Zagadnienia

15.1 Przypadek dyskretny
15.2 Twierdzenie Girsanowa dla procesu Wienera
15.3 Zadania

15. Twierdzenie Girsanowa

W czasie tego wykładu przyjmujemy jak zwykle, że Ω,F,P jest ustaloną przestrzenią probabilistyczną. Będziemy konstruowali inne miary probabilistyczne na przestrzeni Ω,F względem których proces Wienera z dryfem ma taki rozkład jak zwykły proces Wienera. Przez E⁢X będziemy rozumieli zawsze wartość oczekiwaną względem P, wartość oczekiwaną X względem innej miary Q będziemy oznaczać EQ⁢X. Zauważmy, że jeśli d⁢Q=Z⁢d⁢P, tzn. Q⁢A=∫AZ⁢d⁢P, to

EQ⁢X=∫X⁢d⁢Q=∫X⁢Z⁢d⁢P=E⁢X⁢Z.

15.1. Przypadek dyskretny

Załóżmy, że zmienne Z1,Z2,…,Zn są niezależne i mają standardowy rozkład normalny N⁢0,1. Wprowadźmy nową miarę Q na Ω,F wzorem d⁢Q=exp⁡∑i=1nμi⁢Zi-12⁢∑i=1nμi2⁢d⁢P, tzn.

Q⁢A=∫Aexp⁡∑i=1nμi⁢Zi⁢ω-12⁢∑i=1nμi2⁢d⁢P⁢ω⁢⁢ dla ⁢A∈F.

Zauważmy, że

Q⁢Ω=E⁢exp⁡∑i=1nμi⁢Zi-12⁢∑i=1nμi2=∏i=1nE⁢exp⁡μi⁢Zi-12⁢μi2=1,

więc Q jest miarą probabilistyczną na Ω,F. Ponadto dla dowolnego zbioru Γ∈B⁢Rn,

	Q	((Z1,…,Zn)∈Γ)=Eexp(∑i=1nμiZi-12∑i=1nμi2)I{(Z1,…,Zn)∈Γ}
		=12⁢πn/2⁢∫Γexp⁡∑i=1nμi⁢zi-12⁢∑i=1nμi2⁢exp⁡-12⁢∑i=1nzi2⁢d⁢z1⁢…⁢d⁢zn
		=12⁢πn/2⁢∫Γexp⁡-12⁢∑i=1nzi-μi2⁢d⁢z1⁢…⁢d⁢zn.

Zatem względem miary Q zmienne Zi-μi są niezależne oraz mają rozkład N⁢0,1.

Definiując Sk=Z1+…+Zk widzimy, że względem Q zmienne Sk-∑i=1kμik≤n są sumami niezależnych standardowych zmiennych normalnych (czyli mają ten sam rozkład co Skk względem P). Podczas dalszej części wykładu pokażemy, że można podobny fakt sformułować w przypadku ciągłym, gdy Sk zastąpimy procesem Wienera, a sumy ∑i=1kμi całką ∫0tYs⁢d⁢s.

15.2. Twierdzenie Girsanowa dla procesu Wienera

Załóżmy, że T<∞, proces Y=Ytt<T jest prognozowalny oraz ∫0TYt2<∞ p.n., wówczas Y∈ΛT2, proces Mt=∫Y⁢d⁢W jest martyngałem lokalnym na 0,T oraz M=∫Y2⁢d⁢t. Co więcej można też określić wartość M i Z w punkcie T. Zatem jak wiemy (zob. Stwierdzenie 14.1) proces

Zt:=exp⁡Mt-12⁢Mt=exp⁡∫0tYs⁢d⁢Ws-12⁢∫0tYs2⁢d⁢s

jest martyngałem lokalnym na 0,T.

Lemat 15.1

Jeśli M jest ciągłym martyngałem lokalnym na 0,T, to proces Zt=exp⁡Mt-12⁢Mt jest martyngałem na przedziale skończonym 0,T wtedy i tylko wtedy, gdy E⁢ZT=1.

Implikacja ”⇒” jest oczywista, bo E⁢ZT=E⁢Z0=1. Wystarczy więc udowodnić ”⇐”.

Wiemy, że Z jest nieujemnym martyngałem lokalnym, zatem jest nadmartyngałem (Stwierdzenie 9.6). Ustalmy t∈0,T, wówczas Zt≥E(ZT|Ft) p.n.. Ponadto 1=E⁢Z0≥E⁢Zt≥E⁢ZT, czyli, jeśli E⁢ZT=1, to E⁢Zt=1 i

E(Zt-E(ZT|Ft))=EZt-EZT=0,

a więc Zt=E(ZT|Ft) p.n..

∎

Twierdzenie 15.1

Załóżmy, że T<∞, proces Y jest prognozowalny oraz ∫0TYs2⁢d⁢s<∞ p.n.. Niech Zt=exp⁡∫0tYs⁢d⁢Ws-12⁢∫0tYs2⁢d⁢s, wówczas, jeśli E⁢ZT=1 (czyli Z jest martyngałem na 0,T), to proces

Vt=Wt-∫0tYs⁢d⁢s,⁢t∈0,T

jest procesem Wienera na zmodyfikowanej przestrzeni propabilistycznej Ω,F,QT, gdzie d⁢QT=ZT⁢d⁢P, tzn.

QT⁢A=∫AZT⁢d⁢P,⁢A∈F.

Zmienna ZT jest nieujemna i E⁢ZT=1, więc QT jest miarą probabilistyczną. Zauważmy też, że jeśli P⁢A=0, to QT⁢A=0, czyli zdarzenia, które zachodzą P prawie na pewno, zachodzą też QT prawie na pewno. Proces V jest ciągły, adaptowalny względem Ft oraz V0=0. Wystarczy zatem, na mocy Twierdzenia 13.5 wykazać, że dla λ∈R, proces Ut=Ut⁢λ:=exp⁡λ⁢Vt-12⁢λ2⁢t jest martyngałem lokalnym względem QT. Zauważmy, że

	Ut⁢Zt	=exp⁡λ⁢Vt-12⁢λ2⁢t⁢exp⁡∫0tYs⁢d⁢Ws-12⁢∫0tYs2⁢d⁢s
		=exp⁡λ⁢Wt+∫0tYs⁢d⁢Ws-12⁢∫0t2⁢λ⁢Ys+λ2+Ys2⁢d⁢s
		=exp(∫0t(λ+Ys)dWs-12∫0t(λ+Ys)2ds)=exp(Nt-12〈N〉t),

gdzie N=∫λ+Y⁢d⁢W∈Mlocc. Zatem proces U⁢Z jest martyngałem lokalnym względem P, czyli istnieją τn↗T takie, że Uτn⁢Zτn jest martyngałem. Ustalmy n, wtedy dla dowolnego ograniczonego momentu zatrzymania τ,

	EQT⁢U0	=E(U0ZT)=E(U0E(ZT\|F0))=E(U0Z0)=E(Uτn∧τZτn∧τ)
		=E(Uτn∧τE(ZT\|Fτn∧τ)=E(Uτn∧τZT)=EQTUτn∧τ,

zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Dooba wynika, że Uτn jest martyngałem względem QT, czyli U jest QT-martyngałem lokalnym.

∎

W pewnych zastosowaniach wygodnie jest mieć miarę względem której proces W-∫Y⁢d⁢s jest procesem Wienera na całej półprostej 0,∞.

Twierdzenie 15.2

Załóżmy, że Y∈Λ∞2, zaś proces Zt i miary QT dla T<∞ są określone jak poprzednio. Wówczas, jeśli E⁢Zt=1 dla wszystkich t (czyli Z jest martyngałem na 0,∞), to istnieje dokładnie jedna miara probabilistyczna Q na Ω,F∞W taka, że Q⁢A=QT⁢A dla A∈FTW i T<∞. Proces V=W-∫Y⁢d⁢s jest względem Q procesem Wienera na 0,∞.

Szkic Dowodu.

Na zbiorach postaci A={(Wt1,Wt2,…,Wtk)∈Γ}, 0≤t1≤t2≤…≤tk≤T, Γ∈B⁢Rk kładziemy Q(A);=QT(A). Otrzymujemy w ten sposób zgodną rodzinę miar probabilistycznych, która na mocy twierdzenia Kołmogorowa przedłuża się w spośób jednoznaczny do miary Q na F∞W.

∎

Uwaga 15.1

O ile miara QT jest absolutnie ciągła względem P (tzn. QT⁢A=0, jeśli P⁢A=0), to miara Q zadana przez ostatnie twierdzenie taka być nie musi. Istotnie określmy Yt≡μ≠0, czyli Vt=Wt-μ⁢t. Niech

		A:=ω:lim sup⁡1t⁢Wt⁢ω=0,
		B:=ω:lim sup⁡1t⁢Vt⁢ω=0=ω:lim sup⁡1t⁢Wt⁢ω=μ.

Wówczas z mocnego prawa wielkich liczb dla proceseu Wienera P⁢A=1 oraz P⁢B=0, z drugiej strony Q⁢B=1, zatem miary P i Q są wzajemnie singularne na F∞W, mimo, że po odbcięciu do FTW dla T<∞ są względem siebie absolutnie ciągłe. Można pokazać, że albsolutna ciągłość Q względem P wiąże się z jednostajną całkowalnością martyngału Z.

Naturalne jest pytanie kiedy spełnione są założenia twierdzenia Girsanowa, czyli kiedy Z jest martyngałem. Użyteczne jest następujące kryterium.

Twierdzenie 15.3 (Kryterium Nowikowa)

Jeśli Y jest procesem prognozowalnym spełniającym warunek E⁢exp⁡12⁢∫0TYs2⁢d⁢s<∞, to spełnione są założenia twierdzenia Girsanowa, tzn. proces Z=exp⁡∫Y⁢d⁢W-12⁢∫Y2⁢d⁢t jest martyngałem na 0,T.

Kryterium Nowikowa jest konsekwencją silniejszego twierdzenia, które przedstawimy bez dowodu.

Twierdzenie 15.4

Załóżmy, że M jest ciągłym martyngałem lokalnym takim, że dla wszystkich t, E⁢exp⁡12⁢Mt<∞. Niech Zt=exp⁡Mt-12⁢M, wówczas E⁢Zt=1 dla wszystkich t, czyli Z jest martyngałem.

Twierdzenie Girsanowa można sformułować też w przypadku wielowymiarowym.

Twierdzenie 15.5

Załóżmy, że Y=Y1,…,Yd proces d-wymiarowy taki, że Yj∈ΛT2 oraz T<∞. Niech W=W1,…,Wd będzie d-wymiarowym procesem Wienera oraz

Zt=exp⁡∑i=1d∫Ysi⁢d⁢Wti-12⁢∫0tYs2⁢d⁢s.

Wówczas, jeśli E⁢ZT=1 (czyli Zt jest martyngałem na 0,T), to proces

Vt=Wt-∫0tYs⁢d⁢s=Wt1-∫0tY1⁢d⁢s,…,Wtd-∫0tYsd⁢d⁢s

jest procesem Wienera na 0,T względem miary probabilistycznej Qt takiej, że d⁢QT=ZT⁢d⁢P.

Kryterium Nowikowa w przypadku d-wymiarowym ma postać

Twierdzenie 15.6

Jeśli Y jest d-wymiarowym procesem prognozowalnym spełniającym warunek E⁢exp⁡12⁢∫0TYs2⁢d⁢s<∞, to spełnione są założenia twierdzenia Girsanowa.

15.3. Zadania

Ćwiczenie 15.1

Znajdź taką miarę probabilistyczną Q na Ω,F≤1W, by proces Wt+2⁢t40≤t≤1 był procesem Wienera względem Q.

Ćwiczenie 15.2

Niech T<∞, U będzie procesem Wienera na Ω,F,P,

Zt=exp⁡∫0tb⁢s,Us⁢d⁢Us-12⁢∫0tb2⁢s,Us⁢d⁢s,⁢Wt:=Ut-∫0tb⁢s,Us⁢d⁢s.

Stosując twierdzenie Girsanowa wykaż, że jeśli E⁢ZT=1, to istnieje miara probabilistyczna QT taka, że na przestrzeni probabilistycznej Ω,F,QT, Wt0≤t≤T jest procesem Wienera oraz

d⁢Ut=b⁢t,Ut⁢d⁢t+d⁢Wt, 0≤t≤T,⁢⁢⁢U0=0.

Ćwiczenie 15.3

Niech μ oznacza miarę Wienera na C⁢0,1 (tzn. rozkład wyznaczony przez proces Wienera na 0,1). Dla h∈C⁢0,1 określamy nową miarę μh wzorem μh⁢A:=μ⁢h+A. Wykaż, że
a) jeśli h⁢t=∫0tg⁢s⁢d⁢s dla 0≤t≤1 oraz g∈L2⁢0,1, to miara μh jest absolutnie ciągła względem μ oraz znajdź jej gęstość,
b*) jeśli h nie ma powyższej postaci, to miary μ i μh są wzajemnie singularne.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wstęp do Analizy Stochastycznej