Proces X jest prognozowalny jako granica procesów prognozowalnych. Ponadto dla t<T,

∫0tXs2⁢d⁢Ms,∫0tXn,s2⁢d⁢Ms≤∫0tYs2⁢d⁢Ms<∞⁢ p.n.,

więc Xn,X∈ΛT2⁢M. Bez straty ogólności możemy też założyć, że M0=0.

Niech τk↗T takie, że Mτk∈MT2,c oraz I0,τk⁢Y∈LT2⁢Mτk. Ponieważ I0,τk⁢Xn≤I0,τk⁢Y, więc I0,τk⁢Xn∈LT2⁢Mτk. Z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej łatwo wykazać, że I0,τk⁢Xn→I0,τk⁢X w LT2⁢Mτk. Stąd dla ustalonego k,

∫0t∧τkXn⁢d⁢M=∫0tI0,τk⁢Xn⁢d⁢Mτk⟶L2⁢Ω∫0tI0,τk⁢X⁢d⁢Mτk=∫0t∧τkX⁢d⁢M,

czyli

I{τk≥t}⁢∫0tXn⁢d⁢M⟶L2I{τk≥t}⁢∫0tX⁢d⁢M⁢ przy ⁢n→∞.

Zbieżność w L2 implikuje zbieżność według prawdopodobieństwa, by zakończyć dowód wystarczy skorzystać z Lematu 11.1.

∎

a) Załóżmy wpierw, że Y jest procesem elementarnym postaci

Y=ξ0⁢I0+∑j=0n-1ξj⁢Itj,tj+1,

gdzie 0=t0<t1<…<tk<T, zaś ξk są ograniczonymi zmiennymi Ftk-mierzalnymi. Wówczas

	∫0tY⁢d⁢M	=∑jξj⁢Mtj+1∧t-Mtj∧t
		=∑jξj⁢∫0tI0,tj+1⁢X⁢d⁢N-∫0tI0,tj⁢X⁢d⁢N
		=∑jξj∫0tItj,tj+1XdN=∑j∫0tξjItj,tj+1XdN
		=∫0t∑jξjItj,tj+1XdN=∫0tYXdN.

Jeśli Y jest dowolnym ograniczonym procesem prognozowalnym, to

E⁢∫0TYs2⁢d⁢Ms≤Y∞2⁢E⁢∫0Td⁢Ms=Y∞2⁢E⁢MT=Y∞2⁢E⁢MT2<∞,

więc Y∈LT2⁢M. Nietrudno też sprawdzić, że X⁢Y∈LT2⁢N. Możemy znaleźć procesy elementarne Yn zbieżne do Y w LT2⁢M, co więcej możemy założyć, że Yn∞≤Y∞. Zauważmy, że

	X⁢Y-X⁢YnLT2⁢N2	=E∫0T(XY-XYn)s2d〈N〉s=E∫0T(Y-Yn)s2Xs2d〈N〉s
		=E∫0T(Y-Yn)s2d〈M〉s=∥Y-Yn∥LT2⁢M2→0,

więc Yn⁢X→Y⁢X w LT2⁢N. Stąd dla t≤T,

∫0tX⁢Y⁢d⁢N⟵L2∫0tX⁢Yn⁢d⁢N=∫Yn⁢d⁢M⟶L2∫0tY⁢d⁢M.

b) Mamy ∫0tY0⁢d⁢M=Y0⁢Mt=Y0⁢∫0tX⁢d⁢N=∫0tY0⁢X⁢d⁢N, zatem rozpatrując Y-Y0 zamiast Y możemy zakładać,że Y0=0. Niech τn↗T takie, że Yτn jest ograniczone, Nτn∈MT2,c oraz X⁢I0,τn∈LT2⁢Nτn. Zauważmy, że

Mτn=∫X⁢d⁢Nτn=∫X⁢I0,τn⁢d⁢Nτn,

zatem na mocy części a),

	∫Y⁢d⁢Mτn	=∫YI0,τndMτn=∫YI0,τnXI0,τndNτn
		=∫XYI0,τndNτn=(∫XYdN)τn.

Biorąc n→∞ dostajemy tezę.

∎

Pierwsza równość wynika z Twierdzenia 12.3, druga z Twierdzenia 12.2 oraz tego, że M,N=∫X⁢Y⁢d⁢s.

∎

Dowód Twierdzenia 12.3

Całki ∫M⁢d⁢N i ∫N⁢d⁢M są dobrze określone, gdyż procesy M i N są ciągłe, zatem lokalnie ograniczone.

Możemy założyć, iż M0=N0=0, gdyż M,N=M-N0,N-N0,

	∫M⁢d⁢N	=∫Md(N-N0)=∫(M-M0)d(N-N0)+∫M0d(N-N0)
		=∫M-M0⁢d⁢N-N0+M0⁢N-N0,

zatem

	M0⁢N0+	∫0tM⁢d⁢N+∫0tN⁢d⁢M+M,Nt-Mt⁢Nt
	=	∫0tM-M0⁢d⁢N-N0+∫0tN-M0⁢d⁢M-M0
		+M-N0,N-N0t-Mt-M0⁢Nt-N0.

Wystarczy udowodnić, że teza zachodzi dla M=N, tzn.

Mt2=2⁢∫0tMs⁢d⁢Ms+Mt⁢⁢dla ⁢M∈Mlocc,⁢M0=0.

(12.2)

Jeśli bowiem zastosujemy (12.2) dla M+N i M-N, odejmiemy stronami i podzielimy przez 4, to dostaniemy (12.1).

Wiemy (zob. Uwaga 11.1), że (12.2) zachodzi przy dodatkowym założeniu ograniczoności M. W ogólnym przypadku określamy

τn:=inf⁡t>0:Mt≥n∧T,

wtedy τn↗T. Ponadto Mτn jest ograniczonym martyngałem lokalnym, zatem ograniczonym martyngałem, więc

	M2τn	=(Mτn)2=2∫MτndMτn+〈Mτn〉=2∫MτnI0,τndM+〈M〉τn
		=2∫MI0,τndM+〈M〉τn=(2∫MdM+〈M〉)τn.

Przechodząc z n→∞ dostajemy (12.2).

∎

Jak w dowodzie Twierdzenia 12.3 możemy założyć, że M0=A0=0.

Załóżmy wpierw, że M i N są ograniczone. Zauważmy, że

	Mt⁢At=	∑j=1n(Mt⁢j/n-Mt⁢j-1/n)∑k=1n(At⁢k/n-At⁢k-1/n
	=	∑j=1nMt⁢j/n-Mt⁢j-1/n⁢At⁢j/n-At⁢j-1/n
		+∑j=1nMt⁢j-1/n⁢At⁢j/n-At⁢j-1/n+∑j=1nMt⁢j/n-Mt⁢j-1/n⁢At⁢j-1/n
		=:an+bn+cn.

Składnik bn dąży prawie na pewno do ∫0tM⁢d⁢A (definicja całki Riemanna-Stieltjesa). Nietrudno sprawdzić, że procesy elementarne

An=∑j=1nAt⁢j-1/n⁢It⁢j-1/n,t⁢j/n

zbiegają w Lt2⁢M do A, stąd cn=∫0tAn⁢d⁢M zbiega w L2 do ∫0tA⁢d⁢M. Zauważmy też, że

	an2	≤∑j=1nMt⁢j/n-Mt⁢j-1/n2⁢∑j=1nAt⁢j/n-At⁢j-1/n2
		≤∑j=1nMt⁢j/n-Mt⁢j-1/n2⁢sup1≤j≤n⁡At⁢j/n-At⁢j-1/n⁢Wah0,t⁢A.

Pierwszy czynnik powyżej dąży do Mt w L2 (w szczególności jest więc ograniczony w L2), drugi zaś dąży do zera p.n. (proces A jest ciągły), stąd an dąży do 0 według prawdopodobieństwa. Zatem

Mt⁢At=an+bn+cn⟶P∫0tM⁢d⁢A+∫0tA⁢d⁢M.

Jeśli M i A nie są ograniczone, to określamy

τn=inf⁡t>0:Mt≥n∧inf⁡t>0:At≥n∧T.

Mamy Aτn≤n, Mτn≤n, więc z poprzednio rozważonego przypadku

M⁢Aτn=∫Aτn⁢d⁢Mτn+∫Mτn⁢d⁢Aτn=∫A⁢d⁢M+∫M⁢d⁢Aτn,

przechodząc z n→∞ dostajemy tezę.

∎

Jeśli Z=Z0+M+A=Z0+M′+A′, to M-M′=A′-A jest ciągłym martyngałem lokalnym, startującym z zera o ograniczonym wahaniu na 0,t dla t<T, zatem jest stale równy 0.

∎

Mamy Z⁢Z′=Z0⁢Z0′+M⁢M′+M⁢A′+A⁢M′+A⁢A′ i stosujemy twierdzenia o całkowaniu przez części (Twierdzenie 12.3, Stwierdzenia 12.1 i 12.2).

∎