Zagadnienia

6.1 Hiperboliczne punkty stałe i stacjonarne
6.2 Twierdzenia Grobmana- Hartmana
6.3 Twierdzenie Hadamarda-Perrona
6.4 Globalne rozmaitości stabilne i niestabilne

6. Rozmaitości stabilne i niestabilne. Twierdzenia o ich istnieniu i własnościach

6.1. Hiperboliczne punkty stałe i stacjonarne

Definicja 6.1

Niech V będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru nad R (albo nad C), niech L:V→V będzie odwracalnym przekształceniem liniowym. Mówimy że L jest przekształceniem hiperbolicznym jeśli wszystkie wartości własne L mają moduł różny od 1.

Definicja 6.2

Niech f będzie dyfeomorfizmem określonym na otoczeniu 0 w Rm, takim że f⁢p=0 i różniczka D⁢f⁢p jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym. Wówczas mówimy że p jest hiperbolicznym punktem stałym dla f. Jeśli p jest okresowy dla f, fk⁢p=p i różniczka D⁢fk⁢p jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym, to mówimy że p jest hiperbolicznym punktem okresowym.

Definicja 6.3

Jeśli f jest dyfeomorfizmem rozmaitości M, f⁢p=p to mówimy że f jest punktem stałym hiperbolicznym jeśli dla mapy φ, określonej na otoczeniu zera, takiej że φ⁢0=p, punkt 0 jest hiperbolicznym punktem stałym przekształcenia φ-1⋅f⋅φ (ta definicja nie zależy od wyboru mapy!)

Definicja 6.4

Niech X będzie polem wektorowym klasy C1, określonym w pewnym otoczeniu p w Rm takim że X⁢p=0 i rózniczka A pola X w punkcie p (rozumianego jako funkcja o wartościach w Rm) nie ma wartości własnych o zerowej części rzeczywistej. Taki punkt stacjonarny p nazywamy hiperbolicznym.

Definicja 6.5

Niech X będzie polem wektorowym klasy C1, określonym w pewnym otoczeniu p∈M (M- gładka rozmaitość). X⁢p=0. Mówimy że p jest punktem stacjonarnym hiperbolicznym dla pola X jeśli dla mapy φ określonej na otoczeniu zera, takiej że φ⁢0=p, punkt 0 jest punktem stacjonarnym hiperbolicznym dla pola φ*⁢X (ta definicja nie zależy od wyboru mapy).

6.2. Twierdzenia Grobmana- Hartmana

To twierdzenie jest znane z kursu Jakościowej Teorii Równań Różniczkowych; przytaczamy je w wersji potrzebnej do naszych celów i podajemy szkic dowodu.

Twierdzenie 6.1 (Twierdzenie Grobmana-Hartmana o lokalnej stabilności)

Wersja dla dyfeomorfizmów: Niech f będzie dyfeomorfizmem określonym na otoczeniu 0 w Rm,takim że f⁢0=0 i różniczka D⁢f⁢0 jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym. Wówczas istnieje homeomorfizm h określony w pewnym otoczeniu zera U taki że dla x∈U mamy:

h∘f⁢x=L∘h⁢x
Wersja dla potoków: Niech X będzie polem wektorowym klasy C1, określonym w pewnym otoczeniu zera w Rm takim że X⁢0=0 i rózniczka A pola X w punkcie 0 (rozumianego jako funkcja o wartościach w Rm) nie ma wartości własnych o zerowej części rzeczywistej. Wówczas istnieje homeomorfizm h określony w pewnym otoczeniu zera U taki że dla x∈U potok v⁢a⁢r⁢p⁢h⁢it pola wektowego X jest sprzężony przez hR z potokiem ψt pola liniowego z macierzą A (czyli z potokiem x↦ψt⁢x=exp⁡t⁢A⁢x).

Podamy najpierw szkic dowodu dla dyfeomorfizmów.

Lemat 6.1

Niech V będzie przestrzenią Banacha. Niech L będzie przekształceniem liniowym ciągłym L:V→V, takim że L<a<1, niech G będzie odwracalnym przekształceniem liniowym takim że G-1<a<1. Wówczas

I+L jest odwracalne i I+L-1≤11-a
I+G jest odwracalne i I+G-1≤a1-a

Lemat 6.2

Dla hiperbolicznego przekształcenia liniowego L:Rm→Rm istnieje norma w Rm taka że jeśli Rm=Es⊕Eu jest rozkładem na (niezmiennicze) podprzestrzenie odpowiadające wartosciom własnym mniejszym (większym) co do modułu od 1, to L|Es<a<1, L-1|Eu<a<1

Następujące Stwierdzenie jest kluczowym krokiem dowodu:

Stwierdzenie 6.1

Niech L będzie hiperbolicznyn przekształceniem liniowym Istnieje ε>0 takie że jeśli φ∈Cb⁢Rm spełnia warunek Lipschitza ze stałą mniejszą niż ε, to L i L+φ są topologicznie sprzężone w Rm czyli istnieje homeomorfizm h:Rm→Rm taki że

h∘L=L+φ∘h

Szukamy homeomorfizmu h w postaci h=I+u, gdzie u∈Cb⁢Rm. Żądamy więc aby

I+u∘L=L+φ⁢I+u

(6.1)

czyli

L+u∘L=L+L∘u+φ⁢I+u,

φ⁢I+u=u∘L-L∘u.

(6.2)

Sprawdzimy że równanie (6.2) ma dokładnie jedno rozwiązanie w Cb⁢Rm. Rozpatrzmy przekształcenie liniowe L:Cb⁢Rm→Cb⁢Rm określone L⁢u=u∘L-L∘u.

Lemat 6.3

Przekształcenie L jest odwracalne. Ponadto

L-1≤L-11-a.

Możemy zapisać

L⁢u=L∘u-L-1∘u∘L,

czyli jako złożenie dwóch operacji: najpierw u↦u-L-1∘u∘L, potem v↦L∘v. Wystarczy ozywiście sprawdzić że ta pierwsza operacja jest odwracalna, a w tym celu wystarczy sprawdzić że przekształcenie liniowe u↦L-1∘u∘L ma normę mniejszą niż 1. Możemy zapisać u=us+uu (korzystając z rozkładu Rm=Es⊕Eu), i rozłożyć w ten sposób przestrzeń Cb⁢Rm na sumę prostą F1⊕F2. Nasze przekształcenie zachowuje ten rozkład. Funkcja us jest przekształcana na L-1⁢us⁢L To ostatnie przekształcenie jest odwracalne (odwrotne to oczywiście u↦L∘u∘L-1) i ma normę mniejszą niż 1. Z lematu 6.1 wynika że L|F1 jest odwracalne. Podobnie sprawdzamy że L|F2 jest odwracalne.

∎

Szukane u jest postaci

u=L-1(φ(I+u).

Zauważmy że, przy małym ε, przekształcenie u↦L-1⁢φ⁢I+u jest kontrakcją. Tak jest bo

L-1⁢φ⁢I+u1-L-1⁢φ⁢I+u2≤L-1⁢ε⁢u1-u2

Stąd wynika że istnieje dokładnie jeden punkt stały tego przekształcenia w Cb⁢Rm. Otrzymujemy zatem u spełniające (6.1). Do końca dowodu potrzeba wykazać że I+u jest homeomorfizmem. Możemy w tym celu skorzystać z jedyności rozwiązania. Zauważamy (należy to sprawdzić) że w ten sam sposób jak powyżej można uzyskać również jedyne rozwiązanie nieco ogólniejszego zagadnienia:

L+φ1⋅I+v=I+v⋅L+φ2

(o ile φ1, φ1 spełniają warunek Lipschitza z odpowiednio małą stałą). Zatem, jeśli v spełnia

L⋅I+v=I+v⋅L+φ

I+u⁢I+v⁢L+φ=I+u⁢L⁢I+v=L+φ⁢I+u⁢I+v

To złożenie I+u⁢I+v jest oczywiście postaci I plus jakaś funkcja z Cb⁢Rm, i - sprzęga L+φ z samym sobą. Z jedyności rozwiązania wynika że

I+u⁢I+v=I

Tak samo sprawdzamy że I+v⁢I+u=I. W takim razie I+u jest homeomorfizmem.

∎

Dla zakończenia dowodu twierdzenia należy jeszcze wykazać

Lemat 6.4

Jeśli f spełnia założenia twierdzenia to dla dowolnego ε>0 istnieje przedłużenie f z pewnego otoczenia zera U na całe Rm, postaci L+φ, gdzie φ∈Cb⁢Rm i stała Lipschitza φ nie przekracza ε.

Dowód polega na zastosowaniu standardowej procedury: Weźmy funkcję S klasy C∞ określoną w 0,∞ taką że S⁢x=1 dla x∈0,12, S⁢x=0 dla x≥1. Oczywiście S spełna warunek Lipschitza z pewną stała C. Ponieważ D⁢f⁢0=L to funkcja ψ=f-L spełnia ψ⁢0=0, D⁢ψ⁢0=0; D⁢ψ⁢x<ε2⁢C jeśli x<δ i δ jest odpowiednio bliskie zera.

Wówczas funkcja

φ⁢x=S⁢xδ⋅ψ⁢x

jest szukanym rozszerzeniem.

∎

Pozostaje udowodnić twierdzenie dla potoku pola wektorowego.

Wystarczy udowodnić twierdzenie dla pola wektorowego określonego w otoczeniu zera w Rm. Rozważmy więc równanie różniczkowe zadane przez

x˙=g⁢x

gdzie g⁢0=0 i macierz A=D⁢g⁢0 nie ma wartości własnych o zerowej części rzeczywistej.

Podobnie jak poprzednio, modyfikujemy funkcje g do g~. Funkcja g~ jest równa g na pewnym otoczeniu zera i równa A poza pewnym (większym) otoczeniem zera.

Niech φt będzie potokiem pola wektorowego wyznaczonego przez funkcje g~. Nierówność Gronwalla gwarantuje że rozwiązania równania przedłużają się do nieskończoności (dlaczego?), zatem potok jest dobrze określony dla wszystkich t.

Sprawdzimy (poniżej) że dyfeomorfizm φ1 spełnia założenia Stwierdzenia 6.1. Istnieje więc homeomorfizm h sprzęgający φ1 z jego częscią liniową L=exp⁡A; φ1∘h=h∘φ1 Ten homeomorfizm sprzęga również całe potoki, tzn. φt∘h=h∘φt. Aby to sprawdzić, zauważmy że jeśli zdefiniować h~=φt∘h∘e-A⁢t to h~ jest również sprzężeniem między φ1 z jego częscią liniową L=exp⁡A.

Istotnie:

φ1∘h~=φ1∘φt∘h∘e-A⁢t=φt∘φ1∘h∘e-A⁢t=φt∘h∘e-A⁢t∘eA=h~∘eA

Ale h~ jest, podobnie jak h małym (tzn. ograniczonym) zaburzeniem identyczności (pamiętamy że teraz t jest ustalone):

h~-I=φt⁢I+u∘e-A⁢t-I=φt-eA⁢t∘h∘e-A⁢t+eA⁢t⁢h-I∘e-A⁢t

Pierwszy składnik jest ograniczony bo różnica w nawiasie jest równa zero dla argumentów o dużym module. Drugi składnik jest ograniczony bo h-I jest ograniczone. Z jedyności sprzężenia w pierwszej, juz udowodnionej części twierdzenia, wynika że h~=h.

Pozostaje więc do sprawdzenia że dyfeomorfizm φ1 spełnia założenia Stwierdzenia 6.1. Zapisując g~=A+r, mamy

dd⁢t⁢e-A⁢t⁢φt⁢x=-A⁢e-A⁢t⁢φt⁢x+e-A⁢t⁢A+r⁢φt⁢x=a-A⁢t⁢r⁢φt⁢x

Wiec:

e-A⁢t⁢φt⁢x=∫s=0te-A⁢s⁢r⁢φs⁢x⁢d⁢s+e-A⋅0⁢φ0⁢x

czyli

φt⁢x=eA⁢t⁢x+∫s=0teA⁢t-s⁢r⁢φs⁢x⁢d⁢s

φt⁢x=L⁢x+r~

gdzie r~=∫s=01eA⁢1-s⁢r⁢φs⁢x⁢d⁢s. Jeśli r jest lipschitzowskie z mała stała, to r~- też.

6.3. Twierdzenie Hadamarda-Perrona

Twierdzenie Grobmana -Hartmana gwarantuje istnienie lokalnych zbiorów stabilnych i niestabilnych- są to obrazy przy homeomorfizmie h podprzestrzeni liniowych Es i Eu. Możemy więc wywnioskować że są to topologiczne podrozmaitości. W istocie- są to podrozmaitości różniczkowalne, tej samej klasy co wyjściowe przekształcenie.

Definicja 6.6

Niech f będzie dyfeomorfizmem klasy Cr, określonym na otoczeniu punktu p∈Rm. Zakładamy że f⁢p=p i że różniczka D⁢f⁢p jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym. Dla β>0 określamy

Wsβ(p)={x∈Bβ(p):fn(x)∈Bβ(p)∀n≥0

Wuβ(p)={x∈Bβ(p):fn(x)∈Bβ(p)∀n≤0

Zbiory te nazywamy- odpowiednio- stabilną i niestabilną lokalną rozmaitością punktu p,

Twierdzenie ponizej uzasadnia nazwę

Twierdzenie 6.2 (Twierdzenie Hadamarda-Perrona)

Niech f będzie dyfeomorfizmem klasy Cr, określonym na otoczeniu punktu p∈Rm. Zakładamy że f⁢p=p i że różniczka D⁢f⁢p jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym. Wówczas, dla małego β, zbiory Wβs⁢p i Wβu⁢p są różniczkowalnymi podrozmaitościami klasy Cr. Przestrzenią styczną do Wβs⁢p w punkcie p jest Es, przestrzenią styczną do Wβu⁢p w punkcie p jest Eu.

Ponadto, dla x∈Wβs⁢p mamy fn⁢x→p gdy n→+∞; dla x∈Wβu⁢p mamy fn⁢x→p gdy n→-∞

6.4. Globalne rozmaitości stabilne i niestabilne

Niech teraz f będzie dyfeomorfizmem gładkiej m- wymiarowej rozmaitości M i niech p będzie punktem stałym hiperbolicznym. Wówczas istnieją lokalne rozmaitości- stabilna i niestabilna- punktu p. Są to obrazy przy parametryzacji odpowiednich rozmaitości skonstruowanych dla przedstawienia f w mapie: f~=∘f∘φ-1. Są to więc Cr- podrozmaitości M.

Definicja 6.7

Globalną rozmaitością stabilną punktu stałego hiperbolicznego nazywamy zbiór

Ws⁢0=x∈M:fn⁢x→p⁢⁢⁢gdy⁢⁢⁢n→+∞

Zatem:

Ws⁢p=⋃k=0∞f-k⁢Wβs⁢p

Wykażemy

Twierdzenie 6.3

Jeśli p jest hiperbolicznym punktem stałym dla dyfeomorfizmu f klasy Cr na rozmaitości M, to Ws⁢p jest immersyjną podrozmaitością M, klasy Cr.

Niech ψ bedzie parametryzacją otoczenia p w Wβs⁢p (już wiemy że Wβs⁢p jest podrozmaitością). ψ jest zatem określone na otwartym podzbiorze W⊂Rs; można założyć że ψ⁢0=p. Różniczka D⁢ψ ma rząd s. Rozpatrzmy

g=ψ-1∘f∘ψ

(6.3)

Różniczka D⁢g ma wszystkie wartości własne mniejsze co do modułu od 1 (dlaczego?). Wówczas niekoniecznie norma różniczki D⁢g⁢0 jest mniejsza niż 1 (klatki Jordana!) ale można zmienić normę w Rs, aby to uzyskać (taka zmiana normy była juz w dowodzie twierdzenia Grobmana-Hartmana). Wówczas istnieje otoczenie zera U takie że dla każdego x∈U D⁢g⁢x<1.

Ćwiczenie 6.1

Istnieje rozszerzenie przekształcenia g do g⌃ określonego na całym Rs takie że g⌃ jest dyfeomorfizmem Rs i D⁢g⌃<α<1.

Używając g⌃ budujemy immersję ψ:Rs→Ws⁢p , to znaczy różniczkowalne przekształcenie róznowartościowe i takie że w każdym punkcie różniczka ma maksymalny, równy s rząd:

ψ⁢x=f-m∘ψ∘g⌃m⁢x

Ponieważ dla każdego x istnieje m takie że g⌃m⁢x∈W, rozszerzenie ψ jest określone dla wszystkich x. Poprawność definicji wynika z określenia g (6.3).

∎

Zdefiniujemy teraz rozmaitości stabilne i niestabilne dla elementów krytycznych (tzn. punktów stacjonarnych i orbit zamkniętych) pól wektorowych.

Niech X będzie polem klasy Cr na gładkiej zwartej rozmaitości M, niech φt bedzie potokiem tego pola. Niech p będzie hiperbolicznym punktem stacjonarnym X.

Definicja 6.8

Globalną rozmaitością stabilną (niestabilną) dla p nazywamy zbiór

WXs⁢p=x:φt⁢x→p⁢⁢⁢gdy⁢⁢⁢t→+∞

(odpowiednio dla WXu⁢p t→-∞).

Twierdzenie 6.4

Przy powyższych założeniach, Ws⁢p, Wu⁢p są immersyjnymi podorozaitościami M, tej samej klasy co pole wektorowe X.

Dowód wynika z wykazanego już faktu dla dyfeomorfizmów i z następującego faktu (pozostawiamy udowodnienie jako zadanie)

Ćwiczenie 6.2

Przy założeniach jak powyżej- niech f=φ1 będzie ”dyfeomorfizmem po czasie 1 dla pola X. (Wówczas oczywiście f⁢p=p i p jest punktem stałym hiperbolicznym dla f). Wtedy

WXs⁢p=Wfs⁢p

(i tak samo dla Wu)); przez Wfs⁢p oznaczyliśmy globalną rozmaitość stabilną punktu p dla f.

∎

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wstęp do teorii Układów Dynamicznych