Zagadnienia

6.1 Przejścia w dół przez przedział
6.2 Zbieżność prawie na pewno
6.3 Jednostajna całkowalność
6.4 Ciągła wersja twierdzenia Dooba
6.5 Zbieżność martyngałów w Lp
6.6 Uwagi i uzupełnienia
6.7 Zadania

6. Twierdzenia o zbieżności martyngałów

Udowodnimy twierdzenia o zbieżności martyngałów z czasem ciągłym prawie na pewno i w Lp. Wykażemy też ciągłą wersję twierdzenia Dooba ,,optional sampling”.

6.1. Przejścia w dół przez przedział

Definicja 6.1

Załóżmy, że I⊂R, f:I→R oraz α<β. Jeśli I jest skończone, to określamy

τ1:=inf⁡t∈I:f⁢t≥β⁢ oraz ⁢σ1:=inf⁡t∈I:t>τ1,f⁢t≤α

i dalej indukcyjnie dla i=1,2,…

τi+1:=inf⁡t∈I:t>σi,f⁢t≥β⁢ oraz ⁢σi+1:=inf⁡t∈I:t>τi+1,f⁢t≤α.

Definiujemy

DI⁢f,α,β:=sup⁡j:σj<∞∨0.

W przypadku, gdy I jest nieskończone kładziemy

DI⁢f,α,β:=sup⁡DF⁢f,α,β:F⊂T⁢ skończone.

Wielkość DI⁢f,α,β nazywamy liczbą przejść w dół funkcji f przez przedział α,β.

Przypomnijmy fakt z rachunku prawdopodobieństwa wiążący skończoność liczby przejść ciągu przez przedział z istnieniem granicy.

Lemat 6.1

Ciąg liczbowy xn jest zbieżny do pewnej, niekoniecznie skończonej granicy wtedy i tylko wtedy, gdy DN⁢xn,α,β<∞ dla dowolnych liczb wymiernych α<β.

Następny lemat jest niewielką modyfikacją poprzedniego.

Lemat 6.2

Jeśli f:a,b→R, b≤∞ jest prawostronnie ciągłą funkcją taką, że dla dowolnych liczb wymiernych α<β, Da,b∩Q⁢f,α,β<∞, to istnieje (niekoniecznie skończona) granica limt→b⁡f⁢t.

Załóżmy, że postulowana granica nie istnieje, wtedy można znaleźć liczby wymierne α,β takie, że

lim inft→b⁡f⁢t<α<β<lim supt→b⁡f⁢t.

Stąd wynika, że istnieje rosnący ciąg liczb wymiernych tn z przedziału a,b taki, że f⁢t2⁢k-1≥β oraz f⁢t2⁢k≤α. Przyjmując I=t1,t2,… widzimy, że Da,b∩Q⁢f,α,β≥DI⁢f,α,β=∞.

∎

Lemat 6.3

Załóżmy, że X=Xtt∈T jest podmartyngałem względem pewnej filtracji, a F jest przeliczalnym podzbiorem T, wówczas

E⁢DF⁢X,α,β≤supt∈F⁡E⁢Xt-β+β-α.

Stosując twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej widzimy, że wystarczy udowodnić lemat dla skończonych zbiorów F, dla uproszczenia notacji możemy oczywiście przyjąć, że F=1,2,…,N. Zauważmy, że (przy oznaczeniach jak w Definicji 6.1)

Xτi∧N-Xσi∧N=⁡Xτi-Xσi≥β-α gdy ⁢σi<∞,Xτi-XN≥β-XN≥-XN-β+ gdy ⁢τi<σi=∞,XN-XN=0 gdy ⁢τi=∞.⁢

Zatem

∑i=1NXτi∧N-Xσi∧N≥β-α⁢DF⁢X,α,β-XN-β+.

Na mocy Lematu 5.1, E⁢Xτi∧N≤E⁢Xσi∧N, więc

0≥E⁢∑i=1NXτi∧N-Xσi∧N≥E⁢β-α⁢DF⁢X,α,β-E⁢XN-β+.

∎

6.2. Zbieżność prawie na pewno

Przypomnijmy twierdzenie dotyczące zbieżności podmartyngałów z czasem dyskretnym:

Twierdzenie 6.1

Załóżmy, że Xnn∈N jest podmartyngałem względem pewnej filtracji takim, że supn∈N⁡E⁢Xn+<∞ (lub nadmartyngałem takim, że supn∈N⁡E⁢Xn-<∞), wówczas X=limn→∞⁡Xn istnieje i jest skończona p.n., ponadto E⁢X<∞.

Sformułujemy teraz odpowiednik powyższego twierdzenia dla czasu ciągłego.

Twierdzenie 6.2

Załóżmy, że Xtt∈a,b, b≤∞ jest podmartyngałem o prawostronnie ciągłych trajektoriach takim, że supt∈a,b⁡E⁢Xt+<∞. Wówczas X=limt→b⁡Xt istnieje i jest skończony p.n., ponadto E⁢X<∞.

Dla ustalonego α<β na podstawie Lematu 6.3 mamy

E⁢Da,b∩Q⁢Xt,α,β≤1β-α⁢supt∈a,b⁡E⁢Xt-β+<∞,

zatem PDa,b∩Q⁢Xt,α,β=∞=0. Niech

A:=⋂α,β∈Q,α<βDa,b∩Q⁢Xt,α,β<∞,

wówczas P⁢A=1, bo A jest przecięciem przeliczalnej liczby zbiorów pełnej miary. Jeśli ω∈A, to Da,b∩Q⁢Xt⁢ω,α,β<∞ dla dowolnych liczb wymiernych α<β, czyli, na podstawie Lematu 6.2, granica X⁢ω:=limt→b⁡Xt⁢ω istnieje (choć apriori może być nieskończona). Zauważmy, że E⁢Xt=2⁢E⁢Xt+-E⁢Xt≤2⁢E⁢Xt+-E⁢X0, zatem supt∈a,b⁡E⁢Xt<∞. Z Lematu Fatou

E⁢X=E⁢limt→b⁡Xt≤lim inft→b⁡E⁢Xt≤supt⁡E⁢Xt<∞,

czyli zmienna X jest całkowalna, a więc w szczególności skończona p.n..

∎

Wniosek 6.1

Załóżmy, że Xtt≥0 jest niedodatnim podmartyngałem (lub nieujemnym nadmartyngałem) o prawostronnie ciągłych trajektoriach, wówczas granica X=limt→∞⁡Xt istnieje i jest skończona p.n., ponadto E⁢X<∞.

6.3. Jednostajna całkowalność

Definicja 6.2

Rodzinę zmiennych losowych Xii∈I nazywamy jednostajnie całkowalną, jeśli

limC→∞⁡supi∈I⁡E⁢Xi⁢I{|Xi|>C}=0.

Stwierdzenie 6.1

Rodzina zmiennych losowych Xii∈I jest jednostajnie całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące dwa warunki
a) supi∈I⁡E⁢Xi<∞,
b) ∀ε>0∃δ>0⁢P⁢A≤δ⇒supi∈I⁡E⁢Xi⁢IA≤ε.

⇒: Ustalmy ε>0 i dobierzmy C takie, że supi∈I⁡E⁢Xi⁢I{|Xi|>C}≤ε/2. Wówczas

∀i∈I⁢E⁢Xi≤C+E⁢Xi⁢I{|Xi|>C}≤C+ε/2<∞

oraz, jeśli P⁢A<δ:=ε2⁢C, to

E⁢Xi⁢IA≤C⁢P⁢A+E⁢Xi⁢I{|Xi|>C}≤C⁢δ+ε2=ε.

⇐: Niech α:=supi∈I⁡E⁢Xi oraz δ>0 będzie takie, że supi∈I⁡E⁢Xi⁢IA≤ε dla P⁢A≤δ. Wówczas, jeśli C=α/δ, to PXi>C<α/C=δ dla dowolnego i∈I, czyli supi∈I⁡E⁢Xi⁢I{|Xi|>C}≤ε.

∎

Podamy teraz kilka przykładów rodzin jednostajnie całkowalnych.

Przykład 6.1

Rodzina jednoelementowa Y taka, że E⁢Y<∞.

Istotnie, na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej mamy limC→∞⁡E⁢Y⁢I{|Y|>C}=0.

Przykład 6.2

Rodzina wspólnie ograniczona przez zmienną całkowalną tzn. rodzina Xii∈I taka, że ∀i∈IXi≤Y oraz E⁢Y<∞.

Wynika to ze Stwierdzenia 6.1, poprzedniego przykładu i oczywistej obserwacji E⁢Xi⁢IA≤E⁢Y⁢IA.

Przykład 6.3

Rodzina uśrednień ustalonej całkowalnej zmiennej losowej, tzn. rodzina postaci (E(X|Fi))i∈I, gdzie E⁢X<∞, zaś Fii∈I dowolna rodzina σ-podciał F.

Na podstawie nierówności Jensena E|Xi|=E|E(X|Fi)|≤E|X|, a zatem

PXi≥C≤E⁢XiC≤E⁢XC≤δ⁢⁢dla ⁢C≥E⁢Xδ.

Zbiór {|Xi|>C}∈Fi, więc z nierówności Jensena

	E⁢Xi⁢I{\|Xi\|>C}	=E\|E(XI{\|Xi\|>C}\|Fi)\|≤EE(\|X\|I{\|Xi\|>C}\|Fi)
		≤E(\|X\|I{\|Xi\|>C})≤ε,

jeśli tylko dobierzemy odpowiednio małe δ korzystając z jednostajnej całkowalności X.

Jednostajna całkowalność jest jednym z kluczowych narzędzi (obok twierdzenia o zbieżności zmajoryzowanej) pozwalającym ze zbieżności prawie na pewno wywnioskować zbieżność w Lp.

Stwierdzenie 6.2

Załóżmy, że 1≤p<∞, a Xn są zmiennymi losowymi takimi, że rodzina Xnpn=1∞ jest jednostajnie całkowalna. Wówczas Xn zbiega do zmiennej X w Lp wtedy i tylko wtedy, gdy Xn zbiega do X według prawdopodobieństwa.

Wystarczy udowodnić, że zbieżność Xn według prawdopodobieństwa implikuje zbieżność w Lp, bo przeciwna implikacja jest zawsze prawdziwa. Załóżmy więc, że Xn⁢→P⁢X, wówczas dla pewnego podciągu nk, Xnk zbiega do X p.n., stąd na mocy Lematu Fatou

E⁢Xp=E⁢limk→∞⁡Xnkp≤lim infk→∞⁡E⁢Xnkp≤supn⁡E⁢Xnp<∞.

Zatem rodzina Xnp:n=1,2,…∪Xp jest jednostajnie całkowalna. Ustalmy ε>0 i dobierzmy δ>0 tak, by dla P⁢A<δ zachodziło E⁢Xnp⁢IA≤ε oraz E⁢Xp⁢IA≤ε. Mamy

	E⁢Xn-Xp	≤εp+E⁢Xn-Xp⁢I{\|Xn-X\|>ε}
		≤εp+2p⁢E⁢Xnp⁢I{\|Xn-X\|>ε}+2p⁢E⁢Xp⁢I{\|Xn-X\|>ε},

a ponieważ Xn⁢→P⁢X, więc PXn-X>ε<δ dla dużych n, czyli

E⁢Xn-Xp≤εp+2p+1⁢ε⁢ dla dostatecznie dużych ⁢n.

∎

Wniosek 6.2

Jeśli rodzina Xnn=1∞ jest jednostajnie całkowalna oraz Xn zbiega prawie na pewno do zmiennej X, to limn→∞⁡E⁢Xn⁢IA=E⁢X⁢IA dla wszystkich zdarzeń A.

Stosujemy Stwierdzenie 6.2 i oczywiste szacowanie E⁢Xn⁢IA-E⁢X⁢IA≤E⁢Xn-X.

∎

6.4. Ciągła wersja twierdzenia Dooba

Jesteśmy teraz gotowi do dowodu ciągłej wersji Lematu 5.1.

Twierdzenie 6.3

a) Załóżmy, że T jest przedziałem, a Xtt∈T martyngałem prawostronnie ciągłym, zaś σ i τ czasami zatrzymania takimi, że σ≤τ≤tmax oraz tmax∈T. Wówczas E(Xτ|Fσ)=Xσ p.n..
b) Jeśli Xt0≤t≤∞ jest prawostronnie ciągłym martyngałem z ostatnim elementem X∞ to dla dowolnych dwu czasów zatrzymania σ≤τ, E(Xτ|Fσ)=Xσ p.n.

Udowodnimy część a) (część b) można za pomocą zmiany czasu sprowadzić do a)). Zdefiniujmy

τn⁢ω:=⁡tmax-kn dla ⁢τ⁢ω∈tmax-k+1n,tmax-kn,k=0,1,…,n2,tmax-n dla ⁢τ⁢ω≤tmax-n⁢

oraz

σn⁢ω:=⁡tmax-kn dla ⁢σ⁢ω∈tmax-k+1n,tmax-kn,k=0,1,…,n2,tmax-n dla ⁢σ⁢ω≤tmax-n.⁢

Wówczas σn≤τn≤tmax są ograniczonymi czasami zatrzymania przyjmującymi jedynie skończenie wiele wartości. Zatem na mocy Lematu 5.1 mamy E(Xτn|Fσn)=Xσn p.n., E(Xtmax|Fσn)=Xσn p.n. oraz E(Xtmax|Fτn)=Xτn p.n., w szczególności więc rodziny Xτnn=1∞ oraz Xσnn=1∞ są jednostajnie całkowalne. Ponieważ τn→τ+ oraz σn→σ+, więc z prawostronnej ciągłości X oraz Stwierdzenia 6.2, Xτn→Xτ, Xσn→Xσ p.n. i w L1. Weźmy A∈Fσ⊂Fσn, wówczas

E⁢Xτ⁢IA=limn→∞⁡E⁢Xτn⁢IA=limn→∞⁡E⁢Xσn⁢IA=E⁢Xσ⁢IA,

co oznacza, że E(Xτ|Fσ)=Xσ p.n..

∎

Wniosek 6.3

Załóżmy, że T jest przedziałem, a Mtt∈T jest prawostronnie ciągłym martyngałem względem Ftt∈T. Wówczas dla dowolnego momentu zatrzymania τ proces Mτ=Mτ∧tt∈T jest martyngałem zarówno względem Fτ∧tt∈T, jak i Ftt∈T.

Niech s<t oraz s,t∈T, wówczas τ∧s≤τ∧t≤t, więc z Twierdzenia 6.3 mamy E(Mτ∧t|Fτ∧s)=Mτ∧s p.n., czyli Mτ∧t,Fτ∧tt∈T jest martyngałem.

By udowodnić drugą część ustalmy s<t oraz A∈Fs. Nietrudno sprawdzić, że A∩τ>s∈Fτ∧s, zatem z poprzednio udowodnionej części wniosku mamy

E⁢Mτ∧t⁢IA∩τ>s=E⁢Mτ∧s⁢IA∩τ>s.

Ponadto

E⁢Mτ∧t⁢IA∩τ≤s=E⁢Mτ⁢IA∩τ≤s=E⁢Mτ∧s⁢IA∩τ≤s.

Dodając powyższe tożsamości stronami otrzymujemy E⁢Mτ∧t⁢IA=E⁢Mτ∧s⁢IA dla A∈Fs, zatem Mτ∧t,Ftt∈T jest martyngałem.

∎

6.5. Zbieżność martyngałów w Lp

Zacznijmy od warunków zbieżności martyngałów z czasem ciągłym w L1.

Twierdzenie 6.4

Załóżmy, że Xtt∈a,b, b≤∞ jest prawostronnie ciągłym martyngałem. Wówczas następujące warunki są równoważne:
a) Rodzina Xtt∈a,b jest jednostajnie całkowalna.
b) Istnieje całkowalna zmienna losowa Xb taka, że Xt zbiega do Xb w L1, tzn. limt→b⁡E⁢Xt-Xb=0.
c) Istnieje całkowalna zmienna losowa Xb mierzalna względem σ-ciała Fb:=σ⁢⋃t∈a,bFt taka, że Xt=E(Xb|Ft) dla t∈a,b.
W przypadku, gdy zachodzą warunki (a)-(c), to Xb=limt→b⁡Xt p.n..

a)⇒b): Xt jest jednostajnie całkowalny, więc supt⁡E⁢Xt<∞, czyli wobec Twierdzenia 6.2 istnieje zmienna całkowalna Xb taka, że Xt→Xb p.n. przy t→b. Z jednostajnej całkowalności i Lematu 6.2 wynika zbieżność w L1.

b)⇒c): Dla pewnego podciągu tk→b, Xtk→Xb p.n., stąd możemy zakładać, że zmienna Xb jest Fb mierzalna. Ustalmy t i A∈Ft, wówczas dla s≥t

E⁢Xt⁢IA=E⁢Xs⁢IA→E⁢Xb⁢IA,⁢s→∞.

Zatem Xt=E(Xb|Ft) p.n..

c)⇒a) Wiemy, że rodzina uśrednień ustalonej zmiennej jest jednostajnie całkowalna.

Ostatnia część twiedzenia wynika z dowodu implikacji a)⇒b).

∎

Twierdzenie 6.5

Załóżmy, że Xtt∈a,b jest prawostronnie ciągłym martyngałem. Wówczas następujące warunki są równoważne:
a) supt∈a,b⁡E⁢Xtp<∞.
b) Rodzina Xtpt∈a,b jest jednostajnie całkowalna.
c) Istnieje zmienna losowa Xb∈Lp taka, że Xt zbiega do Xb w Lp, tzn. limt→b⁡E⁢Xt-Xbp=0.
d) Istnieje zmienna losowa Xb∈Lp mierzalna względem Fb:=σ⁢⋃t∈a,bFt taka, że Xt=E(Xb|Ft) dla t∈a,b.
W przypadku, gdy zachodzą warunki (a)-(d), to Xb=limt→b⁡Xt p.n..

a)⇒b): Na podstawie Twierdzenia 5.1 wiemy, że

E⁢supt∈a,b⁡Xtp≤pp-1p⁢supt∈a,b⁡E⁢Xtp<∞.

Pozostałe implikacje dowodzimy jak w dowodzie Twierdzenia 6.4.

∎

6.6. Uwagi i uzupełnienia

W wielu twierdzeniach zakłada się, iż Xt jest prawostronnie ciągłym podmartyngałem. Oczywiście modyfikacja podmartyngału jest podmartyngałem – problem jest tylko z mierzalnością, ale znika on, gdy filtracja spełnia zwykłe warunki. Naturalnie jest więc zapytać kiedy dany podmartyngał możemy zmodyfikować tak, by stał się prawostronnie ciągły. Odpowiedź na to pytanie jest bardzo prosta.

Twierdzenie 6.6

Załóżmy, że T jest przedziałem, a X=Xtt∈T jest podmartyngałem (odp. nadmartyngałem) względem filtracji Ftt∈T spełniającej zwykłe warunki. Wówczas X ma prawostronnie ciągłą modyfikację wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja t→E⁢Xt jest prawostronnie ciągła.

6.7. Zadania

Ćwiczenie 6.1

Które z podanych niżej warunków implikują jednostajną całkowalność ciągu Xn:
a) supn⁡E⁢Xn<∞,
b) supn⁡E⁢Xn2<∞,
c) E⁢supn⁡Xn<∞,
d) zbieżność Xn w L1,
e) zbieżność Xn p.n.?

Ćwiczenie 6.2

Niech Xn,Fnn≤0 będzie podmartyngałem (z czasem odwróconym!) takim, że limn→-∞⁡E⁢Xn>-∞. Wykaż, że Xn jest jednostajnie całkowalny.

Ćwiczenie 6.3

Wykaż, że martyngał Mt=exp⁡λ⁢Wt-λ2⁢t/2 jest zbieżny p.n. i znajdź jego granicę. Czy jest on zbieżny w L1?

Ćwiczenie 6.4

a) Wykaż, że jeśli f jest dwukrotnie różniczkowalna na R oraz f,f′,f′′ są ograniczone, to

Mt=f⁢Wt-f⁢W0-12⁢∫0tf′′⁢Wu⁢d⁢u

jest martyngałem względem FtW.
b) Ogólniej, jeśli f jest dwukrotnie różniczkowalna na Rd, pochodne cząstkowe f rzędu mniejszego niż 2 są ograniczone oraz W jest d-wymiarowym procesem Wienera, to

Mt=f⁢Wt-f⁢W0-12⁢∫0t∑j=1d∂2⁡f∂⁡xj2⁢Wu⁢d⁢u

jest martyngałem względem FtW.

Ćwiczenie 6.5

Niech τ będzie momentem zatrzymania względem FtW.
a) Wykaż, że Wτ∧n,Fτ∧nn=1∞ jest martyngałem.
b) Udowodnij, że jeśli E⁢τ<∞, to E⁢supn⁡Wτ∧n2<∞.
c) Wykaż, że jeśli E⁢τ<∞, to E⁢Wτ2=E⁢τ i E⁢Wτ=0.

Ćwiczenie 6.6

Niech Wt będzie jednowymiarowym procesem Wienera oraz

τa:=inf⁡t>0:Wt=a,⁢τ~a:=inf⁡t>0:Wt=a.

Rozpatrując martyngały Wt i Wt2-t wykaż, że
a) τa<∞ p.n. dla wszystkich a∈R,
b) Pτa<τ-b=ba+b dla a,b>0,
c) E⁢τ~a=a2 dla a≥0,
d) E⁢τa∧τ-b=a⁢b dla a,b>0,
e) E⁢τa=∞ dla wszystkich a≠0.

Ćwiczenie 6.7

Rozpatrując martyngały Mtλ=exp⁡λ⁢Wt-λ2⁢t/2 oraz Ntλ=Mtλ+Mt-λ/2 wykaż, że przy oznaczeniach poprzedniego zadania, dla wszystkich a,λ≥0,
a) E⁢e-λ⁢τa=e-a⁢2⁢λ,
b) E⁢e-λ⁢τ~a=cosh⁡a⁢2⁢λ-1.

Ćwiczenie 6.8

Niech Wt=Wt1,…,Wtd będzie d wymiarowym procesem Wienera, a x0∈Rd oraz d>2.
a) Wykaż, że Wt-x02-d jest nieujemnym nadmartyngałem.
b) Udowodnij, że Wt-x02-d zbiega przy t→∞ do 0 według prawdopodobieństwa i p.n. oraz wywnioskuj stąd, że limt→∞⁡Wt=∞ p.n..
c) Wykaż, że dla prawostronnie ciągłego nadmartyngału Xtt≥a zachodzi

∀λ>0⁢λ⁢Psupt≥a⁡Xt≥λ≤supt⁡E⁢Xt-+E⁢Xa.

d) Wykaż, że P∃t>0⁢Wt=x0=0.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wstęp do Analizy Stochastycznej