Zagadnienia

14. Stochastyczne Równania Różniczkowe

Z całką stochastyczną wiąże się pojęcie równania stochastycznego. Podamy kryteria istnienia i jednoznaczności rozwiązań takich równań oraz omówimy kilka przykładów.

14.1. Jednorodne równania stochastyczne

Definicja 14.1

Załóżmy, że b,σ:RR są funkcjami ciągłymi, a ξ zmienną losową Fs-mierzalną. Mówimy, że proces X=Xtts,T rozwiązuje jednorodne równanie stochastyczne

dXt=bXtdt+σXtdWt,Xs=ξ, (14.1)

jeśli

Xt=ξ+stbXrdr+stσXrdWr,ts,T.
Uwaga 14.1

Przyjeliśmy, że b i σ są funkcjami ciągłymi, by uniknąć problemów związanych z mierzalnością i lokalną ograniczonością procesów bXr i σXr. Rozważa się jednak również stochastyczne równania różniczkowe z nieciągłymi współczynnikami.

Uwaga 14.2

Wprowadzając nowy proces X~t:=Xt+s, t0,T-s oraz filtrację F~t:=Ft+s zamieniamy równanie różniczkowe (14.1) na podobne równanie dla X~ z warunkiem początkowym X~0=ξ.

Definicja 14.2

Proces X rozwiązujący równanie (14.1) nazywamy dyfuzją startująca z ξ. Funkcję σ nazywamy współczynnikiem dyfuzji, a funkcję b współczynnikiem dryfu.

Przypomnijmy, że funkcja f:RR jest lipschitzowska ze stałą L, jeśli fx-fyLx-y dla wszystkich x,y. Lipschitzowskość implikuje też, że

fxf0+LxL~1+x2

gdzie można przyjąć np. L~=2maxf0,L.

Twierdzenie 14.1

Załóżmy, że funkcje b i σ są lipschitzowskie na R, wówczas równanie stochastyczne (14.1) ma co najwyżej jedno rozwiązanie (z dokładnością do nierozróżnialności).

Bez straty ogólności możemy zakładać, że s=0 oraz σ,b są lipschitzowskie z tą samą stałą L.

Załóżmy, że X i Y są rozwiązaniami (14.1), wówczas

Xt-Yt=0tbXr-bYrdr+0tσXr-σYrdWr,0t<T.

Krok I. Załóżmy dodatkowo, że funkcja uEXu-Yu2 jest skończona i ograniczona na przedziałach 0,t, t<T.

Mamy

EXt-Yt22E(0t(b(Xr)-b(Yr))dr)2+2E(0t(σ(Xr)-σ(Yr)dWr)2
=:I1+I2.

Z warunku Lipschitza i nierówności Schwarza,

I12L2E0tXr-Yrdr22L2t0tEXr-Yr2dr.

By oszacować I2 zauważmy, że σXr-σYrLXr-Yr, więc σXr-σYrLt2. Stąd

I2=2E0tσXr-σYr2dr2L20tEXr-Yr2dr.

Ustalmy t0<T, wówczas z powyższych oszacowań wynika, że

EXt-Yt2C0tEXr-Yr2drdla tt0,

gdzie C=Ct0=2L2t0+1. Iterując powyższą nierówność dostajemy dla tt0,

EXt-Yt2C0tE(Xr1-Yr1)2dr1C20t0r1E(Xr2-Yr2)2dr2dr1
Ck0t0r10rk-1E(Xrk-Yrk)2drkdr1
CksuprtEXr-Yr20t0r10rk-1drkdr1
=CksuprtE(Xr-Yr)2tkk!k0.

Stąd dla wszystkich t<T, EXt-Yt2=0, czyli Xt=Yt p.n., a więc z ciągłości obu procesów, X i Y są nieodróżnialne.

Krok II.X i Y dowolne. Określmy

τn:=infts:Xt+Ytn

i zauważmy, że XtI0,τn,XtI0,τnn. Ponieważ w zerze oba procesy się pokrywają, więc Xtτn-Ytτn2n, stąd σXtτn-σYtτn2Ln i σXτn-σYτnLt2 dla t<T. Mamy

Xtτn-Ytτn=0tτnbXr-bYrdr+0tτnσXr-σYrdWr
=0tτnbXrτn-bYrτndr+0tτnσXrτn-σYrτndWr.

Naśladując rozumowanie z kroku I dostajemy Xtτn=Ytτn p.n., przechodząc z n mamy Xt=Yt p.n..

Twierdzenie 14.2

Załóżmy, że funkcje b i σ są lipschitzowskie na R oraz Eξ2<, wówczas równanie stochastyczne (14.1) ma dokładnie jedno rozwiązanie X=Xtts. Co więcej EXt2< oraz funkcja tEXt2 jest ograniczona na przedziałach ograniczonych.

Jak w poprzednim twierdzeniu zakładamy, że s=0. Jednoznaczność rozwiązania już znamy. By wykazać jego istnienie posłużymy się konstrukcją z użyciem metody kolejnych przybliżeń. Określamy Xt0ω:=ξω oraz indukcyjnie

Xtn:=ξ+0tbXrn-1dr+0tσXrn-1dWr. (14.2)

Definicja jest poprawna (tzn. całki są dobrze określone), gdyż Xtn są procesami ciągłymi, adaptowalnymi. Ponadto indukcyjnie pokazujemy, że funkcja rEXrn2 jest ograniczona na przedziałach skończonych:

EXtn23Eξ2+E0tbXrn-1dr2+E0tσXrn-1dWr2
3Eξ2+tE0tbXrn-12dr+E0tσXrn-12dr
3Eξ2+L~21+tsup0rtEXrn-12.

Zatem XnLt2, a więc również σXnLt2.

Zauważmy, że wobec nierówności a+b22a2+2b2 i niezależności ξ i Wt, dla tt0 zachodzi

EXt1-Xt02=E(0tb(ξ)dr+0tσ(ξ)dWr)2=E(b(ξ)t+σ(ξ)Wt)2
2t2Eb(ξ)2+2Eσ(ξ)2EWt2)2L~2(1+Eξ2)(t+t2)C,

gdzie C=Ct0=2L~21+Eξ2t0+t02. Podobnie szacujemy dla tt0,

EXtn+1-Xtn2
=E0tbXrn-bXrn-1dr+0tσXrn-σXrn-1dWr2
2E0tbXrn-bXrn-1dr2+2E0tσXrn-σXrn-1dWr2
2E0tLXrn-Xrn-1dr2+2E0tσXrn-σXrn-12dr
2L2(t+1)E0t|Xrn-Xrn-1|2drC10tE|Xrn-Xrn-1|2dr,

gdzie C1=C1t0=2L2t0+1. Iterując to szacowanie dostajemy

EXtn+1-Xtn2C120t0r1EXr2n-1-Xr2n-22dr2dr1
C1n0t0r10rn-1E|Xrn1-Xrn0|2drndr1
C1nC0t0r10rn-1drndr1=CC1ntnn!.

Pokazaliśmy zatem, że Xtn+1-XtnL22CC1ntnn! dla tt0. Ponieważ szereg nCC1ntnn!1/2 jest zbieżny, więc Xtnn0 jest ciągiem Cauchy'ego w L2, czyli jest zbieżny. Z uwagi na jednostajność szacowań wykazaliśmy istnienie Xt takiego, że

XtnXt w L2 jednostajnie na przedziałach ograniczonych.

Stąd też wynika, że tEXt2 jest ograniczona na przedziałach ograniczonych.

Wykażemy teraz, że Xtn z prawdopodobieństwem 1 zbiega do Xt niemal jednostajnie. Zauważmy, że dla t0<,

P(suptt0|Xtn+1-Xtn|12n)
Psuptt00tbXrn-bXrn-1dr12n+1
+P(suptt0|0t(σ(Xrn)-σ(Xrn-1))dWr|12n+1)=:I1+I2.

Mamy

I1P0t0bXrn-bXrn-1dr12n+1
4n+1E0t0bXrn-bXrn-1dr2
4n+1L2E(0t0|Xrn-Xrn-1|dr)24n+1L2t0E0t0|Xrn-Xrn-1|2dr
4n+1L2t00t0CC1n-1rn-1n-1!dr=4n+1L2CC1n-1t0n+11n!.

Z nierównośći Dooba dla martyngału σXn-σXn-1dW dostajemy

I24n+1Esuptt00tσXrn-σXrn-1dWr2
4n+2E0t0σXrn-σXrn-1dWr2
=4n+2E0t0(σ(Xrn)-σ(Xrn-1))2dr4n+2L2E0t0|Xrn-Xrn-1|2dr
4n+2L2CC1n-1t0n1n!.

Przyjmując

An:={suptt0|Xtn+1-Xtn|12n}

dostajemy

nPAnn4n+14+t0L2CC1n-1t0n1n!<,

więc Plim supAn=0. Zatem dla t0<, ciąg procesów Xn zbiega jednostajnie na 0,t0 z prawdopodobieństwem 1, czyli z prawdopodobieństwem 1 zbiega niemal jednostajnie na 0,. Ewentualnie modyfikując X i Xn na zbiorze miary zero widzimy, że X jest granicą niemal jednostajną Xn, czyli X ma trajektorie ciągłe.

Ze zbieżności Xrn do Xr w L2, jednostajnej na 0,t oraz lipschitzowskości b i σ łatwo wynika zbieżność w L2, 0tbXrndr i 0tσXrndr do odpowiednio 0tbXrdr i 0tσXrdWr, zatem możemy przejść w (14.2) do granicy by otrzymać dla ustalonego t<T

Xt:=ξ+0tbXrdr+0tσXrdWr p.n..

Oba procesy X i ξ+bXdr+σXdW są ciągłe, zatem są nierozróżnialne.

Przykład 14.1

Stosując wzór Itô łatwo sprawdzić, że proces Xt=ξexpλWt-λ22t jest rozwiązaniem równania

dXt=λXtdWt,X0=ξ.

Jest to jedyne rozwiązanie tego równania, gdyż b=0 oraz σx=λx są funkcjami lipschitzowskimi.

Przykład 14.2

Proces

Xt=ebtξ+σ0tebt-sdWs

jest rozwiązaniem równania

dXt=bXtdt+σdWt,X0=ξ.

Jest to jedyne rozwiązanie, gdyż funkcje bx=bx oraz σx=s2 są lipschitzowskie. Jeśli b<0 oraz ξ ma rozkład N0,-12bσ2, to proces X jest stacjonarny (proces Ornsteina-Uhlenbecka).

14.2. Równania niejednorodne

Często współczynniki równania zależą nie tylko od x, ale i od czasu.

Definicja 14.3

Załóżmy, że b,σ:R2R są funkcjami ciągłymi, a ξ zmienną losową Fs-mierzalną. Mówimy, że proces X=Xtts,T rozwiązuje równanie stochastyczne

dXt=bt,Xtdt+σt,XtdWt,Xs=ξ, (14.3)

jeśli

Xt=ξ+stbr,Xrdr+stσr,XrdWr,ts,T.

Dla równania niejednorodnego naturalne są następujące warunki Lipschitza

bt,x-bt,yLx-y,bt,xL~1+x2,
σt,x-σt,yLx-y,σt,xL~1+x2.
Twierdzenie 14.3

Załóżmy, że funkcje b i σ spełniają warunki Lipschitza. Wówczas dla dowolnej zmiennej ξ, Fs-mierzalnej takiej, że Eξ2< istnieje dokładnie jedno rozwiązanie (14.3). Co więcej rozwiązanie to daje się otrzymać metodą kolejnych przybliżeń jak w przypadku jednorodnym.

Przykład 14.3

Równanie

dXt=σtXtdWt,X0=ξ. (14.4)

spełnia założenia twierdzenia, jeśli suptσt<. By znaleźć jego rozwiązanie sformułujmy ogólniejszy fakt.

Stwierdzenie 14.1

Załóżmy, że M jest ciągłym martyngałem lokalnym, zaś Z0 zmienną F0-mierzalną. Wówczas proces Zt=expMt-12Mt jest martyngałem lokalnym takim, że dZt=ZtdMt, tzn. Zt=Z0+0tZsdMs.

Proces Z bywa nazywany eksponentą stochastyczną.

Z wzoru Itô dla semimartyngału Xt=Mt-12Mt dostajemy

dZt=dZ0eXt=Z0eXtdXt+12Z0eXtdMt=Z0eXtdMt=ZtdMt.

Proces Z jest martyngałem lokalnym na mocy konstrukcji całki stochastycznej.

Wracając do Przykładu 14.3 zauważamy, że Mt=0tσsdWs jest martyngałem lokalnym, więc rozwiązanie równania (14.4) ma postać

Xt=ξexpMt-12Mt=ξexp0tσsdWs-120tσs2ds.
Przykład 14.4

Rozpatrzmy niejednorodne równanie liniowe postaci

dYt=btYtdt+σtYtdWt,X0=ξ.

Współczynniki bt,y=bty i σt,y=σty spełniają warunki Lipschitza, jeśli suptbt< oraz suptσt<. By znaleźć rozwiązanie załóżmy, że jest postaci Xt=gtYt, gdzie dYt=σtYtdWt, Y0=ξ, postać Y znamy z Przykładu 3. Wówczas, z dwuwymiarowego wzoru Itô

dXt=gtYtdt+gtdYt=gtYtdt+σtXtdWt.

Wystarczy więc rozwiązać zwyczajne równanie różniczkowe

gt=btgt,g0=1,

by dostać

Xt=Ytgt=ξexp0tσsdWs-120tσs2ds+0tbsds.

14.3. Przypadek wielowymiarowy

Zanim sformułujemy odpowiednik wcześniejszych wyników dla przypadku wielowymiarowego wprowadzimy wygodne ustalenia notacyjne.

Definicja 14.4

Niech W=W1,,Wd będzie d-wymiarowym procesem Wienera. Dla X=Xi,j1im,1jd macierzy m×d złożonej z procesów z ΛT2 określamy m-wymiarowy proces

Mt=Mt1,,Mtm=0tXsdWs,0t<T

wzorem

Mti=j=1d0tXsi,jdWsj,1im.

Przy powyżej wprowadzonej notacji możemy zdefiniować wielowymiarowe równania stochastyczne.

Definicja 14.5

Załóżmy, że b:RmRm,σ:RmRm×d są funkcjami ciągłymi, W=W1,,Wd jest d-wymiarowym procesem Wienera, a ξ=ξ1,,ξm, m-wymiarowym, Fs-mierzalnym wektorem losowym. Mówimy, że m-wymiarowy proces X=Xt1,,Xtmts,T rozwiązuje jednorodne wielowymiarowe równanie stochastyczne

dXt=bXtdt+σXtdWt,Xs=ξ,

jeśli

Xt=ξ+stbXrdr+stσXrdWr,ts,T.

Tak jak w przypadku jednowymiarowym dowodzimy:

Twierdzenie 14.4

Załóżmy, że ξ=ξ1,,ξm jest m-wymiarowym, Fs-mierzalnym wektorem losowym takim, że Eξj2< dla 1jm, b:RmRm,σ:RmRd×m są funkcjami lipschitzowskimi oraz Wjest d-wymiarowym procesem Wienera. Wówczas równanie

dXt=bXtdt+σXtdWt,Xs=ξ

ma dokładnie jedno rozwiązanie X=Xt1,,Xtmts. Ponadto

EsupstuEXti2< dla u<.

14.4. Generator procesu dyfuzji.

W tej części zakładamy, że b=(bi)im:RmRm,σ=(σi,j)im,jd:RmRm×d są funkcjami ciągłymi, zaś W=W1,,Wd jest d-wymiarowym procesem Wienera.

Definicja 14.6

Generatoremm-wymiarowego procesu dyfuzji spełniającego stochastyczne równanie różniczkowe

dXt=bXtdt+σXtdWt

nazywamy operator różniczkowy drugiego rzędu dany wzorem

Lfx=i=1nbixfxix+12i=1nj=1dσi,jx2fxixjx,fC2Rm.

Definicja ta jest motywowana przez poniższy prosty, ale bardzo ważny fakt.

Stwierdzenie 14.2

Załóżmy, że L jest generatorem procesu dyfuzji spełniającego równanie dXt=bXtdt+σXtdWt. Wówczas dla dowolnej funkcji fC2Rm takiej, że fX0 jest całkowalne, proces Mtf:=fXt-0tLfXsds jest ciągłym martyngałem lokalnym. Ponadto, jeśli f ma dodatkowo nośnik zwarty, to Mtf jest martyngałem.

Ze wzoru Itô łatwo sprawdzić, że

Mtf=fX0+i=1nj=1d0tσi,jXtfxiXtdWtjMlocc.

Jeśli fCzw2Rm, to funkcje σi,jxfxix są ciągłe i mają nośnik zwarty w Rm, więc są ograniczone, zatem procesy σi,jXtfxiXt należą do LT2 dla dowolnego T<, więc Mtf jest martyngałem (a nawet martyngałem całkowalnym z kwadratem).

Uwaga 14.3

Założenie o zwartym nośniku f można w wielu przykładach istotnie osłabić. Załóżmy, że współczynniki b i σ są lipschitzowskie oraz X0L2. Wówczas, jak wiemy, Xt jest całkowalny z kwadratem oraz suptTEXt2< dla T<. Stąd nietrudno sprawdzić (używając lipschitzowskości σi,j), że jeśli pochodne f są ograniczone, to σi,jXtfxiXtLT2 dla T<, zatem Mtf jest martyngałem.

Przykład 14.5

Generatorem d-wymiarowego procesu Wienera jest operator Lf=12f.
Jeśli X=X1,,Xd spełnia

dXti=bXtidt+σdWti,i=1,,m,

(m-wymiarowy proces Ornsteina-Uhlenbecka), to Lfx=bx,fx+12σ2f.

Wykład zakończymy przykładem pokazującym związek między stochastycznymi równaniami różniczkowymi a równaniami cząstkowymi. Dokładna analiza takich związków jest ważną dziedziną łączącą rozumowania analityczne i probabilistyczne. Nieco więcej na ten temat można się będzie dowiedzieć na przedmiocie Procesy Stochastyczne.

Przykład 14.6

Dla xRm niech Xtx będzie rozwiązaniem równania stochastycznego

dXtx=bXtxdt+σXtxdWt,X0x=x,

zaś L odpowiadającym mu generatorem. Załóżmy, że D jest obszarem ograniczonym oraz f spełnia równanie cząstkowe

Lfx=0,xD,fx=hx,xD.

Załóżmy dodatkowo, że f daje się rozszerzyć do funkcji klasy C2 na pewnym otoczeniu D. Wówczas f się rozszerza też do funkcji klasy Czw2Rm. Wybierzmy xD i określmy

τ=inft>0:XtxD.

Wiemy, że proces Mt=fXtx-0tLfXsxds jest martyngałem, zatem martyngałem jest również Mtτ, ale

Mtτ=fXtτx-0τtLfXsxds=fXtτx,

w szczegóności

EfXtτx=EMtτ=EM0=fx.

Jeśli dodatkowo τ< p.n. (to założenie jest spełnione np. dla procesu Wienera), to z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej

fx=EfXtτxEfXτx=EhXτx.

Otrzynaliśmy więc stochastyczną reprezentację rozwiązania eliptycznego równania cząstkowego.

Podobne rozumowanie pokazuje, że (przy pewnych dodatkowych założeniach) rozwiązanie równania

Lfx=gx,xD,fx=hxxD

ma postać zadaną wzorem Feynmana-Kaca

fx=EhXτx=E0τgXsxds,xD.

14.5. Zadania

Ćwiczenie 14.1

Zweryfikuj rachunki dla procesu Ornsteina-Uhlenbecka z Przykładu 14.2.

Ćwiczenie 14.2

i) Wykaż, że dla x,σ,bR istnieje dokładnie jeden proces X=Xtt0 taki, że

Xt=x+σ0tXsdWs+b0tXsds.

Ponadto suptuEXt2< dla u<.
ii) Oblicz EXt.
iii) Znajdź stochastyczne równania różniczkowe spełnione przez X2 i eX.

Ćwiczenie 14.3

Wykaż, że rozwiązanie równania dX=e-XdW-12e-2Xdt eksploduje w skończonym czasie.

Wskazówka: 

Rozpatrz proces Y=eX.

Ćwiczenie 14.4

Wykaż, że rozwiązanie równania

dXt=1+Xt1+Xt2dt+1+Xt2dWt

eksploduje w skończonym czasie. Ponadto wartość oczekiwana czasu do eksplozji jest skończona.

Ćwiczenie 14.5

Załóżmy, że At jest ciągłą funkcją na 0,T o wartościach w macierzach m×m, σt jest ciągłą funkcją na 0,T o wartościach w macierzach m×d, zaś at jest ciągłą funkcją na 0,T o wartościach w Rm. Niech St będzie jedynym rozwiązaniem równania

dStdt=AtSt,S0=I.

Ponadto niech W będzie d-wymiarowym procesem Wienera, a ξ zmienną losową niezależną od W. Wykaż, że

a)ξ(t):=S(t)(ξ+0tS-1(s)a(s)ds)

jest rozwiązaniem równania deterministycznego

dξtdt=Atξt+at,ξ0=ξ,
b)X(t)=S(t)(ξ+0tS-1(s)a(s)ds+0tS-1(s)σ(s)dWs)

jest jedynym rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego

dXt=AtXt+atdt+σtdWt,X0=ξ.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.