Zagadnienia

2.1 σ-ciało zbiorów cylindrycznych
2.2 Warunki zgodności. Twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu procesu
2.3 Uwagi i uzupełnienia
2.4 Zadania

2. Rozkłady procesów stochastycznych

Podczas tego wykładu zdefiniujemy rozkład procesu stochastycznego, w szczególności powiemy jakie zdarzenia określone przez proces są mierzalne. Udowodnimy, że rozkład procesu jest wyznaczony przez rozkłady skończenie wymiarowe. Sformułujemy też warunki, które muszą być spełnione, by istniał proces stochastyczny o zadanych rozkładach skończenie wymiarowych.

Przypomnijmy, że jeśli X jest zmienną losową o wartościach w przestrzeni mierzalnej E,E, to rozkładem X jest miara probabilistyczna na E,E zadana wzorem

μX⁢A=PX∈A,⁢A∈E.

Dla uproszczenia będziemy przyjmować, że proces X przyjmuje wartości rzeczywiste.

2.1. σ-ciało zbiorów cylindrycznych

Proces X=Xtt∈T możemy traktować jako zmienną losową o wartościach w RT. Jakie podzbiory RT są wówczas na pewno mierzalne?

Definicja 2.1

Zbiory postaci

x∈RT:xt1,…,xtn∈A,⁢t1,…,tn∈T,A∈B⁢Rn

nazywamy zbiorami cylindrycznymi. Przez B⁢RT będziemy oznaczać najmniejsze σ-ciało zawierające zbiory cylindryczne i będziemy je nazywać σ-ciałem zbiorów cylindrycznych.

Uwaga 2.1

Zauważmy, że

B(RT)=σ({x∈RT:xt∈A},t∈T,A∈B(R)).

Przykład 2.1

Zbiory x:xt>xs, x:xt1>0,xt2-xt1>0,…,xtn-xtn-1>0 oraz x:∀t<s,t,s∈Q+⁢xt>xs należą do B⁢R0,∞.

Przykład 2.2

Zbiór x:supt∈T⁡xt≤1 nie należy do B⁢RT, gdy T jest nieprzeliczalny, podobnie x:t→xt⁢ ciągłe nie należy do B⁢RT, gdy T jest niezdegenerowanym przedziałem.

Definicja 2.2

Rozkładem procesuX=Xtt∈T nazywamy miarę probabilistyczną μX na B⁢RT daną wzorem

μX⁢C=PXtt∈T∈C,⁢C∈B⁢RT.

Uwaga 2.2

Załóżmy, że T jest przedziałem (skończonym lub nie). Na przestrzeni funkcji ciagłych C⁢T rozważmy topologię zbieżności niemal jednostajnej. Wówczas B⁢RT∩C⁢T=B⁢C⁢T, co oznacza, że jeśli proces X=Xtt∈T ma ciągłe trajektorie, to X wyznacza rozkład probabilistyczny na przestrzeni funkcji ciągłych C⁢T,B⁢C⁢T. W szczególności proces Wienera wyznacza pewien rozkład probabilistyczny na C⁢0,∞.

2.2. Warunki zgodności. Twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu procesu

Najprostsze zbiory z B⁢RT to zbiory cylindryczne. Miary takich zbiorów to rozkłady skończenie wymiarowe procesu.

Definicja 2.3

Dla procesu Xtt∈T o wartościach w R i t1,…,tn∈T określamy miarę μt1,…,tn na Rn wzorem

μt1,…,tn⁢A=PXt1,…,Xtn∈A,⁢A∈B⁢Rn.

Rodzinę miar μt1,…,tn:t1,…,tn∈T⁢ parami różne nazywamy rodziną skończenie wymiarowych rozkładów procesu X.

Stwierdzenie 2.1

Załóżmy, że X=Xtt∈T i Y=Ytt∈T są procesami o tych samych skończenie wymiarowych rozkładach, czyli

PXt1,…,Xtn∈A=PYt1,…,Ytn∈A

dla wszystkich t1,…,tn∈T,A∈B⁢Rn. Wówczas X i Y mają ten sam rozkład, tzn.

P(X∈C)=P(Y∈C) dla wszystkich C∈B(RT).

Rodzina zbiorów cylindrycznych A tworzy π-układ, a rodzina C zbiorów C takich, że PX∈C=PY∈C, jest λ-układem zawierającym A. Zatem z twierdzenia o π- i λ- układach, C zawiera również σ-ciało generowane przez A, czyli B⁢RT.

∎

Definicja 2.4

Powiemy, że rodzina skończenie wymiarowych rozkładów

μt1,…,tn:⁢t1,…,tn∈T⁢ parami różne

spełnia warunki zgodności, jeśli zachodzą następujące warunki:

i) Dla dowolnych t1,t2,…,tn∈T, dowolnej permutacji i1,…,in liczb 1,…,n oraz zbiorów A1,A2,…,An∈B⁢R,

μti1,…,tin⁢Ai1×Ai2×…×Ain=μt1,…,tn⁢A1×A2×…×An.
ii) Dla dowolnych t1,t2,…,tn+1∈T oraz A1,A2,…,An∈B⁢R,

μt1,…,tn,tn+1⁢A1×A2×…×An×R=μt1,…,tn⁢A1×A2×…×An.

Oczywiście rodzina rozkładów skończenie wymiarowych dowolnego procesu stochastycznego spełnia warunki zgodności. Okazuje się, że są to jedyne warunki jakie należy nałożyć na taką rodzinę.

Twierdzenie 2.1

Załóżmy, że dana jest rodzina skończenie wymiarowych rozkładów μt1,…,tn spełniająca warunki zgodności. Wówczas istnieje proces Xtt∈T mający skończenie wymiarowe rozkłady równe μt1,…,tn.

Nie będziemy przedstawiać technicznego dowodu powyższego twierdzenia - wszystkich zainteresowanych odsyłamy do [8] lub [4]. W zamian sformułujemy użyteczny wniosek.

Wniosek 2.1

Załóżmy, że T⊂R oraz dana jest rodzina rozkładów skończenie wymiarowych μt1,…,tn:t1<t2<…<tn,t1,…,tn∈T spełniająca warunek

	μt1,…,tn(A1×…	×Ak-1×R×Ak+1…×An)
		=μt1,…⁢tk-1,tk+1,…,tn⁢A1×…×Ak-1×Ak+1×…×An.

dla wszystkich t1<t2<…<tn, n≥2, 1≤k≤n oraz zbiorów borelowskich A1,…,An. Wówczas istnieje proces Xtt∈T taki, że Xt1,…,Xtn ma rozkład μt1,…,tn dla t1<t2<…<tn.

Dla t1,…,tn∈T parami różnych istnieje permutacja i1,…,in liczb 1,…,n taka, że ti1<ti2<…<tin. Możemy więc określić μt1,…,tn jako rozkład wektora Y1,…,Yn takiego, że Yi1,…,Yin ma rozkład μti1,…,tin. Nietrudno sprawdzić, że tak określona rodzina miar μt1,…,tn spełnia warunki zgodności.

∎

Przykład 2.3

Jeśli μtt∈T jest dowolną rodziną rozkładów na R, to istnieje rodzina niezależnych zmiennych losowych Xtt∈T taka, że Xt ma rozkład μt. Używamy tu twierdzenia o istnieniu dla μt1,…,tn=μt1⊗…⊗μtn.

Przykład 2.4

Istnieje proces spełniający warunki (W0)-(W2) definicji procesu Wienera. Istotnie dla 0=t0≤t1<t2<…<tn kładziemy

μt1,…,tn∼X1,X1+X2,…,∑k=1nXk,

gdzie X1,…,Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi Xk∼N⁢0,tk-tk-1. Warunki zgodności wynikają wówczas stąd, iż jeśli Y1,Y2 są niezależne i Yi∼N⁢0,σi2 dla i=1,2, to Y1+Y2∼N⁢0,σ12+σ22.

2.3. Uwagi i uzupełnienia

Podczas wykładu zakładaliśmy, że proces X ma wartości rzeczywiste. Nic się zmieni (poza oczywistymi drobnymi zmianami definicji) dla procesów o wartościach w Rd. Czasem jednak zachodzi potrzeba rozpatrywania procesów o wartościach w ogólniejszej przestrzeni E. Warto więc zauważyć, że

w Stwierdzeniu 2.1 nie wykorzystywaliśmy żadnych własności przestrzeni E,
w dowodzie Twierdzenia 2.1 wykorzystuje się regularność miar na En – tu wystarczy założyć, że E jest σ-zwartą przestrzenią metryczną, tzn. E jest przeliczalną sumą zbiorów zwartych lub dodać warunek regularności rozpatrywanych miar (definicje i podstawowe własności miar regularnych można znaleźć w rozdziale 2 [6]).

2.4. Zadania

Ćwiczenie 2.1

Udowodnij, że jeśli zbiór A∈B⁢RT, to istnieje zbiór przeliczalny T0⊂T taki, że jeśli x,y∈RT oraz x⁢t=y⁢t dla t∈T0, to x∈A⇔y∈A.

Ćwiczenie 2.2

Niech T=a,b, a<t0<b, wykaż, że następujące zbiory nie należą do B⁢RT:
i) A1=x∈RT:⁢supt∈a,b⁡xt≤1;
ii) A2=x∈RT:⁢t→xt⁢ ciągłe na ⁢a,b;
iii) A3=x∈RT:⁢limt→t0⁡xt=0;
iv) A4=x∈RT:⁢t→xt⁢ ciągłe w ⁢t0.
Wykaż mierzalność tych zbiorów przy założeniu ciągłości (prawostronnej ciągłości) trajektorii, tzn. wykaż, że wszystkie te zbiory po przecięciu z C⁢T (odp. R⁢C⁢T–przestrzeni funkcji prawostronnie ciągłych) należą do B⁢RT∩C⁢T (B⁢RT∩R⁢C⁢T odp.).

Ćwiczenie 2.3

Niech T=a,b. Wykaż, że F=A∩C⁢T:A∈B⁢RT jest σ-ciałem zbiorów borelowskich (w metryce supremum) na C⁢T.

Ćwiczenie 2.4

Wykaż, że istnieje proces Xtt≥0 o przyrostach niezależnych, startujący z 0 taki, że Xt-Xs ma rozkład Cauchy'ego z parametrem t-s (proces taki nazywamy procesem Cauchy'ego, bądź procesem 1-stabilnym).

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wstęp do Analizy Stochastycznej