Zagadnienia

5. Martyngały z czasem ciągłym

Tak jak podczas poprzedniego wykładu, jeśli nie zaznaczymy inaczej, będziemy zakładać, że T jest lewostronnie domkniętym przedziałem.

5.1. Definicje i przykłady

Definicja 5.1

Mówimy, że XttT jest martyngałem (odp. podmartyngałem, nadmartyngałem) względem filtracji FttT lub, że Xt,FttT jest martyngałem (odp. podmartyngałem, nadmartyngałem), jeśli
a) dla wszystkich tT, Xt jest Ft-mierzalny i EXt<,
b) dla dowolnych s,tT,s<t, E(Xt|Fs)=Xs p.n. (odp. dla podmartyngału i dla nadmartyngału).

Przykład 5.1

Jeśli X jest całkowalną zmienną losową, a Ft dowolną filtracją to Xt:=E(X|Ft) jest martyngałem.
Sprawdzamy dla t>s,

E(Xt|Fs)=E(E(X|Ft)|Fs)=E(X|Fs)=Xs p.n..
Przykład 5.2

Wtt0 jest martyngałem względem naturalnej filtracji Ft=σ(Ws:st).
Istotnie dla t>s mamy z niezależności przyrostów

E(Wt|Fs)=E(Ws|Fs)+E(Wt-Ws|Fs)=Ws+E(Wt-Ws)=Ws p.n..
Przykład 5.3

Wt2t0 jest podmartyngałem, a Wt2-tt0 martyngałem względem naturalnej filtracji Ft=σ(Ws:st).
Liczymy dla t>s,

E(Wt2|Fs)=E(Ws2|Fs)+E(2Ws(Wt-Ws)|Fs)+E((Wt-Ws)2|Fs)
=Ws2+2WsE(Wt-Ws)+E(Wt-Ws)2=Ws2+t-s p.n..
Uwaga 5.1

W ostatnich dwu przykładach filtrację FtW można zastąpić filtracją Ft+W.

Stwierdzenie 5.1

Załóżmy, że Xt,Ft jest martyngałem (odp. podmartyngałem), zaś f:RR funkcją wypukłą (odp. wypukłą i niemalejącą) taką, że EfXt< dla wszystkich t. Wówczas fXt,Ft jest podmartyngałem.

Z nierówności Jensena mamy E(f(Xt)|Fs)f(E(Xt|Fs)) p.n., a ostatnia zmienna jest równa fXs w przypadku martyngału i nie mniejsza niż fXs dla podmartyngału.

Przypomnijmy definicję funkcji harmonicznych.

Definicja 5.2

Funkcję f:RnR nazywamy podharmoniczną (odp. harmoniczną, nadharmoniczną) jeśli jest ograniczona na zbiorach zwartych oraz

xRnr0fx1Sn-1Sn-1fx+rydσy(odp. =),

gdzie σy jest miarą powierzchniową na sferze, a Sn-1=Sn-1dσy=2πn/2Γn/2-1.

Uwaga 5.2

Funkcja gładka jest harmoniczna (odp. pod-,nad-) wtedy i tylko wtedy, gdy Δf=0 (odp. , ). Dla n=1 warunek podharmoniczności jest równoważny wypukłości. Funkcja fx=-lnx-x0 jest nadharmoniczna na R2, a funkcja fx=x-x02-d nadharmoniczna na Rd dla d>2.

Stwierdzenie 5.2

Niech Wt=Wt1,,Wtd będzie d-wymiarowym procesem Wienera, FtW=σ(Ws:st), zaś f:RdR funkcją harmoniczną (odp. nad-, pod-) taką, że EfWt< dla t0. Wówczas fWt,FtW jest martyngałem (odp. nad-, pod-).

Liczymy dla t>s korzystając z niezależności przyrostów procesu Wienera oraz wprowadzając współrzędne sferyczne,

E(f(Wt)|FsW)=E(f(Ws+(Wt-Ws))|FsW)
=2πt-s-d/2RdfWs+xe-x22t-sdx
=2πt-s-d/20rd-1e-r22t-sSd-1fWs+ydσydr
=2πt-s-d/2Sd-1fWs0rd-1e-r22t-sdr
=(2π)-d/2|Sd-1|0rd-1e-r22drf(Ws)=cdf(Ws) p.n..

By zauważyć, że cd=1 przeprowadzamy albo bezpośredni rachunek, albo podstawiamy powyżej f1.

5.2. Nierówności maksymalne

Zacznijmy od przypomnienia podstawowego lematu dla martyngałów z czasem dyskretnym, pochodzącego od Dooba.

Lemat 5.1

Załóżmy, że Xn,Fn0nN jest martyngałem (odp. nad-, pod-), zaś 0τσN dwoma momentami zatrzymania. Wówczas

E(Xσ|Fτ)=Xτ p.n. (odp. ).

Musimy pokazać, że dla AFτ, EXτIA=EXσIA. Połóżmy Ak:=Aτ=k dla k=0,1,,N. Mamy

Xσ-XτIAk=Xσ-XkIAk=i=kσ-1Xi+1-XiIAk=i=kNXi+1-XiIAkσ>i,

zatem

EXσ-XτIAk=i=kNEXi+1-XiIAkσ>i=0,

gdyż Akσ>iFi. Stąd

EXσ-XτIA=k=0NEXσ-XτIAk=0.
Uwaga 5.3

Lemat 5.1 nie jest prawdziwy, jeśli nie założymy ograniczoności momentów zatrzymania, np. biorąc Xn=k=1nεn, gdzie εn niezależne zmienne losowe takie, że Pεn=±1=1/2, Fn=σε1,,εn, τ=0, σ=infn:Xn=1 widzimy, że EXτ=01=EXσ.

Przed sformułowaniem kolejnego lematu przypomnijmy, że przez X+ i X- oznaczamy odpowiednio część dodatnią i ujemną zmiennej X, tzn. X+:=maxX,0 oraz X-:=max-X,0.

Lemat 5.2

Niech Xn,Fn0nN będzie podmartyngałem, wówczas dla wszystkich λ0 mamy

a)λP(max0nNXnλ)EXNI{max0nNXnλ}EXN+,
b)λP(min0nNXn-λ)EXNI{min0nNXn>-λ}-EX0EXN+-EX0.

a) Niech τ:=infn:Xnλ, z Lematu 5.1 dostajemy (wobec τNN)

EXNEXτN=EXτI{max0nNXnλ}+EXNI{max0nNXn<λ}
λP(max0nNXnλ)+EXNI{max0nNXn<λ}

i po przeniesieniu wartości oczekiwanych na jedną stronę dostajemy postulowaną nierówność.

b) Definiujemy τ:=infn:Xn-λ, z Lematu 5.1 dostajemy (wobec τN0)

EX0EXτN=EXτI{min0nNXn-λ}+EXNI{min0nNXn>-λ}
-λP(min0nNXn-λ)+EXNI{min0nNXn>-λ}

i znów wystarczy pogrupować wartości oczekiwane.

Wniosek 5.1

Jeśli Xn,Fn0nN jest martyngałem, bądź nieujemnym podmartyngałem, to

a)p1λ0λpP(max0nN|Xn|λ)E|XN|p,
b)p>1E|XN|pEmax0nN|Xn|p(pp-1)pE|XN|p.

a) Funkcja ft=tp jest wypukła, niemalejąca na R+, stąd na mocy Stwierdzenia 5.1 Xnp jest nieujemnym podmartyngałem, zatem z Lematu 5.2 mamy

λpPmax0nNXnλ=λpPmax0nNXnpλp
E|XN|pI{max0nN|Xn|pλp}E|XN|p.

b) Niech X*:=max0nNXn, z rachunku przeprowadzonego powyżej dla p=1,

λPX*λEXNI{X*λ}.

Stosując kolejno wzór na całkowanie przez części, twierdzenie Fubiniego i nierówność Höldera dostajemy

Emax0nNXnp=p0λp-1P(X*λ)dλp0λp-2E|XN|I{X*λ}dλ
=pE|XN|0X*λp-2dλpp-1E|XN|(X*)p-1
pp-1EXNp1/pEX*pp-1/p.

Jeśli EXNp<, to na mocy nierówności Jensena, EXnpEXNp< dla 0nN oraz EX*pEn=0NXnp<. Dzieląc więc otrzymaną poprzednio nierówność stronami przez EX*pp-1/p dostajemy

EX*p1/ppp-1EXNp1/p.

Udowodnimy teraz nierówność maksymalną Dooba w przypadku ciągłym.

Twierdzenie 5.1

Załóżmy, że Xt,FttT martyngałem lub nieujemnym podmartyngałem, o prawostronnie ciągłych trajektoriach. Wówczas

a)p1λ0λpP(suptT|Xt|λ)suptTE|Xt|p,
b)p>1suptTE|Xt|pEsuptT|Xt|p(pp-1)psuptTE|Xt|p.
Uwaga 5.4

Oczywiście, jeśli T zawiera element maksymalny tmax, to przy założeniach twierdzenia suptTEXtp=EXtmaxp.

Jeśli D jest skończonym podzbiorem T, to na podstawie Wniosku 5.1 dostajemy

λpPsuptDXtλsuptDEXtpsuptTEXtp.

Niech T0 będzie gęstym podzbiorem T zawierającym prawy koniec T (o ile taki istnieje), zaś Dn wstępującym ciągiem skończonych podzbiorów T0 takim, że nDn=T0. Wówczas dla dowolnego λ~>0 dostajemy na mocy prawostronnej ciągłości

λ~pPsuptTXt>λ~=λ~pPsuptT0Xt>λ~
=limnλ~pP(suptDn|Xt|>λ~)suptTE|Xt|p.

Biorąc ciąg λ~nλ dostajemy postulowaną w a) nierówność. Nierówność z punktu b) wynika z Wniosku 5.1 w podobny sposób.

Uwaga 5.5

Punkt b) Twierdzenia 5.1 nie zachodzi dla p=1 – można skonstruować martyngał dla którego suptEXt<, ale EsuptXt=. Zachodzi jednak (przy założeniach Twierdzenia 5.1) nierówność

EsuptTXtee-11+suptTEXtln+Xt.
Wniosek 5.2

Dla dowolnych u,s>0 zachodzi

Psup0tsWtue-u22s.

Ustalmy λ>0, wówczas Mt:=expλWt-λ2t2 jest martyngałem względem filtracji FtW generowanej przez proces Wienera (Ćwiczenie 5.2). Stąd na mocy Twierdzenia 5.1 a) z p=1 i nieujemności Mt dostajemy

Psup0tsWtuPsup0tsMteλu-λ2s2
e-λu+λ2s2sup0tsE|Mt|=e-λu+λ2s2EM0=e-λu+λ2s2.

Zatem

Psup0tsWtuinfλ>0e-λu+λ2s2=e-u22s.

5.3. Zadania

Ćwiczenie 5.1

Załóżmy, że Ntt0 jest procesem Poissona, tzn. procesem o prawostronnie ciągłych trajektoriach takim, że N0=0, N ma przyrosty niezależne, oraz Nt-NsPoisst-s dla t>s. Wykaż, że Nt-λtt0 oraz Nt-λt2-λtt0 są martyngałami względem FtNt0.

Ćwiczenie 5.2

Wykaż, że expλWt-λ2t2,FtWt0 jest martyngałem dla dowolnego λR.

Ćwiczenie 5.3 (Prawo iterowanego logarytmu dla procesu Wienera)

Wykaż, że
a) lim suptWt2tlnlnt=1 p.n.,
b) lim inftWt2tlnlnt=-1 p.n..

Wskazówka: 

i) Niech C>1 oraz u>C1/2. Wykaż, że

nPsupCntCn+1Wtu2CnlnlnCn<

i wywnioskuj stąd, że lim suptWt2tlnlntu p.n..
ii) Wykaż, że lim suptWt2tlnlnt1 p.n. oraz lim inftWt2tlnlnt-1 p.n..
iii) Udowodnij, że dla gN0,1 i t>0,

12π1t-1t3e-t2/2Pgt12πte-t2/2.

iv) Wykaż, że dla C>1 i u<1

PWCn-WCn-1u1-1/C2CnlnlnCn=

i wywnioskuj stąd i z ii), że lim suptWt2tlnlntu1-1/C1/2-C-1/2 p.n..

Ćwiczenie 5.4

Udowodnij, że
a) lim supt0+Wt2tlnln1/t=1 p.n.,
b) lim inft0+Wt2tlnln1/t=-1 p.n..

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.