Dowód: [19], str. 27–30, [27], str. 171.

Dowód zostanie przeprowadzony w 3 krokach.

1. Niech

   L∞(0,t)={u:]0,t[→Rm:∥u∥∞:=esssup0<s<t|u(s)|<∞}

   dla t>0.

   Definicja 5.1

   Niech uj∈L∞⁢0,t, dla j=1,…, oraz u∈L∞⁢0,t. Ciąg uj⁢ jest zbieżny do u słabo∗ (weakly∗ convergent) w L∞⁢0,t (zapis uj⇀∗u), jeżeli

   limj→∞⁡∫0tuj⁢s⁢v⁢s⁢⁢d⁢s=∫0tu⁢s⁢v⁢s⁢⁢d⁢s

   dla każdego v∈L1⁢0,t.

   Niech X będzie przestrzenią Banacha. Mamy

   X⊂X∗A∗:J:X→X∗A∗,J[x](x∗)=x∗(x)∀x∗∈X∗.

   W X∗ można zdefiniować następujące topologie (poprzez zdefiniowanie zbieżności ciągów)

   • topologię mocną: ⁢limj→∞⁡xj∗-x∗X∗=0,

   • topologię słabą: ⁢limj→∞⁡x∗A∗⁢xj∗=x∗A∗⁢x∗⁢ dla każdego x∗A∗∈X∗A∗,

   • topologię słabą∗: ⁢limj→∞⁡xj∗⁢x=x∗⁢x⁢ dla każdego x∈X.

   Słaba topologia w X∗ jest najsłabszą topologią, w której każdy x∗A∗∈X∗A∗ pozostaje ciągły.

   Słaba∗ topologia w X∗ jest najsłabszą topologią, przy której funkcjonał J⁢x, zdefiniowany na X∗ jest ciągły dla każdego x∈X.

   Kula jednostkowa w X∗ jest zwarta w słabej∗ topologii (twierdzenie Banacha–Alaoglu–Bourbakiego).

   Mamy L1⁢0,t∗=L∞⁢0,t, L1⁢0,t⊂L∞⁢0,t∗.

   Ćwiczenie 5.1

   Pokazać, że L∞⁢0,t∗∖L1⁢0,t≠∅.

   Rozwiązanie ćwiczenia: Niech m=1. Rozważmy ustalony przedział 0,t, 0<t. Niech T będzie przekształceniem C⁢0,t;R1∋f↦f⁢0. Wówczas mamy

   T⁢f≤fL∞⁢0,t⁢.

   Z twierdzenia Hahna–Banacha (por. [34], §17) istnieje rozszerzenie tego funkcjonału liniowego (do L∞⁢0,t) zachowujące normę (oznaczamy również przez T):

   T⁢g≤gL∞⁢0,t⁢⁢∀⁢g∈L∞⁢0,t⁢.

   Jeżeli L∞⁢0,t∗=L1⁢0,t, to istnieje h∈L1⁢0,t, t.ż.

   f⁢0=∫0tf⁢s⁢h⁢s⁢⁢d⁢s⁢,

   dla f∈C⁢0,t;R1.

   Stąd jeżeli 0<a<b≤t, to

   ∫abh⁢s⁢⁢d⁢s=0⁢,

   a zatem h=0 prawie wszędzie. Dla f=1 otrzymujemy sprzeczność: 1=0.

   Twierdzenie 5.2 (Alaoglu)

   Niech t>0 oraz ujj=1,…⊂Um⁢0,t. Wówczas istnieje podciąg ujkk=1,… oraz u∈Um⁢0,t, t.ż

   ujk⇀∗uk→∞

   Dowód: [30], str. 181; [34], str. 219.⁢♣

   Definicja 5.2

   Punkt z∈K nazywa się ekstremalny (extreme) jeżeli

   (z=λx1+(1-λ)x2dla 0<λ<1orazx1,x2∈K)⇒(z=x1=x2),

   czyli nie istnieją punkty x1⁢,⁢x2⁢∈K, x1≠x2 oraz 0<λ<1, t.ż. z=λ⁢x1+1-λ⁢x2.

   Twierdzenie 5.3 (Kreina–Milmana)

   Niech t>0 oraz K będzie niepustym, wypukłym podzbiorem L∞⁢0,t, zwartym w słabej∗ topologii. Wówczas K ma (przynajmniej jeden) punkt ekstremalny.

   Dowód: [34], str. 212.⁢♣

2. Rozważamy zagadnienie (LA):

   x˙=A⁢x+B⁢u⁢,⁢x⁢0=x0

   Niech Δt1 będzie zbiorem sterowań, które prowadzą x0∈C⁢t1 do 0 w czasie t1:

   Δt1=u∈Um⁢0,t1⁢:⁢u⁢⁢prowadzi⁢⁢x0⁢⁢do⁢ 0⁢⁢w⁢⁢t1⁢

   Pokażemy, że Δt1 spełnia założenia tw. Kreina–Milmana, a następnie, że punkt ekstremalny jest sterowaniem bang–bang.

   Lemat 5.1

   Zbiór Δt1 spełnia założenia tw. Kreina–Milmana.

   Dowód: [19], str. 27–30, [27], str. 171.

   x0∈C⁢t1, więc Δt1≠∅. Pokażemy, ze Δt1 jest wypukły.

   u∈Δt1 wtedy i tylko wtedy, gdy

   x0=-∫0t1e-A⁢s⁢B⁢u⁢s⁢⁢d⁢s

   Niech u⁢,⁢u¯⁢∈Δt1 oraz 0≤λ≤1.

   Wówczas

   x0=-∫0t1e-A⁢s⁢B⁢λ⁢u⁢s+1-λ⁢u¯⁢s⁢⁢d⁢s

   Zatem λ⁢u+1-λ⁢u¯∈Δt1.

   Pokażemy zwartość w słabej∗ topologii. Niech ujj=1,2,…⊂Δt1.

   Z tw. Alaoglu: ist. jk→∞ oraz u∈Um⁢0,t1, t.ż. ujk⇀∗u dla k→∞

   Musimy pokazać, że u∈Δt1. Z ujk∈Δt1 wynika, że

   x0=-∫0t1e-A⁢s⁢B⁢ujk⁢s⁢⁢d⁢s⁢→-∫0t1e-A⁢s⁢B⁢u⁢s⁢⁢d⁢s

   z definicji słabej∗ zbieżności. Zatem ⁢u∈Δt1.

   ∎

   Z twierdzenia Kreina–Milmana istnieje punkt ekstremalny u∗ w Δt1.

3. Pokażemy, że dla prawie każdego t∈⁢0,t1⁢ i każdego j=1,…,m:

   u∗j⁢t=1

   Załóżmy, że nie! Istnieje więc indeks i oraz podzbiór G⊂⁢0,t1⁢ o dodatniej mierze, t.ż. u∗i⁢t<1⁢ dla t∈G⁢. Istnieje ε>0 oraz G⊂G, t.ż.

   G>0⁢,⁢u∗i⁢t≤1-ε⁢,⁢t∈G⁢.

   Niech v=v⁢t∈Rm będzie t.ż. v=0,…,0,⁢vi︸i,0,…,0T⁢, gdzie

   • vi≠0 na G,

   • vi≤1,

   • v0,t1∖G=0

     oraz

   • ∫Ge-A⁢s⁢B⁢v⁢s⁢⁢d⁢s=0 .

   Niech

   u1=u∗+ε⁢v⁢,⁢u2=u∗-ε⁢v⁢,

   Mamy u1,u2∈Δt1. Rzeczywiście

   -∫0t1e-A⁢s⁢B⁢u1⁢s⁢d⁢s==A-∫0t1e-A⁢s⁢B⁢u∗⁢s⁢⁢d⁢s-ε⁢⁢∫0t1e-A⁢s⁢B⁢v⁢s⁢d⁢s︸=0⁢=⁢x0

   Mamy u1i≤1:

   u1i⁢t=u∗i⁢t⁢⁢dla⁢⁢t∉G⁢,⁢u1i⁢t=u∗⁢t+ε⁢vi⁢t⁢⁢dla⁢⁢t∈G⁢,

   Na G mamy u∗i≤1-ε, a zatem

   u1i⁢t≤u∗i⁢t+ε⁢vi⁢t≤1-ε+ε=1

   Podobnie u2, zatem u1,u2∈Δt1.

   u1=u∗+ε⁢v⁢,⁢u1≠u∗⁢,⁢u2=u∗-ε⁢v⁢,⁢u2≠u∗⁢,

   12⁢u1+12⁢u2=u∗

   Sprzeczność: bo u∗ jest punktem ekstremalnym Δt1.