Zagadnienia

6. Twierdzenia o zbieżności martyngałów

Udowodnimy twierdzenia o zbieżności martyngałów z czasem ciągłym prawie na pewno i w Lp. Wykażemy też ciągłą wersję twierdzenia Dooba ,,optional sampling”.

6.1. Przejścia w dół przez przedział

Definicja 6.1

Załóżmy, że IR, f:IR oraz α<β. Jeśli I jest skończone, to określamy

τ1:=inftI:ftβ oraz σ1:=inftI:t>τ1,ftα

i dalej indukcyjnie dla i=1,2,

τi+1:=inftI:t>σi,ftβ oraz σi+1:=inftI:t>τi+1,ftα.

Definiujemy

DIf,α,β:=supj:σj<0.

W przypadku, gdy I jest nieskończone kładziemy

DIf,α,β:=supDFf,α,β:FT skończone.

Wielkość DIf,α,β nazywamy liczbą przejść w dół funkcji f przez przedział α,β.

Przypomnijmy fakt z rachunku prawdopodobieństwa wiążący skończoność liczby przejść ciągu przez przedział z istnieniem granicy.

Lemat 6.1

Ciąg liczbowy xn jest zbieżny do pewnej, niekoniecznie skończonej granicy wtedy i tylko wtedy, gdy DNxn,α,β< dla dowolnych liczb wymiernych α<β.

Następny lemat jest niewielką modyfikacją poprzedniego.

Lemat 6.2

Jeśli f:a,bR, b jest prawostronnie ciągłą funkcją taką, że dla dowolnych liczb wymiernych α<β, Da,bQf,α,β<, to istnieje (niekoniecznie skończona) granica limtbft.

Załóżmy, że postulowana granica nie istnieje, wtedy można znaleźć liczby wymierne α,β takie, że

lim inftbft<α<β<lim suptbft.

Stąd wynika, że istnieje rosnący ciąg liczb wymiernych tn z przedziału a,b taki, że ft2k-1β oraz ft2kα. Przyjmując I=t1,t2, widzimy, że Da,bQf,α,βDIf,α,β=.

Lemat 6.3

Załóżmy, że X=XttT jest podmartyngałem względem pewnej filtracji, a F jest przeliczalnym podzbiorem T, wówczas

EDFX,α,βsuptFEXt-β+β-α.

Stosując twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej widzimy, że wystarczy udowodnić lemat dla skończonych zbiorów F, dla uproszczenia notacji możemy oczywiście przyjąć, że F=1,2,,N. Zauważmy, że (przy oznaczeniach jak w Definicji 6.1)

XτiN-XσiN=Xτi-Xσiβ-α gdy σi<,Xτi-XNβ-XN-XN-β+ gdy τi<σi=,XN-XN=0 gdy τi=.

Zatem

i=1NXτiN-XσiNβ-αDFX,α,β-XN-β+.

Na mocy Lematu 5.1, EXτiNEXσiN, więc

0Ei=1NXτiN-XσiNEβ-αDFX,α,β-EXN-β+.

6.2. Zbieżność prawie na pewno

Przypomnijmy twierdzenie dotyczące zbieżności podmartyngałów z czasem dyskretnym:

Twierdzenie 6.1

Załóżmy, że XnnN jest podmartyngałem względem pewnej filtracji takim, że supnNEXn+< (lub nadmartyngałem takim, że supnNEXn-<), wówczas X=limnXn istnieje i jest skończona p.n., ponadto EX<.

Sformułujemy teraz odpowiednik powyższego twierdzenia dla czasu ciągłego.

Twierdzenie 6.2

Załóżmy, że Xtta,b, b jest podmartyngałem o prawostronnie ciągłych trajektoriach takim, że supta,bEXt+<. Wówczas X=limtbXt istnieje i jest skończony p.n., ponadto EX<.

Dla ustalonego α<β na podstawie Lematu 6.3 mamy

EDa,bQXt,α,β1β-αsupta,bEXt-β+<,

zatem PDa,bQXt,α,β==0. Niech

A:=α,βQ,α<βDa,bQXt,α,β<,

wówczas PA=1, bo A jest przecięciem przeliczalnej liczby zbiorów pełnej miary. Jeśli ωA, to Da,bQXtω,α,β< dla dowolnych liczb wymiernych α<β, czyli, na podstawie Lematu 6.2, granica Xω:=limtbXtω istnieje (choć apriori może być nieskończona). Zauważmy, że EXt=2EXt+-EXt2EXt+-EX0, zatem supta,bEXt<. Z Lematu Fatou

EX=ElimtbXtlim inftbEXtsuptEXt<,

czyli zmienna X jest całkowalna, a więc w szczególności skończona p.n..

Wniosek 6.1

Załóżmy, że Xtt0 jest niedodatnim podmartyngałem (lub nieujemnym nadmartyngałem) o prawostronnie ciągłych trajektoriach, wówczas granica X=limtXt istnieje i jest skończona p.n., ponadto EX<.

6.3. Jednostajna całkowalność

Definicja 6.2

Rodzinę zmiennych losowych XiiI nazywamy jednostajnie całkowalną, jeśli

limCsupiIEXiI{|Xi|>C}=0.
Stwierdzenie 6.1

Rodzina zmiennych losowych XiiI jest jednostajnie całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące dwa warunki
a) supiIEXi<,
b) ε>0δ>0PAδsupiIEXiIAε.

: Ustalmy ε>0 i dobierzmy C takie, że supiIEXiI{|Xi|>C}ε/2. Wówczas

iIEXiC+EXiI{|Xi|>C}C+ε/2<

oraz, jeśli PA<δ:=ε2C, to

EXiIACPA+EXiI{|Xi|>C}Cδ+ε2=ε.

: Niech α:=supiIEXi oraz δ>0 będzie takie, że supiIEXiIAε dla PAδ. Wówczas, jeśli C=α/δ, to PXi>C<α/C=δ dla dowolnego iI, czyli supiIEXiI{|Xi|>C}ε.

Podamy teraz kilka przykładów rodzin jednostajnie całkowalnych.

Przykład 6.1

Rodzina jednoelementowa Y taka, że EY<.

Istotnie, na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej mamy limCEYI{|Y|>C}=0.

Przykład 6.2

Rodzina wspólnie ograniczona przez zmienną całkowalną tzn. rodzina XiiI taka, że iIXiY oraz EY<.

Wynika to ze Stwierdzenia 6.1, poprzedniego przykładu i oczywistej obserwacji EXiIAEYIA.

Przykład 6.3

Rodzina uśrednień ustalonej całkowalnej zmiennej losowej, tzn. rodzina postaci (E(X|Fi))iI, gdzie EX<, zaś FiiI dowolna rodzina σ-podciał F.

Na podstawie nierówności Jensena E|Xi|=E|E(X|Fi)|E|X|, a zatem

PXiCEXiCEXCδdla CEXδ.

Zbiór {|Xi|>C}Fi, więc z nierówności Jensena

EXiI{|Xi|>C}=E|E(XI{|Xi|>C}|Fi)|EE(|X|I{|Xi|>C}|Fi)
E(|X|I{|Xi|>C})ε,

jeśli tylko dobierzemy odpowiednio małe δ korzystając z jednostajnej całkowalności X.

Jednostajna całkowalność jest jednym z kluczowych narzędzi (obok twierdzenia o zbieżności zmajoryzowanej) pozwalającym ze zbieżności prawie na pewno wywnioskować zbieżność w Lp.

Stwierdzenie 6.2

Załóżmy, że 1p<, a Xn są zmiennymi losowymi takimi, że rodzina Xnpn=1 jest jednostajnie całkowalna. Wówczas Xn zbiega do zmiennej X w Lp wtedy i tylko wtedy, gdy Xn zbiega do X według prawdopodobieństwa.

Wystarczy udowodnić, że zbieżność Xn według prawdopodobieństwa implikuje zbieżność w Lp, bo przeciwna implikacja jest zawsze prawdziwa. Załóżmy więc, że XnPX, wówczas dla pewnego podciągu nk, Xnk zbiega do X p.n., stąd na mocy Lematu Fatou

EXp=ElimkXnkplim infkEXnkpsupnEXnp<.

Zatem rodzina Xnp:n=1,2,Xp jest jednostajnie całkowalna. Ustalmy ε>0 i dobierzmy δ>0 tak, by dla PA<δ zachodziło EXnpIAε oraz EXpIAε. Mamy

EXn-Xpεp+EXn-XpI{|Xn-X|>ε}
εp+2pEXnpI{|Xn-X|>ε}+2pEXpI{|Xn-X|>ε},

a ponieważ XnPX, więc PXn-X>ε<δ dla dużych n, czyli

EXn-Xpεp+2p+1ε dla dostatecznie dużych n.
Wniosek 6.2

Jeśli rodzina Xnn=1 jest jednostajnie całkowalna oraz Xn zbiega prawie na pewno do zmiennej X, to limnEXnIA=EXIA dla wszystkich zdarzeń A.

Stosujemy Stwierdzenie 6.2 i oczywiste szacowanie EXnIA-EXIAEXn-X.

6.4. Ciągła wersja twierdzenia Dooba

Jesteśmy teraz gotowi do dowodu ciągłej wersji Lematu 5.1.

Twierdzenie 6.3

a) Załóżmy, że T jest przedziałem, a XttT martyngałem prawostronnie ciągłym, zaś σ i τ czasami zatrzymania takimi, że στtmax oraz tmaxT. Wówczas E(Xτ|Fσ)=Xσ p.n..
b) Jeśli Xt0t jest prawostronnie ciągłym martyngałem z ostatnim elementem X to dla dowolnych dwu czasów zatrzymania στ, E(Xτ|Fσ)=Xσ p.n.

Udowodnimy część a) (część b) można za pomocą zmiany czasu sprowadzić do a)). Zdefiniujmy

τnω:=tmax-kn dla τωtmax-k+1n,tmax-kn,k=0,1,,n2,tmax-n dla τωtmax-n

oraz

σnω:=tmax-kn dla σωtmax-k+1n,tmax-kn,k=0,1,,n2,tmax-n dla σωtmax-n.

Wówczas σnτntmax są ograniczonymi czasami zatrzymania przyjmującymi jedynie skończenie wiele wartości. Zatem na mocy Lematu 5.1 mamy E(Xτn|Fσn)=Xσn p.n., E(Xtmax|Fσn)=Xσn p.n. oraz E(Xtmax|Fτn)=Xτn p.n., w szczególności więc rodziny Xτnn=1 oraz Xσnn=1 są jednostajnie całkowalne. Ponieważ τnτ+ oraz σnσ+, więc z prawostronnej ciągłości X oraz Stwierdzenia 6.2, XτnXτ, XσnXσ p.n. i w L1. Weźmy AFσFσn, wówczas

EXτIA=limnEXτnIA=limnEXσnIA=EXσIA,

co oznacza, że E(Xτ|Fσ)=Xσ p.n..

Wniosek 6.3

Załóżmy, że T jest przedziałem, a MttT jest prawostronnie ciągłym martyngałem względem FttT. Wówczas dla dowolnego momentu zatrzymania τ proces Mτ=MτttT jest martyngałem zarówno względem FτttT, jak i FttT.

Niech s<t oraz s,tT, wówczas τsτtt, więc z Twierdzenia 6.3 mamy E(Mτt|Fτs)=Mτs p.n., czyli Mτt,FτttT jest martyngałem.

By udowodnić drugą część ustalmy s<t oraz AFs. Nietrudno sprawdzić, że Aτ>sFτs, zatem z poprzednio udowodnionej części wniosku mamy

EMτtIAτ>s=EMτsIAτ>s.

Ponadto

EMτtIAτs=EMτIAτs=EMτsIAτs.

Dodając powyższe tożsamości stronami otrzymujemy EMτtIA=EMτsIA dla AFs, zatem Mτt,FttT jest martyngałem.

6.5. Zbieżność martyngałów w Lp

Zacznijmy od warunków zbieżności martyngałów z czasem ciągłym w L1.

Twierdzenie 6.4

Załóżmy, że Xtta,b, b jest prawostronnie ciągłym martyngałem. Wówczas następujące warunki są równoważne:
a) Rodzina Xtta,b jest jednostajnie całkowalna.
b) Istnieje całkowalna zmienna losowa Xb taka, że Xt zbiega do Xb w L1, tzn. limtbEXt-Xb=0.
c) Istnieje całkowalna zmienna losowa Xb mierzalna względem σ-ciała Fb:=σta,bFt taka, że Xt=E(Xb|Ft) dla ta,b.
W przypadku, gdy zachodzą warunki (a)-(c), to Xb=limtbXt p.n..

a)b): Xt jest jednostajnie całkowalny, więc suptEXt<, czyli wobec Twierdzenia 6.2 istnieje zmienna całkowalna Xb taka, że XtXb p.n. przy tb. Z jednostajnej całkowalności i Lematu 6.2 wynika zbieżność w L1.

b)c): Dla pewnego podciągu tkb, XtkXb p.n., stąd możemy zakładać, że zmienna Xb jest Fb mierzalna. Ustalmy t i AFt, wówczas dla st

EXtIA=EXsIAEXbIA,s.

Zatem Xt=E(Xb|Ft) p.n..

c)a) Wiemy, że rodzina uśrednień ustalonej zmiennej jest jednostajnie całkowalna.

Ostatnia część twiedzenia wynika z dowodu implikacji a)b).

Twierdzenie 6.5

Załóżmy, że Xtta,b jest prawostronnie ciągłym martyngałem. Wówczas następujące warunki są równoważne:
a) supta,bEXtp<.
b) Rodzina Xtpta,b jest jednostajnie całkowalna.
c) Istnieje zmienna losowa XbLp taka, że Xt zbiega do Xb w Lp, tzn. limtbEXt-Xbp=0.
d) Istnieje zmienna losowa XbLp mierzalna względem Fb:=σta,bFt taka, że Xt=E(Xb|Ft) dla ta,b.
W przypadku, gdy zachodzą warunki (a)-(d), to Xb=limtbXt p.n..

a)b): Na podstawie Twierdzenia 5.1 wiemy, że

Esupta,bXtppp-1psupta,bEXtp<.

Pozostałe implikacje dowodzimy jak w dowodzie Twierdzenia 6.4.

6.6. Uwagi i uzupełnienia

W wielu twierdzeniach zakłada się, iż Xt jest prawostronnie ciągłym podmartyngałem. Oczywiście modyfikacja podmartyngału jest podmartyngałem – problem jest tylko z mierzalnością, ale znika on, gdy filtracja spełnia zwykłe warunki. Naturalnie jest więc zapytać kiedy dany podmartyngał możemy zmodyfikować tak, by stał się prawostronnie ciągły. Odpowiedź na to pytanie jest bardzo prosta.

Twierdzenie 6.6

Załóżmy, że T jest przedziałem, a X=XttT jest podmartyngałem (odp. nadmartyngałem) względem filtracji FttT spełniającej zwykłe warunki. Wówczas X ma prawostronnie ciągłą modyfikację wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja tEXt jest prawostronnie ciągła.

6.7. Zadania

Ćwiczenie 6.1

Które z podanych niżej warunków implikują jednostajną całkowalność ciągu Xn:
a) supnEXn<,
b) supnEXn2<,
c) EsupnXn<,
d) zbieżność Xn w L1,
e) zbieżność Xn p.n.?

Ćwiczenie 6.2

Niech Xn,Fnn0 będzie podmartyngałem (z czasem odwróconym!) takim, że limn-EXn>-. Wykaż, że Xn jest jednostajnie całkowalny.

Ćwiczenie 6.3

Wykaż, że martyngał Mt=expλWt-λ2t/2 jest zbieżny p.n. i znajdź jego granicę. Czy jest on zbieżny w L1?

Ćwiczenie 6.4

a) Wykaż, że jeśli f jest dwukrotnie różniczkowalna na R oraz f,f,f′′ są ograniczone, to

Mt=fWt-fW0-120tf′′Wudu

jest martyngałem względem FtW.
b) Ogólniej, jeśli f jest dwukrotnie różniczkowalna na Rd, pochodne cząstkowe f rzędu mniejszego niż 2 są ograniczone oraz W jest d-wymiarowym procesem Wienera, to

Mt=fWt-fW0-120tj=1d2fxj2Wudu

jest martyngałem względem FtW.

Ćwiczenie 6.5

Niech τ będzie momentem zatrzymania względem FtW.
a) Wykaż, że Wτn,Fτnn=1 jest martyngałem.
b) Udowodnij, że jeśli Eτ<, to EsupnWτn2<.
c) Wykaż, że jeśli Eτ<, to EWτ2=Eτ i EWτ=0.

Ćwiczenie 6.6

Niech Wt będzie jednowymiarowym procesem Wienera oraz

τa:=inft>0:Wt=a,τ~a:=inft>0:Wt=a.

Rozpatrując martyngały Wt i Wt2-t wykaż, że
a) τa< p.n. dla wszystkich aR,
b) Pτa<τ-b=ba+b dla a,b>0,
c) Eτ~a=a2 dla a0,
d) Eτaτ-b=ab dla a,b>0,
e) Eτa= dla wszystkich a0.

Ćwiczenie 6.7

Rozpatrując martyngały Mtλ=expλWt-λ2t/2 oraz Ntλ=Mtλ+Mt-λ/2 wykaż, że przy oznaczeniach poprzedniego zadania, dla wszystkich a,λ0,
a) Ee-λτa=e-a2λ,
b) Ee-λτ~a=cosha2λ-1.

Ćwiczenie 6.8

Niech Wt=Wt1,,Wtd będzie d wymiarowym procesem Wienera, a x0Rd oraz d>2.
a) Wykaż, że Wt-x02-d jest nieujemnym nadmartyngałem.
b) Udowodnij, że Wt-x02-d zbiega przy t do 0 według prawdopodobieństwa i p.n. oraz wywnioskuj stąd, że limtWt= p.n..
c) Wykaż, że dla prawostronnie ciągłego nadmartyngału Xtta zachodzi

λ>0λPsuptaXtλsuptEXt-+EXa.

d) Wykaż, że Pt>0Wt=x0=0.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.