Zagadnienia

4.1 Filtracje z czasem ciągłym
4.2 Momenty zatrzymania
4.3 Progresywna mierzalność
4.4 Zadania

4. Filtracje, momenty zatrzymania

Pokażemy jak zmodyfikować definicje omawiane podczas kursowego wykładu z rachunku prawdopodobieństwa z przypadku czasu dyskretnego na czas ciągły.

Będziemy zakładać, że T jest lewostronnie domkniętym przedziałem (typowo T=0,∞), choć większość definicji i wyników można uogólnić na szerszą klasę zbiorów.

4.1. Filtracje z czasem ciągłym

Definicja 4.1

FiltracjąFtt∈T przestrzeni probabilistycznej Ω,F,P nazywamy rosnącą rodzinę σ-ciał zawartych w F, tzn. Ft⊂Fs⊂F dla t≤s,⁢t,s∈T.

Zdarzenia z σ-ciała Ft możemy interpretować jako zdarzenia obserwowalne do chwili t.

Definicja 4.2

Niech X=Xtt∈T będzie procesem stochastycznym. Filtracją generowaną przez X nazywamy rodzinę FtXt∈T daną wzorem FtX=σ(Xs:s≤t).

Stwierdzenie 4.1

Proces Xt ma przyrosty niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych t<s, t,s∈T przyrost Xs-Xt jest niezależny od σ-ciała FtX.

⇒: Rodzina A zdarzeń niezależnych od Xs-Xt tworzy λ-układ, ponadto, z niezależności przyrostów X, zawiera π-układ zdarzeń postaci Xt1∈A1,…,Xtn∈An dla t1<…<tn≤t, który generuje σ-ciało FtX. Zatem, na mocy twierdzenia o π- i λ-układach, A⊃FtX.

⇐: Ustalmy t1<…<tn oraz zbiory borelowskie A1,…,An. Zdarzenie Xt1∈A1,Xt2-Xt1∈A2,…,Xtn-1-Xtn-2∈An-1 należy do σ-ciała Ftn-1X, więc jest niezależne od zmiennej Xtn-Xtn-1. Stąd

	P(	Xt1∈A1,Xt2-Xt1∈A2,…,Xtn-Xtn-1∈An)
		=P(Xt1∈A1,…,Xtn-1-Xtn-2∈An-1)P(Xtn-Xtn-1∈An).

Iterując to rozumowanie pokazujemy, że

	P(Xt1∈	A1,Xt2-Xt1∈A2,…,Xtn-Xtn-1∈An)
		=P(Xt1∈A1)P(Xt2-Xt1∈A2,)⋯P(Xtn-Xtn-1∈An).

∎

Definicja 4.3

Proces X=Xt nazywamy zgodnym z filtracją Ftt∈T, Ft-adaptowalnym lub adaptowanym do filtracji Ftt∈T, jeśli dla wszystkich t∈T, Xt jest Ft mierzalne.

Uwaga 4.1

Oczywiście proces X jest zgodny z filtracją Ftt∈T wtedy i tylko wtedy, gdy FtX⊂Ft dla t∈T. W szczególności każdy proces X jest zgodny z filtracją przez siebie generowaną.

4.2. Momenty zatrzymania

Definicja 4.4

Momentem zatrzymania (momentem Markowa, czasem zatrzymania) względem filtracji Ftt∈T nazywamy zmienną losową o wartościach w T∪∞ taką, że {τ≤t}∈Ft dla wszystkich t∈T.

Moment zatrzymania to strategia przerwania eksperymentu losowego (np. zakończenia udziału w pewnej grze losowej) taka, że decyzję o przerwaniu do chwili t podejmujemy tylko na podstawie obserwacji dostępnych w tym czasie.

Dla zbioru A⊂R i procesu stochastycznego Xtt∈T określmy

τA=inf⁡t∈T:Xt∈A.

Stwierdzenie 4.2

Jeśli Xtt∈T jest Ft-adaptowalnym procesem o ciągłych trajektoriach, zaś A zbiorem domkniętym, to τA jest momentem zatrzymania względem filtracji Ft.

Niech T0⊂T będzie gęstym podzbiorem T zawierającym lewy koniec. Z domkniętości zbioru A i ciągłości X dostajemy dla t∈T,

{τA≤t}={∃s≤tXs∈A}=⋂n=1∞⋃s≤t,s∈T0{Xs∈A1/n}∈Ft,

gdzie

Aε:=x∈Rn:d⁢x,A<ε⁢⁢ (ε-otoczka zbioru A).

∎

Uwaga 4.2

Jeśli w powyższym przykładzie A będzie zbiorem otwartym, to τA nie musi być momentem zatrzymania względem filtracji Ftt∈T, ale musi być momentem zatrzymania względem filtracji Ft+t∈T, gdzie dla t<sup⁡T

Ft+:=⋂s>tFs,

a jeśli t jest największym elementem T, to kładziemy Ft+=Ft.

Powyższa uwaga motywuje poniższą definicję, która ma nieco techniczny charakter, ale jest powszechnie używana w teorii procesów.

Definicja 4.5

Filtrację Ftt∈T nazywamy prawostronnie ciągłą, jeśli Ft+=Ft dla wszystkich t∈T. Mówimy, że filtracja Ftt∈T spełnia zwykłe warunki, jeśli
a) jest prawostronnie ciągła,
b) dla wszystkich t, Ft zawiera wszystkie zbiory miary zero, tzn. jeśli A∈F, P⁢A=0, to A∈Ft.

Definicja 4.6

Niech τ będzie momentem zatrzymania względem filtracji Ftt∈T. Definiujemy σ-ciało zdarzeń obserwowalnych do chwili τ wzorem

Fτ:=A∈F∞:=σ⁢⋃t∈TFt:∀t∈T⁢A∩τ≤t∈Ft.

Stwierdzenie 4.3

a) Zbiór Fτ jest σ-ciałem.
b) Jeśli τ≤σ, to Fτ⊂Fσ.
c) Zmienna losowa τ jest Fτ mierzalna.

a) Zbiór Ω∈Fτ, bo Ω∩{τ≤t}={τ≤t}∈Ft. Jeśli A∈Fτ, to A′∩{τ≤t}={τ≤t}∖(A∩{τ≤t})∈Ft, czyli A′∈Fτ. Jeśli An∈Fτ, to ⋃nAn∩τ≤t=⋃nAn∩τ≤t∈Ft, zatem ⋃nAn∈Fτ.

b) Weźmy A∈Fτ, wówczas dla t∈T, A∩{σ≤t}=A∩{τ≤t}∩{σ≤t}∈Ft, czyli A∈Fσ.

c) Wystarczy pokazać, że {τ≤s}∈Fτ, ale {τ≤s}∩{τ≤t}={τ≤s∧t}∈Fs∧t⊂Ft.

∎

Stwierdzenie 4.4

Załóżmy, że τ i σ są momentami zatrzymania. Wówczas Fτ∧σ=Fτ∩Fσ oraz zdarzenia {τ<σ},{σ<τ},{τ≤σ},{σ≤τ},{τ=σ} należą do Fτ∧σ.

Zauważmy, że τ∧σ jest momentem zatrzymania oraz τ∧σ≤τ i τ∧σ≤σ, zatem na mocy Stwierdzenia 4.3 dostajemy Fτ∧σ⊂Fτ∩Fσ. Na odwrót, jeśli A∈Fτ∩Fσ, to A∩{τ∧σ≤t}=A∩({τ≤t}∪{σ≤t})=(A∩{τ≤t})∪(A∩{σ≤t})∈Ft, czyli A∈Fτ∧σ. Dalszą część stwierdzenia pozostawiamy do samodzielnego udowodnienia w ramach prostego ćwiczenia.

∎

4.3. Progresywna mierzalność

Okazuje się, że adaptowalność procesu nie gwarantuje np. mierzalności zmiennych Xτ dla wszystkich momentów zatrzymania τ. Dlatego wprowadzimy jeszcze jedną techniczną definicję.

Definicja 4.7

Proces X=Xtt∈T nazywamy progresywnie mierzalnym względem filtracji Ftt∈T, jeśli dla każdego t∈T, funkcja s,ω→Xs⁢ω traktowana jako funkcja ze zbioru T∩-∞,t×Ω w R jest mierzalna względem σ-algebry B⁢T∩-∞,t⊗Ft. Równoważnie

∀t∈T⁢∀A∈B⁢R⁢s,ω∈T×Ω:s≤t,Xs⁢ω∈A∈B⁢T∩-∞,t⊗Ft.

Stwierdzenie 4.5

Załóżmy, że T jest przedziałem oraz dany jest proces X=Xtt∈T oraz filtracja Ftt∈T.
a) Jeśli proces X jest progresywnie mierzalny względem Ft, to jest Ft-adaptowalny.
b) Jeśli proces X jest Ft-adaptowalny oraz ma prawostronnie ciągłe trajektorie, to jest progresywnie mierzalny względem Ft.

a) Zbiór ω:Xt⁢ω∈A jest przekrojem zbioru s,ω∈T×Ω:s≤t,Xs⁢ω∈A, a zatem należy do Ft.

b) Ustalmy t∈T i połóżmy dla s∈T, s≤t, Xsn:=Xt-2-n⁢k, gdzie k jest liczbą całkowitą taką, że t-2-n⁢k+1<s≤t-2-n⁢k. Wówczas

	{(s,ω)∈T×Ω:	s≤t,Xsn(ω)∈A}
		=⋃k=0∞T∩t-k+12n,t-k2n×ω:Xt-k2n⁢ω∈A
		∈B⁢T∩-∞,t⊗Ft.

Zatem funkcja Xsn⁢ω,s∈T∩-∞,t,ω∈Ω jest B⁢T∩-∞,t⊗Ft mierzalna. Wobec prawostronnej ciągłości X mamy Xs⁢ω=limn→∞⁡Xsn⁢ω, więc funkcja Xs⁢ω,s∈T∩-∞,t,ω∈Ω jest B⁢T∩-∞,t⊗Ft mierzalna jako granica funkcji mierzalnych.

∎

Jeśli τ jest momentem zatrzymania, a X=Xtt∈T procesem, to zmienna Xτ jest dobrze zdefiniowana tylko na zbiorze τ<∞. Musimy zatem określić co mamy na myśli mówiąc, że zmienna Xτ jest mierzalna.

Definicja 4.8

Mówimy, że zmienna losowa X określona na zbiorze A jest mierzalna względem σ-ciała G zawierającego A, jeśli ω∈A:⁢X⁢w∈B∈G dla dowolnego zbioru borelowskiego B.

Przed sformułowaniem kolejnego stwierdzenia wprowadzimy jeszcze jedną użyteczną definicję.

Definicja 4.9

Jeśli X=Xtt∈T jest procesem stochastycznym, a τ zmienną o wartościach w T∪∞, to definujemy Xτ=Xtτt∈T – proces X zatrzymany w czasie τ wzorem Xtτ=Xτ∧t.

Stwierdzenie 4.6

Załóżmy, że X=Xtt∈T jest procesem progresywnie mierzalnym względem filtracji Ftt∈T, a τ jest momentem zatrzymania. Wówczas zmienna losowa Xτ określona na zbiorze {τ<∞}∈Fτ jest Fτ mierzalna. Ponadto Xτ – proces X zatrzymany w chwili τ jest progresywnie mierzalny.

Odwzorowanie

s,ω→τ⁢ω∧s,ω:T∩-∞,t×Ω→T∩-∞,t×Ω

jest mierzalne względem σ-ciała B(T∩(-∞,t])⊗Ft). Jeśli złożymy je z odwzorowaniem

s,ω→Xs⁢ω⁢⁢ mierzalnym z ⁢T∩-∞,t×Ω,B⁢T∩-∞,t⊗Ft⁢ w ⁢R,

to otrzymamy odwzorowanie

s,ω→Xτ⁢ω∧s⁢ω⁢⁢ mierzalne z ⁢T∩-∞,t×Ω,B⁢T∩-∞,t⊗Ft⁢ w ⁢R.

Stąd wynika progresywna mierzalność procesu Xτ. By zakończyć dowód zauważmy, że

{Xτ∈A}∩{τ≤t}={Xτ∧t∈A}∩{τ≤t}∈Ft

na mocy progresywnej mierzalności (a właściwie adaptowalności) Xτ.

∎

4.4. Zadania

Ćwiczenie 4.1

Załóżmy, że T jest przedziałem i określmy:

Ft+:=⋂s>tFs,⁢Ft-:=σ⁢⋃s<tFs.

a) Wykaż, że filtracja Ft+ jest prawostronnie ciągła, tzn. Ft+A+=Ft+.
b) Udowodnij, że jeśli Ft=FtX jest filtracją generowaną przez proces X o lewostronnie ciągłych trajektoriach, to Ft-=Ft.
c) Niech T=0,∞,A∈F oraz Xt=t-1+⁢IA. Znajdź FtX.
d) Dla X jak w punkcie c) określmy τ:=inf⁡t:Xt>0. Wykaż, że τ nie jest momentem zatrzymania względem FtX ale jest momentem zatrzymania względem Ft+X.

Ćwiczenie 4.2

Załóżmy, że T jest przedziałem, wykaż, że:
a) jeśli τ jest momentem zatrzymania, to {τ<t}∈Ft dla wszystkich t;
b) jeśli {τ<t}∈Ft dla wszystkich t, to τ jest momentem zatrzymania względem Ft+.

Ćwiczenie 4.3

Niech T=0,∞, a τ będzie momentem zatrzymania, które ze zmiennych τ+1,τ2,τ-1 muszą być momentami zatrzymania?

Ćwiczenie 4.4

Niech T=0,∞, a Xt procesem Ft-adaptowalnym o ciągłych trajektoriach. Wykaż, że dla A otwartego τA:=inf⁡t:Xt∈A jest momentem zatrzymania względem Ft+.

Ćwiczenie 4.5

Wykaż, że jeśli τ i σ są momentami zatrzymania, to zdarzenia {τ<σ},{τ=σ} i τ≤σ należą do Fτ, Fσ i Fτ∧σ.

Ćwiczenie 4.6

Wykaż, że jeśli τ jest momentem zatrzymania, to proces Xt:=I0,τ⁢t jest progresywnie mierzalny.

Ćwiczenie 4.7

Niech τ będzie momentem zatrzymania względem Ftt∈T, a Xt będzie procesem Ft-adaptowalnym. Wykaż, że
a) τ jest Fτ-mierzalne;
b) jeśli τ przyjmuje przeliczalnie wiele wartości, to Xτ jest Fτ mierzalny na zbiorze τ<∞.

Ćwiczenie 4.8

Wykaż, że jeśli σ jest momentem zatrzymania, τ≥σ oraz τ jest Fσ mierzalny, to τ jest momentem zatrzymania.

Ćwiczenie 4.9

Wykaż, że jeśli proces Xt ma niezależne przyrosty i prawostronnie ciągłe trajektorie, to dla s≥t zmienna Xs-Xt jest niezależna od Ft+X.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wstęp do Analizy Stochastycznej