Zagadnienia

10.1 Rozkład Dooba-Meyera
10.2 Całka izometryczna
10.3 Uogólnienie definicji całki
10.4 Zadania

10. Całka względem ciągłych martyngałów

Podczas wcześniejszych wykładów zdefiniowaliśmy całkę ∫X⁢d⁢W. Okazuje się, że bez większych trudności definicję tę daje się uogólnić na ∫X⁢d⁢M, gdzie M jest ciągłym martyngałem (a nawet ciągłym martyngałem lokalnym).

10.1. Rozkład Dooba-Meyera

Podstawą konstrukcji całki stochastycznej względem procesu Wienera jest to, że Wt i Wt2-t są martyngałami. Okazuje się, że dla dowolnego całkowalnego z kwadratem ciągłego martyngału M znajdzie się proces niemalejący X taki, że M2-X jest martyngałem.

Twierdzenie 10.1 (rozkład Dooba-Meyera)

Dla M∈MT2,c istnieje proces M=Mt0≤t≤T o trajektoriach ciągłych, niemalejących taki, że M0=0 oraz Mt2-Mt0≤t≤T jest martyngałem. Co więcej proces M jest wyznaczony jednoznacznie.

Udowodnimy jednoznaczność rozkładu, dowód istnienia można znaleźć w [5].

Dowód Jednoznaczności

Załóżmy, że procesy Yt,Zt są niemalejące oraz Mt2-Yt i Mt2-Zt są martyngałami o ciągłych trajektoriach. Trajektorie procesu Yt-Zt mają wahanie skończone, ponadto Yt-Zt=Mt2-Zt-Mt2-Yt jest martyngałem ciągłym. Stąd, na podstawie Twierdzenia 7.3, Y-Z≡0.

∎

Przykład 10.1

Dla procesu Wienera Wt=t.
Ogólniej, Wniosek 9.1 implikuje, że ∫Xs⁢⁢d⁢Wst=∫0tXs2⁢⁢d⁢s dla X∈LT2.

10.2. Całka izometryczna

Ponieważ dla wszystkich ω, t→Mt⁢ω jest niemalejące, zatem ma wahanie skończone, czyli można określić skończoną miarę d⁢Mt⁢ω na 0,T. Z uwagi na ciągłość M miara ta jest bezatomowa. Następna definicja jest naturalnym uogólnieniem definicji dla procesu Wienera.

Definicja 10.1

Dla procesu elementarnego X postaci

X=ξ0⁢I0+∑k=0m-1ξk⁢Itk,tk+1,

gdzie 0=t0≤t1≤t2≤…≤tm<T, ξk ograniczone, Ftk- mierzalne oraz M∈MT2,c określamy

∫0tX⁢⁢d⁢M:=∑k=0m-1ξk⁢Mtk+1∧t-Mtk∧t⁢ dla ⁢0≤t≤T.

Definiujemy też dla M∈MT2,c,

LT2(M)={X=(Xt)t<T prognozowalne takie, że E∫0TXs2d〈M〉s<∞}.

Stwierdzenie 10.1

Niech M∈M2,c oraz X∈E. Wówczas I⁢X:=∫X⁢⁢d⁢M∈MT2,c, I⁢X0=0 oraz

I⁢XMT2,c2=E⁢∫0TXs⁢⁢d⁢Ms2=E⁢∫0TXs2⁢⁢d⁢Ms=XLT2⁢M2.

Ciągłość I⁢X, warunek I⁢X0=0 oraz to, że I⁢Xt∈L2 dla wszystkich t są oczywiste. Dla tj≤t≤tj+1 mamy

I⁢Xt=ξ0⁢Mt1-Mt0+ξ1⁢Mt2-Mt1+…+ξj⁢Mt-Mtj.

Dla tj≤t≤s≤tj+1 otrzymujemy zatem

E(I(X)s|Ft)-I(X)t=E(ξj(Ms-Mt)|Ft)=ξj(E(Ms|Ft)-Mt)=0,

czyli I⁢X jest martyngałem. Ponadto

	E⁢I⁢XT2=	∑k=0m-1E⁢ξk2⁢Mtk+1-Mtk2
		+2∑j<kE[ξk-1ξj-1(Mtk-Mtk-1)(Mtj-Mtj-1)]=:I1+I2.

Zauważmy, że dla s<t,

	E((Mt-Ms)2\|	Fs)
		=E(Mt2-〈M〉t\|Fs)+E(〈M〉t\|Fs)-2MsE(Ms\|Fs)+Ms2
		=Ms2-〈M〉s+E(〈M〉t\|Fs)-Ms2=E(〈M〉t-〈M〉s\|Fs).

Stąd

	I1	=∑kE[ξk2E((Mtk+1-Mtk)2\|Ftk)]=∑kE[ξk2E(〈M〉tk+1-〈M〉tk\|Ftk)]
		=E∑kξk2(〈M〉tk+1-〈M〉tk)=E∑k∫tktk+1ξk2d〈M〉s=E∫0TXs2d〈M〉s.

Ponadto

I2=2∑j<kE[ξk-1ξj-1(Mtj-Mtj-1)E(Mtk-Mtk-1|Ftk-1)]=0.

∎

Tak jak dla procesu Wienera dowodzimy, że domknięcie E w przestrzeni L2⁢0,T×Ω,d⁢M⊗P jest równe E¯=LT2⁢M. Izometrię I⁢X możemy przedłużyć do E¯, w ten sposób otrzymujemy izometryczną definicję całki I⁢X=∫X⁢⁢d⁢M dla X∈LT2⁢M. Mamy zatem następujący fakt.

Stwierdzenie 10.2

Niech M∈MT2,c. Wówczas
a) Dla X∈LT2⁢M proces ∫X⁢d⁢M∈MT2,c oraz

∫X⁢d⁢MMT2,c2=E⁢∫0TXs⁢d⁢Ms2=E⁢∫0TXs2⁢d⁢Ms=XLT2⁢M.

b) Jeśli X,Y∈LT2⁢M, to a⁢X+b⁢Y∈LT2⁢M dla a,b∈R oraz ∫a⁢X+b⁢Y⁢d⁢M=a⁢∫X⁢d⁢M+b⁢∫Y⁢d⁢M.

10.3. Uogólnienie definicji całki

Zacznijmy od prostego faktu.

Stwierdzenie 10.3

Załóżmy, że M∈MT2,c, wówczas dla dowolnego momentu zatrzymania τ, Mτ∈MT2,c oraz Mτ=Mτ.

Wiemy, że Mτ jest ciągłym martyngałem. Na mocy nierówności Jensena

E|MτT|2=EM2τ∧T=E[E(MT|Fτ∧T)]2≤EMT2,

zatem Mτ∈MT2,c. Proces Mτ startuje z zera, ma trajektorie ciągłe, ponadto Mτ2-Mτ=M2-Mτ jest martyngałem, więc Mτ spełnia wszystkie warunki definicji Mτ.

∎

Możemy uogólnić rozkład Dooba-Meyera na przypadek ciągłych martyngałów lokalnych.

Wniosek 10.1

Załóżmy, że M∈Mlocc, wówczas istnieje dokładnie jeden proces M=Mt0≤t<T o trajektoriach ciągłych, niemalejących taki, że M0=0 oraz M2-M∈Mlocc.

Istnienie. Niech τn będzie rosnącym do T ciągiem momentów zatrzymania takim, że Mτn∈MT2,c. Określmy Yn:=Mτn, wówczas dla n≤m,

Ymτn=Mτmτn=Mτmτn=Mτn∧τm=Mτn=Yn.

Stąd istnieje proces ciągły Y=Yt0≤t<T taki, że Yτn=Yn, oczywiście Y0=Yn,0=0, ponadto Y ma trajektorie niemalejące oraz

M2-Yτn=Mτn2-Yτn=Mτn2-Mτn∈Mc,

zatem M2-Y jest ciągłym martyngałem lokalnym na 0,T.

Jednoznaczność. Niech Y i Y¯ procesy ciągłe o niemalejących trajektoriach takie, że Y0=Y¯0=0 oraz M2-Y i M2-Y¯ są martyngałami lokalnymi. Wówczas istnieją momenty zatrzymania τn↗T i τ¯n↗T takie, że M2-Yτn oraz M2-Y¯τ¯n są martyngałami. Biorąc σn=τn∧τ¯n↗T dostajemy martyngały M2-Yσn=M2-Yτnτ¯n oraz M2-Y¯σn=M2-Y¯τ¯nτn, proces Y-Y¯σn jest więc martyngałem o ograniczonym wahaniu, czyli jest stały, zatem Yσn=Y¯σn. Przechodząc z n→∞ otrzymujemy Y=Y¯.

∎

Podobnie jak dla procesu Wienera dowodzimy twierdzenie o zatrzymaniu całki stochastycznej względem martyngałów całkowalnych z kwadratem.

Twierdzenie 10.2

Załóżmy, że M∈MT2,c, X∈LT2⁢M oraz τ jest momentem zatrzymania. Wówczas I0,τ⁢X∈LT2⁢M, X∈LT2⁢Mτ oraz

∫0tI0,τ⁢s⁢Xs⁢⁢d⁢Ms=∫0t∧τXs⁢⁢d⁢Ms=∫0tXs⁢d⁢Msτ⁢⁢ dla ⁢0≤t≤T.

Definicja 10.2

Dla T≤∞, M∈Mlocc określamy przestrzeń procesów prognozowalnych, lokalnie całkowalnych z kwadratem względem M

ΛT2⁢M=Xtt<T- prognozowalny:⁢∫0tXs2⁢⁢d⁢Ms<∞⁢ p.n. dla ⁢t<T.

Ponieważ ∫X⁢d⁢M=∫X⁢d⁢M-M0 oraz M-M0=M, więc bez straty ogólności przy uogólnianiu definicji całki będziemy zakładać, że M0=0.

Definicja 10.3

Niech M=Mtt<T∈Mlocc, M0=0, X=Xtt<T∈ΛT2⁢M oraz τn będzie rosnącym do T ciągiem momentów zatrzymania takich, że Mτn∈MT2,c i I0,τn⁢X∈LT2⁢Mτn dla wszystkich n. Całką stochastyczną ∫X⁢⁢d⁢M nazywamy taki proces Ntt<T=∫0tX⁢⁢d⁢Mt<T, że Ntτn=∫0tI0,τn⁢X⁢⁢d⁢Mτn dla n=1,2,….

Nietrudno udowodnić (naśladując dowód dla całki względem procesu Wienera), że całka ∫X⁢⁢d⁢M dla M∈Mlocc i X∈ΛT2⁢M jest zdefiniowana poprawnie i jednoznacznie (z dokładnością do nieodróżnialności procesów) oraz nie zależy od wyboru ciągu momentów zatrzymania τn.

Następujący fakt przedstawia podstawowe własności ∫X⁢d⁢M.

Stwierdzenie 10.4

Niech M,N∈Mlocc. Wówczas
a) Dla X∈ΛT2⁢M proces ∫X⁢d⁢M∈Mlocc.
b) Jeśli X,Y∈ΛT2⁢M, to a⁢X+b⁢Y∈ΛT2⁢M dla a,b∈R oraz ∫a⁢X+b⁢Y⁢d⁢M=a⁢∫X⁢d⁢M+b⁢∫Y⁢d⁢M.
c) Jeśli X∈ΛT2⁢M∩ΛT2⁢N oraz a,b∈R, to X∈ΛT2⁢a⁢M+b⁢N oraz ∫X⁢d⁢a⁢M+b⁢N=a⁢∫X⁢d⁢M+b⁢∫X⁢d⁢N.

Można również sformułować twierdzenie o zatrzymaniu całki stochastycznej w ogólnym przypadku.

Twierdzenie 10.3

Załóżmy, że M∈Mlocc, X∈ΛT2⁢M oraz τ będzie momentem zatrzymania. Wówczas I0,τ⁢X∈ΛT2⁢M, X∈ΛT2⁢Mτ oraz

∫0tI0,τ⁢s⁢⁢d⁢Ms=∫0t∧τXs⁢⁢d⁢Ms=∫0tXs⁢d⁢Msτ⁢⁢ dla ⁢0≤t<T.

10.4. Zadania

Ćwiczenie 10.1

Niech M=∫Wt2⁢d⁢Wt. Oblicz E⁢Ms2. Jak wygląda przestrzeń LT2⁢M? Czy Wt-1 należy do tej przestrzeni?

Ćwiczenie 10.2

Udowodnij Twierdzenia 10.2 i 10.3.

Ćwiczenie 10.3

Udowodnij Stwierdzenie 10.4.

Ćwiczenie 10.4

Załóżmy, że X jest procesem ciągłym, a M ciągłym martyngałem lokalnym. Wykaż, że jeśli t<T, Πn=t0n,t1n,…,tknn jest ciągiem podziałów 0,t takim, że 0=t0n≤t1n≤…≤tknn=t oraz diam⁢Πn→0, to

∑k=0kn-1Xtkn⁢Mtk+1n-Mtkn→∫0tXs⁢d⁢Ms⁢⁢ według prawdopodobieństwa.

Ćwiczenie 10.5

Wykaż, że każdy ciągły martyngał lokalny M=Mtt<T, którego trajektorie mają skończone wahanie na każdym przedziale 0,t jest stale równy M0.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

	E((Mt-Ms)2\|	Fs)
		=E(Mt2-〈M〉t\|Fs)+E(〈M〉t\|Fs)-2MsE(Ms\|Fs)+Ms2
		=Ms2-〈M〉s+E(〈M〉t\|Fs)-Ms2=E(〈M〉t-〈M〉s\|Fs).

Wstęp do Analizy Stochastycznej