w1,w2⁢01-10⁢x1x2+01⁢v⁢,

Stąd

H⁢w,x,v=w1⁢x2+w2⁢-x1+v

i

w˙1=w2⁢,⁢w˙2=-w1⁢.

Stąd w2⁢t=r⁢sin⁡t+α, gdzie r>0 i α są stałymi.

Twierdzenie 7.5 implikuje, że jeżeli u∗ jest czaso–optymalne, to

H⁢w,x∗,u∗=M⁢w,x∗=max-1≤v≤1⁡H⁢w,x∗,v=w1⁢t⁢x∗2⁢t-w2⁢t⁢x∗1⁢t+w2⁢t

a to jest osiągane jedynie dla v=u∗⁢t, gdzie

u∗⁢t=sign⁢sin⁡t+α⁢.

Zatem każde sterowanie czaso–optymalne jest bang–bang i okresowe o okresie 2⁢π.

Ćwiczenie 7.2

Opisać czaso–optymalne trajektorie.

Przykład 7.4 ([31], str. 65.)

W przykładzie 7.1 rozpatrywany był układ właściwy, który nie jest normalny.

x˙1x˙2⁢=⁢A⁢x1x2+B⁢u⁢t⁢,⁢⁢A=0000⁢,⁢B=1001⁢.

Niech x0=-1,0. Wówczas każde ze sterowań ua, a∈0,12, gdzie

ua1≡1

oraz

u02≡0⁢,

ua2=⁡10≤t≤a0a<t≤1-a-11-a<t≤1⁢⁢,

dla a∈]0,12[,

u122=⁡10≤t≤12-112<t≤1⁢⁢,

jest czaso–optymalne z t1=1, ale tylko u12 jest bang–bang.

Twierdzenie 7.6

Jeżeli (LA) jest normalny oraz istnieje pomyślne sterowanie (prowadzące x0 do 0), to istnieje jednoznaczne sterowanie czaso–optymalne. To sterowanie jest bang–bang i kawałkami stałe.

Dowód: [31], str. 66.

Z twierdzenia 7.1 wynika istnienie. Z twierdzenia 7.4 i wniosku 7.1 wynika, że każde sterowanie czaso–optymalne jest bang–bang. Załóżmy, że u1 oraz u2 są dwoma różnymi sterowaniami czaso–optymalnymi bang–bang. Wówczas sterowanie u3⁢t=u1⁢t+u2⁢t2 jest też czaso–optymalne, ale nie jest bang–bang. Otrzymujemy sprzeczność: zatem sterowanie czaso–optymalne jest jednoznaczne.

Sterowanie czaso–optymalne jest kawałkami stałe, gdyż każda współrzędna zmienia wartość tylko wtedy, gdy ta sama współrzędna hT⁢e-A⁢t⁢B przyjmuje wartość 0, a to może zdarzyć się tylko w skończonej liczbie punktów odcinka 0,t1.

∎

Definicja 7.6

Niech x0∈Rn będzie ustalone, τ>0 oraz y∈K⁢τ;x0. Jeżeli

x(t;x0,u1(.))=x(t;x0,u2(.))∀t∈[0,τ],

(7.20)

dla każdego u1∈Um⁢0,τ i każdego u2∈Um⁢0,τ, t.ż.

x(τ,x0,u1(.))=x(τ,x0,u2(.))=y,

to odpowiedź z x0 do y jest jednoznaczna (unique).

Twierdzenie 7.7

Załóżmy, ze macierz B nie ma żadnej kolumny złożonej z samych 0, x0∈Rn i niech y∈K⁢τ,x0. Wówczas następujące warunki są równoważne

sterowanie prowadzące x0 do y w czasie τ jest jednoznaczne,
odpowiedź z x0 do y w czasie τ jest jednoznaczna,
y jest ekstremalnym punktem K⁢τ,x0.

Dowód: [31], str. 69–71.⁢♣

Dalej w tym rozdziale będziemy zakładać, że macierz B nie ma żadnej kolumny złożonej z samych 0. Nie zmniejsza to ogólności!

Definicja 7.7

Zbiór A jest ściśle wypukły jeżeli

αx+(1-α)y∈IntA∀α∈]0,1[,

dla każdych dwóch punktów x,y∈A.

Twierdzenie 7.8 (Geometryczna charakteryzacja (LA) normalnych)

(LA) jest normalny na 0,τ ⇔ K⁢τ;x0 jest ściśle wypukły dla pewnego x0.

Dowód: [31], str. 71.⁢♣

Twierdzenie 7.9 (Analityczna charakteryzacja (LA) normalnych)

(LA) jest normalny na 0,τ ⇔ bj⁢,⁢A⁢bj⁢,⁢…⁢,An-1⁢bj są liniowo niezależnymi wektorami w Rn, dla każdej kolumny bj macierzy B, j=1,…,m.

Dowód: [31], str. 72.⁢♣

Podsumowaniem jest następujący wniosek:

Wniosek 7.2

Dla (LA) normalnego: istnieje otoczenie N punktu 0, t.ż. każdy punkt N może być doprowadzony do 0 jednoznacznym sterowaniem czaso-optymalnym bang–bang i kawałkami stałym. Jeżeli dodatkowo ℜ⁡λ≤0, dla każdej wartości własnej λ macierzy A, to N=Rn.

Twierdzenie 7.10

Dla (LA) normalnego:

jeżeli każda wartość własna (eigenvalue) macierzy A jest rzeczywista,

to każda współrzędna każdego sterowania czaso–optymalnego ma co najwyżej n-1 przełączeń.

Dowód: [31], str. 77; [36], str. 138–140.⁢♣

Poniższe twierdzenie formułuje warunek dostateczny — odwrotność zasady maksimum:

Twierdzenie 7.11

Dla (LA) właściwego: każde (pomyślne) sterowanie u∗, prowadzące x0 do 0 w czasie t1>0 i spełniające

dlapewnegoh∈Rn,h≠0:hT⁢e-t⁢A⁢B⁢u∗⁢t=maxv∈Ω⁡hT⁢e-t⁢A⁢B⁢vdlap.k.t∈] 0,τ[,

(7.21)

jest czaso–optymalne na 0,τ.

Dowód: [31], str. 77.⁢♣

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Teoria sterowania

7. Liniowe zagadnienie czaso–optymalne

Definicja 7.1

Lemat 7.1

Dowód: [19], str. 32, [31], str. 60.

Twierdzenie 7.1

Dowód: [19], str. 31; [31], str. 60; [36], str. 147; por. [27], str. 173.

Definicja 7.2

Lemat 7.2

Dowód

Lemat 7.3

Dowód

Twierdzenie 7.2

Dowód: [31], str. 61.

Twierdzenie 7.3

Dowód: [31], str. 62; [19], str. 33.

Twierdzenie 7.4

Uwaga 7.1

Definicja 7.3

Przykład 7.1

Wniosek 7.1

Definicja 7.4

Twierdzenie 7.5

Dowód: [19], str. 35.

Definicja 7.5

Przykład 7.2 (wagon odrzutowy, [36], str. 29–34; [19], str. 36; [31], str. 64, 109, 111)

Ćwiczenie 7.1

Przykład 7.3 (Zlinearyzowane równanie kątowego odchylenia od pionu z wymuszeniem, [36], str. 34–42; [31], str. 64)

Ćwiczenie 7.2

Przykład 7.4 ([31], str. 65.)

Twierdzenie 7.6

Dowód: [31], str. 66.

Definicja 7.6

Twierdzenie 7.7

Definicja 7.7

Twierdzenie 7.8 (Geometryczna charakteryzacja (LA) normalnych)

Twierdzenie 7.9 (Analityczna charakteryzacja (LA) normalnych)

Wniosek 7.2

Twierdzenie 7.10

Twierdzenie 7.11