Zagadnienia

8. Zbiory hiperboliczne. Dyfeomorfizmy i potoki Anosowa. Stabilność zbiorów hiperbolicznych.

W poprzednim wykładzie opisaliśmy skomplikowany zbiór niezmienniczy dla dyfeomorfizmu- Podkowe Smale'a. Teraz opiszemy kilka innych przykładów zbiorów hiperbolicznych.

Definicja 8.1

Niech f będzie dyfeomorfizmem gładkiej zwartej rozmaitości M. Zakładamy, jak zawsze w tym wykładzie, że M jest zanurzona w przestrzeni euklidesowej RN, i ma, w takim razie, odziedziczoną z RN strukturę Riemannowska ( w szczególności, długości wektorów w przestrzeni stycznej mierzymy używając długości zmierzonej w RN.

Niech Λ będzie zwartym niezmienniczym podzbiorem M. Mówimy że Λ ma strukturę hiperboliczną jeśli w każdym punkcie p zbioru Λ istnieje rozkład przestrzeni stycznej TpM na sumę prostą dwóch podprzestrzeni: TpM=EpsEpu. Rozkład ten ma być niezmienniczy ze względu na f:

DpfEpu=Eufp
DpfEps=Esfp

Ponadto, żądamy aby istniały stałe C>0,λ>1 takie że

DpfnvCλ-nv

dla vEps oraz

Dpf-nvCλ-nv

dla vEpu.

Uwaga 8.1

Warto zauważyć że jeśli wektor vTpM ma (w rozkładzie na sumę prosta TpM=EpsEpu niezerową drugą składową, to długości obrazów wektora Dfnv (n>0) rosną z n wykładniczo szybko.

Mamy następujące ważne Twierdzenie

Twierdzenie 8.1 (Twierdzenie o rozmaitości stabilnej dla zbiorów hiperbolicznych)

Niech f:MM będzie dyfeomorfizmem klasy Ck. Niech Λ będzie niezmienniczym zbiorem hiperbolicznym dla f. Wówczas istnieje ε>0 i λ~<λ, C~>0 takie że dla każdego pΛ zbiory

Wεsp,f=qM:n0fnqBfnp,ε=qM:n0dfnq,fnp<C~λ~-n

oraz

Wεup,f=qM:n0f-nqBf-np,ε=qM:n0df-nq,f-np<C~λ~-n

są gładkimi podrozmaitościami klasy Ck w M. Ponadto TpWεsp,f=Eps oraz TpWεup,f=Epu

Uwaga 8.2

Zauważmy że równość definiująca Wεsp,f (i podobnie Wεup,f) na dwa różne sposoby też wymaga dowodu!

do napisania

Definicja 8.2

Niech X będzie przestrzenią metryczną. Mówimy że odwracalne przekształcenie T:XX jest ekspansywne jeśli istnieje ε>0 takie że dla dowolnych x,yX istnieje nZ takie że Tnx,Tny>ε.

Wniosek 8.1

Obcięcie dyfeomorfizmu do zbioru hiperbolicznego jest przekształceniem ekspansywnym.

Zauważmy że w definicji zbioru hiperbolicznego nie żądamy żeby przestrzenie Epu,Eps zależały w sposób ciągły od punktu. Wynika to jednak z innych włąsności:

Stwierdzenie 8.1

Przestrzenie Eps, Epu zależą w ciągły sposób od p.

Weźmy ciąg punktów ΛpnpΛ. W każdej przestrzeni Epms wybieramy bazę ortonormalną

(v1m,,vsm

. Przechodząc do podciągu, można założyć że

vmiviTpM.

Skoro

DfpmnvmiCλ-nvmi

to (z ciągłości) mamy także

DfpmnviCλ-nvi

Zatem, viEps.

Pokazaliśmy więc że

limEpmsEps.

W ten sam sposób sprawdzamy że

limEpmuEpu.

Skoro EpsEpu=TpM to musi być

limEpms=Eps,
limEpmu=Epu
Wniosek 8.2

Podprzestrzenie Eps i Epu są ”jednostajnie transwersalne”, tzn istnieje α0 takie że dla lażdego pΛ i dla dowolnych vEps, wEpu kąt między wektorami v,w jest większy niż α0.

Niech αp będzie minimalnym kątem między vEps, wEpu. z poprzedniego stwierdzenia wynika że αp jest ciągłą funkcją p. Ze zwartości Λ wynika że αpα0>0.

Definicja 8.3

Globalna rozmaitośc stabilna (niestabilna)

Przy założeniach takich jak w poprzednim twierdzeniu definiujemy zbiory

Ws(p,f)={qM:d(fn(q),fn(p)0gdyn=j=0f-j(Wsε(p,f)

oraz

Wu(p,f)={qM:d(f-n(q),f-n(p)0gdyn=j=0fj(Wuε(p,f)

Zbiory te nazywamy odpowiednio globalną rozmaitością stabilną i niestabilną. Ta definicja wymaga uzasadnienia:

Ćwiczenie 8.1

Przy założeniach jak w poprzednim Twierdzeniu, wykazać że zbiory Wsp,f i Wup,f są immersyjnymi podrozmaitościami klasy Ck w M

Ćwiczenie 8.2

Sprawdzić że podkowa Smale'a, zdefiniowana w poprzednim wykładzie, jest zbiorem hiperbolicznym.

Stwierdzenie 8.2 (Zbió hiperboliczny dla bliskiego przekształcenia)

Niech Λ będzie zbiorem hiperbolicznym dyfeomorfizmu f. Wówczas istnieje otoczenie V zbioru Λ takie że jeśli g jest dyfeomorfizmem, dostatecznie bliskim (w C1 metryce) f na V, to zbiór

ΛVg=nZgnV¯

jest hiperboliczny.

Uwaga 8.3

Nie wiemy jeszcze jak zbiór ΛVg jest związany z Λ, a nawet- czy jest niepusty.

Na zbiorze Λ mamy rozkład przestrzeni stycznej TpM=EpsEpu, zależny wsposób ciągły od p. Możemy ten rozkłąd rozszerzyć do ciągłego (niekoniecznie niezmienniczego!) na pewne otoczenie ΛV~.

Rozpatrujemy teraz rodzinę stożków poziomych i pionowych. Stożki poziome to

Hxγ=v+w:vExu,wExs,wγv

8.1. Solenoid

W tym rozdziale skonstruujemy pewien hiperboliczny atraktor (czyli zbiór który przyciąga całe swoje otoczenie). Do tej pory mielismy do czynienia z przekształceniami (lub potokami) Morse'a Smale'a, w których jedynymi atrakotrami były punkty stałe (stacjonarne) lub orbity okresowe. Ten atraktor jest zupełnie innego rodzaju.

Rozpatrzmy pełny torus M=S1D2. Okrąg parametryzujemy argumentem t (te2πit), zaś na dysku jednostkowym D używamy zespolonej zmiennej z. NA okręgu rozpatrujemy przekształcenie z2 czyli t2tmod1 Rozpatrujemy przekształcenie f:MM dane wzorem

ft,z=gt,14z+12e2πit

f przekształca zatem każdy dysk Dt odpowiadający t=const na mniejszy dysk, o promieniu czterokrotnie zmniejszonym, zawarty w dysku o dwukrotnie powiększonym argumencie. Łatwo można zobaczyć jak wygląda dysk t=t0 przecięty z obrazem fM: jest to suma dwóch rozłacznych dysków, każdy o promieniu 14. (Powstały jako obrazy odpowiednich dysków dla argumentów t02 i t02+π).

rysunek

Niech Mk=j=0kfjM=fjM. Następujące stwierdzenie wynika łatwo z konstrukcji

Stwierdzenie 8.3

Dla każdego t zbiór MkDt jest sumą 2k rozłacznych domkniętych dysków o promieniu 14k każdy. Dla każdego odcinka t1,t2 zbiór Mktt1,t2Dt jest sumą 2k rozłącznych pełnych walców (oczywiście mówimy o zbiorach dyfeomorficznych z walcami, nie o walcach geometrycznych).

dwa rysunki Niech wreszcie Λ=fjM. Jest to nasz atraktor; z definicji wynika że jeśli xıM to dfnx,Λ0 gdy n. Nietrudno sprawdzić że przecięcie DtΛ jest homeomorficzne ze zbiorem Cantora.

Wykażemy

Twierdzenie 8.2 (Własności topologiczne Solenoidu)

Zbiór Λ ma następujące własności:

  1. Λ jest spójny.

  2. Λ nie jest lokalnie spójny.

  3. Λ nie jest łukowo spójny.

  4. Punkty okresowe dla f stanowią gęsty podzbiór Λ.

  5. f|Λ jest topologicznie tranzytywne: dla dowolnych otwartych podzbiorów U,V przecinających Λ istnieje nN takie że fnUVΛ.

Szkic dowodu

Spójność Λ wynika stąd że Λ=Mk; jest to zstępujący ciąg zbiorów zwartych i spójnych.

Przypomnijmy że lokalna spójność oznacza że dla każdego xΛ mamy:

ε>0δ>0yBx,δGΛspójnytakiżex,yG

. Tymczasem (rysunek) zbiór Mk przecięty z tt1,t2Dt jest sumą 2k skręconych walców; jeśli punkty x,y należą do róznych walców to nie da się ich połączyć spójnym podzbiorem Λ o małej średnicy (jedyne ”połączenie” między tymi walcami prowadzi dookoła torusa).

Wykażemy teraz że zbiór Λ nie jest łukowo spójnym tzn że nie każde dwa punkty Λ dadzą się połaczyc krzywą zawartą w Λ. Rozważmy w tym celu dysk D0; oczywiście fD0D0. Wybierzmy punkt pD0Λ.

Zbiór MkD0 jest sumą rodziny Dk,0 złożonej z 2k dysków, które można łączyc drogami wzdłuż rozciągniętego torusa fkM. Po wykonaniu jednego obrotu, trafiamy do kolejnego dysku w zbiorze MkD0; po wykonaniu 2k obrotów- trafiamy do wyjściowego dysku. Zatem możemy wybrać punkt q1 w tym dysku, ktory jest otrzymany z dysku zawierającego punkt p przez 2k-1 obrotów. Zatem- każda droga łacząca w Mk punkty p i qk musi przeciąć D0 przynajmniej 2k-1 razy, i wykonać pełny obrót wokół torusa pomiędzy każdymi dwoma przecieciami. W następnym kroku konstrukcji, w dysku z rodziny Dk,0 zawierającym p pojawiają się na dwa dyski z rodziny Dk+1,0. Wybieramy ten z nich, który zawiera punkt p; oznaczmy go Dk+1p. Podobnie, w dysku k-tej generacji zawierającym qk pojawią się dwa dyski k+1-szej generacji. Jeden z tych dysków da się połaczyć z Dk+1p drogą która obraca się wokół torusa 2k-1 razy; drugi- drogą która obraca się 2k razy. Wybieramy ten drugi, i jakiś punkt qk+1 w tym dysku. Oczywiście tak zdefiniowany ciąg qk jest zbieżny i jego granica q jest w Λ. Z konstrukcji wynika że każda droga w Λ, łącząca p i q, musiałaby przecinać D0 przynajmniej k razy i pomiędzy dwoma przecięciami wykonać przynajmniej jeden obrót wokół torusa. Ponieważ tak musi być dla każdego k, taka droga nie istnieje (przeczy to ciągłości drogi).

Sprawdzimy gęstość orbit okresowych. Zauważmy najpierw że istnieje gęsty zbiór argumentów t dla których dysk Dt jest przekształcany przez pewną iterację fn (zależna od t) w siebie (są to po prostu argumenty t odpowiadające punktom okresowym dla przekształcenia z2 na okręgu). Oczywiście w każdym takim dysku znajdzie się, w takim razie, punkt stały dla fn. Zatem- w każdym zbiorze postaci tt1,t2Dt jest jakiś punkt okresowy dla f. Rozważmy teraz dowolne otoczenie U dowolnego punktu pΛ. Istnieje ”cienki cylinder” - czyli zbiór postaci Ck=MktT1,T2 (dla pewnych T1,T2) zawarty w U (dlaczego?). Wystarczy teraz zauważyć że fkCk jest zbiorem postaci tt1,t2Dt. Zatem znajdzie się w nim jakiś punkt okresowy dla f. Skoro w nim- to także w zbiorze Ck, a więc- także w U.

Stwierdzenie 8.4

Λ jest zbiorem hiperbolicznym.

Szkic dowodu

Zapiszemy różniczkę przekształcenia f we współrzędnych t,z:

Dft,z=20πiexp2πit14Id

Wektor styczny zapisujemy jako u,v, gdzie uR,vC. Pod działaniem różniczki wektor 0,v jest przekształcany na wektor 0,14v; mamy więc wyznaczoną wiązkę stabilną. Wykazanie istnienia wiązki niestabilnej jest trudniejsze. Metoda opisana poniżej nazywana jest metodą stożków niezmienniczych.

Wykażemy najpierw że istnieje ”wiązka niezmiennicza stożków niestabilnych”. W kazdym punkcie solenoidu S rozważamy stożek (podzbiór przestrzeni stycznej zaczepionej w tym punkcie), opisany nierównością:

S(p)={(u,v)TpM:|u|>12||v||

(Zatem jest to rodzina stożków połozonych ”poziomo”). Różniczka f nie zachowuje kierunku poziomego, czyli wektora postaci u,0 (tak jest tylko dla t=0. Ale- zachowuje rodzinę stożków poziomych

Ćwiczenie 8.3

Sprawdzić że dla każdego pS mamy

DfSpSfp

Widzimy teraz jak można próbować uzyskać szukaną foliację niestabilną: skoro DfSpSfp, to róWnież DfSf-1pSp, itd i otrzymujemy zstępujący ciąg stożków:

DfnSf-npSp

Jeśli wykażemy że przecięcie tego ciągu stożków, zaczepionych w punkcie p jest jedną prostą (zawartą w Tp(M))) otrzymamy jednowymiarową niezmienniczą foliację. Jeśli dodatkowo sprawdzimy, że Df rozciąga wektory należace do prostych z tak wybranej foliacji- otrzymamy brakującą foliację niestabilną.

Najpierw sprawdzimy warunek rozciągania: Na stożkach Sp możemy użyc dowolnej normy równoważnej z normą euklidesową (czyli np z normą u+v). Ponieważ v2u, więc na stożkach Sp równoważną normą jest po prostu u,v=u. Oczywiście, ta norma jest mnożona przez 2 przy działaniu różniczki Df. Zatem warunek rozciągania został sprawdzony.

Aby sprawdzić że przecięcie Dfn(S(f-n(p)) jest jedną prostą, zobaczymy jak zmniejsza (zwęża) się stożek Sp po zastosowaniu operatora rózniczki Dfp. Weźmy dwa wektory u1,v1,u2,v2Sp. ”Nachylenia” tych wektorów to wartości v1u1, v2u2. Niech teraz (U1,V1)=Df((u1,v1), (U2,V2)=Df((u2,v2). Z wzoru na różniczkę Df dostajemy od razu:

V1U1-V2U2=18v1u1-v2u2

Zatem różnica między nachyleniami obrazów przy Dfk dwóch dowolnych wektorów należących do stożka maleje wykładniczo z k. Wynika stąd oczywiście że przecięcie zstępującego ciągu stożków

DfnSf-npSp

składa się dokładnie z jednej prostej. Jest to szukana przez nas foliacja niestabilna Eu.

8.2. Dyfeomorfizmy Anosowa

Zaczniemy od przykładu. Rozważmy automorfizm algebraiczny torusa T2 określony wzorem:

Tx=2111x (8.1)

Mówiąc precyzyjniej, przekształcenie T najpierw jest określone wzorem 8.1 na płaszczyźnie. Ponieważ T jest liniowe i przekształca punkty o współrzędnych całkowitych na punkty o współrzędnych całkowitych, T indukuje gładkie przekształcenie torusa f:T2T2. Zauważmy że f jest odwracalne (ponieważ wyznacznik macierzy jest równy 1); przekształcenie odwrotne jest indukowane przez przekształcenie liniowe płaszczyzny o macierzy:

Tx=1-1-12x

Punkt p=0,0 jest punktem stałym hiperbolicznym. Wartości własne dla macierzy przekształcenia T to λ1=3+52>1 i λ2=3-52<1. Odpowiednie (wzajemnie prostopadłe) kierunki własne to y=5-12x, y=-5+12x. Oznaczmy prostą wyznaczoną przez pierwsze równanie na płaszczyźnie przez L1, drugą prostą przez L2. Wówczas TL1=L1 (ta prosta jest rozciągana przy działąniu T); podobnie TL2=L2 (ta prosta jest ściągana przy działaniu T).

Zauważmy dalej że jeśli p jest dowolnym punktem płąszczyzny, to obrazem prostej afinicznej p+L1 jest prosta afiniczna Tp+L1; podobnie dla L2. Mamy więc w każdym punkcie płaszczyzny wyznaczony kierunek stabilny Es i niestabilny Eu. Mamy też globalne rozmaitości niestabilną p+L1 i stabilną p+L2. Po zrzutowaniu na torus proste p+L1, p+L2 utworzą foliacje stabilną i niestabilną dla przekształcenia f. Zrzutowane proste są gęsto nawiniętymi obmotkami na torusie.

Wniosek 8.3

Dla tego dyfeomorfizmu cała rozmaitość T2 jest zbiorem hiperbolicznym.

Stwierdzenie 8.5

Zdefiniowany powyżej dyfeomorfizm f:T2T2 ma gęsty zbiór orbit okresowych.

Dowód pozostawimy jako zadanie:

Ćwiczenie 8.4

Wykazać że jeśli f jest hiperbolicznym automorfizmem torusa Tm to punkt xTm jest okresowy wtedy i tylko wtedy x=πX dla pewnego punktu XRm o wymiernych współrzędnych.

Zauważmy że ten dyfeomorfizm jest bardzo różny od dyfeomorfizmów Morse'a- Smale'a, omawianych przez nas wcześniej. Dla tamtych dyfeomorfizmów zbiór punktów niebładzących składał się ze skończonej liczby hiperolicznych orbit okresowych. Dowód ich strukturalnej stabilności (przeprowadziliśmy dowód dla dyfeomorfizmów okręgu w wykładzie ??? rozpoczynał się od sprawdzenia że przy małym zaburzeniu wszystkie orbity zachowają się.

W tej nowej sytuacji mamy nieskończenie wiele hiperbolicznych orbit okresowych. Mimo to, przy małym zaburzeniu wszystkie te orbity zachowują się! Twierdzenie to ma daleko idące uogólnienia (stabilność dowolnych zbiorów hiperbolicznych). Najpierw podamy elegancki dowód (pochodzący od J. Mosera) dla automorfizmu algebraicznego torusa.

Twierdzenie 8.3

Hiperboliczny automorfizm torusa Tm jest C1 strukturalnie stabilny.

Będziemy dla uproszczenia zakładali że mamy do czynienia z automorfizmem f dwuwymiarowego torusa. Jest on reprezentowany przez macierz przekształcenia liniowego T na płaszczyźnie. NIech g będzie dyfeomorfizmem torusa bliskim f w C1 topologii. Twierdzimy że wówczas istnieje dyfeomorfizm płaszczyzny G, który jest C1 bliski T, i taki że πG=g. Istotnie, mamy fπ=πT. Zatem, jeśli gx jest ε bliskie fx to dla każdego Xπ-1x istnieje dokładnie jeden punkt Yπ-1(g(x) który jest ε bliski punktowi TX na płaszczyźnie. Kładziemy GX=Y. G jest zatem dobrze określone; jest gładkie ponieważ -lokalnie G zapisuje się jako π-1gπ ( dla pewnej gałezi π-1). Zastosujemy do przekształcenia liniowego T i do dyfeomorfizmu G twierdzenie Grobmana- Hartmana. Możemy je zastosować bo G jestC1 małym zaburzeniem T w całym R2 . Zatem G możemy zapisać jako G=T+ϕ gdzie phi jest klasy C1 i jest C1 bliskie zera.

Wspomniane Twierdzenie gwarantuje istnienie homeomorfizmu H:R2R2, który jest sprzężeniem między T i G:

HT=GH (8.2)

Oczywiście, nie wynika stąd że homeomorfizm H da się zrzutować do homeomorfizmu h na torusie, sprzęgającego działanie f i g. Przypomnijmy, że w dowodzie twierdzenia Grobmana- Hartmana (rozdział 6) homeomorfizm H otrzymuje się w postaci I+u (I jest przekształceniem identycznościowym). Na to żeby H=I+u rzutowało się do T2 potrzeba aby dla każdego pZ2 istniało qZ2 takie że

I+uX+p=q+I+uX

czyli uX+p=q+X+uX, uX+p-X=q-p. Jeśli H ma być bliskie identyczności (czyli u ma być małe) to trzeba aby ux+p=ux, czyli żeby u było (dwu)okresowe. Wówczas h=πI+uπ-1 jest dobrze określone i jest homeomorfizmem torusa. Musimy zatem wykazać że w dowodzie twierdzenia Grobmana- Hartmana możemy poszukiwać rozwiązania zagadnienia 8.2 w postaci H=I+u gdzie u należy do podprzestrzeni przestrzeni C0b(R2 złożonej z funkcji dwuokresowych. Oznaczmy tę podprzestrzeń przez P. Tak jak w dowodzie twierdzenia Grobmana- Hartmana, wprowadzamy operator S działający w przestrzeni funkcji C0b(R2, określony wzorem Su=uT-Tu. Tak samo jak poprzednio, stwierdzamy że S jest odwracalny, skoro T jest hiperboliczny. Zauważamy teraz że S przekształca funkcję dwuokresową u na funkcję dwuokresową. Zatem S zachowuje przestrzeń P. Przekształcenie

Ku=S-1ϕI+u

jest kontrakcją w normie Cb0 i zachowuje domkniętą podprzestrzeń P. Zatem jedyny punkt stały u leży w podprzestrzeni P.

Punkt stały u spełnia równanie

I+uT=T+ϕI+u

czyli H=I+u spełnia

HT=GH

. Wówczas homeomorfizm H rzutuje się do homeomorfizmu h:T2T2, czyli πH=hπ i h jest szukanym sprzężeniem: hf=gh.

Wniosek 8.4

Jest to jeszcze jeden sposób na przekonanie się że w wymiarze 2 dyfeomorfizmy Morse'a-Smale'a na gładkiej zwartej rozmaitości nie stanowią gęstego podzioru w C1 topologii.

8.3. Stabilność zbiorów hiperbolicznych

Stwierdzenie 8.6 (Zbió hiperboliczny dla bliskiego przekształcenia)

Niech Λ będzie zbiorem hiperbolicznym dyfeomorfizmu f. Wówczas istnieje otoczenie V zbioru Λ takie że jeśli g jest dyfeomorfizmem, dostatecznie bliskim (w C1 metryce) f na V, to zbiór

ΛVg=nZgnV¯

jest hiperboliczny.

Uwaga 8.4

Nie wiemy jeszcze jak zbiór ΛVg jest związany z Λ, a nawet- czy jest niepusty.

Na zbiorze Λ mamy rozkład przestrzeni stycznej TpM=EpsEpu, zależny wsposób ciągły od p. Możemy ten rozkład rozszerzyć do ciągłego (niekoniecznie niezmienniczego!) na pewne otoczenie ΛV~.

Rozpatrujemy teraz rodzinę stożków poziomych i pionowych. Stożki poziome to

Hxγ=v+w:vExu,wExs,wγv,

stożki pionowe:

Vxγ=v+w:vExu,wExs,vγw.

Jeśli xΛ, to stożek poziomy Hxγ jest przekształcany przez Dxf w stożek poziomy zaczepiony w punkcie fx; podobnie stożek pionowy Vxγ jest przekształcany przez Dxf-1 w stożek pionowy w punkcie f-1x; dokładniej- mamy nawet pewien ”zapas”- obraz Hxγ jest zawarty w Hγλ-2x; podobnie dla stożków pionowych. Dzięki temu, jeśli g jest bliskie f w C1 metryce, to również Dxg zachowuje tę rodzinę stożków poziomych i pionowych; nie tylko dla xΛ ale też dla xV, gdzie V jest pewnym otoczeniem Λ.

Wykażemy że stąd wynika dla punktów xΛVg istnienie niezmienniczego rozkładu TxM na podprzestrzeń stabilną i niestabilną przy działaniu g.

W tym celu udowodnimy następujący

Lemat 8.1

Niech Lm:Rn=RuRsRuR będzie ciągiem przekształceń liniowych takich że

  1. LmHγintHγ

  2. Lm-1VγintVγ

  3. Lmu>λu dla uHγ

  4. Lmv<λ-1v dla vLm-1Vγ.

Wówczas zbiory

Emu=i=0Lm-1Lm-2Lm-iHγ

oraz

Ems=i=0Lm-1Lm+1-1Lm+i-1Vγ

są (odpowiednio) s- i u- wymiarowymi podprzestrzeniami liniowymi Rn

do skończenia

8.4. DA atraktor

do uzupełnienia Naszkicujemy konstrukcję interesujacego atraktora, który powstaje dla przekształcenia uzyskanego przez modyfikację automorfizmu ergodycznego torusa (stąd nazwa: Derived from Anosov). Zaczynamy od opisanego w poprzednim rozdziale hiperbolicznego automorfizmu torusa f wyznaczonego przez przekształcenie liniowe

Tx=1-1-12x

Punkt p=0,0 jest punktem stałym hiperbolicznym. Zmodyfikujemy przekształcenie w otoczeniu punktu p tak aby stał się źródłem; blisko pojawią się dwa inne punkty stałe (siodła). Ustalmy więc małe otoczenie U punktu p; będziemy w nim używali współrzędnych w bazie wyznaczonej przez kierunki własne. Zatem zapis wektora u1,u2 oznacza że wektor ten jest kombinacją liniową u1vu+u2vs. Zmodyfikujemy przekształcenie f ”likwidując” ściaganie w kierunku stabilnym. Formalnie, można to zrobic na przykład tak: Weźmy pomocniczą funkcję φ klasy C o wykresie w kształcie ”dzwonu”: φx=1 dla x<r0, φx=0 dla x>r0. Rozpatrujemy w otoczeniu punktu 0,0 pole wektorowe o równaniu:

u˙1=0u˙2=u2φu

Oznaczając przez Ft potok tego pola widzimy że

DFt0,0=100et

i że poza otoczeniem zera u<r0 Ft jest identycznością.

Nasze nowe przekształcenie to

g=Ftf

gdzie t jest na tyle duże że et jest większe od odwrotności mniejszej wartości własnej T. We współrzędnych w bazie wektorów własnych T macierz różniczki g ma postać

Dg0,0=λu00etλs

Zatem punkt 0,0 stał się źródłem. Nowe przekształcenie też jest dyfeomorfizmem.

Wykażemy

Twierdzenie 8.4

Dla dyfeomorfizmu g mamy:

Ωg=pΛ

gdzie Λ jest hiperbolicznym atraktorem. Wymiar topologiczny Λ jest równy 1. g|Λ jest topologicznie tranzytywne. Orbity okresowe są gęste w Λ

Rozmaitość stabilna dla f (jest to podprzestrzeń liniowa stabilna) Ws jest zachowywana oczywiście również przez g; podobnie- podprzestrzeń niestabilna. Przekształcenie obcięte do rozmaitości niestabilnej pozostaje niezmienione. Natomiast na rozmaitości stabilnej (rysunek) pojawiają się dwa nowe punkty stałe p1ip2. rysunek

Twierdzimy że są to siodła. Istotnie, w kierunku stabilnym różniczka ma wartość własną mniejszą niż 1. Zauważmy że macierz różniczki dyfeomorfizmu Ft ma postać

=10**

Wynika to stąd że potok Ft zachowuje współrzędną u1. Zatem Dg ma postać

=(10**)=(λu00λs)==(λu00*)

Dla różniczki wyliczonej w punktach p1 i p2 wyraz zaznaczony * ma moduł mniejszy niż 1 (por. wykres przekształcenia g obciętego do podrzestrzeni stabilnej f. Zatem p1, p2 są siodłami.

Z naszych rozważań wynika też że w całym zbiorze U różniczka g ma postać

=a0bc

Dla różniczki policzonej w punkcie p oczywiście b jest równe 0, zaś c ma moduł większy od 1.

Ustalmy teraz otoczenie V ounktu p takie że

  1. Dla qV wyraz c w wyrażeniu na różniczkę Dgq jest większy (co do modułu) od 1.

  2. 0<c<1 dla różniczki policzonej w punktach qgV (czyli poza V g pozostaje ściągające wzdłuż wyjsciowego kierunku stabilnego Es).

  3. gVV

DA atraktor
Rys. 8.1. Konstrukcja DA atraktora.

Istnienie takiego V wynika z linearyzacji g w otoczeniu p.

Skoro VgV to VWgup; ponadto Wgup=j=0gjV. Niech Z=T2V. Wówczas gZZ.

Definiujemy Λ=T2Wgup=n=0gnZ

Widać jak powstaje zbiór Λ. Operacja zamiany f na g prowadzi do ”rozszczepienia” rozmaitości stabilnej punktu p; staje sie on źródłem, a dodatkowo powstają dwa siodła p1 i p2. ”Szczelina” pomiędzy Wsp1 i Wsp2 to Wgup. Uzupełnienie tego zbioru to Λ.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.