Przyjmijmy, że Xt jest postaci (8.1). Ciągłość trajektorii i I⁢X0=0 wynika natychmiast z określenia I⁢X. Jeżeli tj≤t≤tj+1, to zmienna

I⁢Xt=ξ0⁢Wt1-Wt0+ξ1⁢Wt2-Wt1+…+ξj⁢Wt-Wtj

jest Ft mierzalna. Ponadto I⁢Xt=I⁢Xtm dla tm≤t≤T.

Sprawdzimy teraz, że I⁢X jest martyngałem, czyli dla s<t≤T mamy E(I(X)t|Fs)=I(X)s. Wystarczy pokazać to dla tj≤s<t≤tj+1, ale wtedy

E(I(X)t-I(X)s|Fs)=E(ξj(Wt-Ws)|Fs)=ξjE(Wt-Ws|Fs)=0,

wykorzystujemy tu założenie, że ξj jest Ftj⊂Fs mierzalne. By zakończyć dowód liczymy

	E⁢I⁢XT2=	∑k=1mE⁢ξk-12⁢Wtk-Wtk-12
		+2⁢∑j<kE⁢ξk-1⁢ξj-1⁢Wtk-Wtk-1⁢Wtj-Wtj-1	=:I1+I2.

Wykorzystując mierzalność ξj oraz niezależność przyrostów procesu Wienera mamy

I1=∑kE[ξk-12E((Wtk-Wtk-1)2|Ftk-1)]=∑kEξk-12(tk-tk-1)=E∫0TXs2ds

oraz

	I2	=2∑j<kE[(ξk-1ξj-1E((Wtk-Wtk-1)(Wtj-Wtj-1)|Ftk-1)]
		=2∑j<kE[ξk-1ξj-1(Wtj-Wtj-1)E(Wtk-Wtk-1|Ftk-1)]=0,

bo E⁢Wtk-Wtk-1=0.

∎

Dowód Twierdzenia

Oczywiście MT2,c jest przestrzenią liniową, zaś M,N jest iloczynem skalarnym, bo jest dwuliniowy, symetryczny, M,M≥0 oraz jeśli M,M=0, to E⁢MT2=0, czyli MT=0 p.n., co z własności martygału implikuje, że Mt=0 p.n., więc z ciągłości M, P∀t≤T⁢Mt=0=1.

Musimy jeszcze udowodnić zupełność. Niech Mn=Mtn∈MT2,c będzie ciągiem Cauchy'ego, czyli

Mn-MmT2=E⁢MTn-MTm2→0⁢⁢ dla ⁢m,n→∞.

Wówczas MTn jest ciągiem Cauchy'ego w L2⁢Ω,FT,P, zatem z zupełności L2 istnieje całkowalna z kwadratem zmienna MT taka, że E⁢MTn-MT2→0 przy n→∞.

Możemy położyć M~t:=E(MT|Ft), ale taka definicja nie gwarantuje ciągłości M~. Udowodnimy, że można znaleźć martyngał M, który jest ciągłą modyfikację M~.

Zauważmy, że na mocy nierówności Dooba,

E⁢supt≤T⁡Mtn-Mtm2≤4⁢E⁢MTn-MTm2,

więc możemy wybrać podciąg nk taki, że

∀l>k⁢E⁢supt≤T⁡Mtnk-Mtnl2≤8-k.

Wówczas

Psupt≤T⁡Mtnk-Mtnk+1≥2-k≤2-k.

Zatem, jeśli określimy

Ak:={supt≤T|Mtnk-Mtnk+1|≥2-k},

to ∑kP⁢Ak<∞, czyli na mocy lematu Borela-Cantelli, P⁢lim sup⁡Ak=0.

Jeśli ω∉lim sup⁡Ak, to ω∉Ak dla k≥k0=k0⁢ω, czyli supt≤T⁡Mtnk-Mtnk+1≤2-k dla k≥k0. Ciąg Mtnk⁢ω0≤t≤T jest zatem zbieżny jednostajnie na 0,T do pewnej funkcji Mt⁢ω. Kładziemy dodatkowo M⁢ω=0 dla ω∈lim sup⁡Ak.

Z ciągłości Mnk wynika ciągłość M. Ponieważ MTnk→MT w L2 więc również w L1, czyli Mtnk=E(MTnk|Ft)→E(MT|Ft) w L1, a że Mtnk→Mt p.n., więc Mt=E(MT|Ft)=M~t p.n., czyli Mt0≤t≤T jest martyngałem ciągłym.

∎

Wobec poprzednich rozważań musimy tylko pokazać, że E¯⊃L2⁢0,T×Ω,P,λ⊗P. Rozważymy dwa przypadki.

Przypadek I: T<∞.

Najpierw pokażemy, że jeśli Γ∈P, to IΓ∈E¯. W tym celu określmy A:=Γ∈P:⁢IΓ∈E¯ oraz

B:=0×A:⁢A∈F0∪u,v×A: 0≤u<v<T,⁢A∈Fu.

Łatwo sprawdzić, że B jest π-układem, ponadto jeśli Γ∈B, to IΓ∈E⊂E¯, a zatem B⊂A. Co więcej A jest λ-układem dla T<∞, bo
i) Γ=0,T×Ω∈A, czyli IΓ=1∈E¯, gdyż biorąc ciąg Tn↗T, otrzymujemy E∋I0×Ω+I0,Tn×Ω=I0,Tn×Ω⟶L2I0,T×Ω∈E¯.
ii) Γ1,Γ2∈A, Γ1⊂Γ2, IΓ2∖Γ1=IΓ2-IΓ1∈E¯ z liniowości E¯, czyli Γ2∖Γ1∈A.
iii) Γn∈A wstępujący, wówczas IΓn⟶L2I⋃Γn∈E¯, czyli ⋃Γn∈A.

Zatem dla T<∞, z twierdzenia o π- i λ-układach A⊃σ⁢B=P.

Dalej, jeśli Γi∈P, ai∈R, to ∑i=1nai⁢IΓi∈E¯ (z liniowości). Ponadto funkcje proste ∑i≤nai⁢IΓi są gęste w L2⁢0,T×Ω,P,λ⊗P, czyli E¯=L2⁢0,T×Ω,P,λ⊗P.

Przypadek II: T=∞.

Niech X∈L2⁢0,∞×Ω,P,λ⊗P oraz Xtn⁢ω:=Xt⁢ω⁢I0,n×Ω⁢t,ω. Wówczas procesy Xn są prognozowalne, należą do L2⁢0,n×Ω,P,λ⊗P, zatem Xn∈E¯ na mocy przypadku I.

Ponadto Xn→X w L2⁢0,∞×Ω,λ⊗P (tw. Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej), czyli X∈E¯.

∎

Dla T<∞ określmy

Xtn:=X0⁢I0+∑k=12n-1Xk-12n⁢T⁢Ik-12n⁢T,k2n⁢T,

zaś w przypadku T=∞ niech

Xtn:=X0⁢I0+∑k=1n⁢2nXk-12n⁢Ik-12n,k2n.

Łatwo zauważyć, że procesy Xn są prognozowalne oraz z lewostronnej ciągłości X wynika, że Xtn→Xt punktowo. Prognozowalność X wynika z faktu, że granica punktowa ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna.

∎