Zagadnienia

9.1 Podstawowe definicje i fakty
9.2 Twierdzenie ergodyczne
9.3 Przykłady przekształceń ergodycznych

9. Przekształcenia zachowujące miarę

9.1. Podstawowe definicje i fakty

Rozpatrujemy przestrzeń z miarą probabilistyczną X,F,μ (F jest σ caiłem zbiorów mierzalnych).

Definicja 9.1

Mówimy że przekształcenie T:X→X jest mierzalne względem σ-ciała F jeśli dla każdego zbioru A∈F zbiór T-1⁢A też należy do σ-ciała F.

Definicja 9.2

Mówimy że mierzalne przekształcenie zachowuje miarę μ jeśli dla każdego A∈F mamy

μ(T-1(A)=μ(A)

(9.1)

tu będą przykłady: z2, namiot, 2-z2, ułamki łancuchowe

Uwaga 9.1

Jeśli dodatkowo T jest odwracalne i T-1 jest mierzalne, to warunek 9.1 możemy zapisać

μ(T(A)=μ(A)

Twierdzenie 9.1 (Twierdzenie Poincare'go o powracaniu)

Niech X,F,μ będzie przestrzenią probablistyczną T:X→X - zachowuje miarę μ, A∈F. Wówczas dla μ-prawie każdego x∈A istnieje nieskończenie wiele czasów n takich że Tn⁢x∈A.

Zbiór

B={x∈A:∃m>0:∀n≥mTn(x)∉A

jest mierzalny (dlaczego?). Pokażemy że μ⁢B=0. Wystarczy pokazać że μ⁢C=0 gdzie

C={x∈A:∀n≥1Tn(x)∉A

Zauważamy że zbiory C,T-1⁢C,…,T-n⁢C⁢… są parami rozłaczne. Jest ich nieskończenie wiele, miara X jest skończona, Zatemu wszystkie te zbiory muszą mieć miarę zero.

∎

Podamy teraz ważną definicję:

Definicja 9.3 (Ergodyczność)

Przekształcenie mierzalne przestrzeni z miarą X nazywamy ergodycznym jeśli dla każdego A zbioru mierzalnego mamy

μ⁢AT-1⁢A=0⟹μ⁢A=0⁢⁢⁢lub⁢⁢⁢μ⁢X∖A=0

Uwaga 9.2

W tej definicji ergodyczności nie zakłądamy ani niezmienniczości miary μ dla przekształcenia T ani skończoności miary μ. Jeśli T dodatkowo spełnia implikację μ(A)=0⟹μ(T-1(A)=0, w szczególności jeśli T zachowuje miarę μ to definicję ergodyczności można równoważnie zapisać (taką definicję spotyka się na ogół)

Definicja 9.4 (Ergodyczność miary niezmienniczej)

Przekształcenie mierzalne T przestrzeni z miarą X, zachowujące tę miarę jest ergodyczne jeśli dla każdego A zbioru mierzalnego mamy

A=T-1⁢A⟹μ⁢A=0⁢⁢⁢lub⁢⁢⁢μ⁢X∖A=0

Zdefiniujemy teraz σ-ciało zbiorów ”prawie” niezmienniczych

G={A∈F:μ(A÷T-1(A))=0

Mamy łatwe

Stwierdzenie 9.1

Jeśli funkcja ϕ:X→R jest mierzalna względem σ-ciała G to ϕ jest prawie na pewno stała na trajektoriach:

μ⁢x:ϕ⁢T⁢x=ϕ⁢x=1

. Załóżmy przeciwnie, że D=x:ϕ⁢T⁢x≠ϕ⁢x ma dodatnią miarę. Wówczas istnieje takie a∈Q że zbiór Da=x∈D:ϕ⁢x⁢a⁢⁢i⁢⁢ϕ⁢T⁢x⁢a ma dodatnią miarę (albo dodatnią miarę ma zbiór Da zdefiniowany przez przeciwne nierówności). Ale Da nie przecina się z T-1⁢Da (wystarczy spojrzeć na definicję zbioru Da); z drugiej strony Da jest elementem σ ciała G. Wynika stąd że μ⁢Da=0, wbrew przypuszczeniu (zbiory z σ-ciała G różnią się przecież od swojego przeciwobrazu o zbiór miary zero).

∎

Zanotujmy jeszcze oczywiste ale ważne fakty:

Stwierdzenie 9.2

Jesłi T:X→X jest przekształceniem zachowujacym miarę, to T jest ergodyczne wtedy i tylko wtedy gdy σ- ciało G jest trywialne (składa się wyłącznie ze zbiorów miary 0 i zbiorów miary 1).

Wniosek 9.1

Jeśli T:X→X jest ergodyczne, to każda funkcja mierzalna ϕ:X→R która jest T- niezmiennicza (tzn ϕ∘T=ϕ prawie wszędzie) jest stałą prawie wszędzie.

Gdzies troszke dalej w forma zadania moze, trzeba umiescic różne warunki równoważne na ergodyczność

9.2. Twierdzenie ergodyczne

Twierdzenie Ergodyczne jest jednym z najważniejszych wyników w teorii przekształceń zachowujących miarę. Rozważmy funkcję mierzalną ϕ:X→R (czyli - w języku rachunku prawdopodobieństwa- zmienną losową). Mamy wówczas ciąg funkcji mierzalnych (zmiennych losowych)

ϕ,ϕ∘T,ϕ∘T2,…,ϕ∘Tn,…

(9.2)

(mamy więc jakąs funkcję (obserwablę) określoną na naszej przestrzeni X i wyliczamy jej wartości wzdłuż trajektorii).

Otrzymujemy w ten sposób ciąg zmiennych losowych o tym samym rozkłądzie (dlaczego?), ale oczywiscie nie niezależnych. Twierdzenie Ergodyczne jest odpowiednikiem Prawa Wielkich Liczb, dla takiego właśnie ciągu jednakowo rozlożonych i całkowalnych ale zależnych (przez sposób w jaki zostały zdefiniowane) zmiennych losowych.

Twierdzenie 9.2 (Twierdzenie Ergodyczne)

Niech T:X→X będzie przekształceniem zachowującym miarę probabilistyczną μ określoną na σ ciele F podzbiorów X. Niech ϕ:X→R będzie funkcją całkowalną względem miary μ (ϕ∈L1⁢μ). Wówczas mamy

ϕ+ϕ∘T+ϕ∘T2+…+ϕ∘Tn-1n→E(ϕ|G)

(9.3)

(gdzie E(ϕ|G oznacza warunkową wartość oczekiwaną względem σ- ciała G). Zbieżność jest tutaj prawie wszędzie i w L1.

Uwaga 9.3

Zauważmy że (jak wynika ze Stwierdzenia 9.1) funkcja E(ϕ|G jest (prawie wszędzie) T- niezmiennicza. Zatem w twierdzieniu ergodycznym otzymujemy zbieżność do funcji T- niezmienniczej, oczywiscie o tej samej całce co ϕ.

Wniosek 9.2

Jeśli dodatkowo założymy że T jest ergodyczne, mamy

ϕ+ϕ∘T+ϕ∘T2+…+ϕ∘Tn-1n→E⁢ϕ

(9.4)

prawie wszędzie (zatem dla ergodycznego przekształcenia T teza twierdzenia jest dokładnym odpowiednikiem Prawa Wielkich Liczb).

Wniosek 9.3 (Częstość odwiedzin)

Jesli T:X→X jest ergodyczne, A∈F to z Twierdzenia Ergodycznego, zastosowanego dla ϕ=ξA otrzymujemy

card(i≤n:Ti(x)∈A)n→μ⁢A

(9.5)

prawie wszędzie.

Dowód Twierdzenia Ergodycznego

Najpierw udowodnimy następujący Lemat:

Lemat 9.1 (Maksymalne Twierdzenie Ergodyczne)

Niech f∈L1⁢μ. Zdefiniujmy zbiór A następująco:

A={x∈X:sup∑k=0nf(Ti(x))=∞

Wówczas

∫Af≥0

Określamy

Fn=max(∑i=0k-1f∘Ti,1≤k≤n)

(9.6)

Zauważmy że

Fn+1⁢x-Fn⁢T⁢x=f⁢x-min⁡0,Fn⁢T⁢x

(9.7)

Wynika stąd po pierwsze że ciąg Fn+1⁢x-Fn⁢T⁢x jest nierosnący, a po drugie- że dla x∈A mamy

Fn+1⁢x-Fn⁢T⁢x→f⁢x

(9.8)

a stąd:

0≤∫AFn+1-Fn⁢d⁢μ=∫AFn+1-Fn∘T→∫Af⁢d⁢μ

(9.9)

Równość wynika stąd że z niezmienniczości miary μ mamy ∫f-1⁢AFn∘T=∫AFn, a dzięki temu że zbiór A jest niezmienniczy ( A (f-1⁢A=A), możemy następnie f-1⁢A zastąpić przez A.

Ostatnie przejscie do granicy jest uprawnione, bo ciąg funkcji Fn+1-Fn∘T jest nierosnący, i zbieżny na zbiorze A do całkowalnej funkcji f. Formuła LABEL:max kończy dowód Maksymalnego Twierdzenia Ergodycznego.

∎

Założmy teraz że E(f|G)<0 prawie wszędzie. Skoro A jest niezmienniczy, to oczywiście A∈G, zatem

∫Af=∫AE(f|G)<0

Zatem: jeśli E(f|G)<0 prawie wszędzie, to z Maksymalnego Twierdzenia Ergodycznego wynika że μ⁢A=0. Poza zbiorem A mamy zaś oczywiście:

lim sup⁡1n⁢∑k=0n-1f∘Tk≤0

(9.10)

Zastosujemy tę obserwację do funkcji

f=ϕ-E(ϕ|G)-ε

(ε jest tu dowolną liczbą dodatnią). Oczywiście E(f|G)=-ε<0

Mamy zatem

lim sup1n∑k=0n-1(ϕ-E(ϕ|G)-ε)∘Tk≤0

(9.11)

Stwierdzenie refniezm pozwala teraz zauważyć że funkcja E(ϕ|G) jest T- niezmiennicza, zatem nierówność 9.11 możemy (prawie wszędzie) przepisac:

lim sup1n∑k=0n-1(ϕ∘Tk)≤E(ϕ|G)+ε

(9.12)

Dla zakończenia dowodu wystarczy teraz zauważyć że ε jest dowolne, zatem

lim sup1n∑k=0n-1(ϕ∘Tk)≤E(ϕ|G)

prawie wszędzie (wystarczy wybrać ciąg epsylonów zbieżny do zera), zaś zamieniając ϕ na -ϕ otrzymujemy:

lim inf1n∑k=0n-1(ϕ∘Tk)≥E(ϕ|G)

Pozostaje do sprawdzenia że zbieżność jest także w L1

∎

Sformułujemy teraz kilka warunków równoważnych ergodyczności; pozostawimy je jako zadanie:

Ćwiczenie 9.1 (Warunki równoważne ergodyczności)

Niech T:X→X będzie przekształceniem zachowującym miarę μ. Wykazać równoważność następujących warunków:

1. T jest ergodyczne
2. każda funkcja f∈L1(μ, T- niezmiennicza jest stała prawie wszędzie.
2'. każda funkcja f∈L2(μ, T- niezmiennicza jest stała prawie wszędzie.
3. dla każdej funkcji ϕ∈L1⁢μ mamy

1n⁢∑k=0n-1ϕ∘Tk→∫ϕ⁢d⁢μ
3'. dla każdego zbioru A∈F mamy

limn→∞⁡1n⁢card⁢i≤n:Ti⁢x∈A→μ⁢A

μ- prawie wszędzie.
4. dla dowolnych zbiorów A,B∈F

1n⁢∑k=0n-1μ⁢A∩T-k⁢B→μ⁢A⁢μ⁢B

Następne ćwiczenie pokazuje że dla tego samego przekształcenia miary ergodyczne niezmiennicze są dla siebie ”wzajemnie niewidoczne”.

Ćwiczenie 9.2

NIech T:X→X będzie przekształceniem mierzalnym względem σ-ciała F. Wykazać że jeśli μ1, μ2 są dwiema różnymi miarami określonymi na F, to μ1, μ2 są wzajemnie singularne.

Wskazówka:

Skoro miary są rózne, to istnieje A∈F taki że μ1⁢A≠μ2⁢A. Skorzystać z własności 3′ z poprzedniego zadania.

9.3. Przykłady przekształceń ergodycznych

obrot na okręgu, przesunięcia na torusie, automorfizmy torusa, układy symboliczne

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.