Zagadnienia

2. Rozkłady procesów stochastycznych

Podczas tego wykładu zdefiniujemy rozkład procesu stochastycznego, w szczególności powiemy jakie zdarzenia określone przez proces są mierzalne. Udowodnimy, że rozkład procesu jest wyznaczony przez rozkłady skończenie wymiarowe. Sformułujemy też warunki, które muszą być spełnione, by istniał proces stochastyczny o zadanych rozkładach skończenie wymiarowych.

Przypomnijmy, że jeśli X jest zmienną losową o wartościach w przestrzeni mierzalnej E,E, to rozkładem X jest miara probabilistyczna na E,E zadana wzorem

μXA=PXA,AE.

Dla uproszczenia będziemy przyjmować, że proces X przyjmuje wartości rzeczywiste.

2.1. σ-ciało zbiorów cylindrycznych

Proces X=XttT możemy traktować jako zmienną losową o wartościach w RT. Jakie podzbiory RT są wówczas na pewno mierzalne?

Definicja 2.1

Zbiory postaci

xRT:xt1,,xtnA,t1,,tnT,ABRn

nazywamy zbiorami cylindrycznymi. Przez BRT będziemy oznaczać najmniejsze σ-ciało zawierające zbiory cylindryczne i będziemy je nazywać σ-ciałem zbiorów cylindrycznych.

Uwaga 2.1

Zauważmy, że

B(RT)=σ({xRT:xtA},tT,AB(R)).
Przykład 2.1

Zbiory x:xt>xs, x:xt1>0,xt2-xt1>0,,xtn-xtn-1>0 oraz x:t<s,t,sQ+xt>xs należą do BR0,.

Przykład 2.2

Zbiór x:suptTxt1 nie należy do BRT, gdy T jest nieprzeliczalny, podobnie x:txt ciągłe nie należy do BRT, gdy T jest niezdegenerowanym przedziałem.

Definicja 2.2

Rozkładem procesuX=XttT nazywamy miarę probabilistyczną μX na BRT daną wzorem

μXC=PXttTC,CBRT.
Uwaga 2.2

Załóżmy, że T jest przedziałem (skończonym lub nie). Na przestrzeni funkcji ciagłych CT rozważmy topologię zbieżności niemal jednostajnej. Wówczas BRTCT=BCT, co oznacza, że jeśli proces X=XttT ma ciągłe trajektorie, to X wyznacza rozkład probabilistyczny na przestrzeni funkcji ciągłych CT,BCT. W szczególności proces Wienera wyznacza pewien rozkład probabilistyczny na C0,.

2.2. Warunki zgodności. Twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu procesu

Najprostsze zbiory z BRT to zbiory cylindryczne. Miary takich zbiorów to rozkłady skończenie wymiarowe procesu.

Definicja 2.3

Dla procesu XttT o wartościach w R i t1,,tnT określamy miarę μt1,,tn na Rn wzorem

μt1,,tnA=PXt1,,XtnA,ABRn.

Rodzinę miar μt1,,tn:t1,,tnT parami różne nazywamy rodziną skończenie wymiarowych rozkładów procesu X.

Stwierdzenie 2.1

Załóżmy, że X=XttT i Y=YttT są procesami o tych samych skończenie wymiarowych rozkładach, czyli

PXt1,,XtnA=PYt1,,YtnA

dla wszystkich t1,,tnT,ABRn. Wówczas X i Y mają ten sam rozkład, tzn.

P(XC)=P(YC) dla wszystkich CB(RT).

Rodzina zbiorów cylindrycznych A tworzy π-układ, a rodzina C zbiorów C takich, że PXC=PYC, jest λ-układem zawierającym A. Zatem z twierdzenia o π- i λ- układach, C zawiera również σ-ciało generowane przez A, czyli BRT.

Definicja 2.4

Powiemy, że rodzina skończenie wymiarowych rozkładów

μt1,,tn:t1,,tnT parami różne

spełnia warunki zgodności, jeśli zachodzą następujące warunki:

  • i) Dla dowolnych t1,t2,,tnT, dowolnej permutacji i1,,in liczb 1,,n oraz zbiorów A1,A2,,AnBR,

    μti1,,tinAi1×Ai2××Ain=μt1,,tnA1×A2××An.
  • ii) Dla dowolnych t1,t2,,tn+1T oraz A1,A2,,AnBR,

    μt1,,tn,tn+1A1×A2××An×R=μt1,,tnA1×A2××An.

Oczywiście rodzina rozkładów skończenie wymiarowych dowolnego procesu stochastycznego spełnia warunki zgodności. Okazuje się, że są to jedyne warunki jakie należy nałożyć na taką rodzinę.

Twierdzenie 2.1

Załóżmy, że dana jest rodzina skończenie wymiarowych rozkładów μt1,,tn spełniająca warunki zgodności. Wówczas istnieje proces XttT mający skończenie wymiarowe rozkłady równe μt1,,tn.

Nie będziemy przedstawiać technicznego dowodu powyższego twierdzenia - wszystkich zainteresowanych odsyłamy do [8] lub [4]. W zamian sformułujemy użyteczny wniosek.

Wniosek 2.1

Załóżmy, że TR oraz dana jest rodzina rozkładów skończenie wymiarowych μt1,,tn:t1<t2<<tn,t1,,tnT spełniająca warunek

μt1,,tn(A1××Ak-1×R×Ak+1×An)
=μt1,tk-1,tk+1,,tnA1××Ak-1×Ak+1××An.

dla wszystkich t1<t2<<tn, n2, 1kn oraz zbiorów borelowskich A1,,An. Wówczas istnieje proces XttT taki, że Xt1,,Xtn ma rozkład μt1,,tn dla t1<t2<<tn.

Dla t1,,tnT parami różnych istnieje permutacja i1,,in liczb 1,,n taka, że ti1<ti2<<tin. Możemy więc określić μt1,,tn jako rozkład wektora Y1,,Yn takiego, że Yi1,,Yin ma rozkład μti1,,tin. Nietrudno sprawdzić, że tak określona rodzina miar μt1,,tn spełnia warunki zgodności.

Przykład 2.3

Jeśli μttT jest dowolną rodziną rozkładów na R, to istnieje rodzina niezależnych zmiennych losowych XttT taka, że Xt ma rozkład μt. Używamy tu twierdzenia o istnieniu dla μt1,,tn=μt1μtn.

Przykład 2.4

Istnieje proces spełniający warunki (W0)-(W2) definicji procesu Wienera. Istotnie dla 0=t0t1<t2<<tn kładziemy

μt1,,tnX1,X1+X2,,k=1nXk,

gdzie X1,,Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi XkN0,tk-tk-1. Warunki zgodności wynikają wówczas stąd, iż jeśli Y1,Y2 są niezależne i YiN0,σi2 dla i=1,2, to Y1+Y2N0,σ12+σ22.

2.3. Uwagi i uzupełnienia

Podczas wykładu zakładaliśmy, że proces X ma wartości rzeczywiste. Nic się zmieni (poza oczywistymi drobnymi zmianami definicji) dla procesów o wartościach w Rd. Czasem jednak zachodzi potrzeba rozpatrywania procesów o wartościach w ogólniejszej przestrzeni E. Warto więc zauważyć, że

  • w Stwierdzeniu 2.1 nie wykorzystywaliśmy żadnych własności przestrzeni E,

  • w dowodzie Twierdzenia 2.1 wykorzystuje się regularność miar na En – tu wystarczy założyć, że E jest σ-zwartą przestrzenią metryczną, tzn. E jest przeliczalną sumą zbiorów zwartych lub dodać warunek regularności rozpatrywanych miar (definicje i podstawowe własności miar regularnych można znaleźć w rozdziale 2 [6]).

2.4. Zadania

Ćwiczenie 2.1

Udowodnij, że jeśli zbiór ABRT, to istnieje zbiór przeliczalny T0T taki, że jeśli x,yRT oraz xt=yt dla tT0, to xAyA.

Ćwiczenie 2.2

Niech T=a,b, a<t0<b, wykaż, że następujące zbiory nie należą do BRT:
i) A1=xRT:supta,bxt1;
ii) A2=xRT:txt ciągłe na a,b;
iii) A3=xRT:limtt0xt=0;
iv) A4=xRT:txt ciągłe w t0.
Wykaż mierzalność tych zbiorów przy założeniu ciągłości (prawostronnej ciągłości) trajektorii, tzn. wykaż, że wszystkie te zbiory po przecięciu z CT (odp. RCT–przestrzeni funkcji prawostronnie ciągłych) należą do BRTCT (BRTRCT odp.).

Ćwiczenie 2.3

Niech T=a,b. Wykaż, że F=ACT:ABRT jest σ-ciałem zbiorów borelowskich (w metryce supremum) na CT.

Ćwiczenie 2.4

Wykaż, że istnieje proces Xtt0 o przyrostach niezależnych, startujący z 0 taki, że Xt-Xs ma rozkład Cauchy'ego z parametrem t-s (proces taki nazywamy procesem Cauchy'ego, bądź procesem 1-stabilnym).

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.