Wstęp do analizy stochastycznej

14.1. Jednorodne równania stochastyczne

Definicja 14.1

Załóżmy, że b,σ:R→R są funkcjami ciągłymi, a ξ zmienną losową Fs-mierzalną. Mówimy, że proces X=Xtt∈s,T rozwiązuje jednorodne równanie stochastyczne

d⁢Xt=b⁢Xt⁢d⁢t+σ⁢Xt⁢d⁢Wt,⁢Xs=ξ,

(14.1)

jeśli

Xt=ξ+∫stb⁢Xr⁢d⁢r+∫stσ⁢Xr⁢d⁢Wr,⁢t∈s,T.

Uwaga 14.1

Przyjeliśmy, że b i σ są funkcjami ciągłymi, by uniknąć problemów związanych z mierzalnością i lokalną ograniczonością procesów b⁢Xr i σ⁢Xr. Rozważa się jednak również stochastyczne równania różniczkowe z nieciągłymi współczynnikami.

Uwaga 14.2

Wprowadzając nowy proces X~t:=Xt+s, t∈0,T-s oraz filtrację F~t:=Ft+s zamieniamy równanie różniczkowe (14.1) na podobne równanie dla X~ z warunkiem początkowym X~0=ξ.

Definicja 14.2

Proces X rozwiązujący równanie (14.1) nazywamy dyfuzją startująca z ξ. Funkcję σ nazywamy współczynnikiem dyfuzji, a funkcję b współczynnikiem dryfu.

Przypomnijmy, że funkcja f:R→R jest lipschitzowska ze stałą L, jeśli f⁢x-f⁢y≤L⁢x-y dla wszystkich x,y. Lipschitzowskość implikuje też, że

f⁢x≤f⁢0+L⁢x≤L~⁢1+x2

gdzie można przyjąć np. L~=2⁢max⁡f⁢0,L.

Twierdzenie 14.1

Załóżmy, że funkcje b i σ są lipschitzowskie na R, wówczas równanie stochastyczne (14.1) ma co najwyżej jedno rozwiązanie (z dokładnością do nierozróżnialności).

Bez straty ogólności możemy zakładać, że s=0 oraz σ,b są lipschitzowskie z tą samą stałą L.

Załóżmy, że X i Y są rozwiązaniami (14.1), wówczas

Xt-Yt=∫0tb⁢Xr-b⁢Yr⁢d⁢r+∫0tσ⁢Xr-σ⁢Yr⁢d⁢Wr,⁢0≤t<T.

Krok I. Załóżmy dodatkowo, że funkcja u↦E⁢Xu-Yu2 jest skończona i ograniczona na przedziałach 0,t, t<T.

Mamy

	E⁢Xt-Yt2	≤2E(∫0t(b(Xr)-b(Yr))dr)2+2E(∫0t(σ(Xr)-σ(Yr)dWr)2
		=:I1+I2.

Z warunku Lipschitza i nierówności Schwarza,

I1≤2⁢L2⁢E⁢∫0tXr-Yr⁢d⁢r2≤2⁢L2⁢t⁢∫0tE⁢Xr-Yr2⁢d⁢r.

By oszacować I2 zauważmy, że σ⁢Xr-σ⁢Yr≤L⁢Xr-Yr, więc σ⁢Xr-σ⁢Yr∈Lt2. Stąd

I2=2⁢E⁢∫0tσ⁢Xr-σ⁢Yr2⁢d⁢r≤2⁢L2⁢∫0tE⁢Xr-Yr2⁢d⁢r.

Ustalmy t0<T, wówczas z powyższych oszacowań wynika, że

E⁢Xt-Yt2≤C⁢∫0tE⁢Xr-Yr2⁢d⁢r⁢⁢dla ⁢t≤t0,

gdzie C=C⁢t0=2⁢L2⁢t0+1. Iterując powyższą nierówność dostajemy dla t≤t0,

	E⁢Xt-Yt2	≤C∫0tE(Xr1-Yr1)2dr1≤C2∫0t∫0r1E(Xr2-Yr2)2dr2dr1
		≤…≤Ck∫0t∫0r1⋯∫0rk-1E(Xrk-Yrk)2drk…dr1
		≤Ck⁢supr≤t⁡E⁢Xr-Yr2⁢∫0t∫0r1⋯⁢∫0rk-1d⁢rk⁢…⁢d⁢r1
		=Cksupr≤tE(Xr-Yr)2tkk!⟶k↦∞0.

Stąd dla wszystkich t<T, E⁢Xt-Yt2=0, czyli Xt=Yt p.n., a więc z ciągłości obu procesów, X i Y są nieodróżnialne.

Krok II.X i Y dowolne. Określmy

τn:=inf⁡t≥s:Xt+Yt≥n

i zauważmy, że Xt⁢I0,τn,Xt′⁢I0,τn≤n. Ponieważ w zerze oba procesy się pokrywają, więc Xtτn-Ytτn≤2⁢n, stąd σ⁢Xtτn-σ⁢Ytτn≤2⁢L⁢n i σ⁢Xτn-σ⁢Yτn∈Lt2 dla t<T. Mamy

	Xt∧τn-Yt∧τn	=∫0t∧τnb⁢Xr-b⁢Yr⁢d⁢r+∫0t∧τnσ⁢Xr-σ⁢Yr⁢d⁢Wr
		=∫0t∧τnb⁢Xrτn-b⁢Yrτn⁢d⁢r+∫0t∧τnσ⁢Xrτn-σ⁢Yrτn⁢d⁢Wr.

Naśladując rozumowanie z kroku I dostajemy Xt∧τn=Yt∧τn p.n., przechodząc z n→∞ mamy Xt=Yt p.n..

∎

Twierdzenie 14.2

Załóżmy, że funkcje b i σ są lipschitzowskie na R oraz E⁢ξ2<∞, wówczas równanie stochastyczne (14.1) ma dokładnie jedno rozwiązanie X=Xtt≥s. Co więcej E⁢Xt2<∞ oraz funkcja t→E⁢Xt2 jest ograniczona na przedziałach ograniczonych.

Jak w poprzednim twierdzeniu zakładamy, że s=0. Jednoznaczność rozwiązania już znamy. By wykazać jego istnienie posłużymy się konstrukcją z użyciem metody kolejnych przybliżeń. Określamy Xt0⁢ω:=ξ⁢ω oraz indukcyjnie

Xtn:=ξ+∫0tb⁢Xrn-1⁢d⁢r+∫0tσ⁢Xrn-1⁢d⁢Wr.

(14.2)

Definicja jest poprawna (tzn. całki są dobrze określone), gdyż Xtn są procesami ciągłymi, adaptowalnymi. Ponadto indukcyjnie pokazujemy, że funkcja r→E⁢Xrn2 jest ograniczona na przedziałach skończonych:

	E⁢Xtn2	≤3⁢E⁢ξ2+E⁢∫0tb⁢Xrn-1⁢d⁢r2+E⁢∫0tσ⁢Xrn-1⁢d⁢Wr2
		≤3⁢E⁢ξ2+t⁢E⁢∫0tb⁢Xrn-12⁢d⁢r+E⁢∫0tσ⁢Xrn-12⁢d⁢r
		≤3⁢E⁢ξ2+L~2⁢1+t⁢sup0≤r≤t⁡E⁢Xrn-12.

Zatem Xn∈Lt2, a więc również σ⁢Xn∈Lt2.

Zauważmy, że wobec nierówności a+b2≤2⁢a2+2⁢b2 i niezależności ξ i Wt, dla t≤t0 zachodzi

	E⁢Xt1-Xt02	=E(∫0tb(ξ)dr+∫0tσ(ξ)dWr)2=E(b(ξ)t+σ(ξ)Wt)2
		≤2t2Eb(ξ)2+2Eσ(ξ)2EWt2)≤2L~2(1+Eξ2)(t+t2)≤C,

gdzie C=C⁢t0=2⁢L~2⁢1+E⁢ξ2⁢t0+t02. Podobnie szacujemy dla t≤t0,

	E	Xtn+1-Xtn2
		=E⁢∫0tb⁢Xrn-b⁢Xrn-1⁢d⁢r+∫0tσ⁢Xrn-σ⁢Xrn-1⁢d⁢Wr2
		≤2⁢E⁢∫0tb⁢Xrn-b⁢Xrn-1⁢d⁢r2+2⁢E⁢∫0tσ⁢Xrn-σ⁢Xrn-1⁢d⁢Wr2
		≤2⁢E⁢∫0tL⁢Xrn-Xrn-1⁢d⁢r2+2⁢E⁢∫0tσ⁢Xrn-σ⁢Xrn-12⁢d⁢r
		≤2L2(t+1)E∫0t\|Xrn-Xrn-1\|2dr≤C1∫0tE\|Xrn-Xrn-1\|2dr,

gdzie C1=C1⁢t0=2⁢L2⁢t0+1. Iterując to szacowanie dostajemy

	E⁢Xtn+1-Xtn2	≤C12⁢∫0t∫0r1E⁢Xr2n-1-Xr2n-22⁢d⁢r2⁢d⁢r1
		≤⋯≤C1n∫0t∫0r1⋯∫0rn-1E\|Xrn1-Xrn0\|2drn…dr1
		≤C1nC∫0t∫0r1⋯∫0rn-1drn…dr1=CC1ntnn!.

Pokazaliśmy zatem, że Xtn+1-XtnL22≤C⁢C1n⁢tnn! dla t≤t0. Ponieważ szereg ∑nC⁢C1n⁢tnn!1/2 jest zbieżny, więc Xtnn≥0 jest ciągiem Cauchy'ego w L2, czyli jest zbieżny. Z uwagi na jednostajność szacowań wykazaliśmy istnienie Xt takiego, że

Xtn→Xt⁢ w L2 jednostajnie na przedziałach ograniczonych.

Stąd też wynika, że t↦E⁢Xt2 jest ograniczona na przedziałach ograniczonych.

Wykażemy teraz, że Xtn z prawdopodobieństwem 1 zbiega do Xt niemal jednostajnie. Zauważmy, że dla t0<∞,

	P(supt≤t0	\|Xtn+1-Xtn\|≥12n)
	≤	Psupt≤t0⁡∫0tb⁢Xrn-b⁢Xrn-1⁢d⁢r≥12n+1
		+P(supt≤t0\|∫0t(σ(Xrn)-σ(Xrn-1))dWr\|≥12n+1)=:I1+I2.

Mamy

	I1	≤P∫0t0b⁢Xrn-b⁢Xrn-1⁢d⁢r≥12n+1
		≤4n+1⁢E⁢∫0t0b⁢Xrn-b⁢Xrn-1⁢d⁢r2
		≤4n+1L2E(∫0t0\|Xrn-Xrn-1\|dr)2≤4n+1L2t0E∫0t0\|Xrn-Xrn-1\|2dr
		≤4n+1L2t0∫0t0CC1n-1rn-1n-1!dr=4n+1L2CC1n-1t0n+11n!.

Z nierównośći Dooba dla martyngału ∫σ⁢Xn-σ⁢Xn-1⁢d⁢W dostajemy

	I2	≤4n+1⁢E⁢supt≤t0⁡∫0tσ⁢Xrn-σ⁢Xrn-1⁢d⁢Wr2
		≤4n+2⁢E⁢∫0t0σ⁢Xrn-σ⁢Xrn-1⁢d⁢Wr2
		=4n+2E∫0t0(σ(Xrn)-σ(Xrn-1))2dr≤4n+2L2E∫0t0\|Xrn-Xrn-1\|2dr
		≤4n+2⁢L2⁢C⁢C1n-1⁢t0n⁢1n!.

Przyjmując

An:={supt≤t0|Xtn+1-Xtn|≥12n}

dostajemy

∑nP⁢An≤∑n4n+1⁢4+t0⁢L2⁢C⁢C1n-1⁢t0n⁢1n!<∞,

więc P⁢lim sup⁡An=0. Zatem dla t0<∞, ciąg procesów Xn zbiega jednostajnie na 0,t0 z prawdopodobieństwem 1, czyli z prawdopodobieństwem 1 zbiega niemal jednostajnie na 0,∞. Ewentualnie modyfikując X i Xn na zbiorze miary zero widzimy, że X jest granicą niemal jednostajną Xn, czyli X ma trajektorie ciągłe.

Ze zbieżności Xrn do Xr w L2, jednostajnej na 0,t oraz lipschitzowskości b i σ łatwo wynika zbieżność w L2, ∫0tb⁢Xrn⁢d⁢r i ∫0tσ⁢Xrn⁢d⁢r do odpowiednio ∫0tb⁢Xr⁢d⁢r i ∫0tσ⁢Xr⁢d⁢Wr, zatem możemy przejść w (14.2) do granicy by otrzymać dla ustalonego t<T

Xt:=ξ+∫0tb⁢Xr⁢d⁢r+∫0tσ⁢Xr⁢d⁢Wr⁢⁢ p.n..

Oba procesy X i ξ+∫b⁢X⁢d⁢r+∫σ⁢X⁢d⁢W są ciągłe, zatem są nierozróżnialne.

∎

Przykład 14.1

Stosując wzór Itô łatwo sprawdzić, że proces Xt=ξ⁢exp⁡λ⁢Wt-λ22⁢t jest rozwiązaniem równania

d⁢Xt=λ⁢Xt⁢d⁢Wt,⁢X0=ξ.

Jest to jedyne rozwiązanie tego równania, gdyż b=0 oraz σ⁢x=λ⁢x są funkcjami lipschitzowskimi.

Przykład 14.2

Proces

Xt=eb⁢t⁢ξ+σ⁢∫0teb⁢t-s⁢d⁢Ws

jest rozwiązaniem równania

d⁢Xt=b⁢Xt⁢d⁢t+σ⁢d⁢Wt,⁢X0=ξ.

Jest to jedyne rozwiązanie, gdyż funkcje b⁢x=b⁢x oraz σ⁢x=s2 są lipschitzowskie. Jeśli b<0 oraz ξ ma rozkład N⁢0,-12⁢b⁢σ2, to proces X jest stacjonarny (proces Ornsteina-Uhlenbecka).

14.2. Równania niejednorodne

Często współczynniki równania zależą nie tylko od x, ale i od czasu.

Definicja 14.3

Załóżmy, że b,σ:R2→R są funkcjami ciągłymi, a ξ zmienną losową Fs-mierzalną. Mówimy, że proces X=Xtt∈s,T rozwiązuje równanie stochastyczne

d⁢Xt=b⁢t,Xt⁢d⁢t+σ⁢t,Xt⁢d⁢Wt,⁢Xs=ξ,

(14.3)

jeśli

Xt=ξ+∫stb⁢r,Xr⁢d⁢r+∫stσ⁢r,Xr⁢d⁢Wr,⁢t∈s,T.

Dla równania niejednorodnego naturalne są następujące warunki Lipschitza

	b⁢t,x-b⁢t,y≤L⁢x-y,⁢b⁢t,x≤L~⁢1+x2,
	σ⁢t,x-σ⁢t,y≤L⁢x-y,⁢σ⁢t,x≤L~⁢1+x2.

Twierdzenie 14.3

Załóżmy, że funkcje b i σ spełniają warunki Lipschitza. Wówczas dla dowolnej zmiennej ξ, Fs-mierzalnej takiej, że E⁢ξ2<∞ istnieje dokładnie jedno rozwiązanie (14.3). Co więcej rozwiązanie to daje się otrzymać metodą kolejnych przybliżeń jak w przypadku jednorodnym.

Przykład 14.3

Równanie

d⁢Xt=σ⁢t⁢Xt⁢d⁢Wt,⁢X0=ξ.

(14.4)

spełnia założenia twierdzenia, jeśli supt⁡σ⁢t<∞. By znaleźć jego rozwiązanie sformułujmy ogólniejszy fakt.

Stwierdzenie 14.1

Załóżmy, że M jest ciągłym martyngałem lokalnym, zaś Z0 zmienną F0-mierzalną. Wówczas proces Zt=exp⁡Mt-12⁢Mt jest martyngałem lokalnym takim, że d⁢Zt=Zt⁢d⁢Mt, tzn. Zt=Z0+∫0tZs⁢d⁢Ms.

Proces Z bywa nazywany eksponentą stochastyczną.

Z wzoru Itô dla semimartyngału Xt=Mt-12⁢Mt dostajemy

d⁢Zt=d⁢Z0⁢eXt=Z0⁢eXt⁢d⁢Xt+12⁢Z0⁢eXt⁢d⁢Mt=Z0⁢eXt⁢d⁢Mt=Zt⁢d⁢Mt.

Proces Z jest martyngałem lokalnym na mocy konstrukcji całki stochastycznej.

∎

Wracając do Przykładu 14.3 zauważamy, że Mt=∫0tσ⁢s⁢d⁢Ws jest martyngałem lokalnym, więc rozwiązanie równania (14.4) ma postać

Xt=ξ⁢exp⁡Mt-12⁢Mt=ξ⁢exp⁡∫0tσ⁢s⁢d⁢Ws-12⁢∫0tσ⁢s2⁢d⁢s.

Przykład 14.4

Rozpatrzmy niejednorodne równanie liniowe postaci

d⁢Yt=b⁢t⁢Yt⁢d⁢t+σ⁢t⁢Yt⁢d⁢Wt,⁢X0=ξ.

Współczynniki b⁢t,y=b⁢t⁢y i σ⁢t,y=σ⁢t⁢y spełniają warunki Lipschitza, jeśli supt⁡b⁢t<∞ oraz supt⁡σ⁢t<∞. By znaleźć rozwiązanie załóżmy, że jest postaci Xt=g⁢t⁢Yt, gdzie d⁢Yt=σ⁢t⁢Yt⁢d⁢Wt, Y0=ξ, postać Y znamy z Przykładu 3. Wówczas, z dwuwymiarowego wzoru Itô

d⁢Xt=g′⁢t⁢Yt⁢d⁢t+g⁢t⁢d⁢Yt=g′⁢t⁢Yt⁢d⁢t+σ⁢t⁢Xt⁢d⁢Wt.

Wystarczy więc rozwiązać zwyczajne równanie różniczkowe

g′⁢t=b⁢t⁢g⁢t,⁢g⁢0=1,

by dostać

Xt=Yt⁢g⁢t=ξ⁢exp⁡∫0tσ⁢s⁢d⁢Ws-12⁢∫0tσ⁢s2⁢d⁢s+∫0tb⁢s⁢d⁢s.

14.3. Przypadek wielowymiarowy

Zanim sformułujemy odpowiednik wcześniejszych wyników dla przypadku wielowymiarowego wprowadzimy wygodne ustalenia notacyjne.

Definicja 14.4

Niech W=W1,…,Wd będzie d-wymiarowym procesem Wienera. Dla X=Xi,j1≤i≤m,1≤j≤d macierzy m×d złożonej z procesów z ΛT2 określamy m-wymiarowy proces

Mt=Mt1,…,Mtm=∫0tXs⁢d⁢Ws,⁢0≤t<T

wzorem

Mti=∑j=1d∫0tXsi,j⁢d⁢Wsj,⁢1≤i≤m.

Przy powyżej wprowadzonej notacji możemy zdefiniować wielowymiarowe równania stochastyczne.

Definicja 14.5

Załóżmy, że b:Rm→Rm,σ:Rm→Rm×d są funkcjami ciągłymi, W=W1,…,Wd jest d-wymiarowym procesem Wienera, a ξ=ξ1,…,ξm, m-wymiarowym, Fs-mierzalnym wektorem losowym. Mówimy, że m-wymiarowy proces X=Xt1,…,Xtmt∈s,T rozwiązuje jednorodne wielowymiarowe równanie stochastyczne

d⁢Xt=b⁢Xt⁢d⁢t+σ⁢Xt⁢d⁢Wt,⁢Xs=ξ,

jeśli

Xt=ξ+∫stb⁢Xr⁢d⁢r+∫stσ⁢Xr⁢d⁢Wr,⁢t∈s,T.

Tak jak w przypadku jednowymiarowym dowodzimy:

Twierdzenie 14.4

Załóżmy, że ξ=ξ1,…,ξm jest m-wymiarowym, Fs-mierzalnym wektorem losowym takim, że E⁢ξj2<∞ dla 1≤j≤m, b:Rm→Rm,σ:Rm→Rd×m są funkcjami lipschitzowskimi oraz Wjest d-wymiarowym procesem Wienera. Wówczas równanie

d⁢Xt=b⁢Xt⁢d⁢t+σ⁢Xt⁢d⁢Wt,⁢Xs=ξ

ma dokładnie jedno rozwiązanie X=Xt1,…,Xtmt≥s. Ponadto

E⁢sups≤t≤u⁡E⁢Xti2<∞⁢⁢ dla ⁢u<∞.

14.4. Generator procesu dyfuzji.

W tej części zakładamy, że b=(bi)i≤m:Rm→Rm,σ=(σi,j)i≤m,j≤d:Rm→Rm×d są funkcjami ciągłymi, zaś W=W1,…,Wd jest d-wymiarowym procesem Wienera.

Definicja 14.6

Generatoremm-wymiarowego procesu dyfuzji spełniającego stochastyczne równanie różniczkowe

d⁢Xt=b⁢Xt⁢d⁢t+σ⁢Xt⁢d⁢Wt

nazywamy operator różniczkowy drugiego rzędu dany wzorem

L⁢f⁢x=∑i=1nbi⁢x⁢∂⁡f∂⁡xi⁢x+12⁢∑i=1n∑j=1dσi,j⁢x⁢∂2⁡f∂⁡xi⁢∂⁡xj⁢x,⁢f∈C2⁢Rm.

Definicja ta jest motywowana przez poniższy prosty, ale bardzo ważny fakt.

Stwierdzenie 14.2

Załóżmy, że L jest generatorem procesu dyfuzji spełniającego równanie d⁢Xt=b⁢Xt⁢d⁢t+σ⁢Xt⁢d⁢Wt. Wówczas dla dowolnej funkcji f∈C2⁢Rm takiej, że f⁢X0 jest całkowalne, proces Mtf:=f⁢Xt-∫0tL⁢f⁢Xs⁢d⁢s jest ciągłym martyngałem lokalnym. Ponadto, jeśli f ma dodatkowo nośnik zwarty, to Mtf jest martyngałem.

Ze wzoru Itô łatwo sprawdzić, że

Mtf=f⁢X0+∑i=1n∑j=1d∫0tσi,j⁢Xt⁢∂⁡f∂⁡xi⁢Xt⁢d⁢Wtj∈Mlocc.

Jeśli f∈Czw2⁢Rm, to funkcje σi,j⁢x⁢∂⁡f∂⁡xi⁢x są ciągłe i mają nośnik zwarty w Rm, więc są ograniczone, zatem procesy σi,j⁢Xt⁢∂⁡f∂⁡xi⁢Xt należą do LT2 dla dowolnego T<∞, więc Mtf jest martyngałem (a nawet martyngałem całkowalnym z kwadratem).

∎

Uwaga 14.3

Założenie o zwartym nośniku f można w wielu przykładach istotnie osłabić. Załóżmy, że współczynniki b i σ są lipschitzowskie oraz X0∈L2. Wówczas, jak wiemy, Xt jest całkowalny z kwadratem oraz supt≤T⁡E⁢Xt2<∞ dla T<∞. Stąd nietrudno sprawdzić (używając lipschitzowskości σi,j), że jeśli pochodne f są ograniczone, to σi,j⁢Xt⁢∂⁡f∂⁡xi⁢Xt∈LT2 dla T<∞, zatem Mtf jest martyngałem.

Przykład 14.5

Generatorem d-wymiarowego procesu Wienera jest operator L⁢f=12⁢△⁢f.
Jeśli X=X1,…,Xd spełnia

d⁢Xti=b⁢Xti⁢d⁢t+σ⁢d⁢Wti,⁢i=1,…,m,

(m-wymiarowy proces Ornsteina-Uhlenbecka), to L⁢f⁢x=b⁢x,∇⁡f⁢x+12⁢σ2⁢△⁢f.

Wykład zakończymy przykładem pokazującym związek między stochastycznymi równaniami różniczkowymi a równaniami cząstkowymi. Dokładna analiza takich związków jest ważną dziedziną łączącą rozumowania analityczne i probabilistyczne. Nieco więcej na ten temat można się będzie dowiedzieć na przedmiocie Procesy Stochastyczne.

Przykład 14.6

Dla x∈Rm niech Xtx będzie rozwiązaniem równania stochastycznego

d⁢Xtx=b⁢Xtx⁢d⁢t+σ⁢Xtx⁢d⁢Wt,⁢X0x=x,

zaś L odpowiadającym mu generatorem. Załóżmy, że D jest obszarem ograniczonym oraz f spełnia równanie cząstkowe

L⁢f⁢x=0,⁢x∈D,⁢f⁢x=h⁢x,⁢x∈∂⁡D.

Załóżmy dodatkowo, że f daje się rozszerzyć do funkcji klasy C2 na pewnym otoczeniu D. Wówczas f się rozszerza też do funkcji klasy Czw2⁢Rm. Wybierzmy x∈D i określmy

τ=inf⁡t>0:Xtx∉D.

Wiemy, że proces Mt=f⁢Xtx-∫0tL⁢f⁢Xsx⁢d⁢s jest martyngałem, zatem martyngałem jest również Mt∧τ, ale

Mt∧τ=f⁢Xt∧τx-∫0∧τt⁢L⁢f⁢Xsx⁢d⁢s=f⁢Xt∧τx,

w szczegóności

E⁢f⁢Xt∧τx=E⁢Mt∧τ=E⁢M0=f⁢x.

Jeśli dodatkowo τ<∞ p.n. (to założenie jest spełnione np. dla procesu Wienera), to z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej

f⁢x=E⁢f⁢Xt∧τx→E⁢f⁢Xτx=E⁢h⁢Xτx.

Otrzynaliśmy więc stochastyczną reprezentację rozwiązania eliptycznego równania cząstkowego.

Podobne rozumowanie pokazuje, że (przy pewnych dodatkowych założeniach) rozwiązanie równania

L⁢f⁢x=g⁢x,⁢x∈D,⁢f⁢x=h⁢x⁢x∈∂⁡D

ma postać zadaną wzorem Feynmana-Kaca

f⁢x=E⁢h⁢Xτx=E⁢∫0τg⁢Xsx⁢d⁢s,⁢x∈D.

14.5. Zadania

Ćwiczenie 14.1

Zweryfikuj rachunki dla procesu Ornsteina-Uhlenbecka z Przykładu 14.2.

Ćwiczenie 14.2

i) Wykaż, że dla x,σ,b∈R istnieje dokładnie jeden proces X=Xtt≥0 taki, że

Xt=x+σ⁢∫0tXs⁢d⁢Ws+b⁢∫0tXs⁢d⁢s.

Ponadto supt≤u⁡E⁢Xt2<∞ dla u<∞.
ii) Oblicz E⁢Xt.
iii) Znajdź stochastyczne równania różniczkowe spełnione przez X2 i eX.

Ćwiczenie 14.3

Wykaż, że rozwiązanie równania d⁢X=e-X⁢d⁢W-12⁢e-2⁢X⁢d⁢t eksploduje w skończonym czasie.

Wskazówka:

Rozpatrz proces Y=eX.

Ćwiczenie 14.4

Wykaż, że rozwiązanie równania

d⁢Xt=1+Xt⁢1+Xt2⁢d⁢t+1+Xt2⁢d⁢Wt

eksploduje w skończonym czasie. Ponadto wartość oczekiwana czasu do eksplozji jest skończona.

Ćwiczenie 14.5

Załóżmy, że A⁢t jest ciągłą funkcją na 0,T o wartościach w macierzach m×m, σ⁢t jest ciągłą funkcją na 0,T o wartościach w macierzach m×d, zaś a⁢t jest ciągłą funkcją na 0,T o wartościach w Rm. Niech S⁢t będzie jedynym rozwiązaniem równania

d⁢S⁢td⁢t=A⁢t⁢S⁢t,⁢S⁢0=I.

Ponadto niech W będzie d-wymiarowym procesem Wienera, a ξ zmienną losową niezależną od W. Wykaż, że

a)ξ(t):=S(t)(ξ+∫0tS-1(s)a(s)ds)

jest rozwiązaniem równania deterministycznego

d⁢ξ⁢td⁢t=A⁢t⁢ξ⁢t+a⁢t,⁢ξ⁢0=ξ,

b)X(t)=S(t)(ξ+∫0tS-1(s)a(s)ds+∫0tS-1(s)σ(s)dWs)

jest jedynym rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego

d⁢Xt=A⁢t⁢Xt+a⁢t⁢d⁢t+σ⁢t⁢d⁢Wt,⁢X0=ξ.

Zagadnienia

14. Stochastyczne Równania Różniczkowe

14.1. Jednorodne równania stochastyczne

Definicja 14.1

Uwaga 14.1

Uwaga 14.2

Definicja 14.2

Twierdzenie 14.1

Twierdzenie 14.2

Przykład 14.1

Przykład 14.2

14.2. Równania niejednorodne

Definicja 14.3

Twierdzenie 14.3

Przykład 14.3

Stwierdzenie 14.1

Przykład 14.4

14.3. Przypadek wielowymiarowy

Definicja 14.4

Definicja 14.5

Twierdzenie 14.4

14.4. Generator procesu dyfuzji.

Definicja 14.6

Stwierdzenie 14.2

Uwaga 14.3

Przykład 14.5

Przykład 14.6

14.5. Zadania

Ćwiczenie 14.1

Ćwiczenie 14.2

Ćwiczenie 14.3

Ćwiczenie 14.4

Ćwiczenie 14.5