7.1. Pola wektorowe i dyfeomorfizmy Morse'a- Smale'a
Definicja 7.1
Niech M będzie zwartą rozmaitością wymiaru n, zaś X- polem wektorowym klasy Cr na M. Mówimy że X jest polem Morse'a-Smale'a jeśli
-
1 X ma skończenie wiele elementów krytycznych i wszystkie elementy krytyczne są hiperboliczne.
-
2 Jeśli σ1, σ2 są elementami krytycznymi, to rozmaitości Wuσ1, Wsσ2 przecinają się transwersalnie.
-
3 ΩX- zbiór punktów niebłądzących- jest sumą elementów krytycznych.
Dla dyfeomorfizmów mamy odpowiednio definicję:
Definicja 7.2
Dyfeomorfizm f:M→M jest dyfeomorfizmem Morse'a-Smale'a jeśli:
-
1 f ma skończenie wiele punktów okresowych i wszystkie są hiperboliczne.
-
2 Wszystkie przecięcia Wsp∩Wuq są transwersalne
-
Jak wiemy, jeśli X jest polem wektorowym na zwartej rozmaitości, to X generuje rodzinę dyfeomorfizmów (potok pola) φt.
Warto w tym miejscu zastanowić się czy jeśli X jest polem Morse'a Smale'a to dyfeomorfizm φt jest dyfeomorfizmem Morse'a Smale'a.
Łatwo sprawdzić że mamy
Ćwiczenie 7.1
Niech X będzie polem wektorowym Morse'a -Smale'a na zwartej gładkiej rozmaitości M. Wówczas dyfeomorfizm φt (t≠0) jest dyfeomorfizmem Morse'a Smale'a wtedy i tylko wtedy gdy X nie ma orbit zamkniętych (tzn zbiór elementów krytycznych X składa się tylko z punktów krytycznych).
W rozdziale trzecim uzyskaliśmy pełną charakteryzację C1 strukturalnie stabilnych dyfeomorfizmów i pól wektorowych na okręgu (okazało się że są to dokładnie pola wektorowe i dyfeomorfizmy Morse'a - Smale'a). Zatem- naturalne jest pytanie czy te wyniki przenoszą sie na przypadek wyższych wymiarów.
Mamy następujące twierdzenie, wykazane przez J. Palisa (nie będziemy go tu dowodzić):
Twierdzenie 7.1 (O otwartości zbiorów dyfeomorfizmów i pól wektorowych Morse'a-Smale'a)
Niech M będzie gładką zwartą rozmaitościa. Wówczas dla każdego r≥1 zbiór dyfeomorfizmów Morse'a -Smale'a klasy Cr jest niepusty oraz otwarty w przestrzeni DiffrM. Podobnie, zbiór pól wektorowych Morse'a -Smale'a klasy Cr jest niepusty i otwarty w przestrzeni FrM pól wektorowych klasy Cr na M.
Twierdzenie 7.2
Jeśli X jest polem Morse'a -Smale'a to X jest (C1) strukturalnie stabilne. Podobnie, jeśli f jest dyfeomorfizmem Morse'a -Smale'a to f jest strukturalnie stabilne.
Różnica pomiędzy sytuacją jednowymiarową (okrąg) a ogólną polega jednak na tym, że w ogólnym przypadku dyfeomorfizmy i pola wektorowe Morse'a Smale'a nie stanowią zbioru gęstego i nie wypełniają wszystkich przykładów strukturalnie stabilnych.
7.2. Ω-eksplozja
Zajmiemy się teraz opisaniem ważnego przykładu (który jednocześnie pokazuje dlaczego w wyższych wymiarach nie można spodziewać się gęstości dyfeomorfizmów Morse'a-Smale'a.
Twierdzenie 7.3 (Ω-eksplozja)
Na rozmaitości M wymiaru d≥2 dyfeomorfizmy Morse'a-Smale'a nie są gęste w przestrzeni dyfeomorfizmów Dff1M.
szkic
Rozważamy na sferze S2 pole wektorowe X które ma cztery punkty krytyczne. Punkty s1 i s2 są ściekami, punkt s3 jest siodłem, zaś s4-źródłem. Ponadto istnieje trajektoria dla której zbiorem α i ω-granicznym jest ten sam punkt S3- bowiem globalne rozmaitości stabilna i niestabilna punktu s3 pokrywają się. Niech φt będzie potokiem tego pola; oznaczmy przez f=φ1 ”dyfeomorfizm po czasie 1”.
Na rysunkach 7.1 i 7.2 przedstawiono portret fazowy wyjściowego pola wektorowego (widziany na płaszczyźnie i na sferze).
Zaburzymy teraz dyfeomorfizm f w ten sposób że punkt s3 pozostanie siodłem, ale dla nowego zaburzonego przekształcenia (oznaczanego dalej przez g) Wus3 będzie przecinać się z Wss3 transwersalnie.
Wybieramy punkt p∈Wus3 i otoczenie punktu p takie że f-1U∩U=∅.
Uzyjemy ”lokalnej deformacji”- przekształcenia (dyfeomorfizmu) i takiego że i=id poza U oraz, dodatkowo, ip=p, ale iWus3∩U
przecina teraz tranwersalnie (Wu(s3)∩U w punkcie p. (Mowiąc nieformalnie, i ”wykrzywilo” lokalnie rozmaitość Wus3). Na rysunkach 7.3 i 7.4 przedstawiono deformację i i
efekt jej zastosowania.
Rozpatrujemy teraz dyfeomorfizm g=i∘f. Zauważmy że g pokrywa się z f poza zbiorem f-1U. W wyniku tej deformacji globalna rozmaitość niestabilna (zdefiniowana, przypomnijmy, jako ⋃gnWlocu zmienia się w otoczeniu punktu p (dokładniej- ten fragment rozmaitości niestabilnej, który jest zawarty w U zostanie zastąpiony przez jego obraz przy przekształceniu i). Natomiast fragment rozmaitości stabilnej Wss3
zawarty w U pozostanie niezmieniony. Pojawi się zatem w punkcie p transwersalne przecięcie rozmaitości stabilnej i niestabilnej (rysunki 7.3 i 7.4).
Zauważamy teraz
Stwierdzenie 7.1
Punkt p jest niebłądzacy dla zaburzonego przekształcenia g.
Niech W⊂U będzie małym otoczeniem p ; l niech będzie fragmentem rozmaitości niestabilnej Wus3 zawartym w W. Rozpatrujemy kolejne obrazy l przy przekształceniu g (rysunek 7.4).
Rysunek pokazuje że obrazy ( a dokladniej: ich fragmenty) zbliżają się do fragmentu rozmaitości niestabilnej zawartego między punktami s3 i p) i układają ”równolegle” do niego. Zatem- muszą przeciąć W. Formalny dowód wymaga wykorzystania tzw λ-lematu, którego sformułowanie podajemy na końcu tego wykładu.
∎
Możemy teraz wyjaśnić dlaczego opisane tu zjawisko nazywa się Ω-ekspozją. Zauważmy że wyjsciowe pole wektorowe X miało bardzo prosty zbiór punktów niebłądzących ΩX=s1,s2,s3,s4. Również dyfeomorfizm f ma ten sam zbiór punktów niebłądzących. Z konstrukcji wynika że możemy dowolnie mało zaburzyć f (i to zaburzenie możemy uczynić małym w Cr topologii) tak aby pojawił się dodatkowy punkt niebłądzący. Naprawde, tych nowych punktów niebłądzących pojawi się więcej- są to przynajmniej wszystkie obrazy i przeciwobrazy p. W następnym rozdziale (7.4) wykażemy że, w istocie zbiór punktów niebłądzących dla g jest nieprzeliczalny.
Oczywiscie g nie jest dyfeomorfizmem Morse'a Smale'a. Aby dokończyć dowód wystarczy wykazać że istnieje otoczenie g w C1 topologii złożone z dyfeomorfizmów, które również nie są Morse'a Smale'a. Wystarczy w tym celu wykazać
Stwierdzenie 7.2
Jeśli g~ jest dyfeomorfizmem odpowiednio bliskim dyfeomorfizmowi g w C1 topologii, to g~ ma punkt stały s~3 bliski s3, będący też siodłem i rozmaitości niestabilna i stabilna (dla g~ i siodła s~3) przecinają się traswersalnie.
Istotnie, ze Stwierdzenia 7.2 wynika że żaden dyfeomorfizm g~ nie jest Morse'a -Smale'a (bo ma punkty niebładzące- punkty przecięcia rozmaitości stabilnej i niestabilnej dla siodła) które nie są okresowe.
∎
7.3. λ lemat
Niech p będzie punktem stałym (okresowym) hiperbolicznym dyfeomrofizmu f na rozmaitości n wymiarowej M.
Wprowadźmy w otoczeniu p układ współrzędnych taki że p jest w tym układzie obrazem 0∈Rn.
W tym układzie współrzędnych rozmaitości stabilna i niestabilna punktu p są podrozmaitościami stycznymi w 0 odpowiednio do Es, Eu⊂Rn.
Wlocs jest wykresem funkcji φs:Us→Eu (gdzie Us jest otoczeniem zera w Es) takiej ze Dφs0=0 , podobnie Wlocu jest wykresem funkcji φu:Uu→Es (gdzie Uu jest otoczeniem zera w Eu), takiej ze Dφu0=0.
Wówczas przekształcenie
|
φxs,xu=xs-φuxu,xu-φsxs |
|
jest dyfeomorfizmem przekształcającym Wlocs na otoczenie zera w Es, zaś Wlocu na otoczenie zera w Eu.
W tych współrzędnych najłatwiej jest sformułowac λ lemat:
Twierdzenie 7.4 (λ-lemat)
Niech V=Bδs×Bδu (w opisanym układzie współrzędnych; zatem Bδs=Wlocs, Bδs=Wlocs). Rozważmy q∈Wlocs=Bδs i immersyjnie zanurzony dysk Du o wymiarze u=dimEu, transwersalny do Wlocs w punkcie q.
Oznaczmy przez Dun tę spójną składową fnDu∩V, do której należy punkt fnq.
Wówczas dla każdego ε>0 istnieje n0 takie że jeśli n>n0 to Dnu jest ε bliskie Bδu (to znaczy: jest wykresem funkcji g:Bδu→Es o wartościach i pochodnej mniejszych co do normy od ε)
rysunek
λ-lemat mówi więc że każdy dyski Du, po odpowiedniu dalekiej iteracji, ma w obrazie podzbiór otwarty ”prawie równoległy” do Wlocu=Bδu.
7.4. Podkowa Smale'a
Najpierw zdefiniujemy pewien układ dynamiczny w przestrzeni symbolicznej.
Definicja 7.3
Niech n będzie liczbą naturalną niech
W przestrzeni Σ określamy odległość: jeśli x=xi,y=yi∈Σ to
gdzie N jest największą liczbą naturalną taką że x-N,…xN=y-N,…yN.
Jeśli takie N nie istnieje, to kładziemy dx,y=2.
W przestrzeni Σ mamy naturalne przekształcenie σ- przesunięcie w lewo:
Opiszemy teraz dyfeomorfizm sfery S2 który ma interesujący podzbiór niezmienniczy.
Zaczynamy od kwadratu =0,1×0,1. W tym kwadracie wyróżniamy dwa rozłaczne pozome prostokąty:
H1 i H2 oraz dwa rozłaczne pionowe prostokąty V1 i V2 , położone jak na rysunku
Chcemy aby dyfeomorfizm f przekształcał H1 na V1, H2 na V2 afinicznie, i aby D∩f-1D=H1∪H2.
Nieformalnie mówiąc- rozciągamy wzdłuż kwadrat D, a otrzymany prostokąt zginamy w ”podkowę” (rysunek 7.5).
Aby rozszerzyc takie przekształcenie, doklejamy do kwadratu dwa topologiczne dyski (np półkola) U, i V (otrzymujemy w ten sposób nowy dysk topologiczny N=D∪U∪V tak że fG2⊂V,
fG1⊂U, fG3⊂U. Teraz trzeba jeszcze zdefiniować f na U i na V. Obrazy tych połkoli są przedstawione na rysunku 7.6.
f jest zdefiniowane na U w ten sposób że wewnątrz fU jest umieszczony punkt stały przyciągający S i ⋂fnU=s.
Wynika stąd że dla każdego q∈U (a także dla każdego q∈V) ωq=p.
Mamy więc zdefiniowany dyfeomorfizm N→fN i clfN⊂N. Tak zdefiniowane przekształcenie możemy przedłużyc też do dyfeomorfizmu całej sfery S2 (N można utożsamić przez dyfeomorfizm z górną półsferą; na dolnej półsferze S definiujemy dyfeomorfizm tak aby fS=S2∖fN (zatem fS⊃S), umieszczając punkt stały na przykład w biegunie południowym r. Wówczas dla każdego q∈fS=S2∖fN mamy αq=r.
Z tych obserwacji wynika że zbiór punktów niebłądzących rożnych od r,s Ωf∖r,s jest zawarty w wyjściowym kwadracie D. Istotnie, jeśli p∈S to ujemna trajektoria punktu p i całego jego otoczenia jest przyciągana do bieguna południowego r, zatem istnieje takie otoczenie U punktu p że fnU∩U=∅ dla wszystkich n. Podobnie, jeśli p∈U, to p jest przyciągane przy iteracji w przód do punkty stałego s, i, z tych samych powodów p jest punktem błądzącym. Ponieważ fV⊂U i zbiór punktów niebładzących Ω jest niezmienniczy, więc również zbiór V nie przecina Ωf.
Korzystając jeszcze raz z niezmienniczości zbioru Ωf wykazaliśmy zatem
Stwierdzenie 7.3
Zbiór punktów niebłądzących Ωf jest zawarty w zbiorze
(zauważmy że zbiór D∞ składa się z punktów których trajektorie przez cały czas pozostają w D)
Wykażemy teraz że cały zbiór D∞ jest zawarty w zbiorze punktów niebłądzących Ωf.
W tym celu skonstruujemy sprzężenie topologiczne pomiędzy przekształceniem f:D∞→D∞ i przesunięciem w lewo σ na przestrzeni symbolicznej.
Rozważmy zbiór
Widzimy (tu będzie rysunek
że D0n=⋂i=0nfiD jest sumą 2n pionowych prostokątów, których szerokości maleją wykłądniczo z n; w szczególności- D01 jest sumą dwóch pionowych prostokątów V1,V2. Ponadto, w każdym prostokącie P pojawiającym się w D0n są zawarte dokładnie dwa prostokąty następnej generacji; przy czym suma szerokości tych prostokątów jest równa szerokości P pomnożonej przez α.
Zatem D0∞=⋂i=0∞fiD jest produktem zbioru Cantora i odcinka. Zbiór ten składa się dokładnie z punktów które przez całą swoją historię w przeszłości pozostawaly w D.
Podobnie, zbiór
składa się z 2n poziomych prostokątów; w szczególności D-10 jest to podzbiór D złożony z punktów, które w pierwszej iteracji trafiają do D.
Zbiór
składa się zatem z punktów które przez cała swoją przyszłość pozostaną w D; podobnie jak poprzednio- widzimy ze jest to produkt ”pionowego” zbioru Cantora i poziomego odcinka.
Oczywiście D∞ jest przecięciem tych dwóch zbiorów; jest to zatem produkt kartezjański dwóch zbiorów Cantora. W szczególności D∞ jest zwarty.
Każdemu punktowi x∈D∞ możemy przyporządkować jego ”kod”- nieskończony ciąg symboli xi=πx w przestrzeni symbolicznej Σ=1,2-∞∞: xi=1 jeśli fix∈H1, xi=2 jeśli fix∈H2.
Twierdzenie 7.5
Przekształcenie f:D∞→D∞ jest topologicznie sprzężone z przesunięciem σ na przestrzeni symbolicznej Σ;
sprzężenie jest zadane przez kodowanie π:
Formuła σ∘π=π∘f wynika wprost z definicji kodowania π. Pozostaje więc do sprawdzenia że π jest homeomorfizmem.
Sprawdzimy najpierw że π jest wzajemnie jednoznaczne. Różnowartościowość π wynika z obserwacji, że zbiór punktów które mają ten sam kod
x-n,…,x0,…xn jest domkniętym prostokątem Pn o rozmiarach malejących wykładniczo z n. Ponadto Pn+1⊂Pn. Zatem przecięcie jest jednopunktowe. Z konstrukcji wynika też że przekształcenie π jest ”na”- każdy kod jest realizowany.
Wykażemy że π-1 jest ciągłe. Wystarczy w tym celu sprawdzić że jeśli ciąg kodów xik→xi0 to ciąg odpowiadających punktów
π-1xik→π-1xi0. Z definicji metryki w przestrzeni Σ wynika że dla każdego N istnieje takie k0 że dla każdego k>k0 ciągi xik oraz xi0 mają te same wyrazy dla wszystkich k takich że k<N. Stąd zaś wynika że odpowiadające im przy przekształceniu π-1 punkty leżą w tej samej spójnej składowej (prostokącie) zbioru D-N0∩D0N.
Ponieważ długości boków tego prostokąta maleją wykłądniczo z N, dowodzi to zbieżności π-1xik→π-1xi0.
Mamy więc ciągła bijekcję pomiędzy dwiema przestrzeniami metrycznymi zwartymi, zatem- homeomorfizm.
∎
Zauważmy że mamy następujące stwierdzenie (pozostawiamy dowód jako ćwiczenie)
Stwierdzenie 7.4
W przestrzeni Σ punkty (ciągi) okresowe przy przekształceniu σ stanowią gęsty podzbiór.
Wniosek 7.1
W zbiorze D∞ punkty okresowe dla f są gęste.
Ponieważ każdy punkt okresowy jest zawarty w zbiorze punktów niebłądzących Ωf, i zbiór Ωf jest domknięty, porównując ze Stwierdzeniem 7.3, otrzymujemy
Twierdzenie 7.6
Zbiór punktów niebładzących Ωf dla dyfeomorfizmu f jest równy
Punkty okresowe stanowią gęsty podzbiór Ωf.
do zadan: rozmaitości stabilne i niestabilne w podkowie, continuum Knastera.
Podkowa Smale'a to pewien abstrakcyjnie zdefiniowany układ dynamiczny. Jego ważność wyjaśnia poniższe twierdzenie
Twierdzenie 7.7 (Punkt homokliniczny produkuje podkowę)
Niech f będzie dyfeomorfizmem rozmaitości M, p- hiperbolicznym punktem stałym. Załóżmy że istnieje punkt homokliniczny q (czyli punkt transwersalnego przecięcia rozmaitości stabilnej Wsp i niestabilnej Wup, różny od p). Wówczas zbiór punktów niebłądzących Ωf zawiera zwarty niezmienniczy podzbiór Λ, homeomorficzny ze zbiorem granicznym podkowy D∞; homeomorfizm ten sprzęga działanie f|Λ z działaniem opisanego przekształcenia na podkowie.
Szkic dowodu
Używamy wprowadzonego powyżej układu współrzędnych. Niech V=Bδs×Bδu.
Możemy założyć że q∈V. Istotnie, jeśli q jest punktem homoklinicznym to wszystkie jego obrazy- też.
Ponieważ q∈Wsp więc fnq→p; zatem któryś obraz q leży w V.
Twierdzimy że dla wszystkich odpowiednio dużych k zbiór fkV∩V ma co najmniej dwie składowe; punkty q i p należą do różnych składowych (rysunek 7.7).
Na rysunku 7.8 przestawiono przecięcie zbiorów A1 i A2 z ich kolejnymi obrazami.
W odróznieniu modelu liniowego, żadne z używanych tu przekształceń nie jest liniowe. Ponieważ używamy iteracji fkn=fnk, więc obrazy pasków mogłyby bardzo się zdeformować. Trzeba więc sprawdzić że można wybrać k na początku tak duże że wszystkie paski pozostaną ”prawie poziome”. Wybór k można przeprowadzić na przykład tak:
-
Istnieje n0 takie że fn0Bδu zawiera całą składową zbioru V∩Wup do której należy punkt x (wynika to stąd że w tych lokalnych współrzędnych Bδu jest lokalną rozmaitością Wlocu, więc
⋃fnBδu=Wup).
-
-
Ustalamy η=ηn0,ε0 takie że obraz fn0γ jest ε0 bliski (C1) zbiorowi fn0Bδu o ile γ jest η- bliskie (C1) Bδu.
-
Ustalamy l∈N na tyle duże że każdy immersyjnie zanurzony dysk zawarty w V, i ε-bliski w C1 dyskowi Wup∩A2 jest przekształcany przez fl na zbiór (dysk immersyjny) γ taki że γ∩V jest η-bliskie Bδu.
Tutaj wykorzystujemy λ-lemat.
-
∎
