Zagadnienia

12.1 Metryka hiperboliczna
12.2 Potok geodezyjny w H2

12. Potok geodezyjny na rozmaitości o stałej ujemniej krzywiźnie- ważny przykład potoku Anosowa

12.1. Metryka hiperboliczna

Wprowadzimy bardzo ważne wanalizie zespolonej pojęcie płaszczyzny hiperbolicznej

Definicja 12.1

Niech

H2={(x,y)∈C:im(z)>0

(czyli - gówna półpłaszczyzna) W H2 wprowadzamy metrykę (Riemannowską):

d⁢z⋅1y

Inaczej mówiąc: w nowej metryce, długość vh wektora v należącego do przestrzeni stycznej Tz⁢H2 jest równa 1y⁢ve (przez ve oznaczyliśmy normę euklidesową, a przez vh- hiperboliczną). Jeszcze inaczej: w metryce euklidesowej iloczyn skalarny wektorów v,w stycznych w punkcie z=x+i⁢y jest równy <v,w>e=uw¯. Iloczyn skalarny w nowej metryce jest równy

<v,w>h=uw¯⋅1y2.

Ćwiczenie 12.1

Sprawdzić że wszystkie homografie (przekształcenia Möbiusa) zachowujące H2 są postaci:

T⁢z=a⁢z+bc⁢z+d,

abcd∈G⁢L+⁢2,R

Stwierdzenie 12.1

Wszystkie homografie zachowujące H2 są izometriami w metryce hiperbolicznej w H2.

Każde takie przekształcenie można zapisać jako złożenie trzech, postaci z→z+A, z→B⁢z, z→-1z, A,B>0. Wystarczy sprawdzić że te trzy przekształcenia są izometriami. Sprawdzimy trzecie: mamy

T′(z)|=|(-1z)′|=1z2

Należy sprawdzić że

T′⁢z⋅1im⁢T⁢z⋅im⁢z=1

Równość zachodzi, ponieważ im⁢T⁢z=yz2, im⁢z=y

∎

Ćwiczenie 12.2

Niech z∈H2, v∈Tz⁢H2, z′∈H2, v′∈Tz⁢H2. Wówczas istnieje izometria T:H2→H2 taka że T⁢z=z′, D⁢Tz⁢v=v′.

Stwierdzenie 12.2

Geodezyjne w H2 są to łuki (pół)okręgów prostopadłych do prostej y=0. Geodezyjną jest też okrąg przechodzący przez punkt w nieskończoności, czyli - każda (pół)prosta prostopadła do prostej y=0.

Definicja 12.2

Wprowadzamy metrykę w S⁢H2 (czyli w wiązce wektorów stycznych o długości hiperbolicznej 1). tu rysunek

Niech x=p,v,y=q,w. Jeśli p=q to miarą odległości między x,y jest d⁢v,w- miara kąta między wektorami w,v. Jeśli p≠q to istnieje dokładnie jedna geodezyjna γ przechodząca przez punkty p, q. Niech w′∈Tp⁢H2 będzie obrazem w przy przesunięciu równoległym wzdłuż tej geodezyjnej. Inaczej- mozna powiedziec tak: Rozpatrujemy izometrie (przekształcenia Möbiusa) dla których geodezyjna γ jest niezmiennicza (jak je znaleźć?) i wybieramy przekształcenie T- taką spośród tych izometrii, która punkt q przekształca na p. Wektor w′ jest równy D⁢Tq⁢w.

Odległość między x, y definiujemy:

d⁢x,y=d⁢v,w′2+dh⁢p,q2

12.2. Potok geodezyjny w H2

Niech x=p,v∈S⁢H2 Potok geodezyjny φt⁢x można, jak wiemy opisac następujaco: znajdujemy jedyną geodezyjną γ⁢t taką że γ⁢0=p, γ˙⁢0=v. Po czasie t mamy φt⁢x=y,w gdzie y=γ⁢t, w=γ˙⁢t. tu rysunek

Rozpatrzmy zatem x=(i,v=(0,1)). Geodezyjna zawierająca punkt i, wypuszczona w kierunku v to oczywiście półprosta pionowa γ⁢t=0,et=i⋅et,t∈R. Użyliśmy parametryzacji et ponieważ ma to być parametryzacja odpowiadająca ruchowi ze stała prędkościa: γ˙⁢th=1. Mamy:

γ˙⁢th=γ˙⁢t⋅1im⁢γ⁢t=etet=1

Zatem: φt⁢x=et⁢i,vt, gdzie wektor vt jest to wektor 0,1 zaczepiony w punkcie et⁢i

NIech teraz y=a+i,w∈S⁢H2, a∈R. Oczywiście mamy φt⁢y=et⁢a+i,wt gdzie wektor wt jest to wektor 0,1 zaczepiony w punkcie et⁢a+i

Zobaczmy jak zmienia się z czasem odległość:

d(φt(x),φt(y)

. Mamy:

dh⁢et⁢i,et⁢a+i≍e-t

(dlaczego?)

Podobnie

d(φt(x),φt(y)≍e-t.

Ta obserwacja prowadzi do definicji:

Definicja 12.3

Horocykl to każda linia pozioma R+i⁢r i każdy obraz tej linii przy przekształceniu Möbiusa zachowującym H2.

tu rysunek Widzimy że dla każdego x=p,v∈S⁢H2 istnieje dokładnie jedna geodezyjna wyznaczona przez ten punkt i wektor i dokładnie dwa horocykle takie że punkt p należy do horocyklu, zaś wektor v jest normalny do horocyklu. Nazwijmy je odpowiednio horocyklem wchodzącym i horocyklem wychodzącym wyznaczonymi przez x=p,v

tu dwa rysunki: geodezyjna, horocykl wchodzący i wychodzący- dla geodezyjnej pionowej i dla geodezyjnej ”typowej”

Niech x=p,v. Rozpatrzmy horocykl wchodzący wyznaczony przez x, W każdym punkcie horocyklu wybieramy wektor normalny do horocyklu , w ten sposób aby wybór był ciągły i aby wektor v był wybrany. Otrzymujemy jednowymiarową podrozmaitość S⁢H2. Oznaczmy ją przez Ws⁢s((p,v). Podobnie, rozważmy horocykl wychodzący wyznaczony przez x i wybierzmy ciągłą rodzine wektorów normalnych do niego, tak aby wektor v należał do tej rodziny. Tę podrozmaitość oznaczamy Wu⁢u((p,v).

Wyliczenie(powyżej) zmiany odległości przy φt dla punktów (i odpowiednich wektorów) zachowuje się przy zastosowaniu izometrii; powyższy racunek prowadzi do Stwierdzenia (szczegóły pomijamy)

Stwierdzenie 12.3

Zbiór Ws⁢s((p,v) stanowi silną rozmaitość stabilną punktu x=p,v; dla każdego y∈Ws⁢s((p,v) d(φt(y),φt(x)→0 gdy t→∞.

Zbiór Wu⁢u((p,v) jest silną rozmaitością niestabilną punktu x=p,v; dla każdego y∈Wu⁢u((p,v) d(φt(y),φt(x)→0 gdy t→-∞.

Ćwiczenie 12.3

Uzupełnić brakujące szczególy; w szczególności wykazać że wskazany zbiór wyczerpuje cała rozmaitość stabilną (niestabilną); tzn jeżeli y∉Ws⁢s((p,v), to d(φt(y),φt(x)↛0

Oprócz silnej rozmaitości (nie)stabilnej mamy jeszcze słabą rozmaitość (nie)stabilną. Zauważmy że jeśli p′⁢v′ jest punktem (w S⁢H2 należącym do geodezyjnej wyznaczonej przez p,v, to p′,v′=φs⁢p,v dla pewnego s, zatem d((p,v),(p′v′)=d(φt(p,v),φt(p′,v′) dla wszystkich t∈R. Mamy więc

Stwierdzenie 12.4

Słaba rozmaitość stabilna Ws⁢x punktu x=p,v jest sumą wszystkich silnych rozmaitości stabilnych punktów x′=p′,v′ należących do geodezyjnej wyznaczonej przez x=p,v.

Ws(x)={y∈SH2:supt≥0d(φt(x),φt(y))<∞.

Oczywiscie- symetryczne stwierdzenie mamy dla rozmaitości niestabilnej. Silne rozmaitości są jednowymiarowe, słabe - są dwuwymiarowe.

Przecięciem słabej rozmaitości stabilnej i niestabilnej przechodzącej przez p,v jest geodezyjna wyznaczona przez p,v, a precyzyjniej- jej podniesienie do S⁢H2.

Wniosek 12.1

Otrzymalismy w ten sposób globalną foliację stabilna i niestabilną dla potoku geodezyjnego na S⁢H2.

Każdą zwartą orientowalną powierzchnię M można (topologicznie) utożsamiać z przestrzenią ilorazową H2/Γ dla pewnej dyskretnej podgrupy grupy zachowujących orientację izometrii H2 (Γ jest wówczas grupą podstawową tej powierzchni). Na rysunku (rysunek: osmiokąt hiperboliczny i dwuprecel i utożsamienia) przedstawiona jest realizacja ”dwuprecla” (czyli sfery z dwiema rączkami) jako hiperbolicznego ośmiokąta O z odpowiednimi sklejeniami. Po dokonaniu wskazanych utożsamień boków ośmiokąta otrzymujemy (topologicznie) dwuprecel. W szczególności wszystkie wierzchołki ośmiokąta sklejają się w jeden punkt. wszystkie kąty tego ośmiokąta są równe π4. (zatem suma jest równa 2⁢π.

Rozpatrzmy izometrie odpowiadające tym utożsamieniom: bok a jest utożsamiany z a′ (i odpowiednio pozostałe kroki) przy pomocy hiperbolicznej homografii (przesunięcia wzdłuz geodezyjnej). Grupa Γ generowana przez te homografie jest dyskretną podgrupą pełnej grupy izometrii. Działając elementami tej grupy na ośmiokąt O otrzymujemy ”parkietaż” dysku Poincare'go D. Ośmiokąt O (i każda z jego kopii jest dziedziną fundamentalną dla działania grupy Γ.

Ćwiczenie 12.4

Jakie znaczenie mają w tej konstrukcji miary kątów ośmiokąta O?

Zatem powierzchnia M jest homeomorficzna z przestrzenią ilorazową D/Γ. Ponieważ grupa Γ działa przez izometrie, metryka hiperboliczna rzutuje się na metrykę riemannowską na M; mazywamy ją też metryką hiperboliczną.

Uwaga 12.1

Na jednej powierzchni istnieje wiele, nieizometrycznych metryk hiperbolicznych.

Ponieważ rzutowanie jest lokalną izometrią, obrazami ( przeciwobrazami) geodezyjnych przy rzutowaniu są geodezyjne. Potok geodezyjny na rozmaitości M=D/Γ jest więc obrazem potoku na D, czyli (izometrzycznie) na H2.

Wykorzystując wykazane wcześniej istnienie globalnej foliacji stabilnej i niestabilnej dla potoku geodezyjnego i powyższą uwagę otrzymujemy

Twierdzenie 12.1

Niech M bedzie zwartą rozmaitością otrzymaną jako przestrzeń ilorazowa D/Γ (gdzie Γ jest dyskretną podgrupą grupy zachowujących orientację izometrii D, z dziedziczoną z D metryką hiperboliczną. Wówczas potok geodezyjny na S⁢M jest potokiem Anosowa.

Wykażemy jeszcze

Twierdzenie 12.2

Jeśli Γ jest dyskretną podgrupą izometrii D zachowujących orientację, taką że M=D/Γ jest zwarta, to orbity okresowe (czyli podniesienia zamkniętych geodezyjnych) są gęste w S⁢M.

Wybierzmy punkt x,v∈S⁢M i wyznaczoną przez x,v geodezyjną C⁢t. Zatem C⁢0=x,C˙⁢0=v. Wówczas krzywa c⁢t- przeciwobraz C przy rzutowaniu π jest geodezyjną w D; niech c⁢0∈O. Niech z1,z2∈S1 będą końcami tej geodezyjnej (rysunek); rozważmy otoczenia U i V tych punktów otrzymane przez łuki geodezyjnych, prostopadłych do c. Geodezyjną c możemy pokryć kopiami dziedziny fundamentalnej O (czyli obrazami O przy działąniu elementami grupy Γ). Ponieważ wszystkie takie kopie Oi mają tę samą średnicę hiperboliczną; te kopie które są blisko brzegu D, mają małą średnicę euklidesową. Można więc znaleźć jakies Oi⊂U i Oj⊂. Mamy więc wyróżnione trzy obszary z naszego parkietażu, przecinające geodezyjną c: Oi,O, Oj, położone w tej kolejności ”wzdłuż” geodezyjnej c. Niech γ∈Γ będzie taką izometrią należącą do Γ, że γ⁢Oi=Oj. Wówczas γ jest izometrią hiperboliczną; jeden jej punkt stały jest w U, drugi w V. Niech c~ będzie ”osią” tej izometrii. Wówczas c~ rzutuje się na zamkniętą geodezyjną na M. Ponieważ otoczenia U,V mogą być dowolnie małe, można w ten sposób znaleźć punkt x~,v~∈c~ blisko x,v. Punkt x~,v~ pod działaniem potoku geodezyjnego ma okresową trajektorię.

∎

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wstęp do teorii Układów Dynamicznych