Niech g będzie funkcją próbną; na początek zakłądamy że g jest ciągła.

Rozpatrzmy funkcje

g+⁢x=limn→∞⁡1n⁢∑i=0n-1g∘Ti⁢x

oraz

g-⁢x=limn→∞⁡1n⁢∑i=0n-1g∘T-i⁢x

Z twierdzenia Birkhoffa wynika że

G=x:g+⁢x,g-⁢x⁢⁢⁢istniej⁢ą⁢⁢⁢i⁢⁢⁢s⁢ą⁢⁢⁢r⁢ó⁢wne⁢⁢

ma pełną miarę.

Ponieważ T jest hiperboliczne, mamy niezmiennicze globalne foliacje stabilną i niestabilną. Ustalmy x0∈T2 i kawałek rozmaitości stabilnej Is=Wrs⁢x0, a następnie- zbiór

R=⋃y∈IsWru⁢y.

Dla małego r ten zbiór jest równoległościanem.

Punkt początkowy x0 musimy wybrać tak, żeby

G∩Wrs⁢x0 było podzbiorem pełnej miary w Wrs⁢x0. Istnienie wielu takich x0 wynika z tw Fubiniego.

Wówczas zbiór

H=⋃y∈G∩IsWru⁢y

jest pełnej miary w R.

Weźmy z1,z2∈H. Istnieją więc y1∈Is∩Wru⁢z1 oraz y2∈Is∩Wru⁢z2. Mamy wówczas

1. g-⁢z1=g-⁢y1 bo z1,y1 leżą w tym samym włóknie niestabilnym więc zbliżają się przy działaniu T-n.

2. g-⁢y1=g+⁢y1

3. g+⁢y1=g+⁢y2 bo y1,y2 leżą w tym samym włóknie stabilnym.

4. g+⁢y2=g-⁢y2

5. g-⁢z2=g-⁢y2 bo z2,y2 leżą w tym samym włóknie niestabilnym

Ponieważ całą naszą rozmaitość możemy pokryć przez skończenie wiele takich ”prostokątów” R, otrzymujemy wniosek: g- i g+ są stałe prawie wszędzie, i równe ∫g⁢d⁢leb.

W następnym kroku dowodu pokażemy że to samo jest prawdą jeśli g zastąpimy dowolną funkcją h∈L1. Niech h∈L1. Dla dowolnego ε>0 istnieje funkcja g ciągła taka że g-hL1<ε.

Z twierdzenia ergodycznego wynika że prawie wszędzie istnieje, niekoniecznie stała granica

h+=limn→∞⁡∑i=0∞h∘Ti=limn→∞⁡1n⁢∑h-g∘Ti+1n⁢∑g∘Ti

Wiemy już że druga granica jest równa stałej ∫g. Orzymujemy stąd wniosek- funkcja graniczna h+ nie może różnić się bardzo od stałej. Dokładniej- mamy:

h+-∫g=limn→∞⁡1n⁢∑h-g∘Ti

Oznaczmy funkcję kn=1n⁢∑h-g∘Ti. Z twierdzenia ergodycznego wynika że kn→k=h+-∫g prawie wszędzie i w L1. Zatem

∫h+-∫g=∫lim⁡kn=kL1

Normę kL1 można zaś oszacować:

knL1=∫1n⁢∑h-g∘Ti≤1n⁢∑∫h-g∘Ti=∫h-g

Zatem

kL1=lim⁡knL1≤h-gL1.

Wynika stąd więc że

h+-∫gL1≤h-gL1<ε.

Zatem h+ różni się od stałej ∫h o mniej niż 2⁢ε. Wobec dowolności ε, dowodzi to że h+ jest stałe prawie wszędzie. Dowód ergodyczności przekształcenia T względem niezmienniczej miary Lebesgue'a jest więc zakończony.

∎

Podobnie jak w przypadku opisanym w poprzednim rozdziale, wystarczy wykazać że jeśli g jest funkcją ciągła w S⁢M to średnia ergodyczna

limT→∞⁡1T⁢∫t=0Tg⁢φt⁢x

(13.1)

jest stała prawie wszędzie. Ponadto, wystarczy wykazać że dla istnieje pokrycie S⁢M zbiorami otwartymi (tak jak poprzednio- prostokątami), na których ta granica jest stała prawie wszędzie.

Widzimy więc że jest to ten sam dowód co poprzednio; należy tylko wskazać pokrycie S⁢M zbiorami otwartymi (odpowiednikami wcześniejszych ”prostokątów”), dla których będziemy umieli udowodnić że odpowiednia granica jest stała prawie wszędzie. Weźmy więc punkt x=p,v∈S⁢H2. Załóżmy że w punkcie x istnieje granica 13.1 Z poprzedniego wykłądu wiemy jak wygląda rozmaitość stabilna punktu p,v; jest to rzut na M odpowiedniego horocyklu (”wchodzącego”) - razem z jego wektorami normalnymi. Punkt x=p,v należy oczywiscie do tego horocyklu (a raczej: jego podniesienia w S⁢M). Dla wszystkich punktów y z rozmaitości stabilnej x granica 13.1 istnieje i jest równa granicy policzonej w punkcie x. Słaba rozmaitość stabilna to suma wchodzących horocykli, wypuszczonych z wszystkich punktów p′,v′ leżących na geodezyjnej wyznaczonej przez x.

Zauważmy że granica 13.1 jest v⁢a⁢r⁢p⁢h⁢it- niezmiennicza, więc istnieje i jest równa granicy policzonej w x, również we wszystkich punktach y należących do słabej rozmaitości stabilnej x.

Podobnie jak poprzednio, wykazujemy że jeśli z1=q1,w1,z2=q2,w2 są blisko x=p,v to można je połączyć ”łancuszkiem ” rozmaitości stabilnych i niestabilnych i wykazać istnienie i równość granic 13.1 w punktach z1 i z2.

rysunek

∎