Zagadnienia

3.1 Procesy stochastycznie równoważne i nierozróżnialne
3.2 Twierdzenie o ciągłej modyfikacji
3.3 Uwagi i uzupełnienia
3.4 Zadania

3. Ciągłość trajektorii

Wiemy już kiedy istnieje proces o zadanych skończenie wymiarowych rozkładach. Nasuwa się pytanie – kiedy taki proces ma ciągłe trajektorie? Zanim jednak zastanowimy się nad odpowiedzią wprowadzimy dwa ważne sposoby porównywania procesów.

3.1. Procesy stochastycznie równoważne i nierozróżnialne

Definicja 3.1

Niech X=Xtt∈T oraz Y=Ytt∈T będą dwoma procesami stochastycznymi, określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej. Powiemy, że:
a) X jest modyfikacją Y (lub X jest stochastycznie równoważny Y), jeśli

∀t∈T⁢PXt=Yt=1;

b) X i Y są nierozróżnialne, jeśli

P∀t∈T⁢Xt=Yt=1.

Zauważmy, że procesy nierozróżnialne są oczywiście stochastycznie równoważne. Ponadto dwa procesy stochastycznie równoważne mają ten sam rozkład. Poniższy przykład pokazuje, że z rozkładu procesu nie można wnioskować o własnościach trajektorii.

Przykład 3.1

Niech Z≥0 będzie dowolną zmienną losową o rozkładzie bezatomowym tzn. PZ=z=0 dla wszystkich z∈R. Zdefiniujmy dwa procesy na T=0,∞:

Xt≡0⁢⁢ oraz ⁢⁢Yt⁢ω=⁡0 dla ⁢t≠Z⁢ω,1 dla ⁢t=Z⁢ω.⁢

Wówczas Y jest modyfikacją X, bo PXt≠Yt=PZ=t=0. Zauważmy jednak, że wszystkie trajektorie Y są nieciągłe. W szczególności P∀t≥0⁢Xt=Yt=0, a zatem procesy X i Y nie są nierozróżnialne.

Stwierdzenie 3.1

Załóżmy, że T jest przedziałem oraz procesy X=Xtt∈T i Y=Ytt∈T mają prawostronnie ciągłe trajektorie. Wówczas, jeśli X jest modyfikacją Y, to X i Y są nierozróżnialne.

Wybierzmy przeliczalny podzbiór T0⊂T, gęsty w T, zawierający dodatkowo sup⁡T, jeśli T jest przedziałem prawostronnie domkniętym. Niech

A={∀t∈T0Xt=Yt},

wówczas P⁢A=1, jako przeliczalne przecięcie zbiorów pełnej miary. Ponadto, jeśli ω∈A, to dla dowolnego t∈T,

Xt⁢ω=lims→t+,s∈T0⁡Xs⁢ω=lims→t+,s∈T0⁡Ys⁢ω=Yt⁢ω,

czyli

P∀t∈T⁢Xt=Yt≥P⁢A=1.

∎

3.2. Twierdzenie o ciągłej modyfikacji

Najważniejsze twierdzenie tego wykładu podaje kryterium istnienia modyfikacji procesu, która ma ciągłe trajektorie. Zanim sformułujemy dokładny wynik przypomnijmy definicję funkcji hölderowskiej.

Definicja 3.2

Funkcja f:a,b→R jest hölderowsko ciągła z wykładnikiem γ, jeśli dla pewnej stałej C<∞,

f⁢s-f⁢t≤C⁢t-sγ⁢ dla wszystkich ⁢s,t∈a,b.

Twierdzenie 3.1

Załóżmy, że X=Xtt∈a,b jest procesem takim, że

∀t,s∈a,b⁢E⁢Xt-Xsα≤C⁢t-s1+β

(3.1)

dla pewnych stałych dodatnich α,β,C. Wówczas istnieje proces X~=X~tt∈a,b, będący modyfikacją procesu X, którego wszystkie trajektorie są ciągłe. Co więcej trajektorie każdej modyfikacji X o ciągłych trajektoriach są, z prawdopodobieństwem 1, hölderowsko ciągłe z dowolnym wykładnikiem γ<βα.

Zainteresownych dowodem odsyłamy np. do [4] lub [8].

Wniosek 3.1

Twierdzenie 3.1 jest prawdziwe, gdy przedział a,b zastąpimy nieskończonym przedziałem, o ile hölderowskość trajektorii zastąpimy lokalną hölderowskością (tzn. hölderowskością na każdym przedziale skończonym). Co więcej, wystarczy, by warunek (3.1) zachodził dla s-t≤δ, gdzie δ jest ustaloną liczbą dodatnią.

Przedział nieskończony T można zapisać jako przeliczalną sumę przedziałów an,an+1, długości nie większej od δ. Z Twierdzenia 3.1 wynika istnienie modyfikacji X~tn procesu X na przedziale an,an+1, o ciągłych trajektoriach. Niech An={X~an+1n≠X~n+1an+1}, wówczas A=⋃nAn ma miarę zero. Możemy więc położyć:

X~t⁢ω=⁡X~tn⁢ω dla ⁢t∈an,an+1,⁢ω∉A,0 dla ⁢ω∈A.⁢

∎

Wniosek 3.2

Istnieje proces Wienera, tzn. proces spełniający warunki (W0)-(W3).

Mamy E⁢Ws-Wt4=E⁢t-s⁢W14=s-t2⁢E⁢W14=3⁢s-t2 i możemy zastosować Wniosek 3.1 z β=1, α=4 i C=3.

∎

Wniosek 3.3

Prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera są lokalnie hölderowsko ciągłe z dowolnym parametrem γ<1/2.

Mamy E⁢Ws-Wtp=s-tp/2⁢E⁢W1p=Cp⁢s-tp/2 dla dowolnego p<∞. Stosując Twierdzenie 3.1 z β=p/2-1, α=p dostajemy hölderowską ciągłość trajektorii z dowolnym γ<12-1p. Biorąc p→∞ dostajemy tezę.

∎

Uwaga 3.1

Prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera nie są jednostajnie ciągłe na 0,∞, nie mogą więc być globalnie hölderowskie z żadnym wykładnikiem.

Uwaga 3.2

Założenia β>0 nie można opuścić – wystarczy rozważyć proces Poissona Ntt≥0 (tzn. proces o prawostronnie ciaglych trajektoriach, startujący z zera, o przyrostach niezależnych taki, że Nt-Ns ma rozkład Poissona z parametrem λ⁢t-s – zob. np. rozdział 23 w [1]). Wówczas E⁢Nt-Ns=λ⁢t-s, a oczywiście proces Poissona przyjmuje wartości całkowite, więc nie ma modyfikacji o ciągłych trajektoriach.

3.3. Uwagi i uzupełnienia

W tym wykładzie koncentrowaliśmy uwagę nad procesami o trajektoriach ciągłych. Warto jednak wspomnieć o innych formach ciągłości procesów stochastycznych.

Definicja 3.3

Niech X=Xtt∈T będzie procesem stochastycznym. Mówimy, że
a) proces X jest stochastycznie ciągły, jeśli

tn→t⁢⇒⁢Xtn⁢→P⁢Xt.

b) proces X jest ciągły wg p-tego momentu (ciągły w Lp), jeśli

tn→t⁢⇒⁢E⁢Xtn-Xtp→0.

Uwaga 3.3

Ciągłość trajektorii oraz ciągłość wg p-tego momentu implikują ciągłość stochastyczną procesu. Z pozostałych czterech implikacji między powyższymi pojęciami ciągłości procesu żadna nie jest prawdziwa bez dodatkowych założeń.

3.4. Zadania

Ćwiczenie 3.1

Proces X jest modyfikacją procesu Wienera. Które z następujących własności są spełnione dla procesu X:
a) niezależność przyrostów,
b) stacjonarność przyrostów,
c) ciągłość trajektorii,
d) limt→∞⁡Xtt=0 p.n.,
e) limt→∞⁡Xtt=0 według prawdopodobieństwa?

Ćwiczenie 3.2

Wykaż, że trajektorie procesu Wienera nie są lokalnie 1/2-hölderowskie.

Ćwiczenie 3.3

Scentrowany proces gaussowski nazywamy ułamkowym ruchem Browna, jeśli E⁢Xt-Xs2=t-s2⁢α (można wykazać, że taki proces istnieje dla 0<α<1). Udowodnij, że ułamkowy ruch Browna ma ciągłą modyfikację. Co można powiedzieć o hölderowskości jej trajektorii?

Ćwiczenie 3.4

Udowodnij tezę Uwagi 3.3.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wstęp do Analizy Stochastycznej