6.1. Przejścia w dół przez przedział
Definicja 6.1
Załóżmy, że I⊂R, f:I→R oraz α<β.
Jeśli I jest skończone, to określamy
|
τ1:=inft∈I:ft≥β oraz σ1:=inft∈I:t>τ1,ft≤α |
|
i dalej indukcyjnie dla i=1,2,…
|
τi+1:=inft∈I:t>σi,ft≥β oraz σi+1:=inft∈I:t>τi+1,ft≤α. |
|
Definiujemy
W przypadku, gdy I jest nieskończone kładziemy
|
DIf,α,β:=supDFf,α,β:F⊂T skończone. |
|
Wielkość DIf,α,β nazywamy
liczbą przejść w dół funkcji f przez przedział α,β.
Przypomnijmy fakt z rachunku prawdopodobieństwa wiążący skończoność liczby przejść ciągu
przez przedział z istnieniem granicy.
Lemat 6.1
Ciąg liczbowy xn jest zbieżny do pewnej, niekoniecznie skończonej granicy wtedy i
tylko wtedy, gdy DNxn,α,β<∞ dla dowolnych liczb
wymiernych α<β.
Następny lemat jest niewielką modyfikacją poprzedniego.
Lemat 6.2
Jeśli f:a,b→R, b≤∞ jest prawostronnie ciągłą funkcją
taką, że dla dowolnych liczb
wymiernych α<β,
Da,b∩Qf,α,β<∞, to istnieje (niekoniecznie skończona) granica
limt→bft.
Załóżmy, że postulowana granica nie istnieje, wtedy można znaleźć liczby wymierne
α,β takie, że
|
lim inft→bft<α<β<lim supt→bft. |
|
Stąd wynika, że istnieje rosnący ciąg liczb wymiernych tn z przedziału a,b taki, że
ft2k-1≥β oraz ft2k≤α. Przyjmując
I=t1,t2,… widzimy, że
Da,b∩Qf,α,β≥DIf,α,β=∞.
∎
Lemat 6.3
Załóżmy, że X=Xtt∈T jest podmartyngałem względem pewnej filtracji,
a F jest przeliczalnym podzbiorem T, wówczas
|
EDFX,α,β≤supt∈FEXt-β+β-α. |
|
Stosując twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej widzimy, że
wystarczy udowodnić lemat dla skończonych zbiorów F, dla uproszczenia notacji możemy
oczywiście przyjąć, że F=1,2,…,N. Zauważmy, że (przy oznaczeniach jak w
Definicji 6.1)
|
Xτi∧N-Xσi∧N=Xτi-Xσi≥β-α gdy σi<∞,Xτi-XN≥β-XN≥-XN-β+ gdy τi<σi=∞,XN-XN=0 gdy τi=∞. |
|
Zatem
|
∑i=1NXτi∧N-Xσi∧N≥β-αDFX,α,β-XN-β+. |
|
Na mocy Lematu 5.1,
EXτi∧N≤EXσi∧N, więc
|
0≥E∑i=1NXτi∧N-Xσi∧N≥Eβ-αDFX,α,β-EXN-β+. |
|
∎
6.2. Zbieżność prawie na pewno
Przypomnijmy twierdzenie dotyczące zbieżności podmartyngałów z czasem dyskretnym:
Twierdzenie 6.1
Załóżmy, że Xnn∈N jest podmartyngałem względem pewnej filtracji
takim, że
supn∈NEXn+<∞ (lub nadmartyngałem takim, że
supn∈NEXn-<∞), wówczas X=limn→∞Xn
istnieje i jest skończona p.n., ponadto EX<∞.
Sformułujemy teraz odpowiednik powyższego twierdzenia dla czasu ciągłego.
Twierdzenie 6.2
Załóżmy, że Xtt∈a,b, b≤∞ jest podmartyngałem o prawostronnie
ciągłych trajektoriach takim, że supt∈a,bEXt+<∞. Wówczas
X=limt→bXt istnieje i jest skończony p.n., ponadto EX<∞.
Dla ustalonego
α<β na podstawie Lematu 6.3 mamy
|
EDa,b∩QXt,α,β≤1β-αsupt∈a,bEXt-β+<∞, |
|
zatem PDa,b∩QXt,α,β=∞=0. Niech
|
A:=⋂α,β∈Q,α<βDa,b∩QXt,α,β<∞, |
|
wówczas PA=1, bo A jest przecięciem przeliczalnej liczby zbiorów pełnej miary.
Jeśli ω∈A, to
Da,b∩QXtω,α,β<∞
dla dowolnych liczb wymiernych α<β, czyli, na podstawie Lematu 6.2, granica
Xω:=limt→bXtω istnieje (choć apriori może być nieskończona).
Zauważmy, że EXt=2EXt+-EXt≤2EXt+-EX0, zatem
supt∈a,bEXt<∞. Z Lematu Fatou
|
EX=Elimt→bXt≤lim inft→bEXt≤suptEXt<∞, |
|
czyli zmienna X jest całkowalna, a więc w szczególności skończona p.n..
∎
Wniosek 6.1
Załóżmy, że Xtt≥0 jest niedodatnim podmartyngałem (lub nieujemnym
nadmartyngałem) o prawostronnie ciągłych trajektoriach, wówczas granica
X=limt→∞Xt istnieje i jest skończona p.n., ponadto EX<∞.
6.3. Jednostajna całkowalność
Definicja 6.2
Rodzinę zmiennych losowych Xii∈I nazywamy jednostajnie całkowalną, jeśli
|
limC→∞supi∈IEXiI{|Xi|>C}=0. |
|
Stwierdzenie 6.1
Rodzina zmiennych losowych Xii∈I jest jednostajnie całkowalna wtedy i tylko
wtedy, gdy spełnione są następujące dwa warunki
a) supi∈IEXi<∞,
b) ∀ε>0∃δ>0PA≤δ⇒supi∈IEXiIA≤ε.
⇒: Ustalmy ε>0 i dobierzmy C takie, że
supi∈IEXiI{|Xi|>C}≤ε/2. Wówczas
|
∀i∈IEXi≤C+EXiI{|Xi|>C}≤C+ε/2<∞ |
|
oraz, jeśli PA<δ:=ε2C, to
|
EXiIA≤CPA+EXiI{|Xi|>C}≤Cδ+ε2=ε. |
|
⇐: Niech α:=supi∈IEXi oraz δ>0 będzie takie, że
supi∈IEXiIA≤ε dla PA≤δ. Wówczas, jeśli C=α/δ,
to PXi>C<α/C=δ dla dowolnego i∈I, czyli
supi∈IEXiI{|Xi|>C}≤ε.
∎
Podamy teraz kilka przykładów rodzin jednostajnie całkowalnych.
Przykład 6.1
Rodzina jednoelementowa Y taka, że EY<∞.
Istotnie, na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej mamy
limC→∞EYI{|Y|>C}=0.
Przykład 6.2
Rodzina wspólnie ograniczona przez zmienną całkowalną tzn. rodzina Xii∈I
taka, że ∀i∈IXi≤Y oraz EY<∞.
Wynika to ze Stwierdzenia 6.1, poprzedniego przykładu i
oczywistej obserwacji EXiIA≤EYIA.
Przykład 6.3
Rodzina uśrednień ustalonej całkowalnej zmiennej losowej, tzn. rodzina postaci
(E(X|Fi))i∈I, gdzie EX<∞, zaś Fii∈I
dowolna rodzina σ-podciał F.
Na podstawie nierówności Jensena
E|Xi|=E|E(X|Fi)|≤E|X|, a zatem
|
PXi≥C≤EXiC≤EXC≤δdla C≥EXδ. |
|
Zbiór {|Xi|>C}∈Fi, więc z nierówności Jensena
|
EXiI{|Xi|>C} | =E|E(XI{|Xi|>C}|Fi)|≤EE(|X|I{|Xi|>C}|Fi) |
|
|
| ≤E(|X|I{|Xi|>C})≤ε, |
|
jeśli tylko dobierzemy odpowiednio małe δ korzystając z jednostajnej całkowalności
X.
Jednostajna całkowalność jest jednym z kluczowych narzędzi (obok twierdzenia
o zbieżności zmajoryzowanej) pozwalającym ze zbieżności prawie na pewno
wywnioskować zbieżność w Lp.
Stwierdzenie 6.2
Załóżmy, że 1≤p<∞, a Xn są zmiennymi losowymi takimi, że rodzina
Xnpn=1∞ jest jednostajnie całkowalna. Wówczas Xn zbiega
do zmiennej X w Lp wtedy i tylko wtedy, gdy Xn zbiega do X według
prawdopodobieństwa.
Wystarczy udowodnić, że zbieżność Xn według prawdopodobieństwa
implikuje zbieżność w Lp, bo przeciwna implikacja jest zawsze prawdziwa.
Załóżmy więc, że Xn→PX, wówczas dla pewnego podciągu
nk, Xnk zbiega do X p.n., stąd na mocy Lematu Fatou
|
EXp=Elimk→∞Xnkp≤lim infk→∞EXnkp≤supnEXnp<∞. |
|
Zatem rodzina Xnp:n=1,2,…∪Xp jest jednostajnie
całkowalna. Ustalmy ε>0 i dobierzmy δ>0 tak, by dla PA<δ
zachodziło EXnpIA≤ε oraz EXpIA≤ε. Mamy
|
EXn-Xp | ≤εp+EXn-XpI{|Xn-X|>ε} |
|
|
| ≤εp+2pEXnpI{|Xn-X|>ε}+2pEXpI{|Xn-X|>ε}, |
|
a ponieważ Xn→PX, więc PXn-X>ε<δ dla
dużych n, czyli
|
EXn-Xp≤εp+2p+1ε dla dostatecznie dużych n. |
|
∎
Wniosek 6.2
Jeśli rodzina Xnn=1∞ jest jednostajnie całkowalna oraz Xn zbiega
prawie na pewno do zmiennej X, to limn→∞EXnIA=EXIA
dla wszystkich zdarzeń A.
Stosujemy Stwierdzenie 6.2 i oczywiste szacowanie
EXnIA-EXIA≤EXn-X.
∎
6.4. Ciągła wersja twierdzenia Dooba
Jesteśmy teraz gotowi do dowodu ciągłej wersji Lematu 5.1.
Twierdzenie 6.3
a) Załóżmy, że T jest przedziałem, a Xtt∈T martyngałem prawostronnie
ciągłym, zaś σ i τ czasami zatrzymania takimi, że σ≤τ≤tmax
oraz tmax∈T. Wówczas E(Xτ|Fσ)=Xσ p.n..
b) Jeśli Xt0≤t≤∞ jest prawostronnie ciągłym martyngałem z ostatnim
elementem X∞ to dla dowolnych dwu czasów zatrzymania σ≤τ,
E(Xτ|Fσ)=Xσ p.n.
Udowodnimy część a) (część b) można za pomocą zmiany czasu sprowadzić do a)). Zdefiniujmy
|
τnω:=tmax-kn dla τω∈tmax-k+1n,tmax-kn,k=0,1,…,n2,tmax-n dla τω≤tmax-n |
|
oraz
|
σnω:=tmax-kn dla σω∈tmax-k+1n,tmax-kn,k=0,1,…,n2,tmax-n dla σω≤tmax-n. |
|
Wówczas σn≤τn≤tmax są ograniczonymi czasami zatrzymania
przyjmującymi jedynie skończenie wiele wartości. Zatem na mocy Lematu 5.1
mamy E(Xτn|Fσn)=Xσn p.n.,
E(Xtmax|Fσn)=Xσn p.n. oraz
E(Xtmax|Fτn)=Xτn p.n., w szczególności więc rodziny
Xτnn=1∞ oraz Xσnn=1∞
są jednostajnie całkowalne. Ponieważ τn→τ+ oraz
σn→σ+, więc z prawostronnej ciągłości X oraz Stwierdzenia 6.2,
Xτn→Xτ, Xσn→Xσ p.n. i
w L1. Weźmy A∈Fσ⊂Fσn, wówczas
|
EXτIA=limn→∞EXτnIA=limn→∞EXσnIA=EXσIA, |
|
co oznacza, że E(Xτ|Fσ)=Xσ p.n..
∎
Wniosek 6.3
Załóżmy, że T jest przedziałem, a Mtt∈T jest prawostronnie ciągłym martyngałem
względem Ftt∈T.
Wówczas dla dowolnego momentu zatrzymania τ proces Mτ=Mτ∧tt∈T
jest martyngałem zarówno względem Fτ∧tt∈T, jak i
Ftt∈T.
Niech s<t oraz s,t∈T, wówczas τ∧s≤τ∧t≤t, więc z Twierdzenia
6.3 mamy E(Mτ∧t|Fτ∧s)=Mτ∧s p.n.,
czyli Mτ∧t,Fτ∧tt∈T jest martyngałem.
By udowodnić drugą część ustalmy s<t oraz A∈Fs. Nietrudno sprawdzić, że
A∩τ>s∈Fτ∧s, zatem z poprzednio udowodnionej części wniosku mamy
|
EMτ∧tIA∩τ>s=EMτ∧sIA∩τ>s. |
|
Ponadto
|
EMτ∧tIA∩τ≤s=EMτIA∩τ≤s=EMτ∧sIA∩τ≤s. |
|
Dodając powyższe tożsamości stronami otrzymujemy
EMτ∧tIA=EMτ∧sIA dla A∈Fs, zatem
Mτ∧t,Ftt∈T jest martyngałem.
∎
6.5. Zbieżność martyngałów w Lp
Zacznijmy od warunków zbieżności martyngałów z czasem ciągłym w L1.
Twierdzenie 6.4
Załóżmy, że Xtt∈a,b, b≤∞ jest prawostronnie ciągłym martyngałem. Wówczas
następujące warunki są równoważne:
a) Rodzina Xtt∈a,b jest jednostajnie całkowalna.
b) Istnieje całkowalna zmienna losowa Xb taka, że Xt zbiega
do Xb w L1, tzn.
limt→bEXt-Xb=0.
c) Istnieje całkowalna zmienna losowa Xb mierzalna względem σ-ciała
Fb:=σ⋃t∈a,bFt taka, że
Xt=E(Xb|Ft) dla t∈a,b.
W przypadku, gdy zachodzą warunki (a)-(c), to Xb=limt→bXt
p.n..
a)⇒b): Xt jest jednostajnie całkowalny, więc
suptEXt<∞, czyli wobec Twierdzenia
6.2
istnieje zmienna całkowalna Xb taka, że Xt→Xb p.n.
przy t→b.
Z jednostajnej całkowalności i Lematu 6.2 wynika zbieżność w L1.
b)⇒c): Dla pewnego podciągu tk→b,
Xtk→Xb p.n., stąd możemy zakładać, że zmienna Xb
jest Fb mierzalna. Ustalmy t i A∈Ft, wówczas dla s≥t
|
EXtIA=EXsIA→EXbIA,s→∞. |
|
Zatem Xt=E(Xb|Ft) p.n..
c)⇒a) Wiemy, że rodzina uśrednień ustalonej zmiennej jest jednostajnie
całkowalna.
Ostatnia część twiedzenia wynika z dowodu implikacji a)⇒b).
∎
Twierdzenie 6.5
Załóżmy, że Xtt∈a,b jest prawostronnie ciągłym martyngałem. Wówczas
następujące warunki są równoważne:
a) supt∈a,bEXtp<∞.
b) Rodzina Xtpt∈a,b jest jednostajnie całkowalna.
c) Istnieje zmienna losowa Xb∈Lp taka, że Xt zbiega
do Xb w Lp, tzn.
limt→bEXt-Xbp=0.
d) Istnieje zmienna losowa Xb∈Lp mierzalna względem
Fb:=σ⋃t∈a,bFt taka, że
Xt=E(Xb|Ft) dla t∈a,b.
W przypadku, gdy zachodzą warunki (a)-(d), to Xb=limt→bXt
p.n..
a)⇒b): Na podstawie Twierdzenia 5.1 wiemy, że
|
Esupt∈a,bXtp≤pp-1psupt∈a,bEXtp<∞. |
|
Pozostałe implikacje dowodzimy jak w dowodzie Twierdzenia 6.4.
∎
6.6. Uwagi i uzupełnienia
W wielu twierdzeniach zakłada się, iż Xt jest prawostronnie ciągłym podmartyngałem.
Oczywiście modyfikacja podmartyngału jest podmartyngałem – problem jest tylko z mierzalnością,
ale znika on, gdy filtracja spełnia zwykłe warunki. Naturalnie jest więc zapytać kiedy
dany podmartyngał możemy zmodyfikować tak, by stał się prawostronnie ciągły.
Odpowiedź na to pytanie jest bardzo prosta.
Twierdzenie 6.6
Załóżmy, że T jest przedziałem, a X=Xtt∈T jest podmartyngałem (odp.
nadmartyngałem) względem
filtracji Ftt∈T
spełniającej zwykłe warunki. Wówczas X ma prawostronnie ciągłą modyfikację wtedy
i tylko wtedy, gdy funkcja t→EXt jest prawostronnie ciągła.
6.7. Zadania
Ćwiczenie 6.1
Które z podanych niżej warunków implikują jednostajną całkowalność
ciągu Xn:
a) supnEXn<∞,
b) supnEXn2<∞,
c) EsupnXn<∞,
d) zbieżność Xn w L1,
e) zbieżność Xn p.n.?
Ćwiczenie 6.2
Niech Xn,Fnn≤0 będzie podmartyngałem (z czasem odwróconym!) takim, że
limn→-∞EXn>-∞. Wykaż, że Xn jest jednostajnie całkowalny.
Ćwiczenie 6.3
Wykaż, że martyngał Mt=expλWt-λ2t/2 jest zbieżny p.n. i
znajdź jego granicę. Czy jest on zbieżny w L1?
Ćwiczenie 6.4
a) Wykaż, że jeśli f jest dwukrotnie różniczkowalna na R oraz
f,f′,f′′ są ograniczone, to
|
Mt=fWt-fW0-12∫0tf′′Wudu |
|
jest martyngałem względem FtW.
b) Ogólniej, jeśli f jest dwukrotnie różniczkowalna na Rd,
pochodne cząstkowe f rzędu mniejszego niż 2 są ograniczone oraz W jest
d-wymiarowym procesem Wienera, to
|
Mt=fWt-fW0-12∫0t∑j=1d∂2f∂xj2Wudu |
|
jest martyngałem względem FtW.
Ćwiczenie 6.5
Niech τ będzie momentem zatrzymania względem FtW.
a) Wykaż, że Wτ∧n,Fτ∧nn=1∞ jest martyngałem.
b) Udowodnij, że jeśli Eτ<∞, to EsupnWτ∧n2<∞.
c) Wykaż, że jeśli Eτ<∞, to EWτ2=Eτ i EWτ=0.
Ćwiczenie 6.6
Niech Wt będzie jednowymiarowym procesem Wienera oraz
|
τa:=inft>0:Wt=a,τ~a:=inft>0:Wt=a. |
|
Rozpatrując martyngały Wt i Wt2-t wykaż, że
a) τa<∞ p.n. dla wszystkich a∈R,
b) Pτa<τ-b=ba+b dla a,b>0,
c) Eτ~a=a2 dla a≥0,
d) Eτa∧τ-b=ab dla a,b>0,
e) Eτa=∞ dla wszystkich a≠0.
Ćwiczenie 6.7
Rozpatrując martyngały Mtλ=expλWt-λ2t/2 oraz
Ntλ=Mtλ+Mt-λ/2 wykaż, że przy oznaczeniach
poprzedniego zadania, dla wszystkich a,λ≥0,
a) Ee-λτa=e-a2λ,
b) Ee-λτ~a=cosha2λ-1.
Ćwiczenie 6.8
Niech Wt=Wt1,…,Wtd będzie d wymiarowym procesem Wienera,
a x0∈Rd oraz d>2.
a) Wykaż, że Wt-x02-d jest nieujemnym nadmartyngałem.
b) Udowodnij, że Wt-x02-d zbiega przy t→∞ do 0 według
prawdopodobieństwa i p.n. oraz wywnioskuj stąd, że limt→∞Wt=∞
p.n..
c) Wykaż, że dla prawostronnie ciągłego nadmartyngału Xtt≥a zachodzi
|
∀λ>0λPsupt≥aXt≥λ≤suptEXt-+EXa. |
|
d) Wykaż, że P∃t>0Wt=x0=0.