15.1. Definicja entropii
Ograniczymy się do zdefiniowania entropii topologicznej dla ciągłego przekształcenia zwartej przestrzeni metrycznej.
Zatem-X jest przestrzenią zwartą metryczną z metryką d, T:X→X- ciągłym przekształceniem.
Definicja 15.1
Odległość dn między punktami x,y∈X to
|
dnx,y=max0≤i<ndTix,Tiy |
|
Definicja 15.2
Mówimy że punkty x,y, są n,ε- rozdzielone, jeśli
dnx,y>ε. Zbiór punktów n,ε- rozdzielonych to zbiór w którym każde dwa różne elementy są n,ε- rozdzielone.
Definicja 15.3
Mówimy że punkty x1,…xk stanowią n,ε-sieć jeśli dla każdego y∈X istnieje xi takie że Dny,xi<ε.
Oznaczmy przez sn,ε maksymalną liczebność zbioru n,ε- rozdzielonego, a przez
rn,ε- minimalną liczebność nε -sieci.
Definicja 15.4 (Definicja entropii topologicznej)
Entropia topologiczna hT jest to
|
limε→0lim supn→∞1nlogrn,ε=limε→0lim supn→∞1nlogsn,ε |
|
Ta definicja wymaga uzasadnienia: po pierwsze- w każdej z tych dwóch formuł trzeba sprawdzić czy istnieje granica limε→0, po drugie- że obie formuły prowadzą do tego samego wyniku.
Sprawdzenie jest zawarte w Stwierdzeniu - poniżej. Dowód pozostawiamy jako ćwiczenie.
Stwierdzenie 15.1
Mamy:
Ponadto, dla ε>ε′ mamy sn,ε′>sn,ε, rn,ε′>rn,ε
Przykład 15.1 (Izometria)
Niech T:X→X będzie izometrią, na przykład- obrotem na okręgu. Wówczas hT=0. Istotnie, ustalmy ε i jakąś ε sieć (w naszej notacji jest to 1,ε- sieć S o liczebości N=Nε. Ponieważ T jest izometrią, ten sam zbiór S jest też nε- siecią. Zatem liczebność minimalnej n,ε sieci nie rośnie z n. Stąd hT=0.
Ćwiczenie 15.1 (Przekształcenie z↦zd)
Sprawdzić że entropia tego przekształcenie jest równa logd. Wskazówka: dla ustalonego n możemy podzielić okrąg na dn łuków, z których każdy jest przekształcany (rozciągany) przez Tn na cały okrąg. W każdym takim łuku wybieramy 1ε równo odległych punktów. Te wszystkie punkty (jest ich razem 1ε2n) stanowią zbiór n,ε-rozdzielony.
Ćwiczenie 15.2 (Trudniejsza wersja)
Niech M będzie Riemannowską zwartą rozmaitościa, a T:M→M- rozszerzającym przekształceniem, tzn istnieje λ>1 takie że DTxv≥λv. Uzasadnić że wówczas T jest nakryciem; niech d będzie stopniem tego nakrycia. Wykazać że hT=logd.
Ćwiczenie 15.3
Niech T będzie hiperbolicznym automorfizmem torusa T2. Wówczas macierz A reprezentująca T ma dwie rzeczywiste wartości własne λ1>1>λ2. Wykazać że hT=logλ1.
Stwierdzenie 15.2
Jeśli X,d1,Y,d2 są przestrzeniami metrycznymi zwartymi, T:X→X, S:Y→Y są sprzężone topologicznie, to hT=hS.
Ustalmy ε>0. Istnieje δ>0 takie że d1x,y<δ⇒d2hx,hy<ε.
Wynika stąd że jeśli G jest zbiorem n,ε rozdzielonym dla S, to h-1G jest zbiorem n,δ- rozdzielonym dla T. Zatem
Stąd już łatwo wynika że hT≥hS.
∎
15.2. Związki z entropią metryczną
Następujące dwa twierdzenia podajemy bez dowodu:
Twierdzenie 15.1 (Twierdzenie Goodwyna)
Niech X będzie zwartą przestrzenią metryczną, T:X→X- ciągłym przekształceniem,
μ- miarą borelowską probabilistyczną na X, niezmienniczą dla T. Wówczas:
Wzmocnieniem jest silniejsze twierdzenie
Twierdzenie 15.2 (Twierdzenie Goodmana)
Przy poprzednich założeniach, mamy
gdzie supremum jest wzięte po wszystkich niezmienniczych borelowskich miarach probabilistycznych.
15.3. Związki ze stopniem przekształcenia
Definicja 15.5
Niech M będzie zwartą, zorientowaną rozmaitością gładką, T:M→M- gładkim przekształceniem.
Na M mamy więc naturalną miarę Lebesge'a.
Niech x będzie wartością regularną (tw Sarda gwarantuje że jest to zbiór pełnej miary).
Stopniem przekształcenia t w x nazywamy
gdzie εy jest równe 1 lub -1 w zależności od tego czy DTy zmienia czy zachowuje orientację.
Uwaga 15.1
Można sprawdzić że w istocie, stopień degxT nie zależy od wyboru punktu x- wartości regularnej.
Zatem- możemy zdefiniowac degT- jako wspólną wartość degxT dla wszystkich wartości regularnych x.
Twierdzenie 15.3 (Misiurewicz, Przytycki)
Jeśli M jest gładką orientowalną rozmaitością, a T:M→M- przekzstałceniem klasy C1 to hT≥logdegT.
Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.
