4.1. O poszukiwaniu punktów okresowych dla przekształceń odcinka
Rozpatrzmy ciągłe przekształcenie f:I→I gdzie I jest odcinkiem domkniętym.
Mówimy że odcinek (domknięty) J⊂I nakrywa odcinek domknięty K jeśli K⊂fJ.
Oznaczenie: J⟶K.
Lemat 4.1
Niech J,K⊂I będą odcinkami. Załóżmy że J⟶K. Wówczas istnieje domknięty odcinek L⊂J taki że fL=K.
Oznaczmy odcinek K przez a,b. Weźmy c=maxx∈J:fx=a, d=miny>c:fx=b. Jeśli takie d istnieje, odcinek c,d jest szukanynm odcinkiem L. Jeśli takie d nie istnieje (wartośc b nie jest przyjmowana na prawo od c),to istnieje d<c takie że fx=b. Wybieramy największe d o takiej własności. Jesli wartość a nie jest przyjmowana w odcinku d,c, to jest to nasz szukany odcinek L. W przeciwnym razie- modyfikujemy (zmniejszamy) c, zastępując je najmniejszym x>d takim że fx=a.
∎
Lemat 4.2
Jeśli J⟶J to f ma punkt stały w J.
Korzystamy z poprzedniego lematu. Mamy odcinek L=c,d taki że fc=a<c, fb=d>b. Zatem funkcja fx-x zmienia znak w odcinku c,d, a stąd- istnieje punkt e∈c,d taki że fe=e
∎
Przez prostą indukcję dostajemy następujące uogólnienie Lematu 4.1
Lemat 4.3
Jeśli
to w odcinku I0 można znaleźć odcinek Ln taki że fnLn=In.
Znajdujemy odcinek L1⊂I0 taki że fL1=I1. Ponieważ I1⟶I2 więc istnieje odcinek L1′⊂I1 taki że fL1′=I2. Zatem L1⟶L1′ i istnieje odcinek L2⊂L1 taki że fL2=L1′, czyli f2L2=I2. Dalej postępujemy przez indukcje: mamy już Lk⊂I0 takie że fLk=Ik; skoro Ik⟶Ik+1 to istnieje Lk′⊂Ik takie że fLk′=Ik+1. Wówczas Lk⟶Lk′ (przy fk) więc istnieje Lk+1⊂Lk takie że fkLk+1=Lk′, czyli fk+1Lk+1=Ik+1.
∎
Wniosek 4.1
Jeśli
to istnieje punkt okresowy x o okresie n taki że x∈I0,fx∈I1…fn-1x∈In-1.
Ostatni wniosek służy do ”produkowania” orbit okresowych o zadanej trajektorii.
Udowodnimy następujące twierdzenie, pochodzące od Li i Yorka.
Twierdzenie 4.1 (”Okres 3 implikuje chaos”)
Załóżmy że f:I→I ciągła i że f ma punkt o okresie 3. Wówczas f ma punkty okresowe o wszystkich okresach.
Oznaczmy orbitę o okresie 3 przez z1<z2<z3. Załóżmy że fz2=z3. Oznaczmy I1=z1,z2,I2=z2,z3.
Wówczas, skoro z1↦z2↦z3, mamy I1⟶I2,I2⟶I1,I2⟶I2.
Zatem możemy z naszym przekształceniem związać graf o dwóch wierzchołkach 1,2 i strzałkach 1→2,2→1,2→2.
Po pierwsze, zauważmy że skoro 2→2, to z wniosku powyżej wynika że f ma punkt stały zawarty w odcinku I2.
Każdej pętli w grafie odpowiada jakiś punkt okresowy. Rozważmy więc pętlę
1→2→2→…→1. Z wniosku 4.1 wynika że istnieje orbita okresowa x0,x1,…xn=x0 taka że x0∈I1, xi∈I2 dla i=1,…,n-1. Sprawdzimy że n jest okresem podstawowym dla x0. Jeśli x0=xj dla pewnego j<n, to (biorąc pod uwagę że jeden z tych punktów leży w I1 a drugi w I2), x0 musi być wspólnym końcem odcinków I1 i I2, x0=z2. To jednak jest niemożliwe. Istotnie, jeśli n=2 to f2x0=x0 podczas gdy f2z2≠z2. Jeśli zaś n≥3 to sprzeczność wynika z faktu że f2z2=z1∈I1, podczas gdy f2x0∈I2.
∎
4.2. Twierdzenie Szarkowskiego
W latach sześćdziesiątych ukraiński matematyk Szarkowski wykazał że istnieje pewien niestandardowy porządek liniowy w zbiorze liczb naturalnych, ”rządzacy” pojawianiem się punktów okresowych dla funkcji ciągłych określonych na odcinku.
Zaczniemy od wprowadzenia tego porządku.
Definicja 4.1
Porządek Szarkowskiego:
Najpierw liczby nieparzyste większe niż 1 ustawiamy w porządku malejącym:
Następnie pojawiają się w tym porządku wszystkie liczby będące iloczynem dwójki i liczby nieparzystej (zaczynając od 2⋅3), liczby postaci 22⋅ liczba nieparzysta etc.
Mamy więc
|
3>s5>s7>s9>s…>s2⋅3>s2⋅5>s2⋅7>s…>s22⋅3>ss2⋅5>s22⋅7>s…>s2n⋅3>s2n⋅5>s… |
|
W ten sposób uporządkowane zostały wszystkie liczby poza potęgami dwójki. Ustawiamy je na końcu, w porządku malejącym
Zatem: największą liczbą w tym porządku jest 3, zaś najmniejszą 1.
Twierdzenie 4.2
Twierdzenie Szarkowskiego.
Niech f:I→R będzie funkcją ciągłą. Wówczas, jeśli f ma punkt o okresie (podstawowym) n, to f ma punkty o wszystkich okresach mniejszych (w porządku Szarkowskiego) od n.
Uwaga 4.1
Oczywiście twierdzenie 4.1 jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Szarkowskiego. Liczba 3 jest największa w porządku Szarkowskiego, zatem istnienie punktu o okresie 3 implikuje istnienie punktów o wszystkich innych okresach.
4.3. Bifurkacja podwajania okresu. Obserwacja Feigenbauma
Z twierdzenia Szarkowskiego wynika że istnienie jednych orbit okresowych wynika istnienie innych i ze ”najwczesniejszymi” orbitami okresowymi sa orbity o okresach będących potęgami 2.
W ”modelowej” rodzinie przekształeceń odcinka x↦ax1-x, a∈0,4 obserwujemy pojawianie się kolejnych orbit okresowych o okresach 2n; dokładniej- bifurkacja polega na tym że orbita okresowa przyciągająca o okresie 2n-1 staje się odpychająca (pochodna iteracji ma moduł większy od 1), a blisko niej - tworzy się nowa orbita przyciągająca, o dwukrotnie dluższym okresie.
Niech an oznacza parametr w którym pojawia się orbita okresowa o okresie 2n. Feigenbaum zauważył (choć nie umiał tego udowodnić) że ilorazy
mają prawdopodobnie granicę. Zauważył też że ta granica pozostaje niezmieniona gdy rodzinę funkcji x↦ax1-x zastąpił inną rodziną. Tę wspólną granicę ciągów (4.1) nazywa się stałą Feigenbauma.
Badania nad wyjaśnieniem tego zjawiska doprowadziły do rozpatrywania tzw. operatora renormalizacji (zdefiniowanego w odpowiedniej przestrzeni funkcji), wykazania istnienia punktu stałego dla tego operatora i hiperboliczności tego punktu stałego, oraz badania tzw rozmaitości stabilnej w tym punkcie. (Pojęcie hiperboliczności i rozmaitości stabilnych dla przekształceń określonych w Rm bądź na rozmaitości pojawi sie w następnych rozdziałach; opis problemu renormalizacji wykracza jednak poza zakres tego wykładu).