Zagadnienia

5.1 Definicje i przykłady
5.2 Nierówności maksymalne
5.3 Zadania

5. Martyngały z czasem ciągłym

Tak jak podczas poprzedniego wykładu, jeśli nie zaznaczymy inaczej, będziemy zakładać, że T jest lewostronnie domkniętym przedziałem.

5.1. Definicje i przykłady

Definicja 5.1

Mówimy, że Xtt∈T jest martyngałem (odp. podmartyngałem, nadmartyngałem) względem filtracji Ftt∈T lub, że Xt,Ftt∈T jest martyngałem (odp. podmartyngałem, nadmartyngałem), jeśli
a) dla wszystkich t∈T, Xt jest Ft-mierzalny i E⁢Xt<∞,
b) dla dowolnych s,t∈T,s<t, E(Xt|Fs)=Xs p.n. (odp. ≥ dla podmartyngału i ≤ dla nadmartyngału).

Przykład 5.1

Jeśli X jest całkowalną zmienną losową, a Ft dowolną filtracją to Xt:=E(X|Ft) jest martyngałem.
Sprawdzamy dla t>s,

E(Xt|Fs)=E(E(X|Ft)|Fs)=E(X|Fs)=Xs p.n..

Przykład 5.2

Wtt≥0 jest martyngałem względem naturalnej filtracji Ft=σ(Ws:s≤t).
Istotnie dla t>s mamy z niezależności przyrostów

E(Wt|Fs)=E(Ws|Fs)+E(Wt-Ws|Fs)=Ws+E(Wt-Ws)=Ws p.n..

Przykład 5.3

Wt2t≥0 jest podmartyngałem, a Wt2-tt≥0 martyngałem względem naturalnej filtracji Ft=σ(Ws:s≤t).
Liczymy dla t>s,

	E(Wt2\|Fs)	=E(Ws2\|Fs)+E(2Ws(Wt-Ws)\|Fs)+E((Wt-Ws)2\|Fs)
		=Ws2+2WsE(Wt-Ws)+E(Wt-Ws)2=Ws2+t-s p.n..

Uwaga 5.1

W ostatnich dwu przykładach filtrację FtW można zastąpić filtracją Ft+W.

Stwierdzenie 5.1

Załóżmy, że Xt,Ft jest martyngałem (odp. podmartyngałem), zaś f:R→R funkcją wypukłą (odp. wypukłą i niemalejącą) taką, że E⁢f⁢Xt<∞ dla wszystkich t. Wówczas f⁢Xt,Ft jest podmartyngałem.

Z nierówności Jensena mamy E(f(Xt)|Fs)≥f(E(Xt|Fs)) p.n., a ostatnia zmienna jest równa f⁢Xs w przypadku martyngału i nie mniejsza niż f⁢Xs dla podmartyngału.

∎

Przypomnijmy definicję funkcji harmonicznych.

Definicja 5.2

Funkcję f:Rn→R nazywamy podharmoniczną (odp. harmoniczną, nadharmoniczną) jeśli jest ograniczona na zbiorach zwartych oraz

∀x∈Rn⁢∀r≥0⁢f⁢x≤1Sn-1⁢∫Sn-1f⁢x+r⁢y⁢d⁢σ⁢y⁢⁢(odp. =, ≥),

gdzie σ⁢y jest miarą powierzchniową na sferze, a Sn-1=∫Sn-1d⁢σ⁢y=2⁢πn/2⁢Γ⁢n/2-1.

Uwaga 5.2

Funkcja gładka jest harmoniczna (odp. pod-,nad-) wtedy i tylko wtedy, gdy Δ⁢f=0 (odp. ≥, ≤). Dla n=1 warunek podharmoniczności jest równoważny wypukłości. Funkcja f⁢x=-ln⁡x-x0 jest nadharmoniczna na R2, a funkcja f⁢x=x-x02-d nadharmoniczna na Rd dla d>2.

Stwierdzenie 5.2

Niech Wt=Wt1,…,Wtd będzie d-wymiarowym procesem Wienera, FtW=σ(Ws:s≤t), zaś f:Rd→R funkcją harmoniczną (odp. nad-, pod-) taką, że E⁢f⁢Wt<∞ dla t≥0. Wówczas f⁢Wt,FtW jest martyngałem (odp. nad-, pod-).

Liczymy dla t>s korzystając z niezależności przyrostów procesu Wienera oraz wprowadzając współrzędne sferyczne,

	E(f(Wt)\|FsW)	=E(f(Ws+(Wt-Ws))\|FsW)
		=2⁢π⁢t-s-d/2⁢∫Rdf⁢Ws+x⁢e-x22⁢t-s⁢d⁢x
		=2⁢π⁢t-s-d/2⁢∫0∞rd-1⁢e-r22⁢t-s⁢∫Sd-1f⁢Ws+y⁢d⁢σ⁢y⁢d⁢r
		=2⁢π⁢t-s-d/2⁢Sd-1⁢f⁢Ws⁢∫0∞rd-1⁢e-r22⁢t-s⁢d⁢r
		=(2π)-d/2\|Sd-1\|∫0∞rd-1e-r22drf(Ws)=cdf(Ws) p.n..

By zauważyć, że cd=1 przeprowadzamy albo bezpośredni rachunek, albo podstawiamy powyżej f≡1.

∎

5.2. Nierówności maksymalne

Zacznijmy od przypomnienia podstawowego lematu dla martyngałów z czasem dyskretnym, pochodzącego od Dooba.

Lemat 5.1

Załóżmy, że Xn,Fn0≤n≤N jest martyngałem (odp. nad-, pod-), zaś 0≤τ≤σ≤N dwoma momentami zatrzymania. Wówczas

E(Xσ|Fτ)=Xτ p.n. (odp. ≤, ≥).

Musimy pokazać, że dla A∈Fτ, E⁢Xτ⁢IA=E⁢Xσ⁢IA. Połóżmy Ak:=A∩τ=k dla k=0,1,…,N. Mamy

Xσ-Xτ⁢IAk=Xσ-Xk⁢IAk=∑i=kσ-1Xi+1-Xi⁢IAk=∑i=kNXi+1-Xi⁢IAk∩σ>i,

zatem

E⁢Xσ-Xτ⁢IAk=∑i=kNE⁢Xi+1-Xi⁢IAk∩σ>i=0,

gdyż Ak∩σ>i∈Fi. Stąd

E⁢Xσ-Xτ⁢IA=∑k=0NE⁢Xσ-Xτ⁢IAk=0.

∎

Uwaga 5.3

Lemat 5.1 nie jest prawdziwy, jeśli nie założymy ograniczoności momentów zatrzymania, np. biorąc Xn=∑k=1nεn, gdzie εn niezależne zmienne losowe takie, że Pεn=±1=1/2, Fn=σ⁢ε1,…,εn, τ=0, σ=inf⁡n:Xn=1 widzimy, że E⁢Xτ=0≠1=E⁢Xσ.

Przed sformułowaniem kolejnego lematu przypomnijmy, że przez X+ i X- oznaczamy odpowiednio część dodatnią i ujemną zmiennej X, tzn. X+:=max⁡X,0 oraz X-:=max-X,0.

Lemat 5.2

Niech Xn,Fn0≤n≤N będzie podmartyngałem, wówczas dla wszystkich λ≥0 mamy

a)λP(max0≤n≤NXn≥λ)≤EXNI{max0≤n≤NXn≥λ}≤EXN+,

b)λP(min0≤n≤NXn≤-λ)≤EXNI{min0≤n≤NXn>-λ}-EX0≤EXN+-EX0.

a) Niech τ:=inf⁡n:Xn≥λ, z Lematu 5.1 dostajemy (wobec τ∧N≤N)

	E⁢XN	≥EXτ∧N=EXτI{max0≤n≤NXn≥λ}+EXNI{max0≤n≤NXn<λ}
		≥λP(max0≤n≤NXn≥λ)+EXNI{max0≤n≤NXn<λ}

i po przeniesieniu wartości oczekiwanych na jedną stronę dostajemy postulowaną nierówność.

b) Definiujemy τ:=inf⁡n:Xn≤-λ, z Lematu 5.1 dostajemy (wobec τ∧N≥0)

	E⁢X0	≤EXτ∧N=EXτI{min0≤n≤NXn≤-λ}+EXNI{min0≤n≤NXn>-λ}
		≤-λP(min0≤n≤NXn≤-λ)+EXNI{min0≤n≤NXn>-λ}

i znów wystarczy pogrupować wartości oczekiwane.

∎

Wniosek 5.1

Jeśli Xn,Fn0≤n≤N jest martyngałem, bądź nieujemnym podmartyngałem, to

a)∀p≥1∀λ≥0λpP(max0≤n≤N|Xn|≥λ)≤E|XN|p,

b)∀p>1E|XN|p≤Emax0≤n≤N|Xn|p≤(pp-1)pE|XN|p.

a) Funkcja f⁢t=tp jest wypukła, niemalejąca na R+, stąd na mocy Stwierdzenia 5.1 Xnp jest nieujemnym podmartyngałem, zatem z Lematu 5.2 mamy

	λp⁢Pmax0≤n≤N⁡Xn≥λ	=λp⁢Pmax0≤n≤N⁡Xnp≥λp
		≤E\|XN\|pI{max0≤n≤N\|Xn\|p≥λp}≤E\|XN\|p.

b) Niech X*:=max0≤n≤N⁡Xn, z rachunku przeprowadzonego powyżej dla p=1,

λ⁢PX*≥λ≤E⁢XN⁢I{X*≥λ}.

Stosując kolejno wzór na całkowanie przez części, twierdzenie Fubiniego i nierówność Höldera dostajemy

	E⁢max0≤n≤N⁡Xnp	=p∫0∞λp-1P(X≥λ)dλ≤p∫0∞λp-2E\|XN\|I{X≥λ}dλ
		=pE\|XN\|∫0Xλp-2dλ≤pp-1E\|XN\|(X)p-1
		≤pp-1⁢E⁢XNp1/p⁢E⁢X*pp-1/p.

Jeśli E⁢XNp<∞, to na mocy nierówności Jensena, E⁢Xnp≤E⁢XNp<∞ dla 0≤n≤N oraz E⁢X*p≤E⁢∑n=0NXnp<∞. Dzieląc więc otrzymaną poprzednio nierówność stronami przez E⁢X*pp-1/p dostajemy

E⁢X*p1/p≤pp-1⁢E⁢XNp1/p.

∎

Udowodnimy teraz nierówność maksymalną Dooba w przypadku ciągłym.

Twierdzenie 5.1

Załóżmy, że Xt,Ftt∈T martyngałem lub nieujemnym podmartyngałem, o prawostronnie ciągłych trajektoriach. Wówczas

a)∀p≥1∀λ≥0λpP(supt∈T|Xt|≥λ)≤supt∈TE|Xt|p,

b)∀p>1supt∈TE|Xt|p≤Esupt∈T|Xt|p≤(pp-1)psupt∈TE|Xt|p.

Uwaga 5.4

Oczywiście, jeśli T zawiera element maksymalny tmax, to przy założeniach twierdzenia supt∈T⁡E⁢Xtp=E⁢Xtmaxp.

Jeśli D jest skończonym podzbiorem T, to na podstawie Wniosku 5.1 dostajemy

λp⁢Psupt∈D⁡Xt≥λ≤supt∈D⁡E⁢Xtp≤supt∈T⁡E⁢Xtp.

Niech T0 będzie gęstym podzbiorem T zawierającym prawy koniec T (o ile taki istnieje), zaś Dn wstępującym ciągiem skończonych podzbiorów T0 takim, że ⋃nDn=T0. Wówczas dla dowolnego λ~>0 dostajemy na mocy prawostronnej ciągłości

	λ~p⁢Psupt∈T⁡Xt>λ~	=λ~p⁢Psupt∈T0⁡Xt>λ~
		=limn→∞λ~pP(supt∈Dn\|Xt\|>λ~)≤supt∈TE\|Xt\|p.

Biorąc ciąg λ~n↗λ dostajemy postulowaną w a) nierówność. Nierówność z punktu b) wynika z Wniosku 5.1 w podobny sposób.

∎

Uwaga 5.5

Punkt b) Twierdzenia 5.1 nie zachodzi dla p=1 – można skonstruować martyngał dla którego supt⁡E⁢Xt<∞, ale E⁢supt⁡Xt=∞. Zachodzi jednak (przy założeniach Twierdzenia 5.1) nierówność

E⁢supt∈T⁡Xt≤ee-1⁢1+supt∈T⁡E⁢Xt⁢ln+⁡Xt.

Wniosek 5.2

Dla dowolnych u,s>0 zachodzi

⁢Psup0≤t≤s⁡Wt≥u≤e-u22⁢s.

Ustalmy λ>0, wówczas Mt:=exp⁡λ⁢Wt-λ2⁢t2 jest martyngałem względem filtracji FtW generowanej przez proces Wienera (Ćwiczenie 5.2). Stąd na mocy Twierdzenia 5.1 a) z p=1 i nieujemności Mt dostajemy

	Psup0≤t≤s⁡Wt≥u	≤Psup0≤t≤s⁡Mt≥eλ⁢u-λ2⁢s2
		≤e-λ⁢u+λ2⁢s2sup0≤t≤sE\|Mt\|=e-λ⁢u+λ2⁢s2EM0=e-λ⁢u+λ2⁢s2.

Zatem

Psup0≤t≤s⁡Wt≥u≤infλ>0⁡e-λ⁢u+λ2⁢s2=e-u22⁢s.

∎

5.3. Zadania

Ćwiczenie 5.1

Załóżmy, że Ntt≥0 jest procesem Poissona, tzn. procesem o prawostronnie ciągłych trajektoriach takim, że N0=0, N ma przyrosty niezależne, oraz Nt-Ns∼Poiss⁢t-s dla t>s. Wykaż, że Nt-λ⁢tt≥0 oraz Nt-λ⁢t2-λ⁢tt≥0 są martyngałami względem FtNt≥0.

Ćwiczenie 5.2

Wykaż, że exp⁡λ⁢Wt-λ2⁢t2,FtWt≥0 jest martyngałem dla dowolnego λ∈R.

Ćwiczenie 5.3 (Prawo iterowanego logarytmu dla procesu Wienera)

Wykaż, że
a) lim supt→∞⁡Wt2⁢t⁢ln⁡ln⁡t=1 p.n.,
b) lim inft→∞⁡Wt2⁢t⁢ln⁡ln⁡t=-1 p.n..

Wskazówka:

i) Niech C>1 oraz u>C1/2. Wykaż, że

∑nPsupCn≤t≤Cn+1⁡Wt≥u⁢2⁢Cn⁢ln⁡ln⁡Cn<∞

i wywnioskuj stąd, że lim supt→∞⁡Wt2⁢t⁢ln⁡ln⁡t≤u p.n..
ii) Wykaż, że lim supt→∞⁡Wt2⁢t⁢ln⁡ln⁡t≤1 p.n. oraz lim inft→∞⁡Wt2⁢t⁢ln⁡ln⁡t≥-1 p.n..
iii) Udowodnij, że dla g∼N⁢0,1 i t>0,

12⁢π⁢1t-1t3⁢e-t2/2≤Pg≥t≤12⁢π⁢t⁢e-t2/2.

iv) Wykaż, że dla C>1 i u<1

∑PWCn-WCn-1≥u⁢1-1/C⁢2⁢Cn⁢ln⁡ln⁡Cn=∞

i wywnioskuj stąd i z ii), że lim supt→∞⁡Wt2⁢t⁢ln⁡ln⁡t≥u⁢1-1/C1/2-C-1/2 p.n..

Ćwiczenie 5.4

Udowodnij, że
a) lim supt→0+⁡Wt2⁢t⁢ln⁡ln⁡1/t=1 p.n.,
b) lim inft→0+⁡Wt2⁢t⁢ln⁡ln⁡1/t=-1 p.n..

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wstęp do Analizy Stochastycznej