4. Sterowalność dla układów nieliniowych

Rozważymy układ nieliniowy (NLA)

x˙=fx,u,xtRn,uUm, (4.1)

z celem Tt0Rn. Zakładamy, że f0,0=0Rn i f jest klasy C1 na Rn×Rm.

Istotną rolę będzie pełniła linearyzacja (NLA) wokół 0,0Rn×Rm:

fx,u=Afx+Bfu+ox+u, (4.2)

gdzie

Af=fixj0,0i,j=1,,n,Bf=fiuk0,0i=1,,nk=1,,m.

Chcemy o sterowalności dla (NLA) w otoczeniu 0Rn wnioskować ze sterowalności linearyzacji wokół 0,0Rn×Rm.

Definicja 4.1

Dla (NLA) wprowadzamy macierz sterowalności układu zlinearyzowanego:

Mf=Bf,AfBf,Af2Bf,,Afn-1Bfmacierznnm
Twierdzenie 4.1

Dla (NLA): rankMf=n  0IntC.

Dowód: [31], str. 38.

Wniosek 4.1

Twierdzenie 4.1 zachodzi dla wszystkich sterowań, dla których można w danej klasie przedłużać sterowanie zerem.

Jednakże odpowiednik twierdzenia 4.1 dla CBB jest fałszywy, jak pokazuje następujący przykład:

Przykład 4.1 (([31], str. 45))

Niech n=m=1 i

x˙t=ut+ut2

dla -1ut1. Mamy

Af=fx0,0=0,Bf=fu0,0=1,Mf=1 .

Zatem rankMf=1=n i  0 leży we wnętrzu C z twierdzenia 4.1 (a także dla CPC oraz Cε). Ale uUBB implikuje, że u+u2 równa się 0, albo 2, a zatem x˙0. Stąd 0IntCBB, gdyż żaden punkt x0>0 nie może być doprowadzony do 0.

Ten sam przykład pokazuje, że zasada bang–bang (rozdział 5.1) nie zachodzi dla (NLA).

Twierdzenie 4.2

Dla (NLA): Jeżeli układ z zerowym sterowaniem (u=0) jest globalnie asymptotycznie stabilny i rankMf=n, to C=Rn.

Dowód: [31], str. 43.

Dla (NLA) twierdzenie 4.1 gwarantuje istnienie δ>0, t.ż. istnieje kula B0;δC. Globalna asymptotyczna stabilność rozwiązania dla u0 implikuje, że

limtxt;x0,0=0

dla każdego x0Rn. Zatem każde rozwiązanie z u0 wchodzi do B0,δ w skończonym czasie. Następnie korzystamy z B0;δC.

Twierdzenie 4.2 wskazuje na ścisły związek pomiędzy teorią stabilności a sterowalnością.

Ważnym pojęciem w badaniu stabilności jest funkcja Lapunova (por. [35], rozdział 7.2, [21], rozdział 26).

Definicja 4.2

Niech GRn będzie otoczeniem punktu równowagi xRn układu x˙=fx. Funkcję V:GR+ nazywamy funkcją Lapunova, jeżeli

  1. jest ciągła w G i różniczkowalna w Gx,

  2. Vx0xG, Vx=0x=x

  3. V˙x0xGx, gdzie

    V˙x=gradVxTfx.
Definicja 4.3

Mocną funkcją Lapunova nazywamy V:GR+, jeżeli

  1. jest funkcją Lapunova w G,

  2. V˙<0xGx.

Twierdzenie 4.3

  1. Jeżeli istnieje funkcja Lapunova, to punkt równowagi x jest stabilny w sensie Lapunova.

  2. Jeżeli istnieje mocna funkcja Lapunova, to punkt równowagi x jest asymptotycznie stabilny.

Przykład 4.2 (por. [31], str. 43)

Punkt materialny, o jednostkowej masie, poruszający się pod wpływem zewnętrznej siły F można opisać zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona:

y¨=F.

Jeżeli punkt zawieszony jest na sprężynie i ruch odbywa się w ośrodku stawiającym opór, to można przyjąć, że

F=-ly˙-hy+u,

gdzie F1=-ly˙ jest siłą oporu środowiska, l=ly,y˙, -hy jest siłą sprężystości oraz u jest siłą wymuszającą (lub tłumiącą). Na przykład dla prawa Hooke'a hy=h0y — por. przykład 1.3.

Załóżmy, że l i h są funkcjami klasy C1, h0=0.

Przyjmując x1=y, x2=y˙ otrzymujemy układ równań

x˙1x˙2=010-lx1,x2x1x2+0-hx1+u. (4.3)

Układ zlinearyzowany ma postać

x˙1x˙2=01-h0-l0,0x1x2+0u. (4.4)

Mamy

Mf=011-l0,0,orazrankMf=2=n. (4.5)

Zatem, dla każdego warunku gwarantującego globalną asymptotyczną stabilność rozwiązania x0 układu dla u=0, otrzymamy C=R2.

Jeżeli

  • lx1,x2>0 dla każdego x1,x20,

  • yhy>0 dla każdego y0,

  • limy0yhsds=+,

to rozwiązanie x0 jest globalnie asymptotycznie stabilne.

Rzeczywiście, niech:

Vx1,x2:=x222+Hx1,Hy=0yhsds,
Vx1,x2>0x1,x20,
limxVx= (4.6)

oraz wzdłuż rozwiązań układu z u0:

V˙x1,x2=x2x˙2+hx1x˙1=x2-lx1,x2x2-hx1+hx1x2=-x22lx1,x20 . (4.7)

Zatem V jest funkcją Lapunova i rozwiązanie x0 dla u0 jest stabilne (w sensie Lapunova). Argument ten nie wystarczy do pokazania asymptotycznej stabilności, gdyż V˙ zeruje się nie tylko dla x1,x2=0,0, ale również dla punktów x1,x2, takich że x10, x2=0. Aby pokazać asymptotyczną stabilność wystarczy wykazać, że jeżeli trajektoria przechodzi przez taki punkt x1,0, x10, to jest to punkt przegięcia (flex point) funkcji V i funkcja ta jest ściśle malejąca (por. [35], str. 211, przykład 7.4). Jeżeli t>0 jest t.ż. x1t0 i x2t=0, to x˙2t=-hx1t0. Stąd x˙2t ma ten sam znak i x2t0 w sąsiedztwie t. Zatem Vx1t,x2t ma w t punkt przegięcia i jest ściśle malejąca. To gwarantuje asymptotyczną stabilność.

Globalność wynika z warunku 4.6 — por. [23], twierdzenia 26.2, 26.3, str. 108–109.

Istnieje związek pomiędzy CPC i C:

Twierdzenie 4.4

Dla (NLA): jeżeli 0IntCPC, to CPC=C.

Dowód: [31], str. 46–47.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.