2.1. σ-ciało zbiorów cylindrycznych
Proces X=Xtt∈T możemy traktować jako zmienną losową o wartościach w
RT. Jakie podzbiory RT są wówczas na pewno mierzalne?
Definicja 2.1
Zbiory postaci
|
x∈RT:xt1,…,xtn∈A,t1,…,tn∈T,A∈BRn |
|
nazywamy zbiorami cylindrycznymi. Przez BRT będziemy oznaczać
najmniejsze σ-ciało zawierające zbiory cylindryczne i będziemy je nazywać
σ-ciałem zbiorów cylindrycznych.
Uwaga 2.1
Zauważmy, że
|
B(RT)=σ({x∈RT:xt∈A},t∈T,A∈B(R)). |
|
Przykład 2.1
Zbiory x:xt>xs,
x:xt1>0,xt2-xt1>0,…,xtn-xtn-1>0 oraz
x:∀t<s,t,s∈Q+xt>xs należą do
BR0,∞.
Przykład 2.2
Zbiór x:supt∈Txt≤1 nie należy do
BRT, gdy
T jest nieprzeliczalny, podobnie x:t→xt ciągłe
nie należy do BRT, gdy T jest niezdegenerowanym przedziałem.
Definicja 2.2
Rozkładem procesuX=Xtt∈T nazywamy miarę probabilistyczną
μX na BRT daną wzorem
Uwaga 2.2
Załóżmy, że T jest przedziałem (skończonym lub nie). Na przestrzeni funkcji ciagłych
CT rozważmy topologię zbieżności niemal jednostajnej. Wówczas
BRT∩CT=BCT, co oznacza, że jeśli proces
X=Xtt∈T ma ciągłe trajektorie, to X wyznacza rozkład
probabilistyczny na przestrzeni funkcji ciągłych CT,BCT.
W szczególności proces Wienera wyznacza pewien rozkład
probabilistyczny na C0,∞.
2.2. Warunki zgodności. Twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu procesu
Najprostsze zbiory z BRT to zbiory cylindryczne. Miary takich zbiorów
to rozkłady skończenie wymiarowe procesu.
Definicja 2.3
Dla procesu Xtt∈T o wartościach w R i t1,…,tn∈T
określamy miarę μt1,…,tn na Rn wzorem
|
μt1,…,tnA=PXt1,…,Xtn∈A,A∈BRn. |
|
Rodzinę miar
μt1,…,tn:t1,…,tn∈T parami różne
nazywamy rodziną skończenie wymiarowych rozkładów procesu X.
Stwierdzenie 2.1
Załóżmy, że X=Xtt∈T i Y=Ytt∈T są procesami o tych samych
skończenie wymiarowych rozkładach, czyli
|
PXt1,…,Xtn∈A=PYt1,…,Ytn∈A |
|
dla wszystkich t1,…,tn∈T,A∈BRn.
Wówczas X i Y mają ten sam rozkład, tzn.
|
P(X∈C)=P(Y∈C) dla wszystkich C∈B(RT). |
|
Rodzina zbiorów cylindrycznych A tworzy π-układ, a rodzina
C zbiorów C takich, że
PX∈C=PY∈C, jest λ-układem zawierającym
A. Zatem z twierdzenia o π- i λ- układach,
C zawiera również σ-ciało
generowane przez A, czyli BRT.
∎
Definicja 2.4
Powiemy, że rodzina skończenie wymiarowych rozkładów
|
μt1,…,tn:t1,…,tn∈T parami różne |
|
spełnia warunki zgodności, jeśli zachodzą następujące warunki:
-
i) Dla dowolnych t1,t2,…,tn∈T, dowolnej permutacji
i1,…,in liczb 1,…,n oraz zbiorów
A1,A2,…,An∈BR,
|
μti1,…,tinAi1×Ai2×…×Ain=μt1,…,tnA1×A2×…×An. |
|
-
ii) Dla dowolnych t1,t2,…,tn+1∈T oraz
A1,A2,…,An∈BR,
|
μt1,…,tn,tn+1A1×A2×…×An×R=μt1,…,tnA1×A2×…×An. |
|
Oczywiście rodzina rozkładów skończenie wymiarowych dowolnego procesu stochastycznego
spełnia warunki zgodności. Okazuje się, że są to jedyne warunki jakie należy nałożyć
na taką rodzinę.
Twierdzenie 2.1
Załóżmy, że dana jest rodzina skończenie wymiarowych rozkładów
μt1,…,tn
spełniająca warunki
zgodności. Wówczas istnieje proces Xtt∈T mający skończenie wymiarowe
rozkłady równe μt1,…,tn.
Nie będziemy przedstawiać technicznego dowodu powyższego twierdzenia - wszystkich
zainteresowanych odsyłamy do [8] lub [4]. W zamian sformułujemy użyteczny wniosek.
Wniosek 2.1
Załóżmy, że T⊂R oraz dana jest rodzina rozkładów skończenie wymiarowych
μt1,…,tn:t1<t2<…<tn,t1,…,tn∈T spełniająca
warunek
|
μt1,…,tn(A1×… | ×Ak-1×R×Ak+1…×An) |
|
|
| =μt1,…tk-1,tk+1,…,tnA1×…×Ak-1×Ak+1×…×An. |
|
dla wszystkich t1<t2<…<tn, n≥2, 1≤k≤n oraz
zbiorów borelowskich A1,…,An.
Wówczas istnieje proces Xtt∈T taki, że Xt1,…,Xtn
ma rozkład μt1,…,tn dla t1<t2<…<tn.
Dla t1,…,tn∈T parami różnych istnieje permutacja
i1,…,in liczb 1,…,n taka, że ti1<ti2<…<tin.
Możemy więc określić μt1,…,tn jako rozkład wektora Y1,…,Yn
takiego, że Yi1,…,Yin ma rozkład μti1,…,tin.
Nietrudno sprawdzić, że tak określona rodzina miar μt1,…,tn spełnia warunki
zgodności.
∎
Przykład 2.3
Jeśli μtt∈T jest dowolną rodziną rozkładów na R,
to istnieje rodzina niezależnych zmiennych losowych Xtt∈T
taka, że Xt ma rozkład μt.
Używamy tu twierdzenia o istnieniu dla
μt1,…,tn=μt1⊗…⊗μtn.
Przykład 2.4
Istnieje proces spełniający warunki (W0)-(W2) definicji procesu Wienera.
Istotnie dla 0=t0≤t1<t2<…<tn kładziemy
|
μt1,…,tn∼X1,X1+X2,…,∑k=1nXk, |
|
gdzie X1,…,Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi
Xk∼N0,tk-tk-1. Warunki zgodności wynikają wówczas stąd,
iż jeśli Y1,Y2 są niezależne i Yi∼N0,σi2 dla
i=1,2, to Y1+Y2∼N0,σ12+σ22.
2.4. Zadania
Ćwiczenie 2.1
Udowodnij, że jeśli zbiór A∈BRT, to istnieje zbiór przeliczalny
T0⊂T taki, że jeśli x,y∈RT oraz xt=yt dla t∈T0, to
x∈A⇔y∈A.
Ćwiczenie 2.2
Niech T=a,b, a<t0<b, wykaż, że następujące zbiory nie należą do
BRT:
i) A1=x∈RT:supt∈a,bxt≤1;
ii) A2=x∈RT:t→xt ciągłe na a,b;
iii) A3=x∈RT:limt→t0xt=0;
iv) A4=x∈RT:t→xt ciągłe w t0.
Wykaż mierzalność tych zbiorów przy założeniu ciągłości (prawostronnej ciągłości)
trajektorii, tzn. wykaż, że wszystkie te zbiory po przecięciu z CT
(odp. RCT–przestrzeni funkcji prawostronnie ciągłych) należą do
BRT∩CT
(BRT∩RCT odp.).
Ćwiczenie 2.3
Niech T=a,b. Wykaż, że
F=A∩CT:A∈BRT jest σ-ciałem zbiorów
borelowskich (w metryce supremum) na CT.
Ćwiczenie 2.4
Wykaż, że istnieje proces Xtt≥0 o przyrostach niezależnych,
startujący z 0 taki, że Xt-Xs ma rozkład Cauchy'ego z parametrem t-s (proces
taki nazywamy procesem Cauchy'ego, bądź procesem 1-stabilnym).