Zagadnienia

12. Dalsze własności całki stochastycznej

Podczas tego wykładu wykażemy szereg ważnych własności całki stochastycznej, które pozwolą nam później udowodnić wzór Itô.

12.1. Zbieżność zmajoryzowana dla całek stochastycznych

Zacznijmy od wersji stochastycznej twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej.

Twierdzenie 12.1

Załóżmy, że MMloc2,c oraz Xn są procesami prognozowalnymi takimi, że limnXn,tω=Xtω dla wszystkich t<T,ωΩ. Jeśli dla wszystkich t<T i ωΩ, Xn,tωYtω dla pewnego procesu YΛT2M, to Xn,XΛT2M oraz

0tXndM0tXdM według prawdopodobieństwa przy n.

Proces X jest prognozowalny jako granica procesów prognozowalnych. Ponadto dla t<T,

0tXs2dMs,0tXn,s2dMs0tYs2dMs< p.n.,

więc Xn,XΛT2M. Bez straty ogólności możemy też założyć, że M0=0.

Niech τkT takie, że MτkMT2,c oraz I0,τkYLT2Mτk. Ponieważ I0,τkXnI0,τkY, więc I0,τkXnLT2Mτk. Z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej łatwo wykazać, że I0,τkXnI0,τkX w LT2Mτk. Stąd dla ustalonego k,

0tτkXndM=0tI0,τkXndMτkL2Ω0tI0,τkXdMτk=0tτkXdM,

czyli

I{τkt}0tXndML2I{τkt}0tXdM przy n.

Zbieżność w L2 implikuje zbieżność według prawdopodobieństwa, by zakończyć dowód wystarczy skorzystać z Lematu 11.1.

12.2. Całkowanie przez podstawienie

Definicja 12.1

Mówimy, że proces X jest lokalnie ograniczony, jeśli istnieją momenty zatrzymania τnT takie, że procesy Xτn-X0 są ograniczone.

Uwaga 12.1

Każdy proces ciągły, adaptowalny jest lokalnie ograniczony.

Kolejne twierdzenie podaje wzór na całkowanie przez podstawienie.

Twierdzenie 12.2

a) Załóżmy, że NMT2,c, XLT2N, Y jest procesem prognozowalnym ograniczonym oraz M=XdN. Wówczas YLT2M,XYLT2N oraz YdM=XYdN.
b)Załóżmy, że NMlocc, XΛT2N, Y jest procesem prognozowalnym lokalnie ograniczonym oraz M=XdN. Wówczas YΛT2M,XYΛT2N oraz YdM=XYdN.

a) Załóżmy wpierw, że Y jest procesem elementarnym postaci

Y=ξ0I0+j=0n-1ξjItj,tj+1,

gdzie 0=t0<t1<<tk<T, zaś ξk są ograniczonymi zmiennymi Ftk-mierzalnymi. Wówczas

0tYdM=jξjMtj+1t-Mtjt
=jξj0tI0,tj+1XdN-0tI0,tjXdN
=jξj0tItj,tj+1XdN=j0tξjItj,tj+1XdN
=0tjξjItj,tj+1XdN=0tYXdN.

Jeśli Y jest dowolnym ograniczonym procesem prognozowalnym, to

E0TYs2dMsY2E0TdMs=Y2EMT=Y2EMT2<,

więc YLT2M. Nietrudno też sprawdzić, że XYLT2N. Możemy znaleźć procesy elementarne Yn zbieżne do Y w LT2M, co więcej możemy założyć, że YnY. Zauważmy, że

XY-XYnLT2N2=E0T(XY-XYn)s2dNs=E0T(Y-Yn)s2Xs2dNs
=E0T(Y-Yn)s2dMs=Y-YnLT2M20,

więc YnXYX w LT2N. Stąd dla tT,

0tXYdNL20tXYndN=YndML20tYdM.

b) Mamy 0tY0dM=Y0Mt=Y00tXdN=0tY0XdN, zatem rozpatrując Y-Y0 zamiast Y możemy zakładać,że Y0=0. Niech τnT takie, że Yτn jest ograniczone, NτnMT2,c oraz XI0,τnLT2Nτn. Zauważmy, że

Mτn=XdNτn=XI0,τndNτn,

zatem na mocy części a),

YdMτn=YI0,τndMτn=YI0,τnXI0,τndNτn
=XYI0,τndNτn=(XYdN)τn.

Biorąc n dostajemy tezę.

12.3. Całkowanie przez części

Sformułujemy teraz pierwsze twierdzenie o całkowaniu przez części.

Twierdzenie 12.3

Niech M,NMlocc, wówczas

MtNt=M0N0+0tMsdNs+0tNsdMs+M,Nt. (12.1)

Stosując twierdzenie do M=N dostajemy natychmiast.

Wniosek 12.1

Jeśli MMlocc, to

0tMsdMs=12Mt2-M02-12Mt.
Wniosek 12.2

Niech X,YΛT2, M=XdW oraz N=YdW, wówczas

MtNt=0tMsdNs+0tNsdMs+M,Nt
=0tMsYsdWs+0tNsXsdWs+0tXsYsds.

Pierwsza równość wynika z Twierdzenia 12.3, druga z Twierdzenia 12.2 oraz tego, że M,N=XYds.

Dowód Twierdzenia 12.3

Całki MdN i NdM są dobrze określone, gdyż procesy M i N są ciągłe, zatem lokalnie ograniczone.

Możemy założyć, iż M0=N0=0, gdyż M,N=M-N0,N-N0,

MdN=Md(N-N0)=(M-M0)d(N-N0)+M0d(N-N0)
=M-M0dN-N0+M0N-N0,

zatem

M0N0+0tMdN+0tNdM+M,Nt-MtNt
=0tM-M0dN-N0+0tN-M0dM-M0
+M-N0,N-N0t-Mt-M0Nt-N0.

Wystarczy udowodnić, że teza zachodzi dla M=N, tzn.

Mt2=20tMsdMs+Mtdla MMlocc,M0=0. (12.2)

Jeśli bowiem zastosujemy (12.2) dla M+N i M-N, odejmiemy stronami i podzielimy przez 4, to dostaniemy (12.1).

Wiemy (zob. Uwaga 11.1), że (12.2) zachodzi przy dodatkowym założeniu ograniczoności M. W ogólnym przypadku określamy

τn:=inft>0:MtnT,

wtedy τnT. Ponadto Mτn jest ograniczonym martyngałem lokalnym, zatem ograniczonym martyngałem, więc

M2τn=(Mτn)2=2MτndMτn+Mτn=2MτnI0,τndM+Mτn
=2MI0,τndM+Mτn=(2MdM+M)τn.

Przechodząc z n dostajemy (12.2).

Definicja 12.2

Przez Vc oznaczamy procesy ciągłe, adaptowalne, których trajektorie mają wahanie skończone na każdym przedziale 0,t dla t<T.

Udowodnimy teraz kolejne twierdzenie o całkowaniu przez części.

Stwierdzenie 12.1

Załóżmy, że MMlocc,AVc, wówczas

MtAt=M0A0+0tAsdMs+0tMsdAs.

Jak w dowodzie Twierdzenia 12.3 możemy założyć, że M0=A0=0.

Załóżmy wpierw, że M i N są ograniczone. Zauważmy, że

MtAt=j=1n(Mtj/n-Mtj-1/n)k=1n(Atk/n-Atk-1/n
=j=1nMtj/n-Mtj-1/nAtj/n-Atj-1/n
+j=1nMtj-1/nAtj/n-Atj-1/n+j=1nMtj/n-Mtj-1/nAtj-1/n
=:an+bn+cn.

Składnik bn dąży prawie na pewno do 0tMdA (definicja całki Riemanna-Stieltjesa). Nietrudno sprawdzić, że procesy elementarne

An=j=1nAtj-1/nItj-1/n,tj/n

zbiegają w Lt2M do A, stąd cn=0tAndM zbiega w L2 do 0tAdM. Zauważmy też, że

an2j=1nMtj/n-Mtj-1/n2j=1nAtj/n-Atj-1/n2
j=1nMtj/n-Mtj-1/n2sup1jnAtj/n-Atj-1/nWah0,tA.

Pierwszy czynnik powyżej dąży do Mt w L2 (w szczególności jest więc ograniczony w L2), drugi zaś dąży do zera p.n. (proces A jest ciągły), stąd an dąży do 0 według prawdopodobieństwa. Zatem

MtAt=an+bn+cnP0tMdA+0tAdM.

Jeśli M i A nie są ograniczone, to określamy

τn=inft>0:Mtninft>0:AtnT.

Mamy Aτnn, Mτnn, więc z poprzednio rozważonego przypadku

MAτn=AτndMτn+MτndAτn=AdM+MdAτn,

przechodząc z n dostajemy tezę.

Ostatnie twierdzenie o całkowaniu przez części jest nietrudną konsekwencją definicji całki Riemanna-Stieltjesa.

Stwierdzenie 12.2

Załóżmy, że A,BVc, wówczas

AtBt=A0B0+0tAsdBs+0tBsdAs.

12.4. Ciągłe semimartyngały

Definicja 12.3

Proces Z=Ztt<T nazywamy ciągłym semimartyngałem, jeśli da się przedstawić w postaci Z=Z0+M+A, gdzie Z0 jest zmienną F0-mierzalna, MMloc2, AVc oraz A0=M0=0.

Uwaga 12.2

Rozkład semimartyngału jest jednoznaczny (modulo procesy nieodróżnialne).

Jeśli Z=Z0+M+A=Z0+M+A, to M-M=A-A jest ciągłym martyngałem lokalnym, startującym z zera o ograniczonym wahaniu na 0,t dla t<T, zatem jest stale równy 0.

Przykład 12.1

Proces Itô, tzn. proces postaci Z=Z0+XdW+Yds, gdzie XΛT2, Y prognozowalny taki, że 0tYsds< p.n. dla t<T jest semimartyngałem.

Przykład 12.2

Z twierdzenia Dooba-Meyera wynika, że kwadrat martyngału jest semimartyngałem.

Definicja 12.4

Jeśli Z=Z0+M+A jest ciągłym semimartyngałem, to określamy XdZ:=XdM+XdA, gdzie pierwsza całka to całka stochastyczna, a druga całka Stieltjesa.

Twierdzenie 12.4

Jeśli Z=Z0+M+A oraz Z=Z0+M+A są ciągłymi semimartyngałami, to ZZ też jest semimartyngałem oraz

ZZ=Z0Z0+ZdZ+ZdZ+M,M.

Mamy ZZ=Z0Z0+MM+MA+AM+AA i stosujemy twierdzenia o całkowaniu przez części (Twierdzenie 12.3, Stwierdzenia 12.1 i 12.2).

Dla semimartyngałów wygodnie jest też wprowadzić następującą definicję:

Definicja 12.5

Jeśli Z=Z0+M+A, Z=Z0+M+A są ciągłymi semimartyngałami, to przyjmujemy Z,Z=M,M.

12.5. Zadania

Ćwiczenie 12.1

Udowodnij Stwierdzenie 12.2.

Ćwiczenie 12.2

Korzystając ze wzoru na całkowanie przez części przedstaw Ws2dWs jako wyrażenie nie zawierające całek stochastycznych.

Ćwiczenie 12.3

Załóżmy, że X jest procesem ciągłym, a Z ciągłym martyngałem lokalnym. Wykaż, że jeśli t<T, Πn=t0n,t1n,,tknn jest ciągiem podziałów 0,t takim, że 0=t0nt1ntknn=t oraz diamΠn0, to

k=0kn-1XtknZtk+1n-Ztkn0tXsdZs według prawdopodobieństwa. 
Ćwiczenie 12.4

Niech Πn=t0n,t1n,,tknn będzie ciągiem podziałów 0,t takim, że 0=t0nt1ntknn=t oraz diamΠn0. Wykaż, że dla dowolnych ciągłych semimartyngałów X i Y,

k=0kn-1Xtk+1n-XtknYtk+1n-YtknX,Yt według prawdopodobieństwa. 

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.