Najpierw wykażemy że dyfeomorfizm Morse'a-Smale'a jest strukturalnie stabilny. Niech ρ⁢f=pq∈Q. Przechodząc do iteracji g=fq mamy ρ⁢g=0. Ponieważ wszystkie punkty stałę dla g są niezdegenerowane, jest ich skonczenie wiele. Oznaczmy je p1,…,pm. Oczywiście istnieje otoczenie punktów pi, U=⋃Ui takie ze dla X∉U G⁢X-X>ε, zas dla X∈U G′⁢X>1+ε. Stąd widac że jeśli zaburzyć f do f~ na tyle mało w C1 że G~- odpowiednie podniesienie g~=f~q jest ε2 blisko G,to G~ ma tyle samo punktów stałych co G i są one tego samego typu (zródła lub ścieki). Okrąg jest więc podzielony przez punkty okresowe f na łuki miedzy odpowiadajacymi sobie wzajemnie punktami okresowymi (dla f i tak samo dla f~). Wybierzmy jeden z tych łuków r,s i odpowiadający mu łuk r~,s~ Pokażemy jak zbudowac homeomorfizm sprzęgający g i g~ na odcinkach r,s i r~,s~.

(tu rysunek)

Wybieramy dowolny punkt x∈r,s i dowolny punkt x~∈r~,s~. Przekształcamy odcinek J=x,g⁢x na J~=x~,g~⁢x~ jakimkolwiek homeomorfizmem h. Ponieważ r,s=⋃i∈Zgi⁢J, można przedłużyc h na cały odcinek r,s kładąc h⁢gi⁢y=g~i⁢h⁢y. Mamy więc na odcinku r,s

h⁢fq⁢x=f~q⁢h⁢x

(3.1)

Przedłużamy teraz sprzężenie h na całą orbitę odcinka r,s ⋃i≤fi⁢r,s tak aby otrzymać sprzężenie pomiędzy f i f~. Jest tylko jeden sposób na przedłużenie h: trzeba położyć

h⁢fi⁢x=f~i⁢h⁢x.

Zatem wykazaliśmy strukturalną stabilność dyfeomorfizmów Morse'a-Smale'a.

Pokażemy teraz że jesli f jest dyfeomorfizmem klasy C2 i ρ⁢f∉Q to można f zaburzyć dowolnie mało w metryce C2 tak że zmieni się liczba obrotu.

Uzyjemy sprzegającego z obrotem o kąt α=ρ⁢f homeomorfizmu, danego przez twierdzenie Denjoy. Tα∘h=h∘f. Rozpatrujemy teraz rodzinę dyfeomorfizmów

fε=Tε∘f,ε>0

(w poniesieniu odpowiada to wzięciu funkcji Fε⁢X=ε+F⁢X). Zauważmy że h(Tε(x)=ϕ(x) jest przekształceniem okręgu o dodatniej liczbie obrotu ( w podniesieniu mamy

H⁢X+ε=X+Φ⁢X,

Φ⁢X>0).

Zatem h∘fε∘h-1 ma większa liczbę obrotu niż f. Stad i samo fε ma większą niż f liczbę obrotu.

Skorzystamy z następującego faktu:

Z poprzedniego stwierdzenia wynika od razu ze każdy dyfeomorfizm klasy C1 ktory jest C1 strukturalnie stabilny musi mieć wymierną liczbę obrotu.

Wykażemy teraz że dyfeomorfizmy Morse'a-Smale'a klasy C1 stanowią gęsty podzbiór w metryce C1 w przestrzeni C1 dyfeomorfizmów okręgu.

Weźmy dowolny dyfeomorfizm g klasy C1. W jego dowolnie małym otoczeniu możemy znaleźć dyfeomorfizm f klasy C2. Jeśli ten dyfeomorfizm ma wymierną liczbe obrotu, ustalamy go. Jeśli nie- to zaburzamy f w taki sam sposób jak powyżej, tworząc rodzinę fε. Ponieważ, jak widzieliśmy, w ten sposób można zwiększyć liczbę obrotu i ponieważ liczba obrotu dla fε jest ciąglą funkcją ε, istnieje dowolnie małe ε takie że fε ma wymierną liczbę obrotu. Zatem- w dowolnie małym C1 otoczeniu funkcji g możemy wskazać dyfeomorfizm f klasy C2 z wymierną liczbą obrotu. Ustalmy ten dyfeomorfizm, nazwijmy go f.

Pokażemy że f można zaburzyć dowolnie mało w metryce C2 (więc tym bardziej-w C1) tak żeby wszystkie punkty okresowe stały się niezdegenerowane.

Najpierw załóżmy że istnieje przynajmniej jeden punkt okresowy niezdegenerowany dla f. Ten punkt dzieli okrąg na q łuków; w podniesieniu mamy odcinek długości 1 podzielony na q odcinków. Ustalamy jeden z tych odcinków, nazwijmy go r,s. Weźmy teraz nieco mniejszy odcinek r′,s′⊂r,s taki że w r,s∖r′,s′ nie ma żadnych punktów okresowych dla f (a dokładniej: podniesień punktów okresowych). Taki odcinek można wybrać bo trajektoria okresowa do której należa punkty r,s jest niezdegenerowana. Zmniejszając odcinek r,s możemy też założyć że istnieje δ>0 takie że jeśli f~ jest dyfeomorfizmem okręgu δ - bliskim f w metryce C1 i f~q⁢r=r, f~q⁢s=s to w odcinku r,s∖r′,s′ nie ma innych punktów stałych dla f~. Niech ϕ=ϕε będzie gładką funkcją określoną w r,s taką że ϕ=ε na odcinku r′,s′, ϕ=0 w otoczeniu punktów r,s. Przedłużamy funkcję ϕ do równej zero poza r,s. (rysunek Określamy nową rodzinę funkcji (w podniesieniu ) Fε=ϕε∘F. Dla małych ε funkcja Fε (odpowiednio fε) jest δ- bliska F (odpowiednio- f). Zatem jeśli x∈r,s jest punktem stałym dla fεq to albo x=r, albo x=s, albo x∈r′,s′. Zauważamy teraz że x jest punktem okresowym zdegenerowanym dla fε wtedy i tylko wtedy gdy X jest punktem krytycznym i miejscem zerowym dla funkcji Fεq⁢X-X+p. Ponieważ każda trajektoria długości q zawarta w r′,s′ (a wlaściwie: jej podniesienie) przecina dokładnie raz odcinek F⁢R′,S′, a funkcja F pozostaje niezmieniona poza tym odcinkiem, widzimy że na odcinku F-q-1⁢R′,S′ mamy Fεq=Fq+ε. Zatem jeśli istnieją punkty okresowe zdegenerowane dla fε, to p+ε jest wartością krytyczną dla funkcji X↦Fq⁢X-X. Aby pokazać że dla wielu ε to jest niemożliwe, skorzystamy z prostej wersji twierdzenia Sarda:

Korzystając z tego lematu , możemy więc wybrać dowolnie małe ε, dla którego ε+p nie jest wartością krytyczną dla Fq⁢X-X. Zatem nasze Fε nie ma nezdegenerowanych punktów okresowych.

Dla zakończenia dowodu pozostaje upewnić się że zawsze można mało zaburzyć f aby otrzymać przynajmniej jeden punkt okresowy niezdegenerowany.

∎