Zagadnienia

1.1 Podstawowe definicje
1.2 Proces Wienera (ruch Browna)
1.3 Charakteryzacje procesu Wienera
1.4 Uwagi i uzupełnienia
- 1.4.1 Konstrukcja Procesu Wienera
- 1.4.2 Nieróżniczkowalność trajektorii
1.5 Zadania

1. Procesy stochastyczne. Proces Wienera

Podczas pierwszego wykładu określimy czym jest proces stochastyczny oraz zdefiniujemy proces Wienera – najważniejszy przykład procesu o ciągłych trajektoriach.

1.1. Podstawowe definicje

Zaczniemy od podania ważnych definicji używanych podczas całego wykładu.

Definicja 1.1

Niech Ω,F,P będzie przestrzenią probabilistyczną, E,E przestrzenią mierzalną, zaś T dowolnym zbiorem. Procesem stochastycznym o wartościach w E, określonym na zbiorze T, nazywamy rodzinę zmiennych losowych X=Xtt∈T, przyjmujących wartości w zbiorze E.

Uwaga 1.1

W czasie wszystkich dalszych wykładów T będzie podzbiorem R (najczęściej przedziałem, niekoniecznie ograniczonym), zaś E=R lub Rd. Parametr t można wówczas interpretować jako czas.

Definicja 1.2

Trajektorią procesuX nazywamy funkcję (losową!) t→Xt⁢ω, określoną na zbiorze T o wartościach w E.

Definicja 1.3

Powiemy, że proces X=Xtt∈T, T⊂R ma przyrosty niezależne jeśli dla dowolnych indeksów t0≤t1≤…≤tn ze zbioru T, zmienne losowe Xt0,Xt1-Xt0,Xt2-Xt1,…,Xtn-Xtn-1 są niezależne.

Definicja 1.4

Mówimy, że proces stochastyczny Xtt≥0 ma przyrosty stacjonarne, jeśli rozkład Xt-Xs zależy tylko od t-s, czyli

∀t>s≥0⁢Xt-Xs∼Xt-s-X0.

1.2. Proces Wienera (ruch Browna)

Definicja 1.5

Procesem Wienera (ruchem Browna) nazywamy proces stochastyczny W=Wtt≥0 taki, że

		W0=0⁢ p.n.;
		W⁢ ma przyrosty niezależne;
		Dla 0≤s<t zmienna Wt-Ws ma rozkład normalny N⁢0,t-s;
		Trajektorie W są ciągłe z prawdopodobieństwem 1.

Uwaga 1.2

Warunek (W3) oznacza, że istnieje zbiór A taki, że P⁢A=1 oraz dla wszystkich ω∈A, t→Wt⁢ω jest funkcją ciągłą na 0,∞. Czasami w definicji procesu Wienera zakłada się, że wszystkie trajektorie są ciągłe oraz W0≡0.

1.3. Charakteryzacje procesu Wienera

Najpierw podamy twierdzenie, które znacznie ułatwia sprawdzanie, że dany proces jest procesem Wienera. Musimy wpierw podać ważną definicję.

Definicja 1.6

Proces X=Xtt∈T nazywamy gaussowskim, jeśli wszystkie skończenie wymiarowe rozkłady X są gaussowskie, tzn. wektor Xt1,…,Xtn ma rozkład gaussowski dla dowolnych t1,…,tn∈T.

Przykład 1.1

Następujące procesy są procesami gaussowskimi:

Xt=f⁢t⁢g, gdzie f:T→R dowolne oraz g∼N⁢0,1,
proces Wienera Wtt≥0,
most Browna Xt=Wt-t⁢W1, 0≤t≤1.

Przykład 1.2

Procesy Wt2t≥0, exp⁡Wtt≥0 nie są gaussowskie.

Twierdzenie 1.1

Proces Xtt≥0 jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy jest procesem gaussowskim, o ciągłych trajektoriach p.n. takim, że E⁢Xt=0 oraz Cov⁢Xt,Xs=min⁡t,s.

⇒: Mamy E⁢Xt=E⁢Xt-X0=0 oraz Var⁢Xt=Var⁢Xt-X0=t na mocy (W0) i (W2). Ponadto z niezależności przyrostów, dla t≥s, Cov⁢Xt,Xs=Cov⁢Xt-Xs,Xs+Var⁢Xs=0+s=min⁡t,s.

⇐: Zauważmy, że Var⁢X0=0=E⁢X0, więc spełniony jest warunek (W0). Dla t>s, zmienna Wt-Ws ma rozkład normalny ze średnią 0 i wariancją Var⁢Xt-Xs=Var⁢Xt+Var⁢Xs-2⁢Cov⁢Xt,Xs=t-s, więc zachodzi (W2). By sprawdzić niezależność przyrostów ustalmy 0≤t0≤t1≤…≤tn. Zauważmy, że wektor Xt0,Xt1-Xt0,Xt2-Xt1,…,Xtn-Xtn-1 ma rozkład gaussowski, więc jego współrzędne są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy są nieskorelowane. Mamy jednak dla s1≤s2≤s3≤s4,

Cov⁢Xs1,Xs3-Xs2=Cov⁢Xs1,Xs3-Cov⁢Xs1,Xs2=s1-s1=0

oraz

Cov⁢Xs2-Xs1,Xs4-Xs3=Cov⁢Xs2,Xs4-Xs3-Cov⁢Xs1,Xs4-Xs3=0.

∎

Kolejne twierdzenie pokazuje, że (z dokładnością do drobnych technicznych założeń oraz normalizacji) proces Wienera jest jedynym procesem o ciągłych trajektoriach oraz niezależnych i stacjonarnych przyrostach.

Twierdzenie 1.2

Załóżmy, że proces Xtt≥0 spełnia warunki (W0), (W1), (W3) (z W zastąpionym przez X) oraz

		X⁢ ma przyrosty stacjonarne;
		E⁢X1=0,⁢Var⁢X1=1;
		E⁢Xt4⁢∞⁢ dla wszystkich ⁢t⁢0.

Wówczas Xt jest procesem Wienera.

Określmy dla t≥0, a⁢t=E⁢Xt oraz b⁢t=Var⁢Xt. Zauważmy, że na mocy niezależności i stacjonarności przyrostów,

	b⁢t+s	=Var(Xt+s-Xt+Xt)=Var(Xt+s-Xt)+Var(Xt)
		=Var(Xs)+Var(Xt)=b(t)+b(s).

Ponadto oczywiście b⁢t≥0, zatem funkcja b⁢t jest addytywna i niemalejąca na 0,∞, więc b⁢t=c⁢t dla pewnego c≥0, co wobec (W2b) daje Var⁢Xt=b⁢t=t. Analogicznie sprawdzamy, że a⁢t+s=a⁢t+a⁢s, wiemy też, że a⁢0=1, stąd wnioskujemy, że E⁢Xt=a⁢t=0 dla t wymiernych. Weźmy t>0 i wybierzmy dążący do t ciąg liczb wymiernych tn. Na mocy (W2c), E⁢Xt2<∞, wiemy też, że E⁢Xtn2=Var⁢Xtn=tn, zatem E⁢Xtn-Xt21/2≤M dla pewnej stałej M. Z ciągłości trajektorii Xtn→Xt prawie na pewno, czyli również według prawdopodobieństwa. Zatem dla ε>0,

	E⁢Xt	=\|EXt-EXtn\|≤E\|Xt-Xtn\|≤ε+E\|Xt-Xtn\|I{\|Xt-Xtn\|≥ε}
		≤ε+(E\|Xt-Xtn\|2)1/2P(\|Xt-Xtn\|≥ε)1/2
		≤ε+MP(\|Xt-Xtn\|≥ε)1/2≤2ε

dla dostatecznie dużych n. Stąd E⁢Xt=0. Wykazaliśmy więc, że Xt ma średnią zero i wariancję t.

Ustalmy t>s≥0, chcemy pokazać, że Xt-Xs ma rozkład normalny N⁢0,t-s. Zauważmy, że

Xt-Xs=∑k=1nYn,k, gdzie ⁢⁢Yn,k=Xs+k⁢t-s/n-Xs+k-1⁢t-s/n.

Zmienne Yn,k1≤k≤n tworzą układ trójkątny, możemy więc skorzystać z Centralnego Twierdzenia Granicznego i wykazać, że ∑k=1nYn,k zbiega do N⁢0,t-s według rozkładu. Mamy

∑k=1nE⁢Yn,k=0,⁢∑k=1nVar⁢Yn,k=t-s,

wystarczy więc sprawdzić warunek Lindeberga. Dla ε>0,

	Ln⁢ε	=∑k=1nE\|Yn,k\|2I{\|Yn,k\|≥ε}≤E[(∑k=1n\|Yn,k\|2)I{maxk≤n\|Yn,k\|≥ε}]
		≤(E(∑k=1n\|Yn,k\|2)2)1/2P(maxk≤n\|Yn,k\|≥ε)1/2.

Zauważmy, że zmienne Yn,k dla ustalonego n są niezależne i mają średnią zero, zatem

	E⁢Xt-Xs4	=E(∑k=1nYn,k)4=∑1≤k1,k2,k3,k4≤nEYn,k1Yn,k2Yn,k3Yn,k4
		=∑k=1nE⁢Yn,k4+6⁢∑1≤k<l≤nE⁢Yn,k2⁢E⁢Yn,l2
		≥∑k=1nEYn,k4+2∑1≤k<l≤nEYn,k2EYn,l2=E(∑k=1n\|Yn,k\|2)2.

Z ciągłości trajektorii X wynika, że Pmaxk≤n⁡Yn,k≥ε→0 przy n→∞, zatem spełniony jest warunek Lindeberga limn→∞⁡Ln⁢ε=0.

∎

Uwaga 1.3

Warunek (W2c) nie jest konieczny - zob. Twierdzenie 5 z paragrafu 13.1 książki [3].

Okazuje się, że również nie trzeba zakładać skończoności wariancji ani nawet istnienia wartości średniej W1 - warunek (W2b) ma charakter czysto normalizacyjny. Dokładniej zachodzi następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.3

Załóżmy, że proces stochastyczny X=Xtt≥0 spełnia warunki (W0),(W1), (W2a) i (W3). Wówczas istnieją stałe a,b∈R i proces Wienera W takie, że Xt=a⁢Wt+b⁢t dla wszystkich t≥0.

1.4. Uwagi i uzupełnienia

1.4.1. Konstrukcja Procesu Wienera

Podczas następnych wykładów podamy dość abstrakcyjną konstrukcję procesu Wienera opartą o ogólniejsze twierdzenia dotyczące istnienia i ciągłości trajektorii procesów stochastycznych. Alternatywna, bardziej bezpośrednia konstrukcja (wymagająca pewnej znajomości analizy funkcjonalnej) procesu Wienera jest zawarta w Ćwiczeniach 1.10-1.12.

1.4.2. Nieróżniczkowalność trajektorii

Trajektorie procesu Wienera mają wiele ciekawych własności, jedną z nich jest to, że prawdopodobieństwem 1 są funkcjami ciągłymi, nieróżniczkowalnymi w żadnym punkcie.

Twierdzenie 1.4

Prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera Wtt≥0 są funkcjami nieróżniczkowalnymi w żadnym punkcie, tzn.

P∃t0≥0⁢t→Wt⁢ω⁢ jest różniczkowalne w ⁢t0=0.

1.5. Zadania

Ćwiczenie 1.1

Znajdź rozkład zmiennej 5⁢W1-W3+W7.

Ćwiczenie 1.2

Dla jakich parametrów a i b, zmienne a⁢W1-W2 oraz W3+b⁢W5 są niezależne?

Ćwiczenie 1.3

Udowodnij, że limt→∞⁡Wtt=0 p.n.

Ćwiczenie 1.4

Znajdź rozkład wektora losowego Wt1,Wt2,…,Wtn dla 0<t1<t2<…<tn.

Ćwiczenie 1.5

Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Wienera są nieograniczone.

Ćwiczenie 1.6

Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Wienera nie są jednostajnie ciągłe na R+.

Ćwiczenie 1.7

Udowodnij, że następujące procesy też są procesami Wienera:
i) Xt=-Wt (odbicie);
ii) Yt=c-1/2⁢Wc⁢t,c>0 (przeskalowanie czasu);
iii) Zt=t⁢W1/t dla t>0 oraz Z0=0 (inwersja czasu);
iv) Ut=WT+t-WT,T≥0;
v) Vt=Wt dla t≤T, Vt=2⁢WT-Wt dla t>T, gdzie T≥0.

Ćwiczenie 1.8

Niech πn=t0n,t1n,…,tknn, gdzie a=t0n<t1n<…<tknn=b będzie ciągiem podziałów odcinka a,b oraz πn=maxk⁡tkn-tk-1n oznacza średnicę πn. Udowodnij, że

Sn=∑k=1knWtkn-Wtk-1n2→b-a⁢⁢ w ⁢L2⁢Ω⁢ przy ⁢n→∞,

jeśli πn→0 oraz Sn→b-a p.n., jeśli ∑nπn<∞.

Ćwiczenie 1.9

Udowodnij, że prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera mają nieskończone wahanie na każdym przedziale.

Ćwiczenie 1.10

Niech fi⁢t będzie dowolną bazą L2⁢0,1, hi⁢t=∫0tfi⁢s⁢d⁢s oraz niech gi będzie ciągiem niezależnych zmiennych N⁢0,1. Wykaż, że szereg Xt=∑igi⁢hi⁢t jest zbieżny w L2 dla dowolnego t∈0,1 oraz Xt ma te same rozkłady skończenie wymiarowe co proces Wienera.

Ćwiczenie 1.11

Niech I⁢0=1,I⁢n=1,…,2n-1,n=1,2,…. Układem Haara nazywamy rodzinę funkcji hn,kn=0,1,…,k∈I⁢n określonych na 0,1 wzorami h0,1⁢t≡1 oraz dla n=1,2,…,k∈I⁢n,

hn,k⁢t=⁡2n-122⁢k-2⁢2-n≤t<2⁢k-1⁢2-n,-2n-122⁢k-1⁢2-n≤t<2⁢k⁢2-n,0w pozostałych przypadkach.⁢

Układem Schaudera nazywamy rodzinę funkcji Sn,kn=0,1,…,k∈I⁢n określonych na 0,1 wzorem Sn,k⁢t=∫0thn,k⁢s⁢d⁢s. Niech gn,kn=0,1,…,k∈I⁢n będzie rodziną niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie N⁢0,1, połóżmy

Wtn⁢ω=∑m=0n∑k∈I⁢mgm,k⁢ω⁢Sm,k⁢t.

Wykaż, że dla prawie wszystkich ω∈Ω ciąg funkcji Wtn⁢ω zbiega jednostajnie na 0,1 do pewnej funkcji ciągłej Wt⁢ω. Jeśli określimy np. Wt⁢ω=0 dla pozostałych ω to tak zdefiniowany proces stochastyczny jest procesem Wienera na 0,1.

Ćwiczenie 1.12

Niech Wtt∈0,1 będzie procesem Wienera na 0,1. Wykaż, że 1+t⁢W11+t-W1t≥0 jest procesem Wienera na całej półprostej.

Ćwiczenie 1.13

Udowodnij Twierdzenie 1.4.

Wskazówka:

Wykaż wpierw, że jeśli funkcja f jest różniczkowalna w jakimś punkcie przedziału 0,1, to

∃M<∞⁢∃m<∞⁢∀n≥m⁢∃0≤j≤n-3⁢∀k=0,1,2⁢f⁢j+k+1n-f⁢j+kn≤5⁢Mn.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

	E⁢Xt	=\|EXt-EXtn\|≤E\|Xt-Xtn\|≤ε+E\|Xt-Xtn\|I{\|Xt-Xtn\|≥ε}
		≤ε+(E\|Xt-Xtn\|2)1/2P(\|Xt-Xtn\|≥ε)1/2
		≤ε+MP(\|Xt-Xtn\|≥ε)1/2≤2ε