1.2. Najprostsze przykłady
Przykład 1.1 (Obrót na okręgu)
Niech S1=z:z=1; określamy przekształacenie
To przekształcenie zachowuje oczywiście miarę Lebesgue'a na okręgu.
Zauważmy że jeśli α jest wymierne- każda trajektoria jest okresowa, a gdy α jest niewymierne- każda trajektoria jest gęsta (dlaczego?).
Przykład 1.2 (Przesunięcie na torusie)
Torus możemy utożsamiać z przestrzenią ilorazową R2/Z2; gdzie relacja utożsamienia jest następująca:
|
x1,y1≈x2,y2⇔x1-x2,y1-y2∈Z2 |
|
Zatem - torus można też utożsamiać z produktem dwóch okręgów S1×S1.
Na płaszczyźnie rozważamy przekształcenie x,y↦x+a,y+b. Wyznacza ono przekształcenie torusa
gdzie
w1=e2πia,w2=e2πib.
Zauważmy że jeśli w1,w2 są pierwiastkami z jedynki (rówmoważnie- jeśli a,b są wymierne) to każda trajektoria jest okresowa.
Załóżmy że a,b są niezależne nad pierścieniem Z, to znaczy na+mb∈Z ma tylko jedno rozwiązanie w liczbach całkowitych: n=m=0. Poniżej sprawdzimy że wtedy
każda trajektoria jest gęsta w T2.
Natomiast jeśli a,b są zależne nad Z, ale przynajmniej jedna z tych liczb jest niewymierna, to mamy jeszcze inna sytuację (niewidoczną w przypadku jednowymiarowym): niech, np a∉Q,b=0. Wówczas torus jest sumą niezmienniczych okręgów; każda trajektoria jest gęsta na ”swoim” okręgu, ale żadna trajektoria nie jest gęsta na torusie.
W następnym rozdziale zbadamy ogólną sytuację przesunięcia na n-wymiarowym torusie. Wprowadzimy tez ważne w Układach Dynamicznych pojęcie topologicznej tranzytywności.
Przykład 1.3 (Układ z ciągłym czasem na torusie)
Określamy jednoparametrową grupę przekształceń torusa:
|
S1×S1∋z1,z2↦e2πiαtz1,e2πiβtz2 |
|
Te przekształcenia w R2 przed utożsamieniem, mają postać
Jest to więc potok pola wektorowego (równania różniczkowego) na płaszczyźnie:
Przykład 1.4 (Układ z ciągłym czasem na płaszczyźnie)
Ten układ we współrzędnych biegunowych ma postać
Zatem - dla każdego punktu x,y, poza stacjonarnym punktem 0,0, zbiór punktów granicznych trajektorii jest okręgiem z=1, ten okrąg jest trajektorią zamkniętą.
Przykład 1.5 (Układ z ciągłym czasem na płaszczyźnie)
Jest to zaburzenie układu
Łatwo sprawdzić że dla tego drugiego układu funkcja Hx,y=2y2-2x2+x4 jest całką pierwszą. Zatem - trajektorie są zawarte w poziomicach funkcji H.
Ćwiczenie 1.1
Naszkicować poziomice H. Następnie, badając znak pochodnej ddtHxt,yt dla wyjściowego układu, naszkicować jego trajektorie. Zbadać punkty skupienia trajektorii.
1.3. Topologiczna tranzytywność: przykład- przesunięcie na torusie
Definicja 1.4
Niech X będzie przestrzenią metryczną zwartą, T:X→X- przekształceniem ciągłym. Mówimy że T jest topologicznie tranzytywne jeśli dla dowolnych otwartych podzbiorów U,V∈X istnieje n∈N takie że
Stwierdzenie 1.1
Niech X będzie metryczną przestrzenią zwartą i ośrodkową. Niech T:X→X będzie przekształceniem ciągłym. Wówczas T jest topologicznie tranzytywne wtedy i tylko wtedy gdy istnieje x∈X takie że trajektoria x jest gęsta w X.
Jeśli istnieje gęsta trajektoria to istnieją k,l>k takie że Tkx∈U, Tlx∈V. Zatem Tl-kU∩V≠∅.
Aby dowieść drugą implikację, ustalmy przeliczalną bazę topologii Un. Ustalamy jeden zbiór z tej rodziny Un0. Rozpatrzmy teraz zbiór Dn0 złożony z punktów, których trajektorie omijają Un0:
|
Dn0=x∈X:∀n≥0Tnx∉Un0. |
|
Ten zbiór jest domknięty i brzegowy (ta druga własność wynika stąd że założyliśmy (1.1)).
Z Twierdzenia Baire'a (zauważmy że przestrzeń X jest zupełna) wynika że zbiór
jest brzegowy, i -w szczególności- niepusty. Każdy punkt x∈X∖D ma gęstą trajektorię.
∎
Zbadamy teraz topologiczną tranzytywność przesunięć na n-wymiarowych torusach.
Oczywiście, przesunięcie na Tn=S1×…×S1 jest dane wzorem
|
Tz1,z2…zn=exp2πia1z1,exp2πia2z2…exp2πianzn. |
| (1.2) |
Mamy
Stwierdzenie 1.2
Niech T będzie przesunięciem na torusie Tn. Wówczas T jest topologicznie tranzytywne wtedy i tylko wtedy gdy a1,a2,…an są niezależne nad Z, tj. jeśli dla pewnych k1,k2…kn∈Z
to k1=k2=…=0.
Załóżmy że współrzedne przesunięcia (a1,…an są zależne; k1a1+…+knan∈Z.
Rozważmy funkcję
Wówczas ϕ∘T=ϕ (mówimy że funkcja ϕ jest T- niezmiennicza).
Rozważmy ψ=reϕ; ta funkcja też jest t- niezmiennicza. Widzimy że dla pewnego t∈R zbiory Ut=x:ψx<t i Vt=x:ψx>t są niepuste. Ponadto, są one otwarte i T-niezmiennicze: TUt=Ut,
TVt=Vt. Przeczy to tranzytywności.
Załóżmy teraz że T nie jest tranzytywne, czyli dla pewnych otwartych U,V i dla wszystkich naturalnych n TnU∩V=∅. Biorąc U~=⋃n=-∞∞TnU i V~=⋃n=-∞∞TnV widzimy że są to dwa otwarte, rozłączne, T- niezmiennicze podzbiory.
Rozważmy funkcję g=1U~- czyli funkcję charakterystyczną U~
Chcemy użyć rozwinięcia Fouriera tej funkcji, dokładniej- mamy
Stwierdzenie 1.3
W przestrzeni L2Tn mamy ortonormalną bazę daną przez funkcje postaci
k1,k2…kn∈Zn.
Korzystając z tego stwierdzenia, możemy napisać
|
g=∑k1,k2…knbk1,k2…knz1k1z2k2…znkn |
|
i rozkład ten jest jednoznaczny.
Wówczas
|
g∘T=∑k1,k2…knbk1,k2…knz1k1z2k2…znknexp2πik1a1exp2πik2a2…exp2πiknan |
|
Z jednoznaczności rozwinięcia Fouriera wynika więc że
|
bk1,k2…kn=bk1,k2…kn⋅exp2πia1exp2πia2…exp2πian |
|
Ponieważ funkcja g nie jest stała, jej rozwinięcie ma więcej niż jeden składnik. Wynika stąd że
dla pewnych k1,…kn (nie wszystkich równych zero) mamy
∎
Uwaga 1.1
Dla przesunęcia na torusie mamy równowżność: pewna trajektoria jest gęsta jest równoważne temu że każda trajektoria jest gęsta. Wynika to stąd że trajektorie dwóch różnych punktów różnią sie o przesunięcie (mnożenie przez element grupy Tn)
Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.
