Szkic dowodu

Spójność Λ wynika stąd że Λ=⋂Mk; jest to zstępujący ciąg zbiorów zwartych i spójnych.

Przypomnijmy że lokalna spójność oznacza że dla każdego x∈Λ mamy:

∀ε>0⁢∃δ>0⁢∀y∈B⁢x,δ⁢∃G⊂Λ⁢⁢⁢sp⁢ó⁢jny⁢⁢taki⁢⁢ż⁢e⁢⁢⁢x,y∈G

. Tymczasem (rysunek) zbiór Mk przecięty z ⋃t∈t1,t2Dt jest sumą 2k skręconych walców; jeśli punkty x,y należą do róznych walców to nie da się ich połączyć spójnym podzbiorem Λ o małej średnicy (jedyne ”połączenie” między tymi walcami prowadzi dookoła torusa).

Wykażemy teraz że zbiór Λ nie jest łukowo spójnym tzn że nie każde dwa punkty Λ dadzą się połaczyc krzywą zawartą w Λ. Rozważmy w tym celu dysk D0; oczywiście f⁢D0⊂D0. Wybierzmy punkt p∈D0∩Λ.

Zbiór Mk∩D0 jest sumą rodziny Dk,0 złożonej z 2k dysków, które można łączyc drogami wzdłuż rozciągniętego torusa fk⁢M. Po wykonaniu jednego obrotu, trafiamy do kolejnego dysku w zbiorze Mk∩D0; po wykonaniu 2k obrotów- trafiamy do wyjściowego dysku. Zatem możemy wybrać punkt q1 w tym dysku, ktory jest otrzymany z dysku zawierającego punkt p przez 2k-1 obrotów. Zatem- każda droga łacząca w Mk punkty p i qk musi przeciąć D0 przynajmniej 2k-1 razy, i wykonać pełny obrót wokół torusa pomiędzy każdymi dwoma przecieciami. W następnym kroku konstrukcji, w dysku z rodziny Dk,0 zawierającym p pojawiają się na dwa dyski z rodziny Dk+1,0. Wybieramy ten z nich, który zawiera punkt p; oznaczmy go Dk+1p. Podobnie, w dysku k-tej generacji zawierającym qk pojawią się dwa dyski k+1-szej generacji. Jeden z tych dysków da się połaczyć z Dk+1p drogą która obraca się wokół torusa 2k-1 razy; drugi- drogą która obraca się 2k razy. Wybieramy ten drugi, i jakiś punkt qk+1 w tym dysku. Oczywiście tak zdefiniowany ciąg qk jest zbieżny i jego granica q jest w Λ. Z konstrukcji wynika że każda droga w Λ, łącząca p i q, musiałaby przecinać D0 przynajmniej k razy i pomiędzy dwoma przecięciami wykonać przynajmniej jeden obrót wokół torusa. Ponieważ tak musi być dla każdego k, taka droga nie istnieje (przeczy to ciągłości drogi).

Sprawdzimy gęstość orbit okresowych. Zauważmy najpierw że istnieje gęsty zbiór argumentów t dla których dysk Dt jest przekształcany przez pewną iterację fn (zależna od t) w siebie (są to po prostu argumenty t odpowiadające punktom okresowym dla przekształcenia z2 na okręgu). Oczywiście w każdym takim dysku znajdzie się, w takim razie, punkt stały dla fn. Zatem- w każdym zbiorze postaci ⋃t∈t1,t2Dt jest jakiś punkt okresowy dla f. Rozważmy teraz dowolne otoczenie U dowolnego punktu p∈Λ. Istnieje ”cienki cylinder” - czyli zbiór postaci Ck=Mk∩t∈T1,T2 (dla pewnych T1,T2) zawarty w U (dlaczego?). Wystarczy teraz zauważyć że fk⁢Ck jest zbiorem postaci ⋃t∈t1,t2Dt. Zatem znajdzie się w nim jakiś punkt okresowy dla f. Skoro w nim- to także w zbiorze Ck, a więc- także w U.

∎

Szkic dowodu

Zapiszemy różniczkę przekształcenia f we współrzędnych t,z:

D⁢f⁢t,z=20π⁢i⁢exp⁡2⁢π⁢i⁢t14⁢I⁢d

Wektor styczny zapisujemy jako u,v, gdzie u∈R,v∈C. Pod działaniem różniczki wektor 0,v jest przekształcany na wektor 0,14⁢v; mamy więc wyznaczoną wiązkę stabilną. Wykazanie istnienia wiązki niestabilnej jest trudniejsze. Metoda opisana poniżej nazywana jest metodą stożków niezmienniczych.

Wykażemy najpierw że istnieje ”wiązka niezmiennicza stożków niestabilnych”. W kazdym punkcie solenoidu S rozważamy stożek (podzbiór przestrzeni stycznej zaczepionej w tym punkcie), opisany nierównością:

S(p)={(u,v)∈TpM:|u|>12||v||

(Zatem jest to rodzina stożków połozonych ”poziomo”). Różniczka f nie zachowuje kierunku poziomego, czyli wektora postaci u,0 (tak jest tylko dla t=0. Ale- zachowuje rodzinę stożków poziomych

Widzimy teraz jak można próbować uzyskać szukaną foliację niestabilną: skoro D⁢f⁢S⁢p⊂S⁢f⁢p, to róWnież D⁢f⁢S⁢f-1⁢p⊂S⁢p, itd i otrzymujemy zstępujący ciąg stożków:

D⁢fnS⁢f-n⁢p⊂S⁢p

Jeśli wykażemy że przecięcie tego ciągu stożków, zaczepionych w punkcie p jest jedną prostą (zawartą w Tp(M))) otrzymamy jednowymiarową niezmienniczą foliację. Jeśli dodatkowo sprawdzimy, że D⁢f rozciąga wektory należace do prostych z tak wybranej foliacji- otrzymamy brakującą foliację niestabilną.

Najpierw sprawdzimy warunek rozciągania: Na stożkach S⁢p możemy użyc dowolnej normy równoważnej z normą euklidesową (czyli np z normą u+v). Ponieważ v≤2⁢u, więc na stożkach S⁢p równoważną normą jest po prostu u,v=u. Oczywiście, ta norma jest mnożona przez 2 przy działaniu różniczki D⁢f. Zatem warunek rozciągania został sprawdzony.

Aby sprawdzić że przecięcie Dfn(S(f-n(p)) jest jedną prostą, zobaczymy jak zmniejsza (zwęża) się stożek S⁢p po zastosowaniu operatora rózniczki D⁢fp. Weźmy dwa wektory u1,v1,u2,v2∈S⁢p. ”Nachylenia” tych wektorów to wartości v1u1, v2u2. Niech teraz (U1,V1)=Df((u1,v1), (U2,V2)=Df((u2,v2). Z wzoru na różniczkę D⁢f dostajemy od razu:

V1U1-V2U2=18⁢v1u1-v2u2

Zatem różnica między nachyleniami obrazów przy D⁢fk dwóch dowolnych wektorów należących do stożka maleje wykładniczo z k. Wynika stąd oczywiście że przecięcie zstępującego ciągu stożków

D⁢fnS⁢f-n⁢p⊂S⁢p

składa się dokładnie z jednej prostej. Jest to szukana przez nas foliacja niestabilna Eu.

∎

Dowód pozostawimy jako zadanie:

∎

Będziemy dla uproszczenia zakładali że mamy do czynienia z automorfizmem f dwuwymiarowego torusa. Jest on reprezentowany przez macierz przekształcenia liniowego T na płaszczyźnie. NIech g będzie dyfeomorfizmem torusa bliskim f w C1 topologii. Twierdzimy że wówczas istnieje dyfeomorfizm płaszczyzny G, który jest C1 bliski T, i taki że π∘G=g. Istotnie, mamy f∘π=π∘T. Zatem, jeśli g⁢x jest ε bliskie f⁢x to dla każdego X∈π-1⁢x istnieje dokładnie jeden punkt Y∈π-1(g(x) który jest ε bliski punktowi T⁢X na płaszczyźnie. Kładziemy G⁢X=Y. G jest zatem dobrze określone; jest gładkie ponieważ -lokalnie G zapisuje się jako π-1∘g∘π ( dla pewnej gałezi π-1). Zastosujemy do przekształcenia liniowego T i do dyfeomorfizmu G twierdzenie Grobmana- Hartmana. Możemy je zastosować bo G jestC1 małym zaburzeniem T w całym R2 . Zatem G możemy zapisać jako G=T+ϕ gdzie p⁢h⁢i jest klasy C1 i jest C1 bliskie zera.

Wspomniane Twierdzenie gwarantuje istnienie homeomorfizmu H:R2→R2, który jest sprzężeniem między T i G:

H∘T=G∘H

(8.2)

Oczywiście, nie wynika stąd że homeomorfizm H da się zrzutować do homeomorfizmu h na torusie, sprzęgającego działanie f i g. Przypomnijmy, że w dowodzie twierdzenia Grobmana- Hartmana (rozdział 6) homeomorfizm H otrzymuje się w postaci I+u (I jest przekształceniem identycznościowym). Na to żeby H=I+u rzutowało się do T2 potrzeba aby dla każdego p∈Z2 istniało q∈Z2 takie że

I+u⁢X+p=q+I+u⁢X

czyli u⁢X+p=q+X+u⁢X, u⁢X+p-X=q-p. Jeśli H ma być bliskie identyczności (czyli u ma być małe) to trzeba aby u⁢x+p=u⁢x, czyli żeby u było (dwu)okresowe. Wówczas h=π∘I+u∘π-1 jest dobrze określone i jest homeomorfizmem torusa. Musimy zatem wykazać że w dowodzie twierdzenia Grobmana- Hartmana możemy poszukiwać rozwiązania zagadnienia 8.2 w postaci H=I+u gdzie u należy do podprzestrzeni przestrzeni C0b(R2 złożonej z funkcji dwuokresowych. Oznaczmy tę podprzestrzeń przez P. Tak jak w dowodzie twierdzenia Grobmana- Hartmana, wprowadzamy operator S działający w przestrzeni funkcji C0b(R2, określony wzorem S⁢u=u∘T-T∘u. Tak samo jak poprzednio, stwierdzamy że S jest odwracalny, skoro T jest hiperboliczny. Zauważamy teraz że S przekształca funkcję dwuokresową u na funkcję dwuokresową. Zatem S zachowuje przestrzeń P. Przekształcenie

K⁢u=S-1⁢ϕ⁢I+u

jest kontrakcją w normie Cb0 i zachowuje domkniętą podprzestrzeń P. Zatem jedyny punkt stały u leży w podprzestrzeni P.

Punkt stały u spełnia równanie

I+u∘T=T+ϕ⁢I+u

czyli H=I+u spełnia

H∘T=G∘H

. Wówczas homeomorfizm H rzutuje się do homeomorfizmu h:T2→T2, czyli π∘H=h∘π i h jest szukanym sprzężeniem: h∘f=g∘h.

∎

Na zbiorze Λ mamy rozkład przestrzeni stycznej Tp⁢M=Eps⊕Epu, zależny wsposób ciągły od p. Możemy ten rozkład rozszerzyć do ciągłego (niekoniecznie niezmienniczego!) na pewne otoczenie Λ⊂V~.

Rozpatrujemy teraz rodzinę stożków poziomych i pionowych. Stożki poziome to

Hxγ=v+w:v∈Exu,w∈Exs,⁢⁢⁢w≤γ⁢v,

stożki pionowe:

Vxγ=v+w:v∈Exu,w∈Exs,⁢⁢⁢v≤γ⁢w.

Jeśli x∈Λ, to stożek poziomy Hxγ jest przekształcany przez Dx⁢f w stożek poziomy zaczepiony w punkcie f⁢x; podobnie stożek pionowy Vxγ jest przekształcany przez Dx⁢f-1 w stożek pionowy w punkcie f-1⁢x; dokładniej- mamy nawet pewien ”zapas”- obraz Hxγ jest zawarty w Hγλ-2⁢x; podobnie dla stożków pionowych. Dzięki temu, jeśli g jest bliskie f w C1 metryce, to również Dx⁢g zachowuje tę rodzinę stożków poziomych i pionowych; nie tylko dla x∈Λ ale też dla x∈V, gdzie V jest pewnym otoczeniem Λ.

Wykażemy że stąd wynika dla punktów x∈ΛVg istnienie niezmienniczego rozkładu Tx⁢M na podprzestrzeń stabilną i niestabilną przy działaniu g.

W tym celu udowodnimy następujący

∎

Rozmaitość stabilna dla f (jest to podprzestrzeń liniowa stabilna) Ws jest zachowywana oczywiście również przez g; podobnie- podprzestrzeń niestabilna. Przekształcenie obcięte do rozmaitości niestabilnej pozostaje niezmienione. Natomiast na rozmaitości stabilnej (rysunek) pojawiają się dwa nowe punkty stałe p1⁢i⁢p2. rysunek

Twierdzimy że są to siodła. Istotnie, w kierunku stabilnym różniczka ma wartość własną mniejszą niż 1. Zauważmy że macierz różniczki dyfeomorfizmu Ft ma postać

=10**

Wynika to stąd że potok Ft zachowuje współrzędną u1. Zatem D⁢g ma postać

=(10**)⋅=(λu00λs)==(λu00*)

Dla różniczki wyliczonej w punktach p1 i p2 wyraz zaznaczony * ma moduł mniejszy niż 1 (por. wykres przekształcenia g obciętego do podrzestrzeni stabilnej f. Zatem p1, p2 są siodłami.

Z naszych rozważań wynika też że w całym zbiorze U różniczka g ma postać

=a0bc

Dla różniczki policzonej w punkcie p oczywiście b jest równe 0, zaś c ma moduł większy od 1.

Ustalmy teraz otoczenie V ounktu p takie że

1. Dla q∈V wyraz c w wyrażeniu na różniczkę D⁢g⁢q jest większy (co do modułu) od 1.

2. 0<c<1 dla różniczki policzonej w punktach q∉g⁢V (czyli poza V g pozostaje ściągające wzdłuż wyjsciowego kierunku stabilnego Es).

3. g⁢V⊃V

Istnienie takiego V wynika z linearyzacji g w otoczeniu p.

Skoro V⊂g⁢V to V⊂Wgu⁢p; ponadto Wgu⁢p=⋃j=0∞gj⁢V. Niech Z=T2∖V. Wówczas g⁢Z⊂Z.

Definiujemy Λ=T2∖Wgu⁢p=⋂n=0∞gn⁢Z

Widać jak powstaje zbiór Λ. Operacja zamiany f na g prowadzi do ”rozszczepienia” rozmaitości stabilnej punktu p; staje sie on źródłem, a dodatkowo powstają dwa siodła p1 i p2. ”Szczelina” pomiędzy Ws⁢p1 i Ws⁢p2 to Wgu⁢p. Uzupełnienie tego zbioru to Λ.

∎