Wszystkie całki w (13.1) są dobrze zdefiniowane, bo procesy f′⁢Zs i f′′⁢Zs są ciągłe, zatem f′⁢Zs∈ΛT2⁢M oraz f′′⁢Zs jest całkowalne względem M.

Wzór Itô (13.1) będziemy dowodzić poczynając od najprostszych przypadków.

Przypadek I.Z jest semimartyngałem ograniczonym, a f wielomianem.

Z liniowości obu stron (13.1) wystarczy rozpatrywać przypadek, gdy f⁢x=xn. Pokażemy ten wzór przez indukcję po n.

Dla n=0 teza jest oczywista. Załóżmy więc, że (13.1) zachodzi dla f⁢x=xn pokażemy go dla g⁢x=x⁢f⁢x. Zauważmy, że g′⁢x=f⁢x+x⁢f′⁢x oraz g′′⁢x=2⁢f′⁢x+x⁢f′′⁢x. Ze wzoru na całkowanie przez części,

	g⁢Zt=	Zt⁢f⁢Zt=Z0⁢f⁢Z0+∫0tZs⁢d⁢f⁢Zs+∫0tf⁢Z⁢d⁢Zs
		+∫f′⁢Z⁢d⁢M,Mt
	=	g⁢Zt+∫0tZs⁢f′⁢Zs⁢d⁢Zs+12⁢Zs⁢f′′⁢Zs⁢d⁢Ms+∫0tf⁢Z⁢d⁢Zs
		+∫0tf′⁢Zs⁢d⁢Ms
	=	g⁢Zt+∫0tg′⁢Zt⁢d⁢Zt+12⁢∫0tg′′⁢Zt⁢d⁢Ms.

Przypadek II.Z jest semimartyngałem ograniczonym (a f jest dowolną funkcją klasy C2).

Niech C:=Z∞<∞, istnieje ciąg wielomianów fn taki, że

fn⁢x-f⁢x,fn′⁢x-f′⁢x,fn′′⁢x-f′′⁢x≤1n⁢⁢dla ⁢x∈-C,C.

Wtedy fn⁢Zs→f⁢Zs,fn′⁢Zs→f′⁢Zs,fn′′⁢Zs→f′′⁢Zs jednostajnie oraz fn′⁢Zs≤supn⁡supx≤C⁡fn′⁢x≤supx≤C⁡f′⁢x+1<∞, więc z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej (dla całki zwykłej i stochastycznej),

	f⁢Zs←fn⁢Zs	=fn⁢Z0+∫0tfn′⁢Zs⁢d⁢Zs+12⁢∫0tfn′′⁢Zs⁢d⁢Ms
		→f⁢Z0+∫0tf′⁢Zs⁢d⁢Zs+12⁢∫0tf′′⁢Zs⁢d⁢Ms.

Przypadek III. Zmienna Z0 jest ograniczona.

Połóżmy w tym przypadku

τn:=inf⁡t>0:Zt≥n∧T,

wówczas Zn:=Z0+Mτn+Aτn jest ciągłym ograniczonym semimartyngałem oraz Ztn→Zt p.n.. Na mocy przypadku II, (13.1) zachodzi dla Zn, więc

	f⁢Ztn	=f⁢Z0+∫0tf′⁢Zsn⁢d⁢Zsn+12⁢∫0tf′′⁢Zsn⁢d⁢Mτns
		=f⁢Z0+∫0t∧τnf′⁢Zsn⁢I0,τn⁢d⁢Zs+12⁢∫0t∧τnf′′⁢Zsn⁢I0,τn⁢d⁢Msτn
		=f⁢Z0+∫0t∧τnf′⁢Zs⁢I0,τn⁢d⁢Zs+12⁢∫0t∧τnf′′⁢Zs⁢I0,τn⁢d⁢Ms
		=f⁢Z0+∫0t∧τnf′⁢Zs⁢d⁢Zs+12⁢∫0t∧τnf′′⁢Zs⁢d⁢Ms.

Biorąc n→∞ dostajemy (13.1).

Przypadek IV.Z jest dowolnym semimartyngałem ciągłym.

Połóżmy Z0n:=(Z0∧n)∨-n oraz Zn:=Z0n+M+A. Zauważmy, że ∫X⁢d⁢Z=∫X⁢d⁢Zn, więc, ponieważ wiemy już, iż (13.1) zachodzi, gdy Z0 ograniczone, to

f⁢Ztn=f⁢Z0n+∫0tf′⁢Zsn⁢d⁢Zs+12⁢∫0tf′′⁢Zsn⁢d⁢Ms.

(13.2)

Mamy

f′⁢Zsn≤supn⁡f′⁢Zsn:=Ys,

proces Y jest prognozowalny jako supremum procesów prognozowalnych, ponadto

supn⁡sups≤t⁡Zsn≤Z0+sups≤t⁡Ms+sups≤t⁡As<∞⁢ p.n..

Zatem z ciągłości f′, sups≤t⁡Ys<∞ p.n., skąd Y∈ΛT2⁢M. Z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej dla całek stochastycznych,

∫0tf′⁢Zsn⁢d⁢Ms⟶P∫0tf′⁢Zs⁢d⁢Ms,

ponadto z twierdzenia Lebesgue'a dla zwykłej całki,

∫0tf′⁢Zsn⁢d⁢As→∫0tf′⁢Zs⁢d⁢As⁢⁢p.n..

Podobnie supn⁡sups≤t⁡f′′⁢Zsn<∞ p.n. i ponownie stosując twierdzenie Lebesgue'a dostajemy

∫0tf′′⁢Zsn⁢d⁢Ms→∫0tf′′⁢Zs⁢d⁢Ms⁢⁢p.n..

Oczywiście f⁢Ztn→f⁢Zt p.n., więc możemy przejść w (13.2) z n do ∞, by dostać (13.1).

∎

Musimy wykazać, że dla s<t, Mt-Ms jest niezależne od Fs oraz ma rozkład N⁢0,t-s. W tym celu wystarczy wykazać, że

E(ei⁢h⁢Mt-Ms|Fs)=e-12⁢t-s⁢h2 dla t>s≥0,h∈R.

(13.3)

Istotnie (13.3) implikuje, że E⁢ei⁢h⁢Mt-Ms=exp⁡-12⁢t-s⁢h2 dla h∈R, czyli Mt-Ms∼N⁢0,t-s. Ponadto dla dowolnej Fs-mierzalnej zmiennej η oraz h1,h2∈R,

	E⁢ei⁢h1⁢Mt-Ms+i⁢h2⁢η	=E[ei⁢h2⁢ηE(ei⁢h1⁢Mt-Ms|Fs)]
		=E[ei⁢h2⁢ηe-12⁢t-s⁢h12]=Eei⁢h2⁢ηEei⁢h1⁢Mt-Ms.

Zatem Mt-Ms jest niezależne od zmiennych Fs-mierzalnych, czyli jest niezależne od Fs.

Zastosujmy wzór Itô dla f⁢x=ei⁢h⁢x (wzór Itô zachodzi też dla funkcji zespolonych, wystarczy dodać odpowiednie równości dla części rzeczywistej i urojonej),

	ei⁢h⁢Mt	=f(Mt)=f(M0)+∫0tf′(Mu)dMu+12∫0tf′′(Mu)d〈M〉u
		=1+i⁢h⁢∫0tei⁢h⁢Mu⁢d⁢Mu-h22⁢∫0tei⁢h⁢Mu⁢d⁢u
		=ei⁢h⁢Ms+i⁢h⁢∫stei⁢h⁢Mu⁢d⁢Mu-h22⁢∫stei⁢h⁢Mu⁢d⁢u.

Niech N:=∫0tei⁢h⁢M⁢d⁢M, wówczas N jest martyngałem lokalnym oraz z nierówności Dooba (Twierdzenie 9.3),

E⁢sup0≤s≤t⁡Ns2≤4⁢E⁢∫0tei⁢h⁢Mu2⁢d⁢u=4⁢t,

czyli N jest na każdym przedziale skończonym majoryzowany przez zmienną całkowalną, zatem jest martyngałem. Ustalmy A∈Fs, wtedy

	E⁢ei⁢h⁢Mt⁢IA	=E⁢ei⁢h⁢Ms⁢IA+E⁢Nt-Ns⁢IA-h22⁢E⁢∫stei⁢h⁢Mu⁢d⁢u⁢IA
		=E⁢ei⁢h⁢Ms⁢IA-h22⁢∫stE⁢ei⁢h⁢Mu⁢IA⁢d⁢u.

Zdefiniujmy g⁢u=E⁢ei⁢h⁢Ms+u⁢IA, wtedy

g⁢t-s=g⁢0-h22⁢∫stg⁢u-s⁢d⁢u,

czyli

g⁢r=g⁢0-h22⁢∫0rg⁢u⁢d⁢u.

Funkcja g jest ciągła, a zatem z powyższego wzoru jest różniczkowalna i spełnia równanie różniczkowe

g′⁢r=-h22⁢g⁢r.

Zatem g⁢r=g⁢0⁢exp⁡-12⁢h2⁢r dla r≥0, czyli

E⁢ei⁢h⁢Mt⁢IA=E⁢ei⁢h⁢Ms⁢IA⁢e-12⁢h2⁢t-s=E⁢ei⁢h⁢Ms-12⁢h2⁢t-s⁢IA,

stąd E(ei⁢h⁢Mt|Fs)=exp(ihMs-12h2(t-s)) p.n. i

E(ei⁢h⁢Mt-Ms|Fs)=e-i⁢h⁢MsE(ei⁢h⁢Mt|Fs)=e-12⁢h2⁢t-s.

∎

To, że exp⁡λ⁢Wt-λ2⁢t/2 jest martyngałem jest prostym i dobrze znanym faktem. Wystarczy więc udowodnić implikację ”⇐”.

Określmy τn:=inf⁡t>0:Mt≥n∧n, wówczas τn↗∞ oraz dla wszystkich λ proces Xt⁢λ=exp⁡λ⁢Mt∧τn-λ2⁢t∧τn/2 jest ograniczonym martyngałem lokalnym (z dołu przez 0, z góry przez eλ⁢n), a więc martyngałem. Stąd

E⁢Xt⁢λ⁢IA=E⁢Xs⁢λ⁢IA⁢⁢ dla ⁢s<t,⁢A∈Fs.

Zauważmy, że Xt⁢0=1 oraz

d⁢Xt⁢λd⁢λ=Xt⁢λ⁢Mt∧τn-λ⁢t∧τn≤eλ0⁢n⁢n+λ0⁢n⁢⁢ dla ⁢λ≤λ0.

Stąd, z Twierdzenia Lebesque'a o zbieżności zmajoryzowanej dla t<s, A∈Fs,

	E	Xt⁢λ⁢Mt∧τn-λ⁢t∧τn⁢IA=limh→0⁡E⁢1h⁢Xt⁢λ+h-Xt⁢λ⁢IA
		=limh→0E[1h(Xs(λ+h)-Xs(λ))IA]=E[Xs(λ)(Ms∧τn-λs∧τn)IA].

Biorąc λ=0 dostajemy E⁢Mt∧τn⁢IA=E⁢Ms∧τn⁢IA, czyli Mτn jest martyngałem, a więc M∈Mloc2,c.

By skorzystać z twierdzenia Levy'ego i zakończyć dowód musimy jeszcze wykazać, że Mt2-t∈Mloc2,c. Szacujemy dla λ≤λ0,

d2⁢Xt⁢λd⁢λ2=Xt⁢λ⁢Mt∧τn-t∧τn2-t∧τn≤eλ0⁢n⁢n+λ0⁢n2+n,

skąd w podobny sposób jak dla pierwszych pochodnych dowodzimy, że dla t<s, A∈Fs,

E⁢Xt⁢λ⁢Mt∧τn-λ⁢t∧τn2-t∧τn⁢IA=E⁢Xs⁢λ⁢Ms∧τn-λ⁢s∧τn2-s∧τn⁢IA.

Podstawiając λ=0 dostajemy

E⁢Mt∧τn2-t∧τn⁢IA=E⁢Ms∧τn2-s∧τn⁢IA,

czyli Mt2-tτn jest martyngałem, więc Mt2-t∈Mloc2,c.

∎