Zagadnienia

11.1 Twierdzenie Liouville'a
11.2 Równania Lagrange'a i Hamiltona. Potoki geodezyjne

11. O gładkich miarach niezmienniczych

11.1. Twierdzenie Liouville'a

To twierdzenie jest znane z kursu Równań Rożniczkowych Zwyczajnych.

Rozważmy równanie różniczkowe x˙=F⁢x (gdzie F jest funkcją klasy C1 na gładkiej zwartej rozmaitości, albo (dla uproszczenia) w Rm. Na rozmaitości zwartej każde rozwiązanie takiego równania można przedłużyć na całą prostą; w Rm tak nie musi być, ale - jest tak na pewno na przykład wtedy gdy funkcja F jest ograniczona lub gdy mamy równanie hamiltonowskie i poziomice hamiltonianu są zwarte.

Niech φt będzie potokiem tego pola wektorowego, zatem dd⁢t⁢φt⁢x|t=0=F⁢x. Dla t bliskich zeru mamy więc

φt⁢x=x+F⁢x⋅t+O⁢t2

(11.1)

Niech D będzie obszarem; oznaczmy D(t)=vol(φt(D).

Twierdzenie 11.1

Jeżeli div⁢F≡0 to funkcja D⁢t jest stała, czyli potok pola zachowuje objętość w przestrzeni fazowej.

Sprawdzimy że

dd⁢t⁢D⁢t|t=0=∫Ddiv⁢F⁢d⁢x

Istotnie, mamy policzyć

dd⁢t⁢∫DJac⁢φt⁢x⁢d⁢x=dd⁢t⁢∫DJac⁢φt⁢x⁢d⁢x|t=0

Oprócz 11.1 mamy, dla t bliskich zeru:

Dx⁢φt⁢x=I+t⁢∂⁡F∂⁡x+O⁢t2

Ten drugi wzór wyraża twierdzenie mówiace iż Dx⁢φt⁢x- funkcja zmiennej t o wartościach macierzowych, spełnia równanie różniczkowe liniowe Y˙=∂⁡F∂⁡x⁢φt⁢x⁢Y z warunkiem początkowym Y⁢0=I.

Jeśli- licząc wyznacznik macierzy Dx⁢φt⁢x interesujemy się tylko jego pochodną względem t, to widzimy że przy liczeniu wyznacznika I+t⁢∂⁡F∂⁡x+O⁢t2 musimy wziąć tylko te wyrazy które zawierają t w pierwszej potędze. Po zsumowaniu-mamy

dd⁢t⁢Jac⁢φt⁢x|t=0=∂⁡F1∂⁡x1+∂⁡F2∂⁡x2+…+∂⁡Fm∂⁡xm=div⁢F⁢x

(11.2)

Zauważamy dalej, że

dd⁢t⁢D⁢t|t=t0=dd⁢s⁢D⁢t0+s|s=0=dd⁢s⁢vol⁢φt0+s⁢D|s=0=dd⁢s|s=0⁢vol⁢φs⁢φt0⁢D

ZAtem, z udowodnionej już części, zastosowanej dla φt0⁢D wynika teza.

Latwo widać że warunek ÷F=0 jest też konieczny (szczegóły zostawiamy jako ćwiczenie)

∎

Uwaga 11.1

W podobny sposób można sprawdzić że jeśli ρ>0 jest funkcją klasy C1 i div⁢ρ⋅F=0 to potok pola wyznaczonego przez F zachowuje miarę z gęstością ρ względem miary Lebesgue'a.

Wniosek 11.1

Rozważmy pole hamiltonowskie w R2⁢m; H jest funkcją klasy C2, układ równań ma postać

q˙i=∂⁡H∂⁡pip˙i=-∂⁡H∂⁡qi

(11.3)

Zatem F=∂⁡H∂⁡p1,…,∂⁡H∂⁡pm,-∂⁡H∂⁡q1,…-∂⁡H∂⁡qm.

Ponieważ div⁢F=0, otrzymujemy ważny wniosek: Potok pola hamiltonowskiegoz achowuje objętość w przestrzeni fazowej.

Potok hamiltonowski ma calkę pierwszą: jest nią funkcja Hamiltona H. Zatem przestrzeń fazowa rozpada się na niezmiennicze powierzchnie stałej energii. Mamy

Twierdzenie 11.2

Jeśli dla układu hamiltonowskiego powierzchnia stałej energii Σ={H=c} spełnia grad⁢H≠0 w każdym punkcie tej powierzchni, to miara na Σ określona wzorem

μ⁢A=∫Ad⁢σgrad⁢H

jest niezmiennicza względem potoku pola z hamiltonianem H. σ oznacza tutaj standardową miarę powierzchniową na powierzchni Σ.

Skoro grad⁢H≠0 na powierzchni Σ, możemy założyć (ograniczając się do pewnego otwartego podzbioru Σ) że ∂⁡H∂⁡pm≠0 na Σ. W tekim razie, pm daje się (lokalnie) wyznaczyć jako funkcja pozostałych zmiennych; pm=F⁢q1,…,qm,p1,…⁢pm-1=F⁢q,p′. Miara powierzchniowa σ na Σ może być więc wyliczona według formuły:

σ⁢A=∫A~1+grad⁢F2

A~ jest mierzalnym zbiorem R2⁢m-1, A={(x,F(x)),x∈A~} jest odpowiadającym mu zbiorem na wykresie. Bezpośrednim rachunkiem wyliczamy że

1+grad⁢F2=grad⁢H2∂⁡H∂⁡pm2

(pominęliśmy w tym napisie argumenty funkcji) Zatem

σ⁢A=∫A~grad⁢H∂⁡H∂⁡pm⁢d⁢q⁢d⁢p′

zaś

∫A1grad⁢H⁢d⁢σ=∫A~1∂⁡H∂⁡pm⁢d⁢p⁢d⁢q′

Przekształcenie

R2⁢m-1∋q,p′=q1,…⁢qm,p1,…,pm-1↦q1,…⁢qm,p1,…,pm-1,F⁢q,p′∈R2⁢m

jest parametryzacją rozmaitości Σ, zaś miara 1grad⁢H⁢d⁢σ na Σ jest- jak sprawdziliśmy- obrazem miary ∂⁡H∂⁡pm⁢d⁢p⁢d⁢q′ w przestrzeni parametrów. Aby sprawdzić że potok wyjściowego pola 11.3 zachowuje miarę 1grad⁢H⁢d⁢σ, możemy więc sprawdzić, rownoważnie, że potok pola przeniesionego parametryzacją do R2⁢m-1 zachowuje miarę ∂⁡H∂⁡pm⁢d⁢p⁢d⁢q′. Jest to miara z gęstością r⁢h⁢o=∂⁡H∂⁡pm względem miary Lebesgue'a. Aby sprawdzić że jest ona zachowana, skorzystamy z Uwagi 11.1).

Równania we współrzędnych q,p′ wyglądają oczywiście:

q˙i=∂⁡H∂⁡pi(q,p,F(q,p′),,i=1,…,mp˙i=-∂⁡H∂⁡qi(q,p,P(q,p′),i=1,…,m-1

(11.4)

Oznaczając przez X funkcję wektorową (w R2⁢m-1) po prawej stronie równania mamy więc sprawdzić że div⁢ρ⋅X=0. Liczymy

div⁢1∂⁡H∂⁡pm⁢∂⁡H∂⁡p1,…,∂⁡H∂⁡pm,-∂⁡H∂⁡q1,…,-∂⁡H∂⁡qm-1

(znowu pominęliśmy w zapisie argumenty występujących tu funkcji). Poszczególne składniki (występujace we wzorze na dywergencję) wypiszmy z uwzględnieniem argumentów: Pierwszy składnik to:

∂∂⁡q1⁢∂⁡H∂⁡p1(q,p′,F(q,p′)∂⁡H∂⁡pm(q,p′,F(q,p′)=∂∂⁡q1⁢-∂⁡F∂⁡p1

Stąd już łatwo widać że suma składników jest równa zero, co kończy dowód.

∎

11.2. Równania Lagrange'a i Hamiltona. Potoki geodezyjne

W mechanice klasycznej równania ruchu punktu materialnego w polu sił z potencjałem V są opisywane przez równania Eulera-Lagrange'a: Niech M będzie rozmaitością riemannowską (przestrzenią konfiguracji), T⁢M-wiązką styczną (przestrzenią fazową). Funkcja Lagrange'a

L:TM→R:L(x,v)=12<v,v>-V(x)=K-V

(11.5)

jest rózniczkowalną funkcją opisującą ruch przez równanie różniczkowe pierwszego rzędu w T⁢M:

dd⁢t⁢∂⁡L∂⁡v=∂⁡L∂⁡x

K⁢v=12<v,v> jest energią kinetyczną. Rozwiązanie jest to zatem funkcja t↦x⁢t,v⁢t∈T⁢M. Tutaj iloczyn skalarny <v,v> odpowiadający strukturze Riemannowskiej na M (w szczególności, zależy od od punktu x, gdzie v∈Tx⁢M).

Stwierdzenie 11.1

Równanie Lagrange'a ma całkę pierwszą; jest nią całkowita energia H⁢x,v=12<v,v>+V⁢x

Użyjemy lokalnych współrzędnych; w tych współrzędnych możemy zapisać iloczyn skalarny w przestrzeni stycznej prz pomocy macierzy symetrycznej gi⁢j. Zatem

L=K-V⁢12<v,v>-V⁢x=12⁢∑i,jgi⁢j⁢vi⁢vj-V⁢x.

Oznaczając przez <.,.>e zwykły iloczyn skalarny w przestrzenie euklidesowej, możemy napisać

∂⁡K∂⁡vi=∑jgi⁢j⁢vj

Zatem:

<∂⁡K∂⁡v,v>e=2K

zaś

<∂⁡L∂⁡v,v>e-L=<∂⁡K∂⁡v,v>e-L=2K-K+V=K+V=H

Dzięki tej formule możemy łatwo policzyć pochodną funkcji H wzdłuż rozwiązania:

dd⁢tH(x(t),v(t))=dd⁢t<∂⁡L∂⁡v,v>e=<dd⁢t∂⁡L∂⁡v,v>e+<∂⁡L∂⁡v,d⁢vd⁢t>e-<∂⁡L∂⁡x,x˙>e-<∂⁡L∂⁡v,v˙>e

Z równania Eulera-Lagrange'a ( i z faktu że x˙=v) wynika że ta suma jest równa zero.

∎

Uwaga 11.2

Jeśli rozmaitość M jest zwarta, to każda poziomica funkcji H jest zwartą podrozmaitością T⁢M. Z twierdzenia o przedłużaniu trajektorii wynika że wówczas każde rozwiązanie równania Eulera- Legrange'a można przedłużyć do nieskończoności, zatem potok pola jest określony dla wszystkich t∈R.

Szczególnym przypadkiem jest potok geodezyjny, opisujący ruch swobodny na rozmaitości M (w przestrzeni konfiguracji z ”więzami”):

Definicja 11.1

Potokiem geodezyjnym na rozmaitości Riemannowskiej M nazywamy potok pola zadanego przez równanie Eulera-Lagrange'a z funkcją Lagrange'a równą

L⁢x,v=12<v,v>

Ponieważ potok ten zachowuje dlugość wektora stycznego v⁢t, więc potok można rozpatrywać na podrozmaitościach stałej energii; w tym przypadku- są to podrozmaitości T⁢M odpowiadające ustalonej długości wektorów stycznych.

Następujące twierdzenie, wynikające z zasady wariacyjnej, uzasadnia nazwę:

Twierdzenie 11.3

Jeśli x⁢t,v⁢t jest trajektorią (rozwiązaniem) równania Eulera-Lagrange'a dla V=0, to rzut trajektorii na M jest geodezyjną w M.

Potok geodezyjny ma naturalną gładką miarę niezmienniczą. Wyliczymy ją, przechodząc do odpowiedniego równania Hamiltonowskiego. Opiszemy to przejście (standardowe w mechanice klasycznej).

W przestrzeni stycznej Tx⁢M jest struktura iloczynu skalarnego, która pozwala utożsamic przestrzeń styczną z przestrzenią kostyczną Tx*⁢M w oczywisty sposób: wektor v jest utożsamiany z funkcjonałem liniowym w↦<v,w>. Używając lokalnych współrzędnych możemy zapisać v=vi, wówczas

<v,w≥∑i(∑jgi⁢jvj)wi

(gi⁢j zależa oczywiście od punktu x). Zatem wektorowi v odpowiada element Tx*⁢M, który w lokalnej bazie d⁢xi ma współrzędne ∑jgi⁢j⁢vj. Ta ostatnia suma jest równa, jak wiemy, ∂⁡K∂⁡vi. W ten sposób określiliśmy przekształcenie Legendre'a L prowadzące z wiązki stycznej T⁢M do wiązki kostycznej T*⁢M. Możemy więc użyć współrzędnych lokalnych qi w M i odpowiadającym ich w opisany sposób współrzędnych pi w przestrzeni Tx*⁢M do utworzenia lokalnych współrzędnych w T*⁢M.

Załóżmy że trajektoria q⁢t,v⁢t spełnia równanie Eulera-Lagrange'a. Sprawdźmy jakie równanie spełnia odpowiadająca trajektoria w przestrzeni T⁢M: q⁢t,p⁢t.

Stwierdzenie 11.2

Jeśli q⁢t,v⁢t spełnia równanie Eulera-Lagrange'a z funkcja Lagrange'a 11.5, to q⁢t,p⁢t, uzyskane przez zamianę zmiennych transformatą Legendre'a- spełnia równanie Hamiltona 11.3 z funkcją H równą całkowitej energii.

W nowych współrzędnych q,p funkcja całkowitej energii H ma postać H⁢q,p=12⁢∑i,jgi⁢j⁢pi⁢pj+V⁢q gdzie gi⁢j jest macierzą odwrotną do gi⁢j.

Mamy

q˙i=vi=∑gi⁢j⁢pj=∂⁡H∂⁡pi

Stąd pierwsze równanie Hamiltonowskie. Pozostaje wyznaczyć p˙. Skoro p=∂⁡K∂⁡v=∂⁡L∂⁡v, to z równania Eulera-Lagrange'a wynika że p˙=∂⁡L∂⁡q. Funkcję energii H możemy zapisać inaczej jako 12<v,v>+V=<v,p>e-L. Stąd ∂⁡H∂⁡q=-∂⁡L∂⁡q. uzupelnic

∎

Potok pola hamiltonowskiego otrzymanego z pola Lagrange'a przez opisaną zamianę zmiennych zachowuje- jak juz sprawdziliśmy- naturalna miarę, którą w lokalnych współrzędnych p,q można zapisać d⁢p⁢d⁢q. Wracając do współrzędnych na rozmaitości T⁢M otrzymujemy miarę niezmienniczą na T⁢M; jej postać wyliczamy poniżej.

Macierz iloczynu skalarnego gi⁢j możemy zdiagonalizować, znajdując macierz C=Cq (zależną oczywiscie od polozenia) taką że CT⁢G⁢C=I Jesli zmienimy wspolrzedne w T*⁢M kładąc p′=Cq⁢p,q′=q, to otrzymamy

d⁢q⁢d⁢p=d⁢q′⁢d⁢p′⁢det⁢C-1=d⁢q′⁢d⁢p′⁢det⁢G⁢q

Ostatnia równość bierze się stąd że CT⁢G⁢C=I, zatem det⁢C2⁢det⁢G=. Jest to wiec produkt kanonicznej miary objetości na M (d⁢q⁢det⁢G⁢q) oraz miary objętości na Tq⁢M zadanej przez macierz G (nowa baza p′ jest bazą ortonormalną w przestrzeni Tq⁢M.

Na powierzchniach stałej energii H otrzymujemy indukowaną gładką miarę niezmienniczą W szczególnym i najważniejszym dla nas przypadku potoku geodezyjnego powierzchnie stałej energii odpowiadają wiązkom sfer ∑pi′2=C.

Możemy zmienić zmienne jeszcze raz, na sferyczne: r,θ, r∈R+,θ∈Sm-1 Mamy wtedy:

d⁢q⁢d⁢p=d⁢q′⁢d⁢p′⁢det⁢G⁢q=det⁢G⁢q⁢rm-1⁢d⁢r⁢d⁢θ

Ponieważ r2=∑pi′2=2⁢H, to

rm-1=2m-1m⁢H12⁢m-1

Ostatecznie, w zmiennych q,H,θ miara niezmiennicza ma postać

H12⁢m-1⁢212⁢m-1⁢det⁢G⁢q⁢d⁢H⁢d⁢θ⁢d⁢q

Zaś na powierzchni stałej energii (czyli na wiązce sfer) jest to miara z gęstością proporcjonalną do

det⁢G⁢q⁢d⁢q⁢d⁢θ

det⁢G⁢q⁢d⁢q jest kanoniczną miarą objętości na M, zaś d⁢θ jest miarą o rozkładzie jednostajnym na sferze.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wstęp do teorii Układów Dynamicznych