Będziemy mówili o trajektoriach pola wektorowego na rozmaitości M zanurzonej w Rn.
Będziemy również zakładali że rozmaitość M jest zwarta. Z twierdzenia o przedłużaniu rozwiązań wynika że wówczas potok pola wektorowego ϕt jest określony dla wszystkich czasów t∈R. Mamy więc jednoparametrową rodzinę dyfeomorfizmów określonych na rozmiatości M.
Stwierdzenie 5.1 (O trajektoriach pola w parametryzacji)
Niech X będzie polem wektorowym określonym na gładkiej, m-wymiarowej rozmaitości M zanurzonej w Rn.
Niech ψ bedzie parametryzacją otwartego podzbioru M. ψ jest zatem określone na otwartym podzbiorze Rm.
Rozważmy pole Y=ψ*X, czyli Y określone na otwartym podzbiorze Rm wzorem:
Wówczas ct jest krzywą całkową równania x˙=Xx wtedy i tylko wtedy gdy
c~t=ψ∘ct jest krzywą całkową równania x˙=Xx.
5.1. Zachowanie asymptotyczne trajektorii. Zbiór ω-graniczny.
Definicja 5.1
Niech X bedzie polem wektorowym na rozmaitości gładkiej zwartej M, ϕt- potokiem tego pola. Mówimy że y∈M jest punktem ω- granicznym trajektorii x, y∈ωx jeśli istnieje ciąg czasów tn→∞ taki że
Twierdzenie 5.1 (Własności zbioru ω-granicznego)
Niech X będzie polem wektorowym klasy Cr na zwartej rozmaitości M. Niech p∈M. Wówczas:
-
-
ωp jest domkniętym podzbiorem M.
-
ωp jest niezmienniczym (ze względu na potok pola X) podzbiorem M, to znaczy ωp jest sumą pewnych trajektorii pola X.
-
ωp jest zbiorem spójnym.
Pierwsza własność wynika natychmiast ze zwartości M. Druga własność wynika z następującej obserwacji:
jeśli φt jest potokiem pola X i φtnp→q dla pewnego ciągu tn→∞, to
|
φtn+t0(p)=φt0(φtn(p)→φt0(q), |
|
zatem φt0q∈ωp. Spójność wykażemy niewprost: załózmy że ωp jest sumą dwóch
rozłącznych domkniętych zbiorów ωp=A∪B. Ponieważ są to domknięte rozłaczne podzbiory, możemy znależć otoczenia V1⊃A, V2⊃B takie że V1¯∩V2¯=∅. Ponieważ A⊂ωp więc istnieje ciąg tn→∞ taki że φtnp∈V1. Ponieważ B⊂ωp, dla każdego tn znajdzie się tn′>tn taki że φtn′(p)∉{V1∪V2. Zatem (pamietamy że M∖v1∪V2 jest zwarty) istnieje punkt q∈ωp w V1∪V2. Otrzymujemy sprzeczność.
∎
Przykład 5.1 (Obmotka na torusie)
Rozpatrzmy stałe pole wektorowe na R2: Xx,y=a,b.
Trajektorie tego pola w R2 to oczywiście proste (x(t),y(t)=(x0,y0)+t(a,b).
To samo pole można rozważać na torusie - przestrzeni ilorazowej T2=R2/Z2.
Trajektoriami na torusie są linie powstałe jako rzutowania prostych (x(t),y(t)=(x0,y0)+t(a,b). Jeślli iloraz ab jest liczbą wymierną tokażda trajektoria na torusie jest okresowa. Jeśli iloraz jest niewymierny to każda trajektoria jest gęsta. W tym drugim przypadku mamy: ωx=T2 dla każdego x∈T2.
Definicja 5.2 (Zbiór punktów niebłądzących ΩX.)
Mówimy że punkt x∈M jest błądzący jeśli istnieje jego otoczenie U i t0>0 że dla każdego t>t0 mamy φtU∩U=∅. Uzupelnienie zbioru punktów błądzących nazywamy zbiorem punktów niebłądzących i oznaczamy ΩX.
Uwaga 5.1
Zbiór ΩX jest niezmienniczy ze względu na dzialanie pola X (tzn φtΩX=ΩX) i domknięty.
Uwaga 5.2
Oczywiście zbiór ωx jest zawarty w ΩX.
5.2. Pola gradientowe
Przykład- potoki gradientowe
Niech M będzie gładką m- wymiarową podrozmaitością zanurzoną w Rn.
W przestrzeni stycznej do M mamy zdefiniowany iloczyn skalarny i normę dziedziczoną z Rn.
(Mamy więc strukturę Riemannowska dziedziczona z Rn).
Niech f:M→R będzie funkcją klasy Cr+1. Wówczas różniczka f w punkcie p∈M , dpf jest 1- formą (przekształceniem liniowym TpM→R. Zatem istnieje dokładnie jeden wektor Xp w przestrzeni stycznej TpM, taki że dpfv=Xp,v. Ten wektor nazywamy gradientem funkcji f w punkcie p.
Otrzymujemy w ten sposób pole wektorowe klasy Cr na M.
Jeśli funkcja f jest określona nie tylko w M, ale również na otoczeniu M w Rn, to łatwo można związać gradient f|M ze zwykłym wektorem gradientu w Rn.
Możemy policzyć ”zwykłą” różniczkę f w Rn, Df, i ”zwykły” gradient Gradf=∂f∂x1,…∂f∂xn.
Wówczas dla v∈TpM
|
dfv=Dfv=v,Gradf=v,vn+vst=v,vst |
|
Zatem gradf (gradient f ”wzdłuż” rozmaitości M jest rzutem prostopadłym gradientu policzonego w przestrzeni Rn, Gradf, na przestrzeń styczną do M.
Definicja 5.3
Punkt q jest punktem osobliwym pola wektorowego X jeśli Xq=0.
Stwierdzenie 5.2 (Własności pola gradientowego)
Niech M⊂Rn będzie gładką rozmaitością, f:M→R-funkcją klasy Cr+1 na M,zaś X=gradf- gradientowym polem wektorowym (klasy Cr na M.
Wówczas
-
Pole gradientowe X nie ma trajektorii zamkniętych.
-
Dla każdego p∈M zbiór ω- graniczny ωp jest zawarty w zbiorze punktów osobliwych pola X.
Zauważmy że dla każdej trajektorii pola ϕtx mamy:
|
ddtf(ϕt(x)=df(ϕ˙t(x))=df(gradf(ϕt(x)=<gradf(ϕt(x)),gradf(ϕt(x))>≥0. |
|
Zatem funkcja f jest niemalejąca wzdłuż każdej trajektorii, a dokładniej- ściśle rosnąca wzdłuż każdej ”niestacjonarnej trajektorii”.
Wynika stąd oczywiście że pole nie ma orbit zamkniętych.
Załóżmy teraz że punkt y∈ωx i Xy≠0.
Wowczas w otoczeniu punktu y poziomica N funkcji f przechodząca przez y jest podrozmaitością M prostopadła do linii pola X. Z twierdzenia o prostowaniu trajektorii wynika że każda trajektoria pola startujaca dostatecznie blisko punktu y musi przeciąć poziomicę N. Jeśli y∈ωx to trajektoria x, ϕtx musi zatem przeciąć nieskończenie wiele razy poziomicę N. Ponieważ jednak, jak już wiemy, funkcja f jest ściśle rosnąca wzdłuż tej trajektorii, jest to oczywiście niemożliwe.
∎
Przykład 5.2
Pole gradient wysokości na sferze. To pole ma dwa punkty osobliwe N i S. Punkt N jest źródłem, punkt S-ściekiem. Dla każdego punktu x≠N mamy ωx=S (rysunek 5.1)
Przykład 5.3
Pole wektorowe gradientowe na postawionym torusie.
Tu fx,y,z=-z. To pole ma cztery punkty stacjonarne: N,S,R,Q. N jest źródłem, S-ściekiem, R,Q- siodłami. Zauważmy że tym razem zbiór ω- graniczny zależy od punktu, w szczególności istnieją punkty dla ktorych ωx jest siodłem. Istnieja też połączenia między siodlami- trajektorie ϕtx takie że dla t→-∞ ϕtx→R, zaś dla t→∞ ϕtx→Q. (rysunek 5.2).
5.3. Cięcia transwersalne i przekształcenie Poincare'go w otoczeniu orbity okresowej
Rozważmy pole wektorowe X klasy Cr określone (dla uproszczenia) w otwartym podzbiorze Rm. Niech γ będzie zamkniętą trajektorią tego pola, t0- okresem tej trajektorii, p∈γ. Możemy założyć że Xmp≠0.
Rozważmy hiperpowierzchnię Σ=x:xm=pm. Zatem pole jest w punkcie p transwersalne do Σ.
Dla x bliskich p trajektoria pola wychodząca z x wróci po czasie bliskim t0 do Σ. Formalne sprawdzenie:
Niech φt będzie potokiem pola X, określamy funkcję
Wówczas ψt,x=0⇔φtx∈Σ i ψt0,p=0.
Mamy
|
∂∂tψx,tp,t0=∂∂tφmtxp,t0=Xmp≠0 |
|
Zatem- z twierdzenia o funkcji uwikłanej wynika że istnieje otoczenie p,t0 w Σ×R w którym to równanie wyznacza t jako funkcję x, tej samej klasy co X. Oznaczamy tę funkcję τx.
Mamy więc w otoczeniu p w Σ zdefiniowane przekształcenie klasy Cr:
Nazywamy je przekształceniem Poincare'go, oznaczenie: Pp.
Pytamy o związek między wartościami własnymi dla pochodnej przekształcenia Poincare'go w punkcie p i różniczki potoku pola: Dφt0p.
Wiemy już że jedną z wartości własnych Dφt0p jest 1, bo Dφt0pXp=Xp.
Twierdzenie 5.2
Wartości własne różniczki Dφt0p, różne od 1, są takie same jak wartości własne rózniczki DPpp.
W Rm wprowadzamy układ współrzędnych, w którym jednym z wektorów bazowych jest Xp, a pozostałe wektory- to baza Σ.
Weźmy wektor styczny dla Σ, ma on postać (w układzie współrzędnych w Rm z wyróżnioną ostatnią współrzędną) v,0.
Różniczka Dφt0 w tej bazie to
Tutaj A jest macierzą n-1×n-1. Przekształcenie Poincarego Px=φτx,x.
Zatem
|
DpPv,0=XpDτpv,0+∂φ∂xp,τpv,0=XpDτpv,0+A0α1v0 |
|
Skądinąd wiemy że obrazem DpPv,0 musi byc wektor styczny do Σ, więc współrzedna w kierunku pola X znika i ostatecznie
To zaś oznacza że DpP ma takie same wartości własne jak różne od 1 wartości własne Dφt0p.
∎
Definicja 5.4
Mówimy że orbita okresowa γ, o okresie t0 pola X jest hiperboliczna jeśli dla punktu p∈γ różniczka Dφt0p ma tylko jedną -pojedynczą wartość własną równą 1.
Równoważnie- jeśli dla cięcia Poincare'go Σ różniczka przekształcenia Poincare'go P nie ma wartości własnych różnych od 1.
