Zagadnienia

6. Rozmaitości stabilne i niestabilne. Twierdzenia o ich istnieniu i własnościach

6.1. Hiperboliczne punkty stałe i stacjonarne

Definicja 6.1

Niech V będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru nad R (albo nad C), niech L:VV będzie odwracalnym przekształceniem liniowym. Mówimy że L jest przekształceniem hiperbolicznym jeśli wszystkie wartości własne L mają moduł różny od 1.

Definicja 6.2

Niech f będzie dyfeomorfizmem określonym na otoczeniu 0 w Rm, takim że fp=0 i różniczka Dfp jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym. Wówczas mówimy że p jest hiperbolicznym punktem stałym dla f. Jeśli p jest okresowy dla f, fkp=p i różniczka Dfkp jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym, to mówimy że p jest hiperbolicznym punktem okresowym.

Definicja 6.3

Jeśli f jest dyfeomorfizmem rozmaitości M, fp=p to mówimy że f jest punktem stałym hiperbolicznym jeśli dla mapy φ, określonej na otoczeniu zera, takiej że φ0=p, punkt 0 jest hiperbolicznym punktem stałym przekształcenia φ-1fφ (ta definicja nie zależy od wyboru mapy!)

Definicja 6.4

Niech X będzie polem wektorowym klasy C1, określonym w pewnym otoczeniu p w Rm takim że Xp=0 i rózniczka A pola X w punkcie p (rozumianego jako funkcja o wartościach w Rm) nie ma wartości własnych o zerowej części rzeczywistej. Taki punkt stacjonarny p nazywamy hiperbolicznym.

Definicja 6.5

Niech X będzie polem wektorowym klasy C1, określonym w pewnym otoczeniu pM (M- gładka rozmaitość). Xp=0. Mówimy że p jest punktem stacjonarnym hiperbolicznym dla pola X jeśli dla mapy φ określonej na otoczeniu zera, takiej że φ0=p, punkt 0 jest punktem stacjonarnym hiperbolicznym dla pola φ*X (ta definicja nie zależy od wyboru mapy).

6.2. Twierdzenia Grobmana- Hartmana

To twierdzenie jest znane z kursu Jakościowej Teorii Równań Różniczkowych; przytaczamy je w wersji potrzebnej do naszych celów i podajemy szkic dowodu.

Twierdzenie 6.1 (Twierdzenie Grobmana-Hartmana o lokalnej stabilności)
  • Wersja dla dyfeomorfizmów: Niech f będzie dyfeomorfizmem określonym na otoczeniu 0 w Rm,takim że f0=0 i różniczka Df0 jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym. Wówczas istnieje homeomorfizm h określony w pewnym otoczeniu zera U taki że dla xU mamy:

    hfx=Lhx
  • Wersja dla potoków: Niech X będzie polem wektorowym klasy C1, określonym w pewnym otoczeniu zera w Rm takim że X0=0 i rózniczka A pola X w punkcie 0 (rozumianego jako funkcja o wartościach w Rm) nie ma wartości własnych o zerowej części rzeczywistej. Wówczas istnieje homeomorfizm h określony w pewnym otoczeniu zera U taki że dla xU potok varphit pola wektowego X jest sprzężony przez hR z potokiem ψt pola liniowego z macierzą A (czyli z potokiem xψtx=exptAx).

Podamy najpierw szkic dowodu dla dyfeomorfizmów.

Lemat 6.1

Niech V będzie przestrzenią Banacha. Niech L będzie przekształceniem liniowym ciągłym L:VV, takim że L<a<1, niech G będzie odwracalnym przekształceniem liniowym takim że G-1<a<1. Wówczas

  1. I+L jest odwracalne i I+L-111-a

  2. I+G jest odwracalne i I+G-1a1-a

Lemat 6.2

Dla hiperbolicznego przekształcenia liniowego L:RmRm istnieje norma w Rm taka że jeśli Rm=EsEu jest rozkładem na (niezmiennicze) podprzestrzenie odpowiadające wartosciom własnym mniejszym (większym) co do modułu od 1, to L|Es<a<1, L-1|Eu<a<1

Następujące Stwierdzenie jest kluczowym krokiem dowodu:

Stwierdzenie 6.1

Niech L będzie hiperbolicznyn przekształceniem liniowym Istnieje ε>0 takie że jeśli φCbRm spełnia warunek Lipschitza ze stałą mniejszą niż ε, to L i L+φ są topologicznie sprzężone w Rm czyli istnieje homeomorfizm h:RmRm taki że

hL=L+φh

Szukamy homeomorfizmu h w postaci h=I+u, gdzie uCbRm. Żądamy więc aby

I+uL=L+φI+u (6.1)

czyli

L+uL=L+Lu+φI+u,
φI+u=uL-Lu. (6.2)

Sprawdzimy że równanie (6.2) ma dokładnie jedno rozwiązanie w CbRm. Rozpatrzmy przekształcenie liniowe L:CbRmCbRm określone Lu=uL-Lu.

Lemat 6.3

Przekształcenie L jest odwracalne. Ponadto

L-1L-11-a.

Możemy zapisać

Lu=Lu-L-1uL,

czyli jako złożenie dwóch operacji: najpierw uu-L-1uL, potem vLv. Wystarczy ozywiście sprawdzić że ta pierwsza operacja jest odwracalna, a w tym celu wystarczy sprawdzić że przekształcenie liniowe uL-1uL ma normę mniejszą niż 1. Możemy zapisać u=us+uu (korzystając z rozkładu Rm=EsEu), i rozłożyć w ten sposób przestrzeń CbRm na sumę prostą F1F2. Nasze przekształcenie zachowuje ten rozkład. Funkcja us jest przekształcana na L-1usL To ostatnie przekształcenie jest odwracalne (odwrotne to oczywiście uLuL-1) i ma normę mniejszą niż 1. Z lematu 6.1 wynika że L|F1 jest odwracalne. Podobnie sprawdzamy że L|F2 jest odwracalne.

Szukane u jest postaci

u=L-1(φ(I+u).

Zauważmy że, przy małym ε, przekształcenie uL-1φI+u jest kontrakcją. Tak jest bo

L-1φI+u1-L-1φI+u2L-1εu1-u2

Stąd wynika że istnieje dokładnie jeden punkt stały tego przekształcenia w CbRm. Otrzymujemy zatem u spełniające (6.1). Do końca dowodu potrzeba wykazać że I+u jest homeomorfizmem. Możemy w tym celu skorzystać z jedyności rozwiązania. Zauważamy (należy to sprawdzić) że w ten sam sposób jak powyżej można uzyskać również jedyne rozwiązanie nieco ogólniejszego zagadnienia:

L+φ1I+v=I+vL+φ2

(o ile φ1, φ1 spełniają warunek Lipschitza z odpowiednio małą stałą). Zatem, jeśli v spełnia

LI+v=I+vL+φ

to

I+uI+vL+φ=I+uLI+v=L+φI+uI+v

To złożenie I+uI+v jest oczywiście postaci I plus jakaś funkcja z CbRm, i - sprzęga L+φ z samym sobą. Z jedyności rozwiązania wynika że

I+uI+v=I

Tak samo sprawdzamy że I+vI+u=I. W takim razie I+u jest homeomorfizmem.

Dla zakończenia dowodu twierdzenia należy jeszcze wykazać

Lemat 6.4

Jeśli f spełnia założenia twierdzenia to dla dowolnego ε>0 istnieje przedłużenie f z pewnego otoczenia zera U na całe Rm, postaci L+φ, gdzie φCbRm i stała Lipschitza φ nie przekracza ε.

Dowód polega na zastosowaniu standardowej procedury: Weźmy funkcję S klasy C określoną w 0, taką że Sx=1 dla x0,12, Sx=0 dla x1. Oczywiście S spełna warunek Lipschitza z pewną stała C. Ponieważ Df0=L to funkcja ψ=f-L spełnia ψ0=0, Dψ0=0; Dψx<ε2C jeśli x<δ i δ jest odpowiednio bliskie zera.

Wówczas funkcja

φx=Sxδψx

jest szukanym rozszerzeniem.

Pozostaje udowodnić twierdzenie dla potoku pola wektorowego.

Wystarczy udowodnić twierdzenie dla pola wektorowego określonego w otoczeniu zera w Rm. Rozważmy więc równanie różniczkowe zadane przez

x˙=gx

gdzie g0=0 i macierz A=Dg0 nie ma wartości własnych o zerowej części rzeczywistej.

Podobnie jak poprzednio, modyfikujemy funkcje g do g~. Funkcja g~ jest równa g na pewnym otoczeniu zera i równa A poza pewnym (większym) otoczeniem zera.

Niech φt będzie potokiem pola wektorowego wyznaczonego przez funkcje g~. Nierówność Gronwalla gwarantuje że rozwiązania równania przedłużają się do nieskończoności (dlaczego?), zatem potok jest dobrze określony dla wszystkich t.

Sprawdzimy (poniżej) że dyfeomorfizm φ1 spełnia założenia Stwierdzenia 6.1. Istnieje więc homeomorfizm h sprzęgający φ1 z jego częscią liniową L=expA; φ1h=hφ1 Ten homeomorfizm sprzęga również całe potoki, tzn. φth=hφt. Aby to sprawdzić, zauważmy że jeśli zdefiniować h~=φthe-At to h~ jest również sprzężeniem między φ1 z jego częscią liniową L=expA.

Istotnie:

φ1h~=φ1φthe-At=φtφ1he-At=φthe-AteA=h~eA

Ale h~ jest, podobnie jak h małym (tzn. ograniczonym) zaburzeniem identyczności (pamiętamy że teraz t jest ustalone):

h~-I=φtI+ue-At-I=φt-eAthe-At+eAth-Ie-At

Pierwszy składnik jest ograniczony bo różnica w nawiasie jest równa zero dla argumentów o dużym module. Drugi składnik jest ograniczony bo h-I jest ograniczone. Z jedyności sprzężenia w pierwszej, juz udowodnionej części twierdzenia, wynika że h~=h.

Pozostaje więc do sprawdzenia że dyfeomorfizm φ1 spełnia założenia Stwierdzenia 6.1. Zapisując g~=A+r, mamy

ddte-Atφtx=-Ae-Atφtx+e-AtA+rφtx=a-Atrφtx

Wiec:

e-Atφtx=s=0te-Asrφsxds+e-A0φ0x

czyli

φtx=eAtx+s=0teAt-srφsxds
φtx=Lx+r~

gdzie r~=s=01eA1-srφsxds. Jeśli r jest lipschitzowskie z mała stała, to r~- też.

6.3. Twierdzenie Hadamarda-Perrona

Twierdzenie Grobmana -Hartmana gwarantuje istnienie lokalnych zbiorów stabilnych i niestabilnych- są to obrazy przy homeomorfizmie h podprzestrzeni liniowych Es i Eu. Możemy więc wywnioskować że są to topologiczne podrozmaitości. W istocie- są to podrozmaitości różniczkowalne, tej samej klasy co wyjściowe przekształcenie.

Definicja 6.6

Niech f będzie dyfeomorfizmem klasy Cr, określonym na otoczeniu punktu pRm. Zakładamy że fp=p i że różniczka Dfp jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym. Dla β>0 określamy

Wsβ(p)={xBβ(p):fn(x)Bβ(p)n0
Wuβ(p)={xBβ(p):fn(x)Bβ(p)n0

Zbiory te nazywamy- odpowiednio- stabilną i niestabilną lokalną rozmaitością punktu p,

Twierdzenie ponizej uzasadnia nazwę

Twierdzenie 6.2 (Twierdzenie Hadamarda-Perrona)

Niech f będzie dyfeomorfizmem klasy Cr, określonym na otoczeniu punktu pRm. Zakładamy że fp=p i że różniczka Dfp jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym. Wówczas, dla małego β, zbiory Wβsp i Wβup są różniczkowalnymi podrozmaitościami klasy Cr. Przestrzenią styczną do Wβsp w punkcie p jest Es, przestrzenią styczną do Wβup w punkcie p jest Eu.

Ponadto, dla xWβsp mamy fnxp gdy n+; dla xWβup mamy fnxp gdy n-

6.4. Globalne rozmaitości stabilne i niestabilne

Niech teraz f będzie dyfeomorfizmem gładkiej m- wymiarowej rozmaitości M i niech p będzie punktem stałym hiperbolicznym. Wówczas istnieją lokalne rozmaitości- stabilna i niestabilna- punktu p. Są to obrazy przy parametryzacji odpowiednich rozmaitości skonstruowanych dla przedstawienia f w mapie: f~=fφ-1. Są to więc Cr- podrozmaitości M.

Definicja 6.7

Globalną rozmaitością stabilną punktu stałego hiperbolicznego nazywamy zbiór

Ws0=xM:fnxpgdyn+

Zatem:

Wsp=k=0f-kWβsp

Wykażemy

Twierdzenie 6.3

Jeśli p jest hiperbolicznym punktem stałym dla dyfeomorfizmu f klasy Cr na rozmaitości M, to Wsp jest immersyjną podrozmaitością M, klasy Cr.

Niech ψ bedzie parametryzacją otoczenia p w Wβsp (już wiemy że Wβsp jest podrozmaitością). ψ jest zatem określone na otwartym podzbiorze WRs; można założyć że ψ0=p. Różniczka Dψ ma rząd s. Rozpatrzmy

g=ψ-1fψ (6.3)

Różniczka Dg ma wszystkie wartości własne mniejsze co do modułu od 1 (dlaczego?). Wówczas niekoniecznie norma różniczki Dg0 jest mniejsza niż 1 (klatki Jordana!) ale można zmienić normę w Rs, aby to uzyskać (taka zmiana normy była juz w dowodzie twierdzenia Grobmana-Hartmana). Wówczas istnieje otoczenie zera U takie że dla każdego xU Dgx<1.

Ćwiczenie 6.1

Istnieje rozszerzenie przekształcenia g do g określonego na całym Rs takie że g jest dyfeomorfizmem Rs i Dg<α<1.

Używając g budujemy immersję ψ:RsWsp , to znaczy różniczkowalne przekształcenie róznowartościowe i takie że w każdym punkcie różniczka ma maksymalny, równy s rząd:

ψx=f-mψgmx

Ponieważ dla każdego x istnieje m takie że gmxW, rozszerzenie ψ jest określone dla wszystkich x. Poprawność definicji wynika z określenia g (6.3).

Zdefiniujemy teraz rozmaitości stabilne i niestabilne dla elementów krytycznych (tzn. punktów stacjonarnych i orbit zamkniętych) pól wektorowych.

Niech X będzie polem klasy Cr na gładkiej zwartej rozmaitości M, niech φt bedzie potokiem tego pola. Niech p będzie hiperbolicznym punktem stacjonarnym X.

Definicja 6.8

Globalną rozmaitością stabilną (niestabilną) dla p nazywamy zbiór

WXsp=x:φtxpgdyt+

(odpowiednio dla WXup t-).

Twierdzenie 6.4

Przy powyższych założeniach, Wsp, Wup są immersyjnymi podorozaitościami M, tej samej klasy co pole wektorowe X.

Dowód wynika z wykazanego już faktu dla dyfeomorfizmów i z następującego faktu (pozostawiamy udowodnienie jako zadanie)

Ćwiczenie 6.2

Przy założeniach jak powyżej- niech f=φ1 będzie ”dyfeomorfizmem po czasie 1 dla pola X. (Wówczas oczywiście fp=p i p jest punktem stałym hiperbolicznym dla f). Wtedy

WXsp=Wfsp

(i tak samo dla Wu)); przez Wfsp oznaczyliśmy globalną rozmaitość stabilną punktu p dla f.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.