Zagadnienia

4. Przekształcenia odcinka. Chaos na odcinku

4.1. O poszukiwaniu punktów okresowych dla przekształceń odcinka

Rozpatrzmy ciągłe przekształcenie f:II gdzie I jest odcinkiem domkniętym.

Mówimy że odcinek (domknięty) JI nakrywa odcinek domknięty K jeśli KfJ. Oznaczenie: JK.

Lemat 4.1

Niech J,KI będą odcinkami. Załóżmy że JK. Wówczas istnieje domknięty odcinek LJ taki że fL=K.

Oznaczmy odcinek K przez a,b. Weźmy c=maxxJ:fx=a, d=miny>c:fx=b. Jeśli takie d istnieje, odcinek c,d jest szukanynm odcinkiem L. Jeśli takie d nie istnieje (wartośc b nie jest przyjmowana na prawo od c),to istnieje d<c takie że fx=b. Wybieramy największe d o takiej własności. Jesli wartość a nie jest przyjmowana w odcinku d,c, to jest to nasz szukany odcinek L. W przeciwnym razie- modyfikujemy (zmniejszamy) c, zastępując je najmniejszym x>d takim że fx=a.

Lemat 4.2

Jeśli JJ to f ma punkt stały w J.

Korzystamy z poprzedniego lematu. Mamy odcinek L=c,d taki że fc=a<c, fb=d>b. Zatem funkcja fx-x zmienia znak w odcinku c,d, a stąd- istnieje punkt ec,d taki że fe=e

Przez prostą indukcję dostajemy następujące uogólnienie Lematu 4.1

Lemat 4.3

Jeśli

I0I1I2In

to w odcinku I0 można znaleźć odcinek Ln taki że fnLn=In.

Znajdujemy odcinek L1I0 taki że fL1=I1. Ponieważ I1I2 więc istnieje odcinek L1I1 taki że fL1=I2. Zatem L1L1 i istnieje odcinek L2L1 taki że fL2=L1, czyli f2L2=I2. Dalej postępujemy przez indukcje: mamy już LkI0 takie że fLk=Ik; skoro IkIk+1 to istnieje LkIk takie że fLk=Ik+1. Wówczas LkLk (przy fk) więc istnieje Lk+1Lk takie że fkLk+1=Lk, czyli fk+1Lk+1=Ik+1.

Wniosek 4.1

Jeśli

I0I1I2In-1I0

to istnieje punkt okresowy x o okresie n taki że xI0,fxI1fn-1xIn-1.

Ostatni wniosek służy do ”produkowania” orbit okresowych o zadanej trajektorii.

Udowodnimy następujące twierdzenie, pochodzące od Li i Yorka.

Twierdzenie 4.1 (”Okres 3 implikuje chaos”)

Załóżmy że f:II ciągła i że f ma punkt o okresie 3. Wówczas f ma punkty okresowe o wszystkich okresach.

Oznaczmy orbitę o okresie 3 przez z1<z2<z3. Załóżmy że fz2=z3. Oznaczmy I1=z1,z2,I2=z2,z3. Wówczas, skoro z1z2z3, mamy I1I2,I2I1,I2I2. Zatem możemy z naszym przekształceniem związać graf o dwóch wierzchołkach 1,2 i strzałkach 12,21,22. Po pierwsze, zauważmy że skoro 22, to z wniosku powyżej wynika że f ma punkt stały zawarty w odcinku I2.

Każdej pętli w grafie odpowiada jakiś punkt okresowy. Rozważmy więc pętlę 1221. Z wniosku 4.1 wynika że istnieje orbita okresowa x0,x1,xn=x0 taka że x0I1, xiI2 dla i=1,,n-1. Sprawdzimy że n jest okresem podstawowym dla x0. Jeśli x0=xj dla pewnego j<n, to (biorąc pod uwagę że jeden z tych punktów leży w I1 a drugi w I2), x0 musi być wspólnym końcem odcinków I1 i I2, x0=z2. To jednak jest niemożliwe. Istotnie, jeśli n=2 to f2x0=x0 podczas gdy f2z2z2. Jeśli zaś n3 to sprzeczność wynika z faktu że f2z2=z1I1, podczas gdy f2x0I2.

4.2. Twierdzenie Szarkowskiego

W latach sześćdziesiątych ukraiński matematyk Szarkowski wykazał że istnieje pewien niestandardowy porządek liniowy w zbiorze liczb naturalnych, ”rządzacy” pojawianiem się punktów okresowych dla funkcji ciągłych określonych na odcinku.

Zaczniemy od wprowadzenia tego porządku.

Definicja 4.1

Porządek Szarkowskiego:

Najpierw liczby nieparzyste większe niż 1 ustawiamy w porządku malejącym:

3>s5>s7>s9

Następnie pojawiają się w tym porządku wszystkie liczby będące iloczynem dwójki i liczby nieparzystej (zaczynając od 23), liczby postaci 22 liczba nieparzysta etc.

Mamy więc

3>s5>s7>s9>s>s23>s25>s27>s>s223>ss25>s227>s>s2n3>s2n5>s

W ten sposób uporządkowane zostały wszystkie liczby poza potęgami dwójki. Ustawiamy je na końcu, w porządku malejącym

>s23>s22>s22>s21>s20=1

Zatem: największą liczbą w tym porządku jest 3, zaś najmniejszą 1.

Możemy teraz sformułować

Twierdzenie 4.2

Twierdzenie Szarkowskiego.

Niech f:IR będzie funkcją ciągłą. Wówczas, jeśli f ma punkt o okresie (podstawowym) n, to f ma punkty o wszystkich okresach mniejszych (w porządku Szarkowskiego) od n.

Uwaga 4.1

Oczywiście twierdzenie 4.1 jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Szarkowskiego. Liczba 3 jest największa w porządku Szarkowskiego, zatem istnienie punktu o okresie 3 implikuje istnienie punktów o wszystkich innych okresach.

4.3. Bifurkacja podwajania okresu. Obserwacja Feigenbauma

Z twierdzenia Szarkowskiego wynika że istnienie jednych orbit okresowych wynika istnienie innych i ze ”najwczesniejszymi” orbitami okresowymi sa orbity o okresach będących potęgami 2. W ”modelowej” rodzinie przekształeceń odcinka xax1-x, a0,4 obserwujemy pojawianie się kolejnych orbit okresowych o okresach 2n; dokładniej- bifurkacja polega na tym że orbita okresowa przyciągająca o okresie 2n-1 staje się odpychająca (pochodna iteracji ma moduł większy od 1), a blisko niej - tworzy się nowa orbita przyciągająca, o dwukrotnie dluższym okresie. Niech an oznacza parametr w którym pojawia się orbita okresowa o okresie 2n. Feigenbaum zauważył (choć nie umiał tego udowodnić) że ilorazy

an+1-anan-an-1 (4.1)

mają prawdopodobnie granicę. Zauważył też że ta granica pozostaje niezmieniona gdy rodzinę funkcji xax1-x zastąpił inną rodziną. Tę wspólną granicę ciągów (4.1) nazywa się stałą Feigenbauma.

Badania nad wyjaśnieniem tego zjawiska doprowadziły do rozpatrywania tzw. operatora renormalizacji (zdefiniowanego w odpowiedniej przestrzeni funkcji), wykazania istnienia punktu stałego dla tego operatora i hiperboliczności tego punktu stałego, oraz badania tzw rozmaitości stabilnej w tym punkcie. (Pojęcie hiperboliczności i rozmaitości stabilnych dla przekształceń określonych w Rm bądź na rozmaitości pojawi sie w następnych rozdziałach; opis problemu renormalizacji wykracza jednak poza zakres tego wykładu).

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.