10.1. Twierdzenie Kryłowa- Bogoliubowa
Rozważmy przekształcenie mierzalne względem σ- ciała F, T:X→X.
Czy X ma jakąś miarę niezmienniczą określoną na F?
Otóż- nie musi tak być. Rozważmy
Przykład 10.1
Rozważmy przekształcenie T:0,1→0,1 określone wzorem Tx=12x dla x≠0, T0=1.
Wówczas T jest oczywiście mierzalne względem σ-ciała zbiorów borelowskich na 0,1, ale nie istnieje borelowska miara niezmiennicza dla T.
Istotnie, ponieważ 0,1=T-10,12=T-20,14=…T-n0,12n, mamy μ((0,1])=μ((0,12], czyli
μ((12,1]=0 i, podobnie, sprawdzamy że μ12k,12k-1=0. Zatem jedyna miara niezmiennicza musiałaby być skupiona w punkcie 0, ale, ponieważ T0≠0, ta miara też nie jest niezmiennicza
Widzimy, że powyższy przykład jest nieco sztuczny; ciągłe przekształcenie zostało zmodyfikowane w punkcie stałym i w ten sposób wyrugowaliśmy jedyną miarę niezmienniczą dla wyjściowego, ciągłego przekształcenia domkniętego odcinka 0,1.
Istotnie mamy następujące
Twierdzenie 10.1 (Twierdzenie Kryłowa- Bogoliubowa)
Jeśli X jest przestrzenią metryczną zwartą, T:X→X przekształceniem ciągłym, to
istnieje przynajmniej jedna borelowska miara niezmiennicza dla T.
Uwaga 10.1
Zauważmy że to twierdzenie jest nietrywialne, o ile T nie ma żadnej orbity okresowej.
Jeśli bowiem x,Tx,…Tnx=x jest orbitą okresową, to miara
jest niezmienniczą miarą borelowską.
Zanim przystąpimy do dowodu Twierdzenia, zapiszemy warunek na niezmienniczość miary w innej, równoważnej formie:
Przypomnijmy, że niezmienniczość miary oznacza że μ(T-1(A)=μ(A) dla każdego mierzalnego zbioru A.
Z przekształceniem ciągłym T:X→X możemy związać ciągłe przekształcenie T*:CX→CX dane wzprem
Stwierdzenie 10.1
Jeśli X jest przestrzenią metryczną zwartą, T:X→X przekształceniem ciągłym to borelowska miara regularna jest niezmiennicza dla T wtedy i tylko wtedy gdy T*μ=μ.
Założmy że T*μ=μ. Mamy pokazać że dla każdego borelowskiego zbioru A mamy μ(T-1(A)=μ(A).
Z regularności miary wynika że dla każdego dodatniego ε istnieją zbiory E⊃A⊃F (E- otwarty, F- domknięty) takie że
μE<μA-ε<μA+ε<μF oraz μT-1E<μT-1A-ε<μT-1A+ε<μT-1F Istnieje funkcja ciągła f:X→R taka że f|F=1, f|X∖E=0, 0≤f≤1. Mamy zatem
,
Stąd (skoro μf∘T=μf)
Wobec dowolności ε, μ(T-1(A)=μ(A).
Odwrotnie, jeśli dla każdego A borelowskiego μ(T-1(A)=μ(A), to możemy napisać dla funkcji ciągłej f≥0, (ale także dla dowolnej borelowskiej,f≥0
|
∫fdμ=∫0,∞μx∈X:fx>tdleb |
|
Z tego zapisu widać od razu że ∫f∘T=∫f.
Ponieważ dowolną funkcję ciągłą f możemy teraz zapisać jako różnicę dwóch funkcji ciągłych nieujemnych f=f+-f-, dowód jest zakończony.
∎
Dowód Twierdzenia Kryłowa- Bogoliubowa
Przypomnijmy że każda borelowska regularna miara na X jest ciągłym funkcjonałem liniowym działającym na przestrzeni funkcji ciągłych CX i, odwrotnie, każdy nieujemny (tj przyjmujący nieujemne wartości na funkcjach nieujemnych) funkcjonał ciągły na CX jest dany przez pewną miarę borelowską regularną.
(Ta odpowiedniość jest dana przez formułę: uscislic
W przestrzeni miar probabilistycznych rozpatrujemy słabą* topologię (to znaczy topologię pochodzącą z utożsamienia miar z funkcjonałami liniowymi na CX, czyli elementami CX*. Zastosujemy znane twierdzenie Banacha- Alaoglu, mówiące że kula jednostkowa w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni Banacha jest zwarta w słabej-* topologii.
Uwaga 10.2
Słaba * topologia w przestrzeni miar unormowanych jest metryzowalna
uzupelnic
Wyberzmy dowolny punkt x∈X i rozpatrzmy ciąg miar
wybierzmy podciąg słabo zbieżny:
|
μnk=1nkδx+δTx+…δTnk-1x→μ0 |
| (10.1) |
Miara μ0 jest wówczas szukaną miarą niezmienniczą.
Istotnie, sprawdzimy że T*μ=μ.
Mamy
|
T*μnk=1nkδTx+δT2x+…δTnkx=μnk+1nkδTnkx-δx |
| (10.2) |
Pozostaje jeszcze zauważyć że T*μnk→t*μ0 ,zaś 1nkδTnkx-δx→0.
∎
Przykład 10.2
Obrót o kąt niewymierny (dokładniej: niewspółmierny z π ) na okręgu ma tylko jedną miarę niezmienniczą (jest nią oczywiście miara Lebesgue'a) - por. Stwierdzenie 2.1. Przekształcenia które mają tylko jedną miarę niezmienniczą nazywa się ścisle ergodycznymi.
Ćwiczenie 10.1
uogólnienie na przesunięcia na torusach
Ćwiczenie 10.2 (Inna konstrukcja półsprzężenia homeomorfizmu okręgu z obrotem)
Niech f będzie zachowującym orientację homeomorfizmem okręgu, o niewymiernej liczbie obrotu.
Niech μ będzie borelowską miarą niezmienniczą. Wykazać że miara μ jest bezatomowa.
Ustalmy x0∈S1 i oznaczmy przez x0,x dodatnio zorientowany łuk między punktami x0,x∈S1.
Określamy przekształcenie h:S1→S1 wzorem
Niech β=μx0,fx0. Wykazać że wówczas h jest ”pólsprzężeniem f z obrotem Tβ o kąt 2πβ, tj.
Jaki jest związek β z liczbą obrotu dla f?
10.2. O sposobach szukania miar niezmienniczych w klasie miary Lebesgue'a. Operator Perrona-Frobeniusa
Jeśli rozważane przez nas przekszgtałcenie jest określone na podzbiorze Rn o dodatniej mierze Lebesgue'a, lub na rozmaitości gładkiej, to naturalne jest pytanie o zachowanie trajektorii punktów typowych w sensie miary Lebesgue'a. Twierdzenie ergodyczne daje taką odpowiedź, pod warunkiem że
istnieje miara niezmiennicza (najlepiej: ergodyczna) bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue'a.
Przykład 10.3
Rozważmy kawałkami afiniczne przekształcenie odcinka T:0,1→0,1. Mamy: 0=a0<a1<a2<…<an=1. Każdy z odcinkow [ai,ai+10 jest przekształcany afinicznie na cały odcinek 0,1.
Dla tego przekształcenia miara Lebesgue'a jest niezmiennicza (dlaczego?)
Jeśli teraz rozważymy podobne przekształcenie - ale dopuścimy żeby T przekształcalo ścisle monotonicznie i gładko każdy z odcinków naszego podziału na cały odcinek 0,1 ale niekoniecznie afinicznie - to miara Lebesgue'a (na ogól) nie jest już niezmiennicza.
NA tym prostym przykładzie omówimy technikę, która pozwala (również w znacznie ogólniejszych sytuacjach) rozstrzygać o istnieniu miary niezmienniczej w klasie miary Lebesgue'a i o jej własnościach.
Wykres przekształcenia T jest przedstawiony na rysunku 10.1.
Twierdzenie 10.2
Niech a0=0<a1<a2<…<ak=1. Oznaczmy I=ai-1,ai (zatem 0,1=⋃i=1kIi).
Rozpatrujemy przekształcenie T:0,1→0,1 o następujących własnościach:
-
(1) T jesli klasy C2 na każdym odcinku Ii i przekształca ścisle monotonicznie odcinek Ii na 0,1.
-
-
(3) T rozszerza się do przekształcenia klasy C2 na trochę większy odcinek (zatem druga pochodna T′′ jest ograniczona na Ii)
Wówczas istnieje miara niezmiennicza bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue'a. Ponadto, gęstość g tej miary względem miary Lebesgue'a jest ograniczona z gory i z dołu: istnieją stałe c,C takie że
Będziemy postępować według dowodu twierdzenia Kryłowa- Bogoliobowa, biorąc za punkt startowy- miarę Lebesgue'a na odcinku 0,1.
Oznaczmy ją przez ν. Rozpatrujemy ciąg miar νn=T*nν. Następnie rozpatrzymy (tak jak w dowodzie tw Kryłowa- Bogoliubowa)
średnie miar νn
Nie jest trudno zauważyć że każda z tych miar jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue'a. Ale oczywiście nie wynika stąd że słaba granica podciągu jest też absolutnie ciągła.
Dlatego udowodnimy trzy pomocnicze stwierdzenia.
Najpierw wprowadzimy oznaczenie
|
intIi1,…inn=Ii1∩T-1Ii2∩…∩T-nIin |
|
Zauważmy że odcinek 0,1 jest podzielony na rozłaczne intIi1,…inn i że każdy odcinek intIi1,…inn
jest przekształcany przez iterację Tn ściśle monotonicznie na 0,1.
Stwierdzenie 10.2
Miara νn jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue'a z gęstością
|
gnx=∑y∈T-1x1|(Tn)′|(y)| |
| (10.3) |
Funkcja gn jest klasy C1
Wzór na gęstość obrazu miary Lebesgue'a przy przekstałceniu T wynika bezpośrednio z wzoru na całkowanie przez podstawienie. Zostawiamy jako ćwiczenie.
∎
Stwierdzenie 10.3
Ciąg funkcji gnx jest wspólnie ograniczony z góry i z dołu: istnieją stałe c,C takie że
Weźmy dwa punkty x,z∈0,1. Wówczas każdy z tych punktów na kn przeciwobrazów przy Tn; każdy w innym odcinku intIi1,…inn.
Możemy je więc w naturalny sposób polączyc w pary. Zatem dwa przeciwobrazy y∈t-nx,w∈T-nz są w parze jeśli dla każdego 0≤j<n punkty
Tjx i Tjw należą do tego samego przedziału monotoniczności T. POnieważ na każdym takim przedziale T"" jest ograniczona, T′>1, więc funkcjia logT′ spełnia warunek Lipschitza. Oznaczmy przez L wspólną stałą Lipschitza (dla wszystkich przedziałów). Możemy teraz porównać Tn′y i (Tn)′(w)|:
Mamy
|
logTn′yTn′w=logTn′y-logTn′w=∑i=0n-1logT′Tiy-∑i=0n-1logT′Tiw≤∑i=0n-1|log|T′(Ti(y)|-log|T′(Ti(w)||≤L∑i=0n-1Tiy-Tiw |
| (10.4) |
Ponieważ przekształcenie T jest kawałkami rozszerzające (T′>α>1) , więc Tix-Tiw<αn-i. Ostatnie wyrażenie można więc oszacować z góry przez uniwersalną stałą, niezależną od n (sumę odpowiedniego szeregu geometrycznego). Stąd wynika że
dla pewniej stałej C.
Z wzoru (10.3) natychmiast wynika teraz że
Ponieważ gn jest gęstością miary T*nLeb, więc ∫gn=1. Istnieje zatem punkt y taki że gnz≤1. Stąd zaś wynika że dla każdego x mamy gnx<C. Z tego samego powodu: gnx>1C dla każdego x.
∎
Ostatnie stwierdzenie jest ogólne; nie dotyczy tylko tej konkretnej sytuacji:
Stwierdzenie 10.4
Jeśli ciąg miar probabilistycznych μn na prostej jest słabo-* zbieżny do miary μ i gęstości miar μn są wspólnie ograniczone z gory i z dołu przez stałe dodatnie c,C, to miara graniczna μ też jest bezwzględnie ciągła i gęstość jest ograniczona przez te same stałe (prawie wszędzie).
Skorzystamy z równoważnej charakteryzacji słabej zbieżności miar (rozkładów) na prostej: ciąg miar jest słabo zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy ciąg dystrybuant jest zbieżny punktowo, w każdym punkcie ciągłości dystrybuanty miary granicznej.
Zatem- jesli μn→μ i rozpatrzymy odcinek J=[a,b]) taki że μ∂J=0 (czyli μ nie ma atomów w końcach przedziału) to
|
μJ=limμnJ=lim∫Jgn≤CJ |
|
Zatem- dla każdego odcinka J którego końce nie są atomami miary μ
Atomów jest tylko przeliczalnie wiele, więc każdy odcinek J można przybliżyć z góry odcinkami o końcach nie będących atomami. Łatwo stąd widać że nierówność (10.5) zachodzi dla wszystkich przedziałów J⊂0,1.
Ponieważ dla każdego zbioru borelowskiego w 0,1 można znaleźć zawierający go zbiór otwarty (czyli sumę przeliczanej liczby otwartych odcinków) o mierze Lebesgue'a dowolnie blisko przybliżającej miarę naszego zbioru, łatwo stąd otrzymujemy nierówność (10.5) dla dowolnego zbioru borelowskiego.
Wynika stąd że miara μ jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue'a i że gęstość jest ograniczona z góry przez C.
Podobnie otrzymujemy teraz ograniczenie z dołu gęstości przez c.
Szczegóły pomijamy.
∎
Z tych trzech stwierdzeń teza naszego Twierdzenia wynika natychmiast; wystarczy zauważyć że ograniczenia na gęstość miar νn z góry i z dołu przenoszą się od razu na takie same ograniczenia dla gęstości miar μn. Szukana miara niezmiennicza jest słabą granicą pewnego podciągu ciągu miar μn.
∎
Twierdzenie 10.3
Miara μ jest ergodyczna.
Szkic dowodu
Do dowodu ergodyczności posłużymy się twierdzeniem Lebesgue'a o punktoach gęstości. Założmy zatem że miara μ nie jest ergodyczna;
istnieje wówczas w pełni niezmienniczy podzbiór E miary niezerowej i niepełnej Wówczas również LebE>0 i LebEc>β>0.
Z twierdzenia Lebesgue'a wynika że prawie każdy punkt x0∈E jest punktem gęstości tego zbioru.
Niech Ii1,…inn będzie odcinkiem n- tego podziału do którego należy x0. Z szacowania (10.4) zastosowanego do dowlonych punktów z,w∈Ii1,…inn wynika że wahanie pochodnej (Tn)′| na odcinkach n-tego podziału jest ograniczone przez stałą C.
Stąd i z niezmienniczości zbioru E wnioskujemy że
|
LebEc∩Ii1,…innLeb(Ii1,…inn))>C-1β |
| (10.6) |
Jeśli teraz B jest kulą o środku w x0 i promieniu równym długości odcinka Ii1,…inn, to otrzymujemy stąd
|
LebEc∩BLebB>12C-1β |
| (10.7) |
co oczywiście przeczy temu że x0 jest punktem gęstości.
∎
