Funkcja t,ω→I0,u⁢t jest deterministyczna, więc prognozowalna, zatem proces I0,u⁢X jest prognozowalny jako iloczyn procesów prognozowalnych, stąd I0,u⁢X∈LT2.

Jeśli X jest procesem elementarnym postaci X=ξ0⁢I0+∑kξk⁢Itk-1,tk, to X⁢I0,u=ξ0⁢I0+∑kξk⁢Itk-1∧u,tk∧u∈E oraz

∫0tI0,u⁢s⁢Xs⁢⁢d⁢Ws=∑ξk⁢Wtk∧u∧t-Wtk-1∧u∧t=∫0t∧uXs⁢⁢d⁢Ws.

Dla X∈LT2 weźmy Xn∈E takie, że Xn→X w LT2. Wówczas oczywiście również Xn⁢I0,u→X⁢I0,u w LT2. Stąd

∫0tXs⁢I0,u⁢s⁢d⁢Ws←∫0tXsn⁢I0,u⁢s⁢d⁢Ws=∫0t∧uXsn⁢d⁢Ws→∫0t∧uXs⁢d⁢Ws.

∎

Biorąc τ∧T zamiast T możemy zakładać, że τ≤T p.n..

Proces I0,τ⁢t jest lewostronnie ciągły i adaptowalny, a zatem jest prognozowalny, czyli I0,τ⁢X jest prognozowalny (iloczyn funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną). Stąd I0,τ⁢X∈LT2.

Wzór (9.1) udowodnimy w trzech krokach.

Krok 1.X∈E, τ przyjmuje skończenie wiele wartości.

Ewentualnie powiększając ciąg ti możemy zakładać, że τ przyjmuje wartości 0=t0≤t1≤…≤tm≤T oraz X=ξ0⁢I0+∑k=0m-1ξk⁢Itk,tk+1. Mamy

	I0,τ⁢t	=∑k=0mI{τ=tk}I0,tk(t)=∑k=0m((∑j=0k-1I{τ=tk}Itj,tj+1(t))+I{τ=tk}I0)
		=IΩ⁢I0⁢t+∑j=0m-1∑k=j+1mI{τ=tk}⁢Itj,tj+1⁢t
		=IΩ⁢I0⁢t+∑j=0m-1I{τ>tj}⁢Itj,tj+1⁢t,

zatem

I0,τ⁢t⁢X=ξ0⁢I0⁢t+∑j=0m-1ξj⁢I{τ>tj}⁢Itj,tj+1⁢t,

czyli I0,τ⁢t⁢X∈E. Liczymy

	∫0tI0,τ⁢s⁢Xs⁢⁢d⁢Ws	=∑j=0m-1ξj⁢I{τ>tj}⁢Wtj+1∧t-Wtj∧t
		=∑j=0m-1∑k=j+1mξj⁢I{τ=tk}⁢Wtj+1∧t-Wtj∧t
		=∑k=1mI{τ=tk}⁢∑j=0k-1ξj⁢Wtj+1∧t-Wtj∧t
		=∑k=1mI{τ=tk}∫0t∧tkXsdWs=∫0t∧τXsdWs.

Krok 2.τ dowolne oraz X∈E.

Weźmy ciąg momentów zatrzymania τn przyjmujących skończenie wiele wartości taki, że τn↘τ. Na mocy kroku 1, para τn,X spełnia (9.1). Z ciągłości trajektorii całki stochastycznej, ∫0t∧τnXs⁢⁢d⁢Ws→∫0t∧τXs⁢⁢d⁢Ws p.n.. Mamy

	E⁢∫0tI0,τn⁢s⁢Xs⁢⁢d⁢Ws-∫0tI0,τ⁢s⁢Xs⁢⁢d⁢Ws2	=E⁢∫0tIτ,τn⁢s⁢Xs⁢⁢d⁢Ws2
		=E∫0tIτ,τn(s)Xs2ds→0.

Zbieżność wynika z twierdzenia Lebesgue'a, gdyż proces Iτ,τn⁢s⁢Xs2 dąży punktowo do zera i jest majoryzowany przez Xs2. Stąd

∫0t∧τX⁢⁢d⁢W⟵p.n.∫0t∧τnX⁢⁢d⁢W=∫0tI0,τn⁢X⁢⁢d⁢W⟶L2⁢Ω∫0tI0,τ⁢X⁢⁢d⁢W,

czyli spełnione jest (9.1).

Krok 3.τ oraz X∈LT2 dowolne.

Weźmy Xn∈E takie, że Xn→X w LT2. Z kroku 2, para τ,⁢Xn spełnia (9.1). Mamy

	E⁢∫0t∧τXs-Xsn⁢⁢d⁢Ws2	≤E⁢∫0TX-Xn⁢⁢d⁢W2
		=E∫0T(X-Xns)2ds→0,

gdzie pierwsza nierówność wynika z nierówności Jensena oraz Twierdzenia Dooba 6.3 dla martyngału ∫X-Xn⁢⁢d⁢W. Ponadto

	E⁢∫0tI0,τ⁢s⁢Xs-Xsn⁢⁢d⁢Ws2	=E⁢∫0tI0,τ⁢s⁢Xs-Xsn2⁢⁢d⁢s
		≤E∫0T(Xs-Xsn)2ds→0.

Stąd

∫0t∧τXs⁢⁢d⁢Ws⟵L2⁢Ω∫0t∧τXsn⁢⁢d⁢Ws=∫0tI0,τ⁢Xsn⁢⁢d⁢Ws⟶L2⁢Ω∫0tI0,τ⁢Xs⁢⁢d⁢Ws,

czyli (9.1) spełnione jest i w tym przypadku.

∎

⇒: Z Twierdzenia Dooba 6.3, E⁢Mτ=E⁢M0=0.

⇐: Musimy pokazać, że dla s<t, E(Mt|Fs)=Ms p.n., czyli E⁢Mt⁢IA=E⁢Ms⁢IA dla wszystkich A∈Fs. Określmy

τ:=⁡s⁢ dla ⁢ω∈A,t⁢ dla ⁢ω∉A.⁢

Jak łatwo sprawdzić τ jest momentem zatrzymania, stąd

0=E⁢Mτ=E⁢Ms⁢IA+E⁢Mt⁢IAc=E⁢Ms⁢IA-E⁢Mt⁢IA,

gdzie ostatnia równość wynika z faktu, że

E⁢Mt⁢IAc=E⁢Mt-E⁢Mt⁢IA=0-E⁢Mt⁢IA.

∎

Dowód Wniosku

Jak wiemy ∫X⁢⁢d⁢W∈MT2,c, czyli proces M jest ciągły, adaptowalny i całkowalny oraz M0=0. Dla ograniczonego momentu zatrzymania τ≤T otrzymujemy na mocy twierdzenia o zatrzymaniu całki stochastycznej

E⁢∫0τX⁢⁢d⁢W2=E⁢∫0TI0,τ⁢X⁢⁢d⁢W2=E⁢∫0TI0,τ⁢s⁢Xs2⁢⁢d⁢s=E⁢∫0τXs2⁢⁢d⁢s.

Zatem

E⁢Mτ=E⁢∫0τX⁢⁢d⁢W2-∫0τXs2⁢⁢d⁢s=0.

Teza Wniosku wynika ze Stwierdzenia 9.2.

∎

τn jest momentem zatrzymania gdyż jest definiowany poprzez moment dojścia przez adaptowalny proces ciągły ∫0tXs2⁢⁢d⁢s do zbioru domkniętego n,∞. Z założenia o skończoności ∫Xs2⁢⁢d⁢s wynika, że τn↗T p.n..

Proces I0,τn⁢X jest prognozowalny jako iloczyn procesów prognozowalnych, ponadto na mocy nierówności Schwarza i definicji τn,

E⁢∫0TI0,τn⁢s⁢Xs⁢⁢d⁢s2=E⁢∫0τnXs⁢⁢d⁢s2≤E⁢τn⁢∫0τnXs2⁢⁢d⁢s≤n2<∞.

∎

Na mocy twierdzenia o zatrzymaniu całki stochastycznej dla ustalonego t≤T,

	Mm⁢τn∧t	=∫0τn∧tI0,τmXdW=∫0tI0,τnI0,τmXdW
		=∫0tI0,τnXdW=Mn(t).

Zatem Mmτ jest modyfikacją Mn. Teza lematu wynika z ciągłości obu procesów.

∎

Na mocy Lematu 9.2 dla każdego m>n istnieje zbiór Nn,m taki, że P⁢Nn,m=0 oraz dla ω∉Nn,m zachodzi Mn⁢t,ω=Mm⁢t∧τn⁢ω,ω dla wszystkich t<T. Niech N:=⋃m>nNn,m, wówczas P⁢N=0 oraz dla ω∉N, t≤τn⁢ω ciąg Mm⁢t,ωm≥n jest stały. Zatem możemy (i musimy) położyć M⁢t,ω:=Mn⁢t,ω dla t≤τn⁢ω.

∎

Mamy

Mt∧τn=∫0tI0,τn⁢X⁢⁢d⁢W,⁢M¯t∧τ¯n=∫0tI0,τ¯n⁢X⁢⁢d⁢W.

Na mocy twierdzenia o zatrzymaniu całki stochastycznej,

Mt∧τn∧τ¯n=∫0tI0,τn⁢I0,τ¯n⁢X⁢⁢d⁢W=M¯t∧τn∧τ¯n.

Ponadto τn∧τ¯n↗T, więc t∧τn∧τ¯n=t dla n≥n⁢ω i stąd Mt=M¯t p.n., a że są to procesy ciągłe, to są nierozróżnialne.

∎

Proces I0,τ⁢X jest prognozowalny jako iloczyn procesów prognozowalnych, jest majoryzowany przez X, stąd I0,τ⁢X∈ΛT2. Proces X∈ΛT2, więc istnieje ciąg τn↗T taki, że I0,τn⁢X∈LT2. Wtedy też I0,τn⁢I0,τ⁢X∈LT2. Niech

M:=∫X⁢⁢d⁢W,⁢N:=∫I0,τ⁢X⁢⁢d⁢W.

Na mocy definicji,

Mt∧τn=∫0tI0,τn⁢X,d⁢W,⁢Nt∧τn=∫0tI0,τn⁢I0,τ⁢X⁢⁢d⁢W.

Z udowodnionego wcześniej Twierdzenia 9.1 o zatrzymaniu całki izometrycznej,

Mt∧τ∧τn=∫0tI0,τ⁢I0,τn⁢X⁢⁢d⁢W=Nt∧τn.

Biorąc n→∞ dostajemy Mtτ=Mt∧τ=Nt, czyli Mτ=N.

∎

Punkty i), ii) wynikają z definicji. By udowodnić iii) weźmy X,Y∈ΛT2. Istnieją wówczas momenty zatrzymania τn↗T i τ¯n↗T takie, że I0,τn⁢X∈LT2 oraz I0,τ¯n⁢Y∈LT2. Przyjmując σn:=τ¯n∧τn↗T otrzymujemy I0,σn⁢X,⁢I0,σn⁢Y∈LT2, a zatem I0,σn⁢a⁢X+b⁢Y∈LT2 dla dowolnych a,b∈R. Stąd na mocy definicji otrzymujemy, że ∫0t∧σna⁢X+b⁢Y⁢⁢d⁢W=a⁢∫0t∧σnX⁢⁢d⁢W+b⁢∫0t∧σnY⁢⁢d⁢W i biorąc granicę n→∞, ∫a⁢X+b⁢Y⁢⁢d⁢W=a⁢∫X⁢d⁢W+b⁢∫Y⁢d⁢W.

∎

Weźmy τn↗T takie, że I0,τn⁢X∈LT2. Mamy

	E⁢supt<τ	∫0t∧τnX⁢⁢d⁢W2=E⁢supt<τ⁡∫0tI0,τn⁢X⁢⁢d⁢W2
		=Esupt<T(∫0t∧τI0,τnXdW)2=Esupt≤T(∫0tI0,τI0,τnXdW)2,

I0,τ⁢I0,τn⁢X∈MT2,c, więc t<T można zamienić na t≤T. Na mocy nierówności Dooba dla martyngałów,

	E⁢supt≤T⁡∫0tI0,T⁢I0,τn⁢X⁢⁢d⁢W2	≤4⁢E⁢∫0TI0,τ⁢I0,τn⁢X⁢⁢d⁢W2
		=4E∫0T(I0,τI0,τnXs)2ds=4E∫0τ∧τnXs2ds
		≤4⁢E⁢∫0τXs2⁢⁢d⁢s.

Wykazaliśmy zatem, że

E⁢supt<τ⁡∫0t∧τnX⁢⁢d⁢W2≤4⁢E⁢∫0τXs2⁢⁢d⁢s.

Ponieważ

supt<τ⁡∫0t∧τnX⁢⁢d⁢W2=supt<τ∧τn⁡∫0tX⁢⁢d⁢W2↗supt<τ⁡∫0tX⁢⁢d⁢W2,

więc teza wynika z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej.

∎

Załóżmy, że τn↗T jest ciągiem momentów zatrzymania takim, że dla każdego n, Mτn jest martyngałem. Ustalmy s<t<T oraz A∈Fs.

a) Jeśli M jest ograniczony, to z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej,

E⁢Mt⁢IA←E⁢Mτn∧t⁢IA=E⁢Mtτn⁢IA=E⁢Msτn⁢IA=E⁢Mτn∧s⁢IA→E⁢Ms⁢IA,

stąd M jest martyngałem.

b) Jeśli M jest nieujemny, to

	E⁢Ms⁢IA	=limn→∞EMsIA∩τn>s=limn→∞EMsτnIA∩τn>s=limn→∞EMtτnIA∩τn>s
		≥Elimn→∞MtτnIA∩τn>s=EMtIA,

gdzie korzystaliśmy z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej, tego, że Mτn jest martyngałem i A∩τn>s∈Fs oraz z lematu Fatou.

∎