Zagadnienia

15. Twierdzenie Girsanowa

W czasie tego wykładu przyjmujemy jak zwykle, że Ω,F,P jest ustaloną przestrzenią probabilistyczną. Będziemy konstruowali inne miary probabilistyczne na przestrzeni Ω,F względem których proces Wienera z dryfem ma taki rozkład jak zwykły proces Wienera. Przez EX będziemy rozumieli zawsze wartość oczekiwaną względem P, wartość oczekiwaną X względem innej miary Q będziemy oznaczać EQX. Zauważmy, że jeśli dQ=ZdP, tzn. QA=AZdP, to

EQX=XdQ=XZdP=EXZ.

15.1. Przypadek dyskretny

Załóżmy, że zmienne Z1,Z2,,Zn są niezależne i mają standardowy rozkład normalny N0,1. Wprowadźmy nową miarę Q na Ω,F wzorem dQ=expi=1nμiZi-12i=1nμi2dP, tzn.

QA=Aexpi=1nμiZiω-12i=1nμi2dPω dla AF.

Zauważmy, że

QΩ=Eexpi=1nμiZi-12i=1nμi2=i=1nEexpμiZi-12μi2=1,

więc Q jest miarą probabilistyczną na Ω,F. Ponadto dla dowolnego zbioru ΓBRn,

Q((Z1,,Zn)Γ)=Eexp(i=1nμiZi-12i=1nμi2)I{(Z1,,Zn)Γ}
=12πn/2Γexpi=1nμizi-12i=1nμi2exp-12i=1nzi2dz1dzn
=12πn/2Γexp-12i=1nzi-μi2dz1dzn.

Zatem względem miary Q zmienne Zi-μi są niezależne oraz mają rozkład N0,1.

Definiując Sk=Z1++Zk widzimy, że względem Q zmienne Sk-i=1kμikn są sumami niezależnych standardowych zmiennych normalnych (czyli mają ten sam rozkład co Skk względem P). Podczas dalszej części wykładu pokażemy, że można podobny fakt sformułować w przypadku ciągłym, gdy Sk zastąpimy procesem Wienera, a sumy i=1kμi całką 0tYsds.

15.2. Twierdzenie Girsanowa dla procesu Wienera

Załóżmy, że T<, proces Y=Ytt<T jest prognozowalny oraz 0TYt2< p.n., wówczas YΛT2, proces Mt=YdW jest martyngałem lokalnym na 0,T oraz M=Y2dt. Co więcej można też określić wartość M i Z w punkcie T. Zatem jak wiemy (zob. Stwierdzenie 14.1) proces

Zt:=expMt-12Mt=exp0tYsdWs-120tYs2ds

jest martyngałem lokalnym na 0,T.

Lemat 15.1

Jeśli M jest ciągłym martyngałem lokalnym na 0,T, to proces Zt=expMt-12Mt jest martyngałem na przedziale skończonym 0,T wtedy i tylko wtedy, gdy EZT=1.

Implikacja ”” jest oczywista, bo EZT=EZ0=1. Wystarczy więc udowodnić ””.

Wiemy, że Z jest nieujemnym martyngałem lokalnym, zatem jest nadmartyngałem (Stwierdzenie 9.6). Ustalmy t0,T, wówczas ZtE(ZT|Ft) p.n.. Ponadto 1=EZ0EZtEZT, czyli, jeśli EZT=1, to EZt=1 i

E(Zt-E(ZT|Ft))=EZt-EZT=0,

a więc Zt=E(ZT|Ft) p.n..

Twierdzenie 15.1

Załóżmy, że T<, proces Y jest prognozowalny oraz 0TYs2ds< p.n.. Niech Zt=exp0tYsdWs-120tYs2ds, wówczas, jeśli EZT=1 (czyli Z jest martyngałem na 0,T), to proces

Vt=Wt-0tYsds,t0,T

jest procesem Wienera na zmodyfikowanej przestrzeni propabilistycznej Ω,F,QT, gdzie dQT=ZTdP, tzn.

QTA=AZTdP,AF.

Zmienna ZT jest nieujemna i EZT=1, więc QT jest miarą probabilistyczną. Zauważmy też, że jeśli PA=0, to QTA=0, czyli zdarzenia, które zachodzą P prawie na pewno, zachodzą też QT prawie na pewno. Proces V jest ciągły, adaptowalny względem Ft oraz V0=0. Wystarczy zatem, na mocy Twierdzenia 13.5 wykazać, że dla λR, proces Ut=Utλ:=expλVt-12λ2t jest martyngałem lokalnym względem QT. Zauważmy, że

UtZt=expλVt-12λ2texp0tYsdWs-120tYs2ds
=expλWt+0tYsdWs-120t2λYs+λ2+Ys2ds
=exp(0t(λ+Ys)dWs-120t(λ+Ys)2ds)=exp(Nt-12Nt),

gdzie N=λ+YdWMlocc. Zatem proces UZ jest martyngałem lokalnym względem P, czyli istnieją τnT takie, że UτnZτn jest martyngałem. Ustalmy n, wtedy dla dowolnego ograniczonego momentu zatrzymania τ,

EQTU0=E(U0ZT)=E(U0E(ZT|F0))=E(U0Z0)=E(UτnτZτnτ)
=E(UτnτE(ZT|Fτnτ)=E(UτnτZT)=EQTUτnτ,

zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Dooba wynika, że Uτn jest martyngałem względem QT, czyli U jest QT-martyngałem lokalnym.

W pewnych zastosowaniach wygodnie jest mieć miarę względem której proces W-Yds jest procesem Wienera na całej półprostej 0,.

Twierdzenie 15.2

Załóżmy, że YΛ2, zaś proces Zt i miary QT dla T< są określone jak poprzednio. Wówczas, jeśli EZt=1 dla wszystkich t (czyli Z jest martyngałem na 0,), to istnieje dokładnie jedna miara probabilistyczna Q na Ω,FW taka, że QA=QTA dla AFTW i T<. Proces V=W-Yds jest względem Q procesem Wienera na 0,.

Szkic Dowodu.

Na zbiorach postaci A={(Wt1,Wt2,,Wtk)Γ}, 0t1t2tkT, ΓBRk kładziemy Q(A);=QT(A). Otrzymujemy w ten sposób zgodną rodzinę miar probabilistycznych, która na mocy twierdzenia Kołmogorowa przedłuża się w spośób jednoznaczny do miary Q na FW.

Uwaga 15.1

O ile miara QT jest absolutnie ciągła względem P (tzn. QTA=0, jeśli PA=0), to miara Q zadana przez ostatnie twierdzenie taka być nie musi. Istotnie określmy Ytμ0, czyli Vt=Wt-μt. Niech

A:=ω:lim sup1tWtω=0,
B:=ω:lim sup1tVtω=0=ω:lim sup1tWtω=μ.

Wówczas z mocnego prawa wielkich liczb dla proceseu Wienera PA=1 oraz PB=0, z drugiej strony QB=1, zatem miary P i Q są wzajemnie singularne na FW, mimo, że po odbcięciu do FTW dla T< są względem siebie absolutnie ciągłe. Można pokazać, że albsolutna ciągłość Q względem P wiąże się z jednostajną całkowalnością martyngału Z.

Naturalne jest pytanie kiedy spełnione są założenia twierdzenia Girsanowa, czyli kiedy Z jest martyngałem. Użyteczne jest następujące kryterium.

Twierdzenie 15.3 (Kryterium Nowikowa)

Jeśli Y jest procesem prognozowalnym spełniającym warunek Eexp120TYs2ds<, to spełnione są założenia twierdzenia Girsanowa, tzn. proces Z=expYdW-12Y2dt jest martyngałem na 0,T.

Kryterium Nowikowa jest konsekwencją silniejszego twierdzenia, które przedstawimy bez dowodu.

Twierdzenie 15.4

Załóżmy, że M jest ciągłym martyngałem lokalnym takim, że dla wszystkich t, Eexp12Mt<. Niech Zt=expMt-12M, wówczas EZt=1 dla wszystkich t, czyli Z jest martyngałem.

Twierdzenie Girsanowa można sformułować też w przypadku wielowymiarowym.

Twierdzenie 15.5

Załóżmy, że Y=Y1,,Yd proces d-wymiarowy taki, że YjΛT2 oraz T<. Niech W=W1,,Wd będzie d-wymiarowym procesem Wienera oraz

Zt=expi=1dYsidWti-120tYs2ds.

Wówczas, jeśli EZT=1 (czyli Zt jest martyngałem na 0,T), to proces

Vt=Wt-0tYsds=Wt1-0tY1ds,,Wtd-0tYsdds

jest procesem Wienera na 0,T względem miary probabilistycznej Qt takiej, że dQT=ZTdP.

Kryterium Nowikowa w przypadku d-wymiarowym ma postać

Twierdzenie 15.6

Jeśli Y jest d-wymiarowym procesem prognozowalnym spełniającym warunek Eexp120TYs2ds<, to spełnione są założenia twierdzenia Girsanowa.

15.3. Zadania

Ćwiczenie 15.1

Znajdź taką miarę probabilistyczną Q na Ω,F1W, by proces Wt+2t40t1 był procesem Wienera względem Q.

Ćwiczenie 15.2

Niech T<, U będzie procesem Wienera na Ω,F,P,

Zt=exp0tbs,UsdUs-120tb2s,Usds,Wt:=Ut-0tbs,Usds.

Stosując twierdzenie Girsanowa wykaż, że jeśli EZT=1, to istnieje miara probabilistyczna QT taka, że na przestrzeni probabilistycznej Ω,F,QT, Wt0tT jest procesem Wienera oraz

dUt=bt,Utdt+dWt,  0tT,U0=0.
Ćwiczenie 15.3

Niech μ oznacza miarę Wienera na C0,1 (tzn. rozkład wyznaczony przez proces Wienera na 0,1). Dla hC0,1 określamy nową miarę μh wzorem μhA:=μh+A. Wykaż, że
a) jeśli ht=0tgsds dla 0t1 oraz gL20,1, to miara μh jest absolutnie ciągła względem μ oraz znajdź jej gęstość,
b*) jeśli h nie ma powyższej postaci, to miary μ i μh są wzajemnie singularne.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.