Zagadnienia

7.1 Całka Riemanna-Stieltjesa
7.2 Całka Lebesgue'a-Stieltjesa
7.3 Nieskończone wahanie ciągłych martyngałów
7.4 Zadania

7. Całka Stieltjesa

Podstawowy problem jakim się zajmiemy podczas najbliższych wykładów polega na ścisłym zdefiniowaniu całek ∫0tf⁢s⁢d⁢Ws, ∫0tXs⁢d⁢Ws lub ogólniej ∫0tXs⁢d⁢Ys, gdzie f⁢s jest ,,porządną” funkcją, a Xs, Ys są ,,porządnymi” procesami stochastycznymi.

Najprostsze podejście polega na zdefiniowaniu osobno całki dla każdej trajektorii, tzn. określeniu dla ustalonego ω∈Ω, ∫0sYs⁢ω⁢d⁢Xs⁢ω. Sposób takiej konstrukcji daje całka Stieltjesa, uogólniająca całkę Riemanna.

7.1. Całka Riemanna-Stieltjesa

W tej części podamy tylko podstawowe fakty i definicje, bez dowodów. Więcej informacji oraz kompletne dowody można znaleźć w [2, 9] i [7].

Definicja 7.1

Podziałem przedziałua,b nazywamy niemalejący ciąg liczb Π=t0,t1,…,tk taki, że a=t0≤t1≤…≤tk=b. Średnicę podziału Π definiujemy wzorem diam(Π):=maxi|ti+1-ti|.
Mówimy, że podział Π′ jest podpodziałem Π (ozn. Π′≺Π) jeśli wszystkie punkty Π są punktami Π′.
Ciąg Πn=t0n,…,tknn nazywamy normalnym ciągiem podziałów, jeśli diam⁢Πn⟶n→∞0 oraz Πn+1≺Πn.

Definicja 7.2

Niech f,g:a,b→R. Powiemy że ∫abg⁢⁢d⁢f istnieje oraz, że g jest całkowalna względem f, jeśli dla dowolnego normalnego ciągu podziałów Πn=t0n,…,tknn oraz punktów s0n,…,skn-1n takich, że tjk≤sjk≤tj+1k istnieje skończona granica

limn→∞⁡∑j=1kng⁢sj-1k⁢f⁢tjk-f⁢tj-1k,

która nie zależy od wybranego ciągu punktów i podziałów. Granicę tą oznaczamy ∫abg⁢t⁢⁢d⁢f⁢t i nazywamy całką Riemanna-Stjeltjesa.

Uwaga 7.1

Można udowodnić, że całka ∫abg⁢⁢d⁢f istnieje oraz jest równa S, jeśli dla dowolnego ε>0 istnieje δ>0 taka, że dla dowolnego podziału Πn=t0n,…,tknn o średnicy nie większej niż δ oraz punktów s0n,…,skn-1n takich, że tjk≤sjk≤tj+1k,

S-∑j=1kng⁢sj-1k⁢f⁢tjk-f⁢tj-1k≤ε.

Uwaga 7.2

i) W przypadku f⁢t=t całka Riemanna-Stieltjesa jest całką Riemanna.
ii) Jeśli f∈C1⁢a,b, to f⁢tj+1n-f⁢tjn=f′⁢Θjn dla pewnego tjn+1≤Θjn≤tjn, stąd można prosto udowodnić, że w tym przypadku ∫abg⁢t⁢⁢d⁢f⁢t=∫abg⁢t⁢f′⁢t⁢⁢d⁢t.

Wprost z definicji natychmiast wynika.

Stwierdzenie 7.1

i) Jeśli g1 i g2 są całkowalne względem f, to dla dowolnych liczb c1 i c2 funkcja c1⁢g1+c2⁢g2 jest całkowalna względem f oraz

∫abc1⁢g1+c2⁢g2⁢d⁢f=c1⁢∫abg1⁢d⁢f+c2⁢∫abg2⁢d⁢f.

ii) Jeśli g jest całkowalna względem f1 i f2, to dla dowolnych liczb c1 i c2, g jest całkowalna względem c1⁢f1+c2⁢f2 oraz

∫abg⁢d⁢c1⁢f1+c2⁢f2=c1⁢∫abg⁢d⁢f1+c2⁢∫abg⁢d⁢f2.

Uwaga 7.3

Może się zdarzyć, że dla a<b<c całki ∫abg⁢d⁢f i ∫bcg⁢d⁢f istnieją, a całka ∫acg⁢d⁢f nie istnieje. Jeśli jednak wszystkie trzy całki istnieją, to ∫acg⁢d⁢f=∫abg⁢d⁢f+∫bcg⁢d⁢f.

Oczywiście naturalnie jest zapytać dla jakich funkcji f i g istnieje całka ∫g⁢d⁢f. By odpowiedzieć na to pytanie musimy zdefiniować funkcje o wahaniu skończonym.

Definicja 7.3

Jeśli f:a,b→R, to liczbę

Waha,b(f):=supn∈Nsupa=t0<…<tn=b∑i=1n|f(ti)-f(ti-1)|

nazywamy wahaniem funkcji f w przedziale a,b. Mówimy, że f ma wahanie skończone na a,b, jeśli Waha,b⁢f<∞.

Oczywiście 0≤Waha,b⁢f≤∞ Wahanie jest addytywną funkcją przedziału, tzn. Waha,c⁢f=Waha,b⁢f+Wahb,c⁢f dla a<b<c.

Przykład 7.1

Funkcje lipschitzowskie, funkcje monotoniczne mają wahanie skończone na ograniczonych przedziałach. Kombinacja liniowa funkcji o wahaniu skończonym ma wahanie skończone.

Przykład 7.2

Funkcja f⁢x=x⁢sin⁡1x oraz f⁢0=0 jest ciągła, ale nie ma wahania skończonego na 0,1.

Twierdzenie 7.1

Jeżeli f,g:a,b→R, przy czym g jest ciągła, a f ma wahanie skończone, to ∫abg⁢⁢d⁢f istnieje.

Twierdzenie to można odwrócić.

Twierdzenie 7.2

Jeśli całka Riemanna-Stieltjesa ∫abg⁢d⁢f istnieje dla dowolnej funkcji ciągłej g, to funkcja f ma wahanie skończone na a,b.

7.2. Całka Lebesgue'a-Stieltjesa

Stwierdzenie 7.2

Jeśli f ma wahanie skończone na a,b, to istnieją funkcje niemalejące f1,f2 takie, że f1⁢a=f2⁢a=0 oraz f⁢t=f⁢a+f1⁢t-f2⁢t. Co więcej f ma w każdym punkcie granice jednostrone. Ponadto jeśli f jest ciągła (odp. prawostronnie ciągła), to f1 i f2 można wybrać ciągłe (odp. prawostronnie ciągłe).

Szkic dowodu

Określamy f1⁢t=12⁢Waha,t⁢f+f⁢t-f⁢a oraz f2⁢t=12⁢Waha,t⁢f-f⁢t+f⁢a.

∎

Definicja 7.4

Załóżmy, że f jest prawostronnie ciągłą funkcją na a,b o wahaniu skończonym. Niech f1 i f2 będą prawostronnie ciągłymi funkcjami niemalejącymi takimi, że f1⁢a=f2⁢a=0 oraz f⁢t=f⁢a+f1⁢t-f2⁢t. Istnieją wtedy skończone miary borelowskie μ1 i μ2 na a,b takie, że μi⁢a,t=fi⁢t dla i=1,2. Dla ograniczonych funkcji mierzalnych g na a,b określamy całkę Lebesgue'a-Stieltjesa g względem f wzorem

∫a,bg⁢d⁢f=∫g⁢d⁢μ1-∫g⁢d⁢μ2.

Uwaga 7.4

Można wykazać, że dla funkcji ciągłych g całki Riemanna-Stieltjesa i Lebesgue'a-Stieltjesa g względem f są sobie równe.

7.3. Nieskończone wahanie ciągłych martyngałów

Niestety proces Wienera ma z prawdopodobieństwem jeden nieskończone wahanie na każdym przedziale. Prawdziwy jest znacznie ogólniejszy fakt.

Twierdzenie 7.3

Załóżmy, że Mtt∈a,b jest ciągłym martyngałem oraz

A=ω:Mt⁢ω⁢ ma wahanie skończone na [a,b].

Wówczas Mt ma z prawdopodobieństwem 1 trajektorie stałe na A, tzn.

P∀t∈a,b⁢Mt⁢IA=Ma⁢IA=1.

Załóżmy najpierw, że istnieje stała C<∞ taka, że dla wszystkich ω∈Ω, Waha,b⁢Mt⁢ω≤C oraz supt∈a,b⁡Mt⁢ω≤C. Ustalmy 0≤u≤b-a i rozpatrzmy zmienne losowe

Xn=∑k=0n-1Ma+k+1⁢u/n-Ma+k⁢u/n2.

Dla s<t mamy

EMsMt=EE(MsMt|Fs)=E(MsE(Mt|Fs))=EMs2,

stąd

E⁢Xn=∑k=0n-1E⁢Ma+k+1⁢u/n2-Ma+k⁢u/n2=E⁢Ma+u2-E⁢Ma2.

Szacujemy

	Xn	≤sup0≤k≤n-1⁡Ma+k+1⁢u/n-Ma+k⁢u/n⁢∑k=0n-1Ma+k+1⁢u/n-Ma+k⁢u/n
		≤sups-t≤u/n⁡Mt-Ms⁢Waha,b⁢Mt,

stąd Xn≤2⁢C2 oraz, z ciągłości M, limn→∞⁡Xn=0. Zatem z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej limn→∞⁡E⁢Xn=0, czyli E⁢Ma+u2=E⁢Ma2. Zauważmy jednak, że

	E⁢Ma+u2	=EE((Ma+(Ma+u-Ma))2\|Fa)
		=EMa2+E(Ma+u-Ma)2+2E[MaE((Ma+u-Ma)\|Fa)
		=E⁢Ma2+E⁢Ma+u-Ma2.

Stąd Ma+u=Ma p.n., czyli Mt=Ma p.n. dla dowolnego t∈a,b. Z ciągłości M wynika, że P∀t⁢Mt=Ma=1.

W przypadku ogólnym zdefiniujmy ciąg czasów zatrzymania

τn=inf⁡t≥a:supa≤s≤t⁡Ms≥n∧inf⁡t≥a:Wah0,t≥n,

wówczas martyngał Mτn spełnia założenia pierwszej części dowodu (z C=n), więc Mτn ma stałe trajektorie p.n.. Wystarczy zauważyć, że dla ω∈A, τn⁢ω=∞ dla dostatecznie dużych n.

∎

7.4. Zadania

Ćwiczenie 7.1

Załóżmy, że h jest niemalejącą funkcją ciągłą na przedziale a,b. Udowodnij, że
a) Jeśli g ma wahanie skończone, to g∘h też ma wahanie skończone.
b) Jeśli ∫h⁢ah⁢bf⁢d⁢g istnieje, to

∫abf⁢h⁢t⁢d⁢g⁢h⁢t=∫h⁢ah⁢bf⁢s⁢d⁢g⁢s.

Ćwiczenie 7.2

Załóżmy, że f,g,h:a,b→R, przy czym f i g są ciągłe, a h ma wahanie skończone. Udowodnij, że
a) H⁢x=∫axg⁢t⁢d⁢h⁢t ma wahanie skończone na a,b,
b) ∫abf⁢d⁢H=∫abf⁢g⁢d⁢h.

Ćwiczenie 7.3

Wykaż, że dla dowolnej funkcji ciągłej f o wahaniu skończonym na a,b zachodzi ∫abf⁢s⁢d⁢f⁢s=12⁢f2⁢b-f2⁢a.

Ćwiczenie 7.4

Oblicz granice w L2⁢Ω przy n→∞,
a) ∑k=0n-1Wt⁢k/n⁢Wt⁢k+1/n-Wt⁢k/n,
b) ∑k=0n-1Wt⁢k+1/n⁢Wt⁢k+1/n-Wt⁢k/n.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wstęp do Analizy Stochastycznej