Zagadnienia

11.1 Nawias skośny jako wariacja kwadratowa
11.2 Uogólnienie definicji nawiasu skośnego
11.3 Zadania

11. Własności nawiasu skośnego

Podczas tego wykładu zajmiemy się interpretacją procesu M. Wprowadzimy też definicję nawiasu skośnego pary ciągłych martyngałów lokalnych.

11.1. Nawias skośny jako wariacja kwadratowa

Niech Π=t0,t1,…,tk będzie podziałem 0,t takim, że 0=t0≤t1≤…≤tk=t. Definiujemy wówczas

VΠ,tM:=∑i=1kMti-Mti-12.

Będziemy też czasem pisać VΠ,t⁢M zamiast VΠ,tM. Pokażemy, że Mt jest granicą VΠ,tM przy diam⁢Π→0, dlatego też M nazywa się często wariacją kwadratową M.

Zacznijmy od najprostszej sytuacji martyngałów ograniczonych, tzn. takich, że supt⁡Mt∞<∞.

Twierdzenie 11.1

Załóżmy, że M jest ograniczonym martyngałem ciągłym Wówczas VΠ,tM→Mt w L2⁢Ω dla t≤T, gdy diam⁢Π→0.

Możemy założyć, rozpatrując zamiast M proces M-M0, że M0=0, bo VΠ,t⁢M-M0=VΠ,t⁢M oraz M-M0=M (M-M02-M=M2-M-2⁢M⁢M0+M02 jest martyngałem, czyli, z jednoznaczności 〈⋅〉, mamy M-M0=M).

Niech Πn=(0=t0n≤t1n≤…≤tknn=t) będzie ciągiem podziałów 0,t takim, że diam⁢Πn→0.

Połóżmy C=sups≤T⁡Ms∞. Liczymy

	Mt2	=∑k=1knMtkn-Mtk-1n2
		=∑kMtkn-Mtk-1n2+2⁢∑k<jMtkn-Mtk-1n⁢Mtjn-Mtj-1n
		=VΠn,tM+2∑j(Mtjn-Mtj-1n)Mtj-1n=VΠn,tM+2Nn(t).

Niech

Xn⁢s:=∑j=1knMtj-1n⁢Itj-1n,tjn∈E,

wówczas Nn⁢t=∫0tXn⁢s⁢⁢d⁢Ms. Z ciągłości M dostajemy Xn⁢s→Ms dla wszystkich s≤t. Ponadto Xn≤C, stąd Xn-M2≤4⁢C2 i na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej,

E⁢∫0tXn-M2⁢⁢d⁢Ms→0.

Zatem Xn→M w Lt2⁢M, czyli Nn→∫M⁢⁢d⁢M w Mt2,c, to znaczy Nn⁢t→∫0tMs⁢⁢d⁢Ms w L2⁢Ω. Wykazaliśmy zatem, iż

VΠn,tM=Mt2-2⁢Nn⁢t→Mt2-2⁢∫M⁢⁢d⁢M⁢⁢ w ⁢L2⁢Ω.

Proces Y:=M2-2⁢∫M⁢⁢d⁢M jest ciągły, Y0=0 oraz M2-Y=2⁢∫M⁢⁢d⁢M jest martyngałem. By zakończyć dowód, że Y=M musimy wykazać monotoniczność trajektorii Y. Wybierzmy s<t i rozpatrzmy taki ciąg podziałów Πn odcinka 0,t, że s jest jednym z punktów każdego z podziałów. Wówczas Πn można też traktować jako ciąg podziałów 0,s i określić VΠn,sM. Mamy

Ys⟵L2VΠn,sM≤VΠn,tM⟶L2Yt,

czyli proces Y ma trajektorie monotoniczne.

∎

Uwaga 11.1

W szczególności przedstawiony dowód pokazuje, że dla martyngału jednostajnie ograniczonego M, takiego, że M0=0, zachodzi M2=2⁢∫M⁢⁢d⁢M+M.

By uogólnić Twierdzenie 11.1 na przypadek martyngałów całkowalnych z kwadratem będziemy potrzebowali dwóch faktów.

Lemat 11.1

Niech ξn będzie ciągiem zmiennych losowych, a Ak wstępującym ciągiem zdarzeń takim, że P⁢⋃Ak=1. Załóżmy, że dla wszystkich k, zmienne ξn⁢IAk zbiegają według prawdopodobieństwa (przy n→∞) do zmiennej ηk. Wówczas ξn zbiega według prawdopodobieństwa do zmiennej η takiej, że η⁢IAk=ηk p.n. dla k=1,2,….

Dla k≤l mamy ηl⁢IAk=ηk p.n., gdyż pewien podciąg ξns⁢IAl→ηl p.n., a zatem ξns⁢IAl=ξns⁢IAl⁢IAk→ηl⁢IAk p.n. (czyli również wg P). Stąd istnieje zmienna losowa η taka, że η⁢IAk=ηk p.n..

Zauważmy, że P⁢Akc≤ε/2 dla dużego k oraz przy ustalonym k, Pξn⁢IAk-ηk≥ε≤ε/2 dla dużych n, stąd

Pξn-η≥ε≤P⁢Akc+Pξn⁢IAk-η⁢IAk≥ε≤ε

dla dostatecznie dużych n.

∎

Kolejny lemat pokazuje, że przy pewnych prostych założeniach można ze zbieżności według prawdopodobieństwa wyprowadzić zbieżność w L1.

Lemat 11.2

Załóżmy, że ξn≥0, ξn→ξ według P oraz dla wszystkich n, E⁢ξn=E⁢ξ<∞. Wówczas ξn→ξ w L1.

Mamy

	E⁢ξ-ξn	=E(\|ξ-ξn\|-(ξ-ξn))=2E(ξ-ξn)I{ξ≥ξn}
		≤ε2+2E(ξ-ξn)I{ξ≥ξn+ε4}≤ε2+2EξI{ξ≥ξn+ε4}.

Na mocy zbieżności według prawdopodobieństwa, limn→∞⁡Pξ≥ξn+ε/4=0. Ponadto E⁢ξ=E⁢ξ<∞, zatem ξ jest jednostajnie całkowalna , czyli E⁢ξ⁢IA≤ε/2 dla odpowiednio małego P⁢A. Stąd E⁢ξ⁢I{ξ≥ξn+ε/4}≤ε/2 dla dużych n, a więc E⁢ξ-ξn≤ε.

∎

Twierdzenie 11.2

Załóżmy, że M∈MT2,c, wówczas dla t<T, VΠ,tM→Mt w L1⁢Ω, gdy diam⁢Π→0.

Jak poprzednio możemy zakładać, że M0=0. Ustalmy ciąg podziałów Πn taki, że diam⁢Πn→0.

Istnieje ciąg momentów zatrzymania τk↗T taki, że Mτk jest jednostajnie ograniczony (np. τk=inf⁡t:Mt≤k). Na mocy Twierdzenia 11.1, dla ustalonego k, mamy przy n→∞,

VΠn,t⁢Mτk⟶L2Mτkt=Mtτk.

Stąd

I{t≤τk}⁢VΠn,t⁢M=I{t≤τk}⁢VΠn,t⁢Mτk⟶L2I{t≤τk}⁢Mtτk=I{t≤τk}⁢Mt.

Zbieżność w L2 implikuje zbieżność według prawdopodobieństwa, zatem możemy stosować Lemat 11.1 do ξn=VΠn,t⁢M i Ak={t≤τk}, by otrzymać VΠn,t⁢M→Mt według P. Mamy jednak

E⁢Mt=E⁢Mt2=E⁢VΠn,t⁢M+2⁢∑jMtj-1n⁢Mtjn-Mtj-1n=E⁢VΠn,t⁢M,

a zatem na mocy Lematu 11.2, VΠn,t⁢M→Mt w L1.

∎

Dla martyngałów lokalnych zachodzi zbliżone twierdzenie, tylko zbieżność w L1 musimy zastąpić zbieżnością według prawdopodobieństwa.

Wniosek 11.1

Załóżmy, że M∈Mlocc, wówczas dla t<T, VΠ,tM→Mt według prawdopodobieństwa, gdy diam⁢Π→0.

Bez straty ogólności możemy założyć, że M0=0, wówczas M∈Mloc2,c. Niech Πn będą podziałami 0,t o średnicy zbieżnej do zera oraz τk↗T takie, że Mτk∈M2,c. Na podstawie Twierdzenia 11.2 otrzymujemy, że dla ustalonego k,

VΠn,t⁢Mτk⟶L1Mτk=Mτk.

Stąd

VΠn,t⁢M⁢I{τk≥t}=VΠn,t⁢Mτk⁢I{τk≥t}⟶L1Mτk⁢I{τk≥t}=M⁢I{τk≥t}.

Teza wynika z Lematu 11.1.

∎

11.2. Uogólnienie definicji nawiasu skośnego

Nawias skośny określa się nie tylko dla pojedynczego martyngału, ale też i dla pary martyngałów.

Definicja 11.1

Nawiasem skośnym dwóch ciągłych martyngałów lokalnych M i N nazywamy proces M,N zdefiniowany wzorem

M,N=14⁢M+N-M-N.

Stwierdzenie 11.1

a) Załóżmy, że M,N∈MT2,c, wówczas M,N to jedyny proces o trajektoriach ciągłych mających wahanie skończone na 0,T taki, że M,N0=0 oraz M⁢N-M,N jest martyngałem na 0,T.
b) Załóżmy, że M,N∈Mlocc, wówczas M,N to jedyny proces o trajektoriach ciągłych mających wahanie skończone na 0,t dla t<T taki, że M,N0=0 oraz M⁢N-M,N jest martyngałem lokalnym na 0,T.

Jednoznaczność dowodzimy jak dla M, zaś wymienione własności wynikają z tożsamości

M⁢N-M,N=14⁢M+N2-M+N-M-N2-M-N.

∎

Stwierdzenie 11.2

Niech Πn=t0n,t1n,…,tknn będzie ciągiem podziałów 0,t takim, że 0=t0n≤t1n≤…≤tknn=t oraz diam⁢Πn→0.
a) Jeśli M,N∈MT2,c, to dla t<T,

∑k=0kn-1Mtk+1n-Mtkn⁢Ntk+1n-Ntkn→M,Nt⁢⁢ w ⁢L1⁢Ω.

b) Jeśli M,N∈Mloc2,c, to dla t<T,

∑k=0kn-1Mtk+1n-Mtkn⁢Ntk+1n-Ntkn→M,Nt⁢⁢ według prawdopodobieństwa.

Wystarczy zauważyć, że

Mt-Ms⁢Nt-Ns=14⁢Mt+Nt-Ms+Ns2-Mt-Nt-Ms-Ns2

i skorzystać z Twierdzenia 11.1 i Wniosku 11.1.

∎

Stwierdzenie 11.3

Dla dowolnych ciągłych martyngałów lokalnych M i N,
a) M,M=M=-M,
b) M,N=N,M,
c) M-M0,N=M,N-N0=M-M0,N-N0=M,N,
d) N,M→M,N jest przekształceniem dwuliniowym,
e) Mτ,Nτ=Mτ,N=M,Nτ=M,Nτ dla każdego momentu zatrzymania τ,
f) jeśli X∈ΛT2⁢M oraz Y∈ΛT2⁢N, to ∫X⁢d⁢M,∫Y⁢d⁢N=∫X⁢Y⁢d⁢M,N.

Szkic dowodu.

Punkty a), b) i c) wynikają natychmiast z definicji, punkt d) z Wniosku 11.1. To, że Mτ,Nτ=M,Nτ dowodzimy jak w Stwierdzeniu 10.3 (wykorzystując Stwierdzenie 11.1). Pozostałe równości w e) wynikają ze Stwierdzenia 11.2. Punkt f) dowodzimy najpierw dla przypadku, gdy M i N są martyngałami, zaś X i Y procesami elementarnymi, następnie dla X∈LT2⁢M oraz Y∈LT2⁢M i wreszcie, wykorzystując własność e), dla przypadku ogólnego.

∎

11.3. Zadania

Ćwiczenie 11.1

Oblicz W1,W2, gdzie W1,W2 są niezależnymi procesy Wienera.

Ćwiczenie 11.2

Wykaż, że
a) M,N≤M⁢N
b) Wahs,t⁢M,N≤12⁢Mt-Ms+Nt-Ns.

Ćwiczenie 11.3

Uzupełnij dowód Stwierdzenia 11.3.

Ćwiczenie 11.4

Wykaż, że dla dowolnego procesu M∈Mlocc, X∈Λ2T⁢M oraz momentu zatrzymania τ≤T,

E⁢supt<τ⁡∫0tX⁢⁢d⁢M2≤4⁢E⁢∫0τXs2⁢⁢d⁢Ms.

Ćwiczenie 11.5

Załóżmy, że M∈Mlocc, M0=0 oraz τ jest momentem zatrzymania takim, że E⁢Mτ<∞. Wykaż, że Mτ jest martyngałem.

Ćwiczenie 11.6

Określamy

Sn⁢α=∑k=n3⁢n-1∫k/nk+1/nWs4⁢d⁢Wsα.

a) Wykaż, że ciąg Sn⁢2 jest zbieżny w L1 i zidentyfikuj jego granicę.
b) Co można powiedzieć o zbieżności według prawdopodobieństwa ciągu Sn⁢α dla α≠2?

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wstęp do Analizy Stochastycznej